資源簡介

第11講 三次函數
知識與方法
1．單調性
當時，三次函數在上是單調函數；
當時，三次函數在上有3個單調區間．
證明：
∴當時，與x軸無交點或有一個交點，或恒成立，
原函數單調．
當時，與x軸有兩個交點，原函數有3個單調區間．
2．對稱中心
三次函數是關于點對稱的，且對稱中心為點，此點的橫坐標是其導函數極值點的橫坐標．
證明：只需證明常數，即可．
3．三次函數圖象的切線條數
過（）的對稱中心作切線l，則坐標平面被切線l和函數的圖象分割為四個區域，有以下結論：
①過區域Ⅰ、Ⅲ內的點作的切線，有且僅有三條；
②過區域Ⅱ、Ⅳ內的點以及對稱中心作的切線，有且僅有一條；
③過切線l或函數圖象（除去對稱中心）上的點作的切線，有且僅有兩條．切線條數口訣：內一、上二、外三．
典型例 題
【例1】 已知過點且與曲線相切的直線的條數有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】
【解法1】若直線與曲線切于點，則．
∵，∴，∴，∴，，
∴過點與曲線相切的直線方程為或，
【解法1】由大招結論，的中心對稱點為，過點A的切線方程為．點在曲線上，根據切線條數口訣：內一、上二、外三．P與曲線有2條切線．
【答案】 C．
【例2】 對于三次函數，定義：是函數的導數的導數，若方程有實數解 ，則稱點為函數的“拐點”．有機智的同學發現“任何三次函數都有‘拐點’；任何三次函數都有對稱中心，且‘拐點’就是對稱中心”．請你將這一機智的發現作為條件，求：
（1）函數的圖象對稱中心為______；
（2）若函數，則______．
【解析】 依題意得：，∴．由，即．∴，
又∵，∴函數的圖象對稱中心為．
（2）依題意，設，得：，∴．
由，即．∴，又∵，
∴函數對稱中心為，．
所以．
【答案】（1）；（2）2015．
【例3】已知過第二象限內的點能且只能向函數（t為給定的正常數）的圖象作兩條切線，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【解法1】 設切點為，的導數為，
可得切線的方程為，
代入點，可得，
即有，設，，由，
解得或，，可得為極小值點，為極大值點，由題意可得，，即有，表示以O為端點在第二象限的射線，表示點與兩點的距離的平方，由點到射線的距離為，則的最小值為．故選A．
方法2：，，，令，得．所以對稱中心為，，在O點切線方程為．根據“內一上二外三”，點位于第二象限中，而且在三次函數上或者過原點的切線上．所以表示點與兩點的距離的平方，由點到射線的距離為，則的最小值為．故選A．
【例4】已知函數．
（1）求在區間上的最大值；
（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；
（3）問過點，，分別存在幾條直線與曲線相切 （只需寫出結論）
【解析】 （1）由得，令，得或，
∵，，，，∴在區間上的最大值為．
（2）【解法1】 設過點的直線與曲線相切于點，則，且切線斜率為，∴切線方程為，∴，即，設，則“過點存在3條直線與曲線相切”，等價于“有3個不同的零點”．∵，∴與變化情況如下：
x 0 1
+ 0 ― 0 +
↗ ↘ ↗
∴是的極大值，是的極小值．
當，即時，在區間和上分別至多有一個零點，故至多有2個零點．
當，即時，在區間和上分別至多有一個零點，故至多有2個零點．
當且，即時，∵，，
∴分別在區間和以及上恰有1個零點，由于在區間和上單調，故分別在區間和上恰有1個零點．
綜上所述，當過點存在3條直線與曲線相切時，t的取值范圍是．
【解法2】 （此大招可快速秒答案，但考試還是建議普通方法）
顯然函數的對稱中心為，而，故切線為，當時，，而，故t的取值范圍是．
（3）過點存在3條直線與曲線相切；
過點存在2條直線與曲線相切；
過點存在1條直線與曲線相切．
【例5】已知函數，其中，．
（1）若存在，使得，證明：；
（2）當時，若存在個極值點，證明：．
【解析】 （1）設
則，，其中為常數，根據題設知．
因為，
所以．
（2）假設當時，存在n個零點，設，，，為的n個零點，
則，
所以，，
即，，
因為，，，互不相等，且包含項，
所以，
所以，
所以．
當時，若存在個極值點，
即次函數存在個零點，
所以，
所以．
強化訓練
1．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數【解析】 ，則稱點為函數的對稱中心（也稱為函數的拐點），若，則的圖象的對稱中心為______．
【解析】 ∵函數，∴，∴，令，解 得，且，故函數的對稱中心為，
【答案】．
2．設的極小值為，其導函數的圖象是經過點，開口向上的拋物線，如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若，且過點可作曲線的三條切線，求實數m的取值范圍．
【解析】（1）由圖象可知，在上，在上．在上．
故在上遞增，在上遞減．因此在處取得極小值，
∴，∵，∴，，∴，即，，即，∴，，，∴．
（2）方法1：過點向曲線作切線，設切點為，
則，，則切線方程為，將代入上式，整理得．
∵過點可作曲線的三條切線，
∴方程有三個不同實數根．
記，，
令，得或1，則x，，的變化情況如下表：
x 0 1
+ 0 ― 0 +
↗ 極大 ↘ 極小 ↗
當，有極大值；，有極小值，由題意有，當且僅當即解 得時函數有三個不同零點．此時過點A可作曲線的三條不同切線．故m的取值范圍是．
方法2：顯然三次函數對稱中心為，而，故切線為，當時，，而，故m的取值范圍是．
3．設函數，其中，曲線在點處的切線方程為．
（1）確定b，c的值；
（2）設曲線在點及處的切線都過點．證明：當時，；
（3）若過點可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍．
【解析】（1）由，得，，．
又由曲線在點處的切線方程為，得，．故，．
（2）證明：，，由于點處的切線方程為，而點在切線上，所以，化簡得．即t滿足的方程為．下面用反證法證明．
假設，由于曲線在點及處的切線都過點，
則下列等式成立：
由③得，由①―②得④
又，故由④得，此時與矛盾，所以．
（3）方法1：由（2）知，過點可作的三條切線，等價于方程有三個相異的實根，即等價于方程有三個相異的實根．
設，則．由于，故有
t 0
+ 0 ― 0 +
↗ 極大值1 ↘ 極小值 ↗
由的單調性知：當且僅當時，有三個相異的實根．
即，∴a的取值范圍是．
方法2：由于，故，，令，即，此時，而，故切線為，當時，，即保證即可，即，故，即得到實數a的取值范圍是．
4．設a為實數，函數．
（1）求的極值；
（2）是否存在實數a，使得方程恰好有兩個實數根 若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1），令，得或．
∵當時，；當時，；
當時，，
∴在，上單調遞減，在上單調遞增．
∴的極小值為，極大值為．
（2）方程恰好有兩個實數根，等價于直線與函數的圖象有兩個交點．∵，∴．令，【解析】 得或；令，解 得．
∴在上為減函數，在和上為增函數．
∴當時，；當時，．∴的大致圖象如圖所示．
表示平行于x軸的一條直線，由圖象知，當或時，與有兩個交點．
故當或時，方程恰好有兩個實數根．
5．已知函數，曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標為．
（1）求a；
（2）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．
【解析】（1），．
曲線在點處的切線方程為．
由題設得，所以．
（2）由（1）知，
設，由題設知．
當時，，單調遞增，
，，所以在有唯一實根．
當時，令，則．
，在單調遞減，在單調遞增，
所以，所以在沒有實根．
綜上，在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．
6．已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）當時，試討論是否存在，使得．
【解析】（1），方程的判別式：．
∴當時，，∴，此時在上為增函數．
當時，方程的兩根為．
當時，，∴此時為增函數，
當時，，∴此時為減函數，
當時，，∴此時為增函數，
綜上，時，在上為增函數
當時，的單調遞增區間為，．
的單調遞減區間為．
（2）
∴若存在，使得，
必須在上有解 ，
∵，∴，
方程的兩根為：，∵，
∴只能是，
依題意，，即，
∴，即，
又由，得，故欲使滿足題意的存在，則．
∴當時，存在唯一的滿足．
當時，不存在，
使．
7．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）是否存在a，b，使得在區間的最小值為且最大值為1 若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由．
【解析】（1）．
令，得或．
若，則當時，；當時，．故在，單調遞增，在單調遞減；
若，在單調遞增；
若，則當時，；當時，．故在，單調遞增，在單調遞減．
（2）滿足題設條件的a，b存在．
（ⅰ）當時，由（1）知，在單調遞增，所以在區間的最小值為，最大值為．此時a，b滿足題設條件當且僅當，，即，．
（ⅱ）當時，由（1）知，在單調遞減，所以在區間的最大值為，最小值為．此時a，b滿足題設條件當且僅當，，即，．
（ⅲ）當時，由（1）知，在的最小值為，最大值為b或．
若，，則，與矛盾．
若，，則或或，與矛盾．
綜上，當且僅當，或，時，在的最小值為，最大值為1．
8．已知函數．
（1）求曲線的斜率為1的切線方程；
（2）當時，求證：；
（3）設（），記在區間上的最大值為．當最小時，求a的值．
【解析】（1）由得．
令，即，得或．
又，，
所以曲線的斜率為1的切線方程是與，
即與．
（2）令，．
由得．
令得或．
，的情況如下：
x 0 4
+ ― +
↗ 0 ↘ ↗ 0
所以的最小值為，最大值為0．
故，即．
（3）由（2）知，
當時，；
當時，；
當時，．
綜上，當最小時，．
9．設函數，a，b，，為的導函數．
（1）若，，求a的值；
（2）若，，且和的零點均在集合中，求的極小值；
（3）若，，，且的極大值為M，證明：．
【解析】（1）因為，所以．
因為，所以，解 得．
（2）因為，
所以，
從而．令，得或．
因為a，b，都在集合中，且，
所以，，．
此時，．
令，得或．列表如下：
x 1
+ 0 ― 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以的極小值為．
（3）因為，，所以，．
因為，所以，
則有2個不同的零點，設為，．
由，得，．
列表如下：
x
+ 0 ― 0 +
↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗
所以的極大值．
【解法1】
．因此．
【解法2】因為，所以．
當時，．
令，，則．
令，得．列表如下：
x
+ 0 ―
↗ 極大值 ↘
所以當時，取得極大值，且是最大值，故．
所以當時，，因此．
10．若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點．設函數．
（1）若函數在在無極值點，求t的取值范圍；
（2）證明：對任意實數t，函數的圖像總存在兩條切線相互平行；
（3）當時，函數的圖像存在的兩條平行切線之間的距離為4，求滿足此條件的平行切線共有幾組．
【解析】（1），令，解 得，，
因為在上無極值點，所以，即t的取值范圍為．
（2），取，則有，
此時，
且，
因為，所以，所以，
即，所以曲線在處與處的切線平行．
（3）當時，，，
令，則，所以，
所以：
，
所以，
所以，的中點為，即點到處的切線距離為2，
曲線在處的切線方程為，
整理得，
點到直線的距離，
整理得，故符合
設，，
列表可知，在上單調遞減，在單調遞增，
又因為，，，
所以存在及，使得，
故，s，t均符合題意，所以滿足條件的平行切線共有三組．
11．已知函數．
（1）當，求的單調增區間；
（2）當時，若函數恰有兩個不同的零點，求的值；
（3）當時，若的【解析】 集為，且中有且僅有一個整數，求實數b的取值范圍．
【解析】（1）當時，，則，
令，解得，即的單調增區間為和；
（2）因為，所以，設，
則恰好有兩個不同的零點，令，解得，
由題意可知，只需即可，整理得，解 得；
（3）當時，，則不等式可化為，設，
則，當時，，即單調遞增，
當時，，即單調遞減，
因為，，，所以．
12．設函數．
（1）求的單調區間；
（2）若函數在區間上有三個零點，求實數m的取值范圍；
（3）設函數，如果對任意的，，都有成立，求實數a的取值范圍．
【解析】（1）．
由，得或；
由，得，所以的單調遞增區間是，，單調遞減區間是．
（2）令，則，
，
由（1）知函數在處取得極大值，在處取得極小值．
因為函數在區間上有三個零點，
所以解得，
所以實數m的取值范圍是．
（3）由（1）知，函數在上單調遞減，在上單調遞增，
而，，故在區間上的最大值為．
因為“對任意的，，都有成立”等價于“對任意，恒成立”．
即當時，恒成立，
即恒成立．
記，則有．
，可知．
當時，，，
則，在上單調遞增；
當時，，，
則，在上單調遞減．
故在區間上的最大值為，
所以實數a的取值范圍是．
13．函數滿足時有恒成立，且．
（1）求a的取值范圍及b的值；
（2）證明：函數有且僅有唯二零點．
【解析】（1）函數滿足時，有恒成立等價于在恒成立，
∴等價于時，，和時，；
則是方程的一個根，即為，則，
因為當時，，則．
（2）證明：由（1）知，
，
則，
當，，
則，且，
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
所以時，，
當時，，函數單調遞減；當，，
則在時有唯一一個零點，
綜上所述，函數有且僅有唯二零點．
1第11講 三次函數
知識與方法
1．單調性
當時，三次函數在上是單調函數；
當時，三次函數在上有3個單調區間．
證明：
∴當時，與x軸無交點或有一個交點，或恒成立，
原函數單調．
當時，與x軸有兩個交點，原函數有3個單調區間．
2．對稱中心
三次函數是關于點對稱的，且對稱中心為點，此點的橫坐標是其導函數極值點的橫坐標．
證明：只需證明常數，即可．
3．三次函數圖象的切線條數
過（）的對稱中心作切線l，則坐標平面被切線l和函數的圖象分割為四個區域，有以下結論：
①過區域Ⅰ、Ⅲ內的點作的切線，有且僅有三條；
②過區域Ⅱ、Ⅳ內的點以及對稱中心作的切線，有且僅有一條；
③過切線l或函數圖象（除去對稱中心）上的點作的切線，有且僅有兩條．切線條數口訣：內一、上二、外三．
典型例 題
【例1】 已知過點且與曲線相切的直線的條數有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】 對于三次函數，定義：是函數的導數的導數，若方程有實數解 ，則稱點為函數的“拐點”．有機智的同學發現“任何三次函數都有‘拐點’；任何三次函數都有對稱中心，且‘拐點’就是對稱中心”．請你將這一機智的發現作為條件，求：
（1）函數的圖象對稱中心為______；
（2）若函數，則______．
【例3】已知過第二象限內的點能且只能向函數（t為給定的正常數）的圖象作兩條切線，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【例4】已知函數．
（1）求在區間上的最大值；
（2）若過點存在3條直線與曲線相切，求t的取值范圍；
（3）問過點，，分別存在幾條直線與曲線相切 （只需寫出結論）
【例5】已知函數，其中，．
（1）若存在，使得，證明：；
（2）當時，若存在個極值點，證明：．
強化訓練
1．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是的導數，若方程有實數【解析】 ，則稱點為函數的對稱中心（也稱為函數的拐點），若，則的圖象的對稱中心為______．
2．設的極小值為，其導函數的圖象是經過點，開口向上的拋物線，如圖所示．
（1）求的解析式；
（2）若，且過點可作曲線的三條切線，求實數m的取值范圍．
3．設函數，其中，曲線在點處的切線方程為．
（1）確定b，c的值；
（2）設曲線在點及處的切線都過點．證明：當時，；
（3）若過點可作曲線的三條不同切線，求a的取值范圍．
4．設a為實數，函數．
（1）求的極值；
（2）是否存在實數a，使得方程恰好有兩個實數根 若存在，求出實數a的值；若不存在，請說明理由．
5．已知函數，曲線在點處的切線與x軸交點的橫坐標為．
（1）求a；
（2）證明：當時，曲線與直線只有一個交點．
6．已知函數．
（1）求函數的單調區間；
（2）當時，試討論是否存在，使得．
7．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）是否存在a，b，使得在區間的最小值為且最大值為1 若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由．
8．已知函數．
（1）求曲線的斜率為1的切線方程；
（2）當時，求證：；
（3）設（），記在區間上的最大值為．當最小時，求a的值．
9．設函數，a，b，，為的導函數．
（1）若，，求a的值；
（2）若，，且和的零點均在集合中，求的極小值；
（3）若，，，且的極大值為M，證明：．
10．若函數在處取得極大值或極小值，則稱為函數的極值點．設函數．
（1）若函數在在無極值點，求t的取值范圍；
（2）證明：對任意實數t，函數的圖像總存在兩條切線相互平行；
（3）當時，函數的圖像存在的兩條平行切線之間的距離為4，求滿足此條件的平行切線共有幾組．
11．已知函數．
（1）當，求的單調增區間；
（2）當時，若函數恰有兩個不同的零點，求的值；
（3）當時，若的【解析】 集為，且中有且僅有一個整數，求實數b的取值范圍．
12．設函數．
（1）求的單調區間；
（2）若函數在區間上有三個零點，求實數m的取值范圍；
（3）設函數，如果對任意的，，都有成立，求實數a的取值范圍．
13．函數滿足時有恒成立，且．
（1）求a的取值范圍及b的值；
（2）證明：函數有且僅有唯二零點．
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