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指數(shù)函數(shù)
一、主要概念、定理、公式及規(guī)律
1．函數(shù)，且)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中指數(shù)是自變量，定義域是．
2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
圖象
定義域
值域
過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．
奇偶性 非奇非偶
單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù)
函數(shù)值的變化情況 ， ，
變化對(duì)圖象影響 在第一象限內(nèi)，越大圖象越高，越靠近軸；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低，越靠近軸。 在第一象限內(nèi)，越小圖象越低，越靠近軸；在第二象限內(nèi)，越小圖象越高，越靠近軸。
二、思想、方法點(diǎn)撥
1．明確指數(shù)函數(shù)的概念，理解并掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
2．借助指數(shù)函數(shù)的圖象理解性質(zhì)，并會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題．
3．在掌握指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖象、不等式、方程等問(wèn)題．
典型例題
類(lèi)型一 指數(shù)函數(shù)的判定
例1 有下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4），且．其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
例2 （1）指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則 ．
（2）若函數(shù)，且是指數(shù)函數(shù)，則 ， ．
類(lèi)型二 指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
例3 求證：函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
類(lèi)型三 指數(shù)函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題
例4 函數(shù)的圖象可以由指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到
類(lèi)型四 與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的定義域、值域
例5 求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）；
（2）；
（3）．
當(dāng)堂訓(xùn)練
一、單選題
1.已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值 為( ).
A.1 B.2 C.1或2 D.任意值
2.若函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則，的取值范圍是( ).
A., B.,
C., D.,
3.函數(shù) 的值域?yàn)? ).
A. B. C. D.
4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象( ).
A.向左平移1個(gè)單位 B.向右平移1個(gè)單位
C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位
5.函數(shù)的大致圖象是( ）
A. B.
C. D.
6.已知函數(shù)的值域?yàn)榧希瘮?shù)的值域?yàn)榧希瑒t（ ）.
A. B.
C. D.
7.已知函數(shù).若，則（ ）
A.5 B.7 C.9 D. 11
二、多選題
8.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
9.下列命題是真命題的是（ ）
A．是冪函數(shù) B．不是指數(shù)函數(shù)
C．不是冪函數(shù) D．是指數(shù)函數(shù)
三、填空題
10.函數(shù)的值域是 .
11.不論為何值，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是
12.如果函數(shù)的定義域?yàn)椋敲磳?shí)數(shù)的取值范圍為
課后作業(yè)
1.設(shè)，滿足，下列不等式中，正確的是（ ).
A. B. C. D.
2.當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象在指數(shù)函數(shù)的圖象的上方，則的取值范圍是
3.求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
4.已知函數(shù)
（1）作出此函數(shù)的圖象；
（2）由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；
(3)由圖象指出當(dāng)取什么值時(shí)，函數(shù)有最值.
5.已知函數(shù)，當(dāng)其值域?yàn)闀r(shí)，的取值范圍是( ).
A. B. C. D.
6.已知函數(shù)(其中）.若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是( ).
（B）
（D）
7.求函數(shù)，且的最小值.
8.根據(jù)下列條件，分別求(，且)的取值范圍：
（1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>(2)函數(shù)的值域?yàn)?
9.若函數(shù),且在上的最大值為，求的值.
10.已知函數(shù).
（1）求證：對(duì)于，總有；
（2）求的值.指數(shù)函數(shù)
一、主要概念、定理、公式及規(guī)律
1．函數(shù)，且)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中指數(shù)是自變量，定義域是．
2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
圖象
定義域
值域
過(guò)定點(diǎn) 圖象過(guò)定點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，．
奇偶性 非奇非偶
單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù)
函數(shù)值的變化情況 ， ，
變化對(duì)圖象影響 在第一象限內(nèi)，越大圖象越高，越靠近軸；在第二象限內(nèi)，越大圖象越低，越靠近軸。 在第一象限內(nèi)，越小圖象越低，越靠近軸；在第二象限內(nèi)，越小圖象越高，越靠近軸。
二、思想、方法點(diǎn)撥
1．明確指數(shù)函數(shù)的概念，理解并掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
2．借助指數(shù)函數(shù)的圖象理解性質(zhì)，并會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解決有關(guān)問(wèn)題．
3．在掌握指數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上解決與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖象、不等式、方程等問(wèn)題．
典型例題
類(lèi)型一 指數(shù)函數(shù)的判定
例1 有下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4），且．其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】只有（4）符合指數(shù)函數(shù)的概念，（1）（2）（3）中的函數(shù)都不符合，且)的形式．故選
例2 （1）指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則 ．
（2）若函數(shù)，且是指數(shù)函數(shù)，則 ， ．
【解析】（1）設(shè)，且，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，
所以，，故，
所以，所以．
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，得，解得．
類(lèi)型二 指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
例3 求證：函數(shù)，且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【證明】 此函數(shù)的圖象可以由指數(shù)函數(shù)的圖象先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位得到．而的圖象恒過(guò)點(diǎn)，故此函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)．
類(lèi)型三 指數(shù)函數(shù)圖象的平移、對(duì)稱(chēng)變換問(wèn)題
例4 函數(shù)的圖象可以由指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到
【解析】．
先把的圖象向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，再作它關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圖形，得到的圖象，最后將此圖象向上平移個(gè)單位，就得到了函數(shù)的圖象，即的圖象．
類(lèi)型四 與指數(shù)函數(shù)復(fù)合的函數(shù)的定義域、值域
例5 求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）；
（2）；
（3）．
【解析】（1）由，得，即，解得故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，，，．
故函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（2）由，得故函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>由，有．故函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（3）由，得，則，即，所以．
故函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋?br/>所以，即，
有，則．故函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>當(dāng)堂訓(xùn)練
1.已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則的值 為( ).
A.1 B.2 C.1或2 D.任意值
【答案】B
2.若函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則，的取值范圍是( ).
A., B.,
C., D.,
【答案】D
3.函數(shù) 的值域?yàn)? ).
A. B. C. D.
【答案】D
4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象( ).
A.向左平移1個(gè)單位 B.向右平移1個(gè)單位
C.向左平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位
【答案】D
5.函數(shù)的大致圖象是( ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6.已知函數(shù)的值域?yàn)榧希瘮?shù)的值域?yàn)榧希瑒t（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
7.已知函數(shù).若，則（ ）
A.5 B.7 C.9 D. 11
【答案】B
二、多選題
8.若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，
所以，解得或.
故選：AB
9．下列命題是真命題的是（ ）
A．是冪函數(shù) B．不是指數(shù)函數(shù)
C．不是冪函數(shù) D．是指數(shù)函數(shù)
【答案】ACD
【分析】利用冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的概念一一判定選項(xiàng)即可.
【詳解】由冪函數(shù)的定義可知：是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，即A、C正確；
因?yàn)椋?br/>所以由指數(shù)函數(shù)的定義可知：都是指數(shù)函數(shù)，即B錯(cuò)誤，D正確．
故選：ACD
三、填空題
10.函數(shù)的值域是 .
【答案】
11.不論為何值，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是
【答案】
12.如果函數(shù)的定義域?yàn)椋敲磳?shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】
課后作業(yè)
1.設(shè)，滿足，下列不等式中，正確的是（ ).
A. B. C. D.
【答案】C
2.當(dāng)時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象在指數(shù)函數(shù)的圖象的上方，則的取值范圍是
【答案】
3.求下列函數(shù)的定義域和值域：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?br/>（2）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?br/>（3）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?br/>（4）定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋?br/>4.已知函數(shù)
（1）作出此函數(shù)的圖象；
（2）由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；
(3)由圖象指出當(dāng)取什么值時(shí)，函數(shù)有最值.
【答案】見(jiàn)詳解；
【解析】（1）由函數(shù)解析式，可得
其圖象由兩部分組成:
一部分是:向左平移1個(gè)單位．
另一部分是:向左平移1個(gè)單位．如圖所示
（2）由圖象知，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)；
（3）由圖象知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1，無(wú)最小值．
5.已知函數(shù)，當(dāng)其值域?yàn)闀r(shí)，的取值范圍是( ).
A. B. C. D.
【答案】D
6.已知函數(shù)(其中）.若的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是( ).
（B）
（D）
【答案】A
7.求函數(shù)，且的最小值.
【答案】
8.根據(jù)下列條件，分別求(，且)的取值范圍：
（1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>(2)函數(shù)的值域?yàn)?
【答案】（1）．（2）
9.若函數(shù),且在上的最大值為，求的值.
【答案】見(jiàn)詳解
【解析】令，則，其對(duì)稱(chēng)軸為，該二次函數(shù)在上是增函數(shù)．
①若，因?yàn)椋裕十?dāng)，即時(shí)，，
解得舍去)．
②若，因?yàn)椋?br/>所以，故當(dāng)，即時(shí)，
，所以舍去)．
綜上所述，，或．
10.已知函數(shù).
（1）求證：對(duì)于，總有；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
（1）
（2）

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