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第13講 極值點偏移定義及判定定理
知識與方法
所謂極值點偏移問題，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖象沒有對稱性.若函數在處取得極值，且函數與直線交于，兩點，則的中點為，而往往，如下圖所示.
極值點偏移問題的一般題設形式：
1.若函數存在兩個零點且，求證：(為函數的極值點)；
2.若函數中存在且滿足，求證：(為函數的極值點)；
3.若函數存在兩個零點且，令，求證：.
4.若函數中存在且滿足，令，求證：.
[抽化模型]答題模板：若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：.
1.討論函數單調性并求出的極值點；
假設此處：在上單調遞增，在上單調遞減.
2.構造；
注：此處根據題意需要還可以進行中值構造，構造成的形式.
3.通過求導討論的單調性，判斷出在某段區間上的正負，并得出與的大小關系；
假設此處：在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到當時，.
4.不妨設，通過單調性，，與的大小關系得出結論；
接上述情況，由于時，＞且，，
故＞，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證.
5.若要證明：，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.
此處只需繼續說明：因為，故＜，由于在上單調遞減，故.
典型例題
【例1】已知函數.
(1)討論的單調性：
(2)設為兩個不相等的正數,且,證明：.
【解析】 （1）由函數的解析式可得，
∴，，單調遞增；，，單調遞減；
則在單調遞增，在單調遞減.
(2)證明:由，得,
即.
由（1）在單調遞增，在單調遞減，所以且.
令,則為的兩根，其中.
不妨令,則，
先證,即證,即證,
令,
則在單調遞減,
所以,
故函數在單調遞增,
∴,得證.
同理,要證,
【解法1】 即證,
根據(1)中單調性,即證,
令,則,令,
單調遞增,單調遞減,
又時,,且,
故,,∴恒成立,得證,
【解法2】 ,
又,故,
故,
令,
在上,單調遞增,所以,
即,所以,得證,
則.
【例2】已知函數.
(1)求函數的單調區間和極值;
(2)已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱,證明當時,;
(3)如果,且,證明.
【解析】 (1),令,解 得,當變化時,的變化情況如下表：
1
＋ 0 －
遞增 極大值 遞減
所以在內是增函數,在內是知函數.
函數在處取得極大值且.
(2)證明：由題意可知,得.令,即,于是,當時,,從而,又因為,所以,從而函數在是增函數.又因為,所以時,有,即.
(3)證明:①若,由(1)及,則.與矛盾.
②若,由(1)及,得.與矛盾.
根據①②得.不妨設.
由(2)可知,,則,所以,從而.因為,所以,又由(1)可知函數在區間內是增函數,所以,即.
【例3】已知函數.
(1)求的單調區間;
(2)證明:當時,.
【解析】 (1)函數的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
(2)證明:由題,易知時,時,.
因為,不妨設,
結合(1)可知.
要證,即證,于是作差構造輔助函數,
代入化簡得.
再次局部構造輔助函數,求導得.當時,,即是上的單調知函數.于是,則.即.故時,.由,則.
又,即得.根據知是上的單調增函數,
而,所以,故得證.
【例4】已知函數.
(1)討論的單調性;
(2)設,證明:當時,;
(3)若函數的圖象與軸交于兩點,線段中點的橫坐標為,證明:.
【解析】 (1)函數的定義域為,
①若,則由,得,且當時,,當時,
,所以在上單調遞增,在上單調遞減;
②當時,恒成立,因此在上單調遞增.
(2)證明:設函數,則,當時,,而,所以,
故當時,.
(3)證明:由(1)可得,當時,函數的圖象與軸至多有一個交點,故,從而
的最大值為,不妨設,則,由(2)得,,得在單調遞減,∴,于是,由(1)知,.
【例5】已知函數.
(1)研究函數的單調性;
(2)設函數有兩個不同的零點、,且.
①求的取值范圍;
②求證:.
【解析】 (1)的定義域,
若,則恒成立,在單調遞增函數;
若,令,解得,則在上單調遞減,在上單調遞增.
(2)證明:因為有兩個不同的零點,由(1)知,且,
要證,即證,
由于,則,即證.
設,只需證即可,
可知在是單調遞減函數,故,得證.
【例6】已知函數有兩個不同的零點.
(1)求的取值范圍;
(2)證明:;
(3)證明:.
【解析】(1)依題意,有兩個相異的實根,即在上有兩解 ,即0在上有兩解 ,也就等價于在上有兩解 ,即直線與曲線有兩個交點.令,當時,單調遞減;當時,單調遞增.所以,在處,取得極小值,即,因為直線與曲線有兩個交點,所以.
(2)證明:當時,令,
所以,
故,
整理得.
又.
因為,所以,所以,即,
所以.因為,即時,在內單調遞減,也就是0,即當時,.
不妨假設,所以,又因為,也就是,所以.
因為,所以,即,且.
由(1)可知在單調遞增,所以,也就是,證畢.
(3)證明:當時,令,整理得,
所以,
所以,即在內單調遞減,即,
也就是當時,不妨假設,
所以,因為,
所以,因為,所以,且.由(1)可知在內單調遞減,所以,也就是,證畢.
1第13講 極值點偏移定義及判定定理
知識與方法
所謂極值點偏移問題，是指對于單極值函數，由于函數極值點左右的增減速度不同，使得函數圖象沒有對稱性.若函數在處取得極值，且函數與直線交于，兩點，則的中點為，而往往，如下圖所示.
極值點偏移問題的一般題設形式：
1.若函數存在兩個零點且，求證：(為函數的極值點)；
2.若函數中存在且滿足，求證：(為函數的極值點)；
3.若函數存在兩個零點且，令，求證：.
4.若函數中存在且滿足，令，求證：.
[抽化模型]答題模板：若已知函數滿足，為函數的極值點，求證：.
1.討論函數單調性并求出的極值點；
假設此處：在上單調遞增，在上單調遞減.
2.構造；
注：此處根據題意需要還可以進行中值構造，構造成的形式.
3.通過求導討論的單調性，判斷出在某段區間上的正負，并得出與的大小關系；
假設此處：在上單調遞增，那么我們便可得出，從而得到當時，.
4.不妨設，通過單調性，，與的大小關系得出結論；
接上述情況，由于時，＞且，，
故＞，又因為，且在上單調遞減，從而得到，從而得證.
5.若要證明：，還需進一步討論與的大小，得出所在的單調區間，從而得出該處函數導數值的正負，從而結論得證.
此處只需繼續說明：因為，故＜，由于在上單調遞減，故.
典型例題
v
【例1】已知函數.
(1)討論的單調性：
(2)設為兩個不相等的正數,且,證明：.
【例2】已知函數.
(1)求函數的單調區間和極值;
(2)已知函數的圖象與函數的圖象關于直線對稱,證明當時,;
(3)如果,且,證明.
【例3】已知函數.
(1)求的單調區間;
(2)證明:當時,.
【例4】已知函數.
(1)討論的單調性;
(2)設,證明:當時,;
(3)若函數的圖象與軸交于兩點,線段中點的橫坐標為,證明:.
【例5】已知函數.
(1)研究函數的單調性;
(2)設函數有兩個不同的零點、,且.
①求的取值范圍;
②求證:.
【例6】已知函數有兩個不同的零點.
(1)求的取值范圍;
(2)證明:;
(3)證明:.
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