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第10講 雙變量問題——韋達定理妙用
知識與方法
題型特點: 函數求導后主導函數為二次函數, 涉及兩根(兩極值點)問題, 可以利用兩根和與積的關系 進行消元, 代換后變成單變量問題, 題目就迎刃而解 了.
典型例題
【例1】已知函數 .
(1)討論 的單調性;
(2) 若 有兩個極值點 , 證明: .
【例2】 已知函數 .
（1）討論 的單調性;
(2) 若 存在兩個極值點 , 證明: .
【例3】 設函數 有兩個極值點 , 且 .
(1)求 的取值范圍,并討論 的單調性;
(2) 證明: .
【例4】已知函數 .
(1) 若 有三個極值點, 求 的取值范圍;
(2) 設 為 的極值點, 證明: .
強化訓練
1. 已知常數 , 函數 .
（1）討論 在區間 上的單調性;
(2) 若 存在兩個極值點 , 且 , 求 的取值范圍.
2. 已知函數 .
（1）若 在 [1,3]上是單調遞增函數,求實數 的取值范圍;
(2) 記 , 并設 是函數 的兩個極值點, 若 , 求 的最小值..
3．已知函數．其中a，b，．
（1）若，，，求的單調區間；
（2）若，且當時，總成立，求實數a的取值范圍；
（3）若，，，若存在兩個極值點，，
求證：．
4．設函數．
（1）當時，求函數在點處切的切線方程；
（2）若函數存在兩個極值點、，
①求實數a的范圍；
②證明：．
5．已知函數．
（1）若函數在上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數在和處取得極值，且（e為自然對數的底數），求的最大值．
6．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若存在兩個極值點，，證明：．
7．已知函數．
（1）若，求函數的極值點；
（2）若，函數有兩個極值點，，且，證明：．
8．已知函數在處的切線與直線垂直．
（1）求函數（為的導函數）的單調遞增區間；
（2）記函數，設，是函數的兩個極值點，若，證明：．
1第10講 雙變量問題——韋達定理妙用
知識與方法
題型特點: 函數求導后主導函數為二次函數, 涉及兩根(兩極值點)問題, 可以利用兩根和與積的關系 進行消元, 代換后變成單變量問題, 題目就迎刃而解 了.
典型例題
【例1】已知函數 .
(1)討論 的單調性;
(2) 若 有兩個極值點 , 證明: .
【解析】 (1) , 不妨設 , 則關于 $x$ 的方程 的判別式 , 當 時, , 故 函數 在 上單調遞減, 當 時, , 方程 有兩個不相等的正根 ,
$
當 及 時 , 當 時, , 在 上遞減, 在 上遞增.
(2) 證明: 由（1) 知當 時,函數 有兩個極值點, 且
設 , 則 , 所以 在 (4, 上遞增, , 所以 .
【例2】 已知函數 .
（1）討論 的單調性;
(2) 若 存在兩個極值點 , 證明: .
【解析】 (1) 函數的定義域為 , 函數的導數 , 設 ,
當 時, 恒成立, 即 恒成立, 此時函數 在 上是減函數, 當 時, 判別式 ,
(1) 當 時, , 即 , 即 恒成立, 此時函數 在 上是減函數.
(2)當 時, 的變化如下表:
綜上當 在 上單調遞減, 當 時, 在 和 , 上單調遞減, 則 上單調遞增.
(2) 證明: 的定義域為 . 由于 的兩個極值點 滿足 , 所以 , 不妨設 , 則 . 由 于 , 所以 等價于 .
設函數 , 由 (1) 知, 在 單調遞減, 又因為 , 從而當 時,. 所以 , 即 .
【例3】 設函數 有兩個極值點 , 且 .
(1)求 的取值范圍,并討論 的單調性;
(2) 證明: .
【解析】
(1) , 令 , 其對稱軸為 . 由題意知 是方程 的兩個均大于-1的不相等的實根, 其充要條件為 , 得
①當 時, 在 內單調遞增;
②當 時, 在 內單調遞減;
③當 時, 在 內單調遞增.
(2) 證明: 由 (1) ,
$$
設 ,
則 .
(1) 當 時, 在 內單調遞增;
(2)當 時, 在 內單調遞減. 當 時,
【例4】已知函數 .
(1) 若 有三個極值點, 求 的取值范圍;
(2) 設 為 的極值點, 證明: .
【解析】 (1) 【解法1】.
若 有三個極值點, 則方程 有三個正數根,
設 , 則 ,
則方程 有兩個根 , 滿足 ,
且 在 上單調遞增, 在 上單調遞減, 上單調遞增,
所以
解 得 .
【解法2】 .
若 有三個極值點, 則方程 有三個正數根,
設 為 的三個根,
則 ,
所以 ,
因為 ,
所以 ,
所以 .
(2) 根據題意有
由（1）方法二可知,
所以 ,
又由 (1) 可知 ,
所以 ,
所以 .
強化訓練
1. 已知常數 , 函數 .
（1）討論 在區間 上的單調性;
(2) 若 存在兩個極值點 , 且 , 求 的取值范圍.
【解析】 (1) ,
當 時, 即 時, 恒成立,
則函數 在 上單調遞增; 當 時, 由 得 ,
則函數 在 單調遞減, 在 , 單調遞增.
(2) 由 (1) 知, 當 時, , 此時 不存在極值點.
因此要使 存在兩個極值點 , 則必有 ,
又 的極值點值可能是 ,
且由 的定義域可知 且 且 , 解 得 , 則 分別為函數 的極小值點和極大值點.
令 , 由 且 得,
當 時, ; 當 時, .
令 .
(1) 當 時, ,
故 在 上單調遞減, ,
當 時,;
(2) 當 ,
故 在 上單調遞減, ,
當 時, ;
綜上所述, 的取值范圍是 .
2. 已知函數 .
（1）若 在 [1,3]上是單調遞增函數,求實數 的取值范圍;
(2) 記 , 并設 是函數 的兩個極值點, 若 , 求 的最小值..
【解析】 (1) 在 $[1,3]$ 上是單調遞增函數, 在 [1,3]上恒成立, ,
上恒成立. 在 上的最小值為 .
(2) ,
.
令 , 得 .
設 , 令 ,
則 在 上單調遞減.
又 , 即 ,
即 , 解 得 或 .
又 .
的最小值為 .
3．已知函數．其中a，b，．
（1）若，，，求的單調區間；
（2）若，且當時，總成立，求實數a的取值范圍；
（3）若，，，若存在兩個極值點，，
求證：．
【解析】（1），，，，
∴，，或時，，
∴函數的單調減區間是，單調增區間是；
（2）若，且當時，總成立，則．
，，，∴．
，，，；
，在上為減函數，在上為增函數，，不成立，
綜上所述，；
（3）證明：，．
∵存在兩個極值點，，∴，∴．
令，，，，
∵，∴．
4．設函數．
（1）當時，求函數在點處切的切線方程；
（2）若函數存在兩個極值點、，
①求實數a的范圍；
②證明：．
【解析】（1）函數的導數為，在點處的切線斜率為2，切點為，即有在點處的切線方程為，即為．
（2），令，得，
①函數有兩個極值點等價于方程有兩個不同的根．
設，所以，
所以函數有兩個極值點，，則．
②證明：由，得，則，
，，，
，
，，
在區間上遞減，所以，即．
5．已知函數．
（1）若函數在上為單調遞增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數在和處取得極值，且（e為自然對數的底數），求的最大值．
【解析】（1）∵，
又在上單調遞增，∴恒有，
即恒成立，∴，
而，當且僅當時取“=”，∴．
即函數在上為單調遞增函數時，a的取值范圍是．
（2）∵在和處取得極值，
且，
∴，是方程的兩個實根，
由根與系數的關系得，，
∴，
設，令，
則，
∴在上是減函數，
∴，
故的最大值為．
6．已知函數．
（1）討論的單調性；
（2）若存在兩個極值點，，證明：．
【解析】（1）的定義域為，．
（ⅰ）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減．
（ⅱ）若，令得，或．
當時，；
當時，．所以在，單調遞減，在單調遞增．
（2）由（1）知，存在兩個極值點當且僅當．
由于的兩個極值點，滿足，所以，不妨設，則．由于，
所以等價于．
設函數，由（1）知，在單調遞減，又，從而當時，．
所以，即．
7．已知函數．
（1）若，求函數的極值點；
（2）若，函數有兩個極值點，，且，證明：．
【解析】（1）的定義域為，，
①若，則，
所以當時，，
所以在上單調遞增，所以無極值點．
②若，則，
由得，．
當x變化時，，的變化情況如下表：
x
+ 0 ― 0 +
極大值 極小值
所以有極大值點，
極小值點．
（2）由（1）及條件可知，
且，，即，，
所以，
記，，
因為當時，，
所以在上單調遞減，
因為，
所以，即．
8．已知函數在處的切線與直線垂直．
（1）求函數（為的導函數）的單調遞增區間；
（2）記函數，設，是函數的兩個極值點，若，證明：．
【解析】（1）由題意可得：，，可得：；
又，所以；
當時，，y單調遞增；
當時，，y單調遞減；故函數的單調增區間為．
（2），，
因為，是的兩個極值點，故，是方程的兩個根，由韋達定理可知：
，∵，可知，又，
令，可證在遞增，由，從而可證．
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