資源簡介

6.2.1&6.2.2 平面向量的加減法運算
知識點一 向量的加法運算
1、向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
2、向量求和的法則
求和法則 三角形法則 平行四邊形法則
前提 已知非零向量， 已知兩個不共線向量，
作法 在平面內取任意一點，作，連接 在平面內任取一點O，作＝，＝，以為鄰邊作 OACB，
結論 向量叫做與的和，記作＋，即＋＝＋ 以O為起點的向量就是向量與的和
圖形
微點撥：
(1)三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣
①三角形法則：作平移，首尾連，由起點，指終點；
②平行四邊形法則：作平移，共起點，四邊形，對角線．
(2)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的區別和聯系
區別 聯系
三角形法則 (1)首尾相接 (2)適用于任何兩個非零向量求和 當兩個向量不共線時，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
平行四邊形法則 (1)共起點 (2)僅適用于不共線的兩個向量求和
(3)求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單．
3、向量加法中的常見結論
特殊規定 對于零向量與任意向量，規定
特殊結論 一般地，我們有，當且僅當，方向相同或者至少有一個為零向量時等號成立
兩個物理模型 (1)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型； (2)力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型
4、向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
微點撥：
①應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．
②當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．
③多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如
知識點二 相反向量
定義 與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作
性質 (1)零向量的相反向量仍是零向量； (2)對于相反向量有：； (3)若互為相反向量，則
微點撥：
①相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量．.
②避免一個誤區：即將相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
知識點三 向量的減法運算及其幾何意義
定義 向量加上的相反向量，叫做與的差，即，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量．求兩個向量差的運算叫做向量的減法
作法 在平面內任取一點，作
結論 向量
圖形
幾何意義 如果把兩個向量,的起點放在一起，則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量
微點撥：
①向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，，就可以把減法轉化為加法．
②兩個向量作差的前提是將兩個向量移到共同的起點．
③向量減法滿足三角形法則，在用三角形法則作向量減法時，要注意“共起點，連終點，指向被減”．解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆．
知識點四 向量加法和減法幾何意義的聯系
1、如圖，在平行四邊形ABCD中，若，則．
微點撥：
①若，則平行四邊形ABCD為菱形．
②若，則平行四邊形ABCD為矩形．
③若，且，則平行四邊形ABCD為正方形．
2、類比，可知，其中的幾何意義分別是以AB,AD為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長．
微點撥：
①在公式中，當與方向相反且時，；當與方向相同時，．
②在公式中，當與方向相同且時，；當與方向相反時，．
考點一 向量的加法
題型一 已知向量作和向量
易錯提醒 向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點．
1．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1)
(2)
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）（2）利用平面向量加法的平行四邊形法則可作出向量.
【詳解】（1）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

（2）解：作，，以、為鄰邊作，，
則即為所求作的向量.

2．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】詳見解析
【分析】向量，，不共線中隱含著向量，，均為非零向量，因為零向量與任何一個向量都是共線的，利用三角形法則或平行四邊形法則作圖.
【詳解】解法一：（三角形法則），如下圖所示，作，，
則，再作，則，即.

解法二：（平行四邊形法則）因為向量，，不共線，
如下圖所示，在平面內任取一點O，作，，
以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線，
再作，以，為鄰邊作平行四邊形，則.

3．（2022·高一課時練習）如圖所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）（4）按照向量加法法則直接計算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
題型二 向量加法的運算律及應用
提分筆記 解決向量加法運算問題時應關注兩點 (1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算． (2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起點、終點及向量起點、終點字母的排列順序，特別注意勿將寫成0.
1．（2023下·天津紅橋·高一統考期末）化簡：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由向量加法的三角形法則可知.
【詳解】.
故選：C.
2．（2023下·云南迪慶·高一統考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的加法運算法則即可求解.
【詳解】,
故選：B
3．（2022下·廣東梅州·高一興寧市第一中學?？计谥校┑扔冢? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平面向量加法的運算律計算可得；
【詳解】解：
故選：B
4．（2023下·廣西·高一統考期末）在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【詳解】根據向量的加法運算法化簡，根據矩形的特征可求對角線的長度，進而可求模長．
【分析】在矩形中，由，可得，
又因為，故，故．
故選：A.
5．（2016·高一課時練習）如圖所示，點分別為的三邊的中點.
求證：
(1)；
(2).
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由向量加法的三角形法則，得到，即可作出證明；.
（2）由向量加法的平行四邊形法則，得到，進而作出證明.
【詳解】（1）證明：由向量加法的三角形法則，
因為，所以.
（2）證明：由向量加法的平行四邊形法則，
因為，
所以
.
題型三 向量加法的應用問題
提分筆記 利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟
1．（2023下·陜西榆林·高一統考期末）若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（ ）
A．向東北方向航行
B．向北偏東方向航行
C．向正北方向航行
D．向正東方向航行
【答案】B
【分析】根據向量的方向，畫出圖形，利用向量的加法運算，計算結果.
【詳解】如圖，

易知，所以．故的方向是北偏東．又.
2．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

【答案】分析答案見解析，OA受力最大
【分析】根據題意利用向量加法的平行四邊形法則，畫出圖形，結合圖形利用直角三角形的邊角關系得出拉力最大的是OA．
【詳解】設OA，OB，OC三根繩子所受的力分別為，，，則.
因為，的合力為，所以.
如圖在平行四邊形中，

因為，，
所以，，即，.
故細繩OA受力最大.
故選：B．
考點二 向量的減法運算
易錯提醒 忽視只有向量共起點時才可用減法法則.
題型一 用已知向量求解向量的差
提分筆記 作兩個向量的差的兩種方法 (1)用向量減法的三角形法則 ①步驟： ②口訣：共起點，連終點，指向被減． (2)用向量減法的定義 根據轉化為向量加法運算，再作圖．
1．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，求作．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根據平面向量的減法法則可作出向量.
【詳解】（1）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（2）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（3）解：作，，則，即即為所求作的向量.

（4）解：作，，則，即即為所求作的向量.

2．（2024上·北京西城·高一統考期末）如圖，在正六邊形中，（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正六邊形的性質轉換相等向量即可.
【詳解】.
故選：C
3．（2022上·浙江麗水·高三校考期中）如圖所示，單位圓上有動點A，B，當取得最大值時，等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】由題可得，可得為直徑時最大.
【詳解】因為，A，B是單位圓上的動點，
所以的最大值為2，此時與反向.
故選：D.
題型二 向量的加減法混合運算
提分筆記 1．向量減法運算的常用方法 2．向量加減法化簡的兩種形式 (1)首尾相連且為和； (2)起點相同且為差． 解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用．
1．（2023下·新疆·高一校考期中）化簡下列各向量的表達式：
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1).
(2).
(3)
【分析】根據平面向量的加法運算和減法運算法則可求出結果.
【詳解】（1）.
（2）
.
（3）
.
2．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
【答案】
【分析】根據向量加減法的幾何意義進行運算即可.
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
故答案為：；；；.
3．（2022下·高一?？颊n時練習）如圖所示，在矩形中，，，設，，，求.

【答案】
【分析】求出的值，利用平面向量的線性運算化簡向量，即可求得的值.
【詳解】解：在矩形中，，，
則，
因為，，，
則，
因此，.
題型三 向量加減法幾何意義的應用
提分筆記 利用已知向量表示其他向量的一個關鍵及三點注意 (1)一個關鍵： 一個關鍵是確定已知向量與被表示向量的轉化渠道． (2)三點注意： ①注意相等向量、相反向量、共線向量與構成三角形三向量之間的關系； ②注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律； ③注意在封閉圖形中利用多邊形法則．
1．（2022·高一課前預習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，點B是平行四邊形ACDE內一點，且，，，試用向量表示向量，，.
【答案】，，
【分析】根據向量加法和減法的運算法則即可求解.
【詳解】解：因為四邊形ACDE是平行四邊形，
所以，，.
2．（2021·高一課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
【答案】(1)；
(2).
【分析】利用向量減法與加法的規則即可用表示，用表示
【詳解】（1）.
（2）.
3．（2023·高一課時練習）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】根據向量的線性運算結合圖形的性質分析求解.
【詳解】在中，設，則，
因為，即，所以為等邊三角形，
以為鄰邊作平行四邊形，設交于點，
可得，
則，
因為，取的起點為，
可知的終點的軌跡為以點為圓心，半徑為的圓，
如圖，當點為的延長線與圓的交點時，的最大值為；
當點為線段與圓的交點時，的最小值為；
所以.
故選：A.

考點三 向量加減法在幾何中的應用
題型一 向量模長的三角不等式
1．（2021下·高一課時練習）若向量滿足，則的最小值為 ，的最大值為 ．
【答案】 1 5
【分析】根據向量的性質，根據的夾角情況求、的最值.
【詳解】當反向時，有最小值；
當反向時，有最大值.
故答案為：
2．（2022·高一課時練習）若，則的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據向量加法的三角不等式計算可得.
【詳解】因為，
所以，當且僅當與共線時取等號，
其中左端的等號是與反向時取得，右端的等號是與同向時取得，
所以.
故答案為：
題型二 利用向量加減法判斷幾何形狀
1．（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根據向量的減法法則可得，由三邊相等關系即可得出結果.
【詳解】因為，，
所以，
所以為等邊三角形．
故選：A
2．（2023下·云南西雙版納·高一?？计谥校┰谒倪呅沃校?，且，則（ ）
A．在四邊形是矩形
B．在四邊形是菱形
C．在四邊形是正方形
D．在四邊形是平行四邊形
【答案】A
【分析】由平面向量加法的平行四邊形法則可判斷為平行四邊形，再由向量加法、減法運算和模的含義可得對角線相等，然后可判斷四邊形形狀.
【詳解】因為，所以四邊形為平行四邊形，
又，所以，即對角線相等，所以四邊形為矩形.
故選：A
3．（2020下·高一課時練習）已知非零向量滿足，且，則 .
【答案】4
【分析】根據向量加減運算及向量的模長可得出平行四邊形OACB是矩形，由矩形對角線相等得解.
【詳解】如圖所示，設，，
則，
以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則，
由于，
故，
所以是直角三角形，，
從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形，
根據矩形的對角線相等得，即.
4．（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區容山中學校考階段練習）在平行四邊形中，已知，且，．求．
【答案】
【分析】根據得到平行四邊形是矩形，，計算得到答案.
【詳解】，，，故，
故平行四邊形是矩形,
，，
，
=.
5．（2023下·河南南陽·高一統考階段練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點，為與的交點．
(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．
(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結果的向量．
【答案】(1)菱形，理由見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）根據平面向量加法的運算法則，結合菱形的定義進行求解判斷即可；
（2）根據三角形中位線定理，結合平面向量運算法則進行求解即可.
【詳解】（1）由條件知，
即，又四邊形是平行四邊形，故四邊形是菱形．
（2）由平行四邊形及三角形中位線的性質可知．
所以．
作出向量如圖所示．6.2.1&6.2.2 平面向量的加減法運算
知識點一 向量的加法運算
1、向量加法的定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．
2、向量求和的法則
求和法則 三角形法則 平行四邊形法則
前提 已知非零向量， 已知兩個不共線向量，
作法 在平面內取任意一點，作，連接 在平面內任取一點O，作＝，＝，以為鄰邊作 OACB，
結論 向量叫做與的和，記作＋，即＋＝＋ 以O為起點的向量就是向量與的和
圖形
微點撥：
(1)三角形法則與平行四邊形法則的記憶口訣
①三角形法則：作平移，首尾連，由起點，指終點；
②平行四邊形法則：作平移，共起點，四邊形，對角線．
(2)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的區別和聯系
區別 聯系
三角形法則 (1)首尾相接 (2)適用于任何兩個非零向量求和 當兩個向量不共線時，三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出圖形的一半
平行四邊形法則 (1)共起點 (2)僅適用于不共線的兩個向量求和
(3)求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單．
3、向量加法中的常見結論
特殊規定 對于零向量與任意向量，規定
特殊結論 一般地，我們有，當且僅當，方向相同或者至少有一個為零向量時等號成立
兩個物理模型 (1)位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型； (2)力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型
4、向量加法的運算律
交換律 a＋b＝b＋a
結合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
微點撥：
①應用原則：通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結合律調整向量相加的順序．
②當兩個向量共線時，向量加法的交換律和結合律也成立．
③多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行，如
知識點二 相反向量
定義 與向量長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作
性質 (1)零向量的相反向量仍是零向量； (2)對于相反向量有：； (3)若互為相反向量，則
微點撥：
①相反向量與相等向量一樣，從“長度”和“方向”兩方面進行定義，相反向量必為平行向量．.
②避免一個誤區：即將相反向量等同于方向相反的向量，而是方向相反且模相等的向量．
知識點三 向量的減法運算及其幾何意義
定義 向量加上的相反向量，叫做與的差，即，因此減去一個向量，相當于加上這個向量的相反向量．求兩個向量差的運算叫做向量的減法
作法 在平面內任取一點，作
結論 向量
圖形
幾何意義 如果把兩個向量,的起點放在一起，則可以表示為從向量的終點指向向量的終點的向量
微點撥：
①向量減法的實質是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，，就可以把減法轉化為加法．
②兩個向量作差的前提是將兩個向量移到共同的起點．
③向量減法滿足三角形法則，在用三角形法則作向量減法時，要注意“共起點，連終點，指向被減”．解題時要結合圖形，準確判斷，防止混淆．
知識點四 向量加法和減法幾何意義的聯系
1、如圖，在平行四邊形ABCD中，若，則．
微點撥：
①若，則平行四邊形ABCD為菱形．
②若，則平行四邊形ABCD為矩形．
③若，且，則平行四邊形ABCD為正方形．
2、類比，可知，其中的幾何意義分別是以AB,AD為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長．
微點撥：
①在公式中，當與方向相反且時，；當與方向相同時，．
②在公式中，當與方向相同且時，；當與方向相反時，．
考點一 向量的加法
題型一 已知向量作和向量
易錯提醒 向量加法的三角形法則要注意向量首尾相接，平行四邊形法則要注意把向量移到共同起點．
1．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，用向量加法的平行四邊形法則作出向量．
(1)
(2)
2．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

3．（2022·高一課時練習）如圖所示，求：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
題型二 向量加法的運算律及應用
提分筆記 解決向量加法運算問題時應關注兩點 (1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算． (2)要靈活應用向量加法運算律，注意各向量的起點、終點及向量起點、終點字母的排列順序，特別注意勿將寫成0.
1．（2023下·天津紅橋·高一統考期末）化簡：（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·云南迪慶·高一統考期末）四邊形是梯形，，則等于（ ）

A． B． C． D．
3．（2022下·廣東梅州·高一興寧市第一中學校考期中）等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·廣西·高一統考期末）在矩形中，，，則等于（ ）
A． B． C．3 D．4
5．（2016·高一課時練習）如圖所示，點分別為的三邊的中點.
求證：
(1)；
(2).
題型三 向量加法的應用問題
提分筆記 利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟
1．（2023下·陜西榆林·高一統考期末）若向量表示“向東航行”，向量表示“向北航行”，則向量表示（ ）
A．向東北方向航行
B．向北偏東方向航行
C．向正北方向航行
D．向正東方向航行
2．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，無彈性的細繩OA，OB的一端分別固定在A，B處，同樣的細繩OC下端系著一個稱盤，且使得，試分析OA，OB，OC三根繩子受力的大小，并判斷哪根繩受力最大.

考點二 向量的減法運算
易錯提醒 忽視只有向量共起點時才可用減法法則.
題型一 用已知向量求解向量的差
提分筆記 作兩個向量的差的兩種方法 (1)用向量減法的三角形法則 ①步驟： ②口訣：共起點，連終點，指向被減． (2)用向量減法的定義 根據轉化為向量加法運算，再作圖．
1．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量、，求作．
(1)
(2)
(3)
(4)
2．（2024上·北京西城·高一統考期末）如圖，在正六邊形中，（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·浙江麗水·高三?？计谥校┤鐖D所示，單位圓上有動點A，B，當取得最大值時，等于（ ）
A．0 B． C．1 D．2
題型二 向量的加減法混合運算
提分筆記 1．向量減法運算的常用方法 2．向量加減法化簡的兩種形式 (1)首尾相連且為和； (2)起點相同且為差． 解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應用．
1．（2023下·新疆·高一校考期中）化簡下列各向量的表達式：
(1)；
(2)；
(3)；
2．（2023·全國·高一隨堂練習）化簡：
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） ．
3．（2022下·高一?？颊n時練習）如圖所示，在矩形中，，，設，，，求.

題型三 向量加減法幾何意義的應用
提分筆記 利用已知向量表示其他向量的一個關鍵及三點注意 (1)一個關鍵： 一個關鍵是確定已知向量與被表示向量的轉化渠道． (2)三點注意： ①注意相等向量、相反向量、共線向量與構成三角形三向量之間的關系； ②注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律； ③注意在封閉圖形中利用多邊形法則．
1．（2022·高一課前預習）如圖所示，四邊形ACDE是平行四邊形，點B是平行四邊形ACDE內一點，且，，，試用向量表示向量，，.
2．（2021·高一課時練習）如圖所示，，，.
(1)用表示；
(2)用表示.
3．（2023·高一課時練習）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（ ）
A． B．2 C． D．1
考點三 向量加減法在幾何中的應用
題型一 向量模長的三角不等式
1．（2021下·高一課時練習）若向量滿足，則的最小值為 ，的最大值為 ．
2．（2022·高一課時練習）若，則的取值范圍為 .
題型二 利用向量加減法判斷幾何形狀
1．（2023·全國·高一專題練習）在中，若，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023下·云南西雙版納·高一校考期中）在四邊形中，若，且，則（ ）
A．在四邊形是矩形
B．在四邊形是菱形
C．在四邊形是正方形
D．在四邊形是平行四邊形
3．（2020下·高一課時練習）已知非零向量滿足，且，則 .
4．（2023下·廣東佛山·高一佛山市順德區容山中學校考階段練習）在平行四邊形中，已知，且，．求．
5．（2023下·河南南陽·高一統考階段練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別為邊和的中點，為與的交點．
(1)若，則四邊形是什么特殊的平行四邊形？說明理由．
(2)化簡，并在圖中作出表示該化簡結果的向量．

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