資源簡介

6.4.1 平面幾何中的向量方法
學習目標
1、能運用向量的模長公式求解平面圖形中的線段長度問題；
2、能運用向量的夾角公式求解平面圖形中的角度計算問題；
3、能運用向量共線與垂直的充要條件求解平面圖形中有關平行與垂直的問題。
常考題型
知識梳理
一、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
（1）建立平面幾何與向量的關系，用向量表示問題中涉及到的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
（2）通過向量運算，研究元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。
二、利用向量證明平面幾何的兩種經典方法及步驟：
1、線性運算法
（1）選取合適的基底（一般選擇夾角和模長已知的兩個向量）；
（2）利用基底表示相關向量；
（3）利用向量的線性運算或數量積找到相應關系；
（4）把計算結果“翻譯”為幾何問題。
2、坐標運算法
（1）建立適當的直角坐標系（盡可能讓更多的點在坐標系上）；
（2）把相關向量坐標化；
（3）用向量的坐標運算找到相應關系；
（4）利用向量關系回答幾何問題。
二、平面幾何中證明問題的具體轉化方法
1、證明線段，可轉化為證明；
2、證明線段，只需證明存在一個實數，使成立；
3、證明兩線段，只需證明數量積；
4、證明三點共線，只需證明存在一個，使成立。
題型精析
題型一 利用向量證明線段垂直
【例1】（2023·全國·高一隨堂練習）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點M為邊BC的中點，求證：．
【變式1-1】（2023·陜西西安·高一統考期末）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.
（1）請用、表示向量；
（2）設和的夾角為，若，且，求證：.
【變式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如圖所示，已知在正方形中，E，F分別是邊，的中點，與交于點M.
（1）設，，用，表示，；
（2）猜想與的位置關系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.
【變式1-3】（2023·山東濟南·高一山東師范大學附中校考階段練習）在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，(且)，D為AB的中點，E為的重心，F為的外心．
（1）求重心E的坐標；
（2）用向量法證明：．
題型二 利用向量證明線段平行
【例2】（2023·高一課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上取兩點E，F，使BE=DF．用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形．
【變式2-1】（2023·高一課時練習）設P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點
（1）試用向量證明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【變式2-2】（2023·河北保定·高一校聯考期中）已知，如圖，在中，點滿足，是線段上一點，，點為的中點，且三點共線．
（1）求的最小值．
（2）若點滿足，證明：．
【變式2-3】（2023·廣東·高二校聯考階段練習）如圖，三點不共線，，，設，.
（1）試用表示向量；
（2）設線段的中點分別為，試證明三點共線.
題型三 利用向量求線段的長度
【例3】（2023·福建·高一校聯考期中）在中，點D是邊的中點，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習）在平面內，若，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·遼寧鞍山·高一校聯考階段練習）已知，，，，點D在邊上且，則長度為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2022·山東濟寧·高一統考期中）已知兩點分別是四邊形的邊的中點，且，，，，則線段的長為是
題型四 利用向量求幾何夾角
【例4】（2023·福建廈門·高一校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則 .
【變式4-1】（2023·山東聊城·高一統考期末）如圖，在中，已知，，，是的中點，，設與相交于點，則 ．
【變式4-2】（2023·湖南懷化·高一統考期末）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為
【變式4-3】（2022·山東菏澤·高一統考期末）如圖，在中，已知，，，且.求.
題型五 判斷三角形的形狀
【例5】（2023·重慶·高一校聯考階段練習）在中，若，則一定為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形
【變式5-1】（2023·廣西·高一校聯考期中）若非零向量與滿足，且，則為（ ）
A．三邊均不等的三角形 B．直角三角形
C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形
【變式5-2】（2023·北京順義·高一北京市順義區第一中學校考階段練習）是所在平面內一點，滿足，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【變式5-3】（2023·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）在中，是邊的中點，且對于邊上任意一點，恒有，則一定是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
題型六 平面幾何中的最值及問題
【例6】（2023·高一單元測試）已知向量共面，且均為單位向量，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2022·甘肅白銀·高一校考期中）如圖，點是半徑為的扇形圓弧上一點，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在中，D為的中點，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】（2023·山西朔州·高一校聯考階段練習）已知向量滿足，若對任意的實數，都有，則的最小值為 .
【變式6-4】（2023·北京·高一首都師范大學附屬中學校考階段練習）、、三點在半徑為的圓上運動，且，是圓外一點，，則的最大值是 ．6.4.1 平面幾何中的向量方法
學習目標
1、能運用向量的模長公式求解平面圖形中的線段長度問題；
2、能運用向量的夾角公式求解平面圖形中的角度計算問題；
3、能運用向量共線與垂直的充要條件求解平面圖形中有關平行與垂直的問題。
常考題型
知識梳理
一、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：
（1）建立平面幾何與向量的關系，用向量表示問題中涉及到的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
（2）通過向量運算，研究元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系。
二、利用向量證明平面幾何的兩種經典方法及步驟：
1、線性運算法
（1）選取合適的基底（一般選擇夾角和模長已知的兩個向量）；
（2）利用基底表示相關向量；
（3）利用向量的線性運算或數量積找到相應關系；
（4）把計算結果“翻譯”為幾何問題。
2、坐標運算法
（1）建立適當的直角坐標系（盡可能讓更多的點在坐標系上）；
（2）把相關向量坐標化；
（3）用向量的坐標運算找到相應關系；
（4）利用向量關系回答幾何問題。
二、平面幾何中證明問題的具體轉化方法
1、證明線段，可轉化為證明；
2、證明線段，只需證明存在一個實數，使成立；
3、證明兩線段，只需證明數量積；
4、證明三點共線，只需證明存在一個，使成立。
題型精析
題型一 利用向量證明線段垂直
【例1】（2023·全國·高一隨堂練習）用向量的方法證明在等腰三角形ABC中，，點M為邊BC的中點，求證：．
【答案】證明過程見解析
【解析】由題意得，，
故，
因為，所以，故.
【變式1-1】（2023·陜西西安·高一統考期末）已知在中，點是邊上靠近點的四等分點，點為中點，設與相交于點.
（1）請用、表示向量；
（2）設和的夾角為，若，且，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1）.
（2），
，.
【變式1-2】（2023·海南·高一校考期中）如圖所示，已知在正方形中，E，F分別是邊，的中點，與交于點M.
（1）設，，用，表示，；
（2）猜想與的位置關系，寫出你的猜想并用向量法證明你的猜想.
【答案】（1），；（2），證明見解析
【解析】（1），
；
（2），證明如下：
由（1）知，，
所以，
設，則，
所以，所以，得證.
【變式1-3】（2023·山東濟南·高一山東師范大學附中校考階段練習）在平面直角坐標系中，的三個頂點坐標分別為，，(且)，D為AB的中點，E為的重心，F為的外心．
（1）求重心E的坐標；
（2）用向量法證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【解析】（1）如圖，
∵，，，
∴，則由重心坐標公式，得；
（2）．
易知的外心F在y軸上，可設為．
由，得，
∴，即．
∴．
∴，
∴，即．
題型二 利用向量證明線段平行
【例2】（2023·高一課時練習）如圖，在平行四邊形ABCD的對角線BD所在的直線上取兩點E，F，使BE=DF．用向量方法證明：四邊形AECF是平行四邊形．
【答案】見解析
【解析】如圖，
因為四邊形為平行四邊形，所以.
又在直線上,所以,
從而,
所以,即與平行且相等，
所以四邊形是平行四邊形.
【變式2-1】（2023·高一課時練習）設P，Q分別是梯形ABCD的對角線AC與BD的中點
（1）試用向量證明：PQAB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【解析】（1）∵Q為BD中點，∴，
又P為AC中點，∴；
∴2()，
又向量與共線，
設向量，則2(1+λ)，∴①，
又梯形ABCD中||≠||，∴λ≠﹣1，∴，即PQAB；
（2）∵向量與反向，且||=3||；
所以，即λ代入①式，得，
∴PQ：AB.
【變式2-2】（2023·河北保定·高一校聯考期中）已知，如圖，在中，點滿足，是線段上一點，，點為的中點，且三點共線．
（1）求的最小值．
（2）若點滿足，證明：．
【答案】（1）4；（2）證明見解析
【解析】（1）由題可知，
因為點為的中點，所以
，
因為三點共線，所以，
，
當且僅當時，等號成立．
所以的最小值為4.
（2）由，
則，即，
，
所以，
又三點不共線，所以．
【變式2-3】（2023·廣東·高二校聯考階段練習）如圖，三點不共線，，，設，.
（1）試用表示向量；
（2）設線段的中點分別為，試證明三點共線.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【解析】（1），，三點共線，，①
同理，，，三點共線，可得，②
比較①，②，得解得，，
．
（2），，，
，，
，，，三點共線．
題型三 利用向量求線段的長度
【例3】（2023·福建·高一校聯考期中）在中，點D是邊的中點，，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，由題意可得：，
即，解之得.故選：A
【變式3-1】（2023·全國·高一專題練習）在平面內，若，則的取值范圍是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據條件知A，B1，P，B2構成一個矩形AB1PB2，
以AB1，AB2所在直線為坐標軸建立直角坐標系，
如圖.設|AB1|＝a，|AB2|＝b，點O的坐標為(x，y)，
則點P的坐標為(a，b)，.
由得
則
又由，得，則，即①.
又，得，則；
同理由，得，即有②.
由①②知，所以.
而，所以，故選：D.
【變式3-2】（2023·遼寧鞍山·高一校聯考階段練習）已知，，，，點D在邊上且，則長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】中，點D在邊上且，
則
又，，，
則
，即長度為，故選：D
【變式3-3】（2022·山東濟寧·高一統考期中）已知兩點分別是四邊形的邊的中點，且，，，，則線段的長為是
【答案】
【解析】作，交于點，則，
，則；
，，
又，，，
，
.
題型四 利用向量求幾何夾角
【例4】（2023·福建廈門·高一校考期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，E是AB的中點，F是BC邊上靠近點B的三等分點，AF與DE交于M，則 .
【答案】
【解析】設，，則，
，又，，
所以
.
【變式4-1】（2023·山東聊城·高一統考期末）如圖，在中，已知，，，是的中點，，設與相交于點，則 ．
【答案】
【解析】因為是的中點，所以，
，
因為，，
，
所以
，
所以.
【變式4-2】（2023·湖南懷化·高一統考期末）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為
【答案】
【解析】由已知得即為向量與的夾角.
因為M、N分別是，邊上的中點，
所以，.
又因為，
所以，
,
,
所以.
【變式4-3】（2022·山東菏澤·高一統考期末）如圖，在中，已知，，，且.求.
【答案】
【解析】由題意得，的夾角為，
，則，
又，所以，
故，
同理
于是，，
，
.
題型五 判斷三角形的形狀
【例5】（2023·重慶·高一校聯考階段練習）在中，若，則一定為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形
【答案】B
【解析】由得：，
，為直角三角形，故選：B.
【變式5-1】（2023·廣西·高一校聯考期中）若非零向量與滿足，且，則為（ ）
A．三邊均不等的三角形 B．直角三角形
C．底邊和腰不相等的等腰三角形 D．等邊三角形
【答案】C
【解析】，
的角平分線與BC垂直，
，，
則是頂角為的等腰三角形，故選：C.
【變式5-2】（2023·北京順義·高一北京市順義區第一中學校考階段練習）是所在平面內一點，滿足，則的形狀是（ ）
A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
【答案】C
【解析】因為，
由可得，
可得，整理可得，，
所以，為直角三角形，故選：C.
【變式5-3】（2023·浙江寧波·高一慈溪中學校聯考期末）在中，是邊的中點，且對于邊上任意一點，恒有，則一定是（ ）
A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【解析】如下圖所示，取的中點，
顯然，，
同理，，
因為，所以，
即，所以，
因為是的中點，所以,
所以，所以一定是直角三角形，故選：A
題型六 平面幾何中的最值及問題
【例6】（2023·高一單元測試）已知向量共面，且均為單位向量，，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為向量共面，且均為單位向量，，
可設，，，如圖，
所以，當與同向時，此時有最大值，為，故選：A.
【變式6-1】（2022·甘肅白銀·高一校考期中）如圖，點是半徑為的扇形圓弧上一點，，若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，；
以為坐標原點，可建立如圖所示平面直角坐標系，
則，，設，，
由得：，，
，
其中，，
，，當時，，故選：B.
【變式6-2】（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，在中，D為的中點，，，是圓心為C、半徑為1的圓的動直徑，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
又，
且，所以．
設與的夾角為，
則．
因為，所以，故選：C．
【變式6-3】（2023·山西朔州·高一校聯考階段練習）已知向量滿足，若對任意的實數，都有，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為，所以對任意的實數恒成立，
即，
所以，所以.
所以，
當且僅當與反向時等號成立，即的最小值為.
【變式6-4】（2023·北京·高一首都師范大學附屬中學校考階段練習）、、三點在半徑為的圓上運動，且，是圓外一點，，則的最大值是 ．
【答案】
【解析】連接，如下圖所示：
因為，則為圓的一條直徑，故為的中點，
所以，，
所以，，
當且僅當共線且同向時，等號成立．

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