資源簡介

6.2.3 平面向量的數乘運算
知識點一 向量的數乘運算
定義 一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作
長度
方向 的方向與的方向相同
的方向與的方向相反
規定 當＝0或時，；
微點撥：
①數乘向量仍是向量，實數與向量不能相加.
②中的實數叫作向量的系數.
③向量數乘運算的幾何意義是把沿著的方向或的反方向長度擴大或縮小幾倍．
④當＝0或時，，注意是，而不是0.
若，則＝0或.
⑤當時，向量是與向量同向的單位向量.
知識點二 向量數乘的運算律
設為實數，那么
(1)；
(2)；
(3).
特別地，.
知識點三 向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量．
對于任意向量，以及任意實數，恒有.
微點撥：實數與向量可以求積，但不能求和或求差
知識點四 向量共線定理
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使.
微點撥：
①向量共線定理中規定，因為如果，當時，，可以是任意實數；
當時，，值不存在．
②的值是唯一存在的．
③當向量同向時，；當向量反向時，.
考點一 向量的線性運算
提分筆記 向量線性運算的基本方法 1．類比法：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數． 2．方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當的運用運算律，簡化運算．
題型一 向量的數乘運算
1．（2023·全國·高三專題練習）設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
2．（2023·高一課時練習）已知m、n是實數，、是向量，對于命題：
① ②
③若，則 ④若，則
其中正確命題的個數是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
題型二 向量的混合運算
1．（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·高一課時練習）若向量，，則 .
考點二 用已知向量表示相關向量
提分筆記 1．直接法 2．方程法 當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程． 3．中點向量公式 若M為AB的中點，O為平面內任一點，則＝．
題型一 不含參數
1．（2023上·廣東茂名·高三統考階段練習）在中，點為邊的中點．記，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·廣西欽州·高一浦北中學校考期中，多選）如圖，設兩點把線段三等分，則下列向量表達式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023下·江蘇連云港·高一統考期中）已知中，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·山東濰坊·高二校聯考期末）已知平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，若，，則等于（ ）．

A． B． C． D．
5．（2021·高一課時練習）在中，若，．
(1)若P、Q是線段BC的三等分點，求證：；
(2)若P、Q、S是線段BC的四等分點，求證：；
(3)如果、、、…、是線段BC的等分點，你能得到什么結論？不必證明．（已知）
題型二 含參數
1．（2023上·江蘇蘇州·高三統考開學考試）在平行四邊形ABCD中，點E在線段AC上，且，點F為線段AD的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則 ．
3．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學校考期中）在中， D為AC上一點且滿足 若P為BD的中點，且滿足 則的值是（ ）
A． B． C． D．
題型三 已知關系式的變形
1．（2023上·北京朝陽·高三統考期中）已知平面內四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2022下·河北石家莊·高一統考階段練習）已知平面上不共線的四點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）在中，，，是所在平面內一點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·廣東·校聯考一模）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足則（ ）
A． B．
C． D．
考點三 向量共線的判定及應用
應用共線向量定理時的注意點 (1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． (2)向量共線是指存在不全為零的實數，使成立；若，當且僅當時成立，則向量不共線．
題型一 向量共線問題
1．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
2．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

題型二 證明或判斷三點共線
提分筆記 一般來說，要判定三點是否共線，只需看是否存在實數，使得即可．
1．（2020·高一課時練習）已知，，求證，，三點共線.
2．（2023·全國·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．
3．（2022上·廣西玉林·高二校考階段練習）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
4．（2023·全國·高三專題練習）設兩向量 與不共線，若， ，，則為何值時，三點共線？
題型三 利用向量共線求參數
提分筆記 已知向量共線求，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．
1．（2023下·重慶·高一校聯考期末）已知點在線段上，且，若向量，則（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）在中，若點滿足，，則 .
3．（2023·高一單元測試）在中，，，，分別是邊，，的中點，是的重心，若，則 .
4．（2018·高一課時練習）已知向量，，中任意兩個都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
考點四 三角形四心問題
題型一 三角形四心的判斷
1．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
2．（2023·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則點是的（ ）
A．重心 B．內心 C．垂心 D．外心
3．（2023·江蘇·高一專題練習）已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
4．（2022上·山西太原·高三統考期中）已知點在所在平面內，滿，，則點依次是的（ ）
A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心
題型二 已知三角形四心的向量表示
1．（2023上·江蘇南通·高三統考期末）設為的重心，則（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2023下·廣東廣州·高一統考期末）已知點P在所在平面內，滿足，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
題型三 向量與基本不等式交匯問題
1．（2024上·陜西安康·高三校聯考階段練習）已知是所在平面內一點，若均為正數，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中校考期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此時，的值．
考點五 三角形面積問題
1．（2022上·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知是內一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期中，多選）在中，，以下結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．6.2.3 平面向量的數乘運算
知識點一 向量的數乘運算
定義 一般地，我們規定實數與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作
長度
方向 的方向與的方向相同
的方向與的方向相反
規定 當＝0或時，；
微點撥：
①數乘向量仍是向量，實數與向量不能相加.
②中的實數叫作向量的系數.
③向量數乘運算的幾何意義是把沿著的方向或的反方向長度擴大或縮小幾倍．
④當＝0或時，，注意是，而不是0.
若，則＝0或.
⑤當時，向量是與向量同向的單位向量.
知識點二 向量數乘的運算律
設為實數，那么
(1)；
(2)；
(3).
特別地，.
知識點三 向量的線性運算
向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算，向量線性運算的結果仍是向量．
對于任意向量，以及任意實數，恒有.
微點撥：實數與向量可以求積，但不能求和或求差
知識點四 向量共線定理
向量與共線的充要條件是：存在唯一一個實數，使.
微點撥：
①向量共線定理中規定，因為如果，當時，，可以是任意實數；
當時，，值不存在．
②的值是唯一存在的．
③當向量同向時，；當向量反向時，.
考點一 向量的線性運算
提分筆記 向量線性運算的基本方法 1．類比法：向量的數乘運算類似于代數多項式的運算，例如，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數． 2．方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解方程的方法求解，同時在運算過程中多注意觀察，恰當的運用運算律，簡化運算．
題型一 向量的數乘運算
1．（2023·全國·高三專題練習）設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
【答案】B
【分析】由平面向量的基本概念及數乘運算一一判定即可.
【詳解】對于A，當時，與的方向相同，當時，與的方向相反，故A不正確；對于B，顯然，即B正確；
對于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關系不確定，故C不正確；
對于D，是向量，而表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確．
故選：B
2．（2023·高一課時練習）已知m、n是實數，、是向量，對于命題：
① ②
③若，則 ④若，則
其中正確命題的個數是：（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】①和②屬于數乘對向量與實數的分配律，③中若，結論不成立，④中若，結論不成立.
【詳解】①和②屬于數乘對向量與實數的分配律，正確；
③中若，與沒有確定關系，結論不成立，錯誤；
④中若，m與n沒有確定關系，結論不成立，錯誤.
故①②兩個命題正確．
故選：B
3．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列未知向.
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】根據向量數乘運算求解.
【詳解】（1）由得，
所以.
（2）由得，
所以.
（3）由得，
所以.
題型二 向量的混合運算
1．（2023下·重慶綦江·高一校考期中）化簡為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的數乘及加減運算即可求得結果.
【詳解】根據向量的四則運算可知，
.
故選：D
2．（2022·高一課時練習）若向量，，則 .
【答案】
【分析】根據向量的加減與數乘，可得答案.
【詳解】；
；
；
.
故答案為：.
考點二 用已知向量表示相關向量
提分筆記 1．直接法 2．方程法 當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程． 3．中點向量公式 若M為AB的中點，O為平面內任一點，則＝．
題型一 不含參數
1．（2023上·廣東茂名·高三統考階段練習）在中，點為邊的中點．記，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】
因為點D為邊的中點，所以，
.
故選：D.
2．（2023下·廣西欽州·高一浦北中學校考期中，多選）如圖，設兩點把線段三等分，則下列向量表達式正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】由圖和平面向量線性運算逐一判斷選項即可.
【詳解】由圖可得兩點把線段三等分，
故，A，B正確；
，故C，D，錯誤，
故選：AB.
3．（2023下·江蘇連云港·高一統考期中）已知中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的線性運算化簡求解即可.
【詳解】中，，
所以.
故選：A.
4．（2023下·山東濰坊·高二校聯考期末）已知平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，若，，則等于（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，由求解.
【詳解】解：因為在平行四邊形中，M，N，P分別是AB，AD，CD的中點，且，，
所以 ，
所以，
故選：C
5．（2021·高一課時練習）在中，若，．
(1)若P、Q是線段BC的三等分點，求證：；
(2)若P、Q、S是線段BC的四等分點，求證：；
(3)如果、、、…、是線段BC的等分點，你能得到什么結論？不必證明．（已知）
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）當P、Q是線段BC的三等分點時，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，連接AD，交BC于O點，連接PD、QD，得到 ，進而求得.
（2）當P、Q、S是線段BC的四等分點時，得到Q是BC的中點，結合向量的運算，即可求解.
（3）根據向量的多邊形法則，即可求得．
【詳解】（1）解：當P、Q是線段BC的三等分點時，以AB、AC為鄰邊作平行四邊形ABDC，
連接AD，交BC于O點，連接PD、QD，如圖所示，
則 ，因為，，所以且，
所以四邊形APDQ是平行四邊形，所以.
（2）解：當P、Q、S是線段BC的四等分點時，如圖所示，則Q是BC的中點，
所以.
（3）結論：．
題型二 含參數
1．（2023上·江蘇蘇州·高三統考開學考試）在平行四邊形ABCD中，點E在線段AC上，且，點F為線段AD的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通過向量的線性運算化簡向量即可求解.
【詳解】，所以，，
所以.
故選：A.
2．（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F為BE的中點，若，則 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】
，
所以，，.
故答案為：.
3．（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學校考期中）在中， D為AC上一點且滿足 若P為BD的中點，且滿足 則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】
因為，所以，
則，
所以，，.
故選：D.
題型三 已知關系式的變形
1．（2023上·北京朝陽·高三統考期中）已知平面內四個不同的點滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】將條件變形，得到的關系，進而可得的值.
【詳解】,
,
即,
.
故選：D.
2．（2022下·河北石家莊·高一統考階段練習）已知平面上不共線的四點，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量的線性運算得到，即可得解.
【詳解】由，得，即，
所以，
所以，即，
故選：B
3．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）在中，，，是所在平面內一點，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據題意，得到，結合，化簡得到，即可求解.
【詳解】由，可得，
因為，可得，
所以，
又因為，所以.
故選：A.
4．（2019·廣東·校聯考一模）已知A，B，C三點不共線，且點O滿足則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由向量的線性運算化簡．
【詳解】∵，∴，整理得．
故選：A．
【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關鍵是把用表示．
考點三 向量共線的判定及應用
應用共線向量定理時的注意點 (1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應注意向量共線與三點共線的區別與聯系，當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線． (2)向量共線是指存在不全為零的實數，使成立；若，當且僅當時成立，則向量不共線．
題型一 向量共線問題
1．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷下列各小題中的向量，是否共線：
(1)，；
(2)，（其中兩個非零向量和不共線）；
(3)，.
【答案】(1)共線；
(2)共線；
(3)共線.
【分析】用向量共線定理判斷.
【詳解】（1），，所以，
所以，共線.
（2），,
所以，所以，共線.
（3）因為，，
所以，
所以.
所以，共線.
2．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E，F分別是AD，DC的中點，BE，BF分別交AC于M，N．求證：M，N三等分AC．

【答案】證明見解析
【分析】根據題意結合向量的線性運算分析證明.
【詳解】由題意可得：，，
所以,
由于與，與分別共線，但與不共線，
所以，，因此N是AC的一個三等分點；
同理可證，因此M也是AC的一個三等分點．
題型二 證明或判斷三點共線
提分筆記 一般來說，要判定三點是否共線，只需看是否存在實數，使得即可．
1．（2020·高一課時練習）已知，，求證，，三點共線.
【答案】證明見解析.
【分析】利用共線向量定理即可推理作答.
【詳解】因為，，則有，
因此共線，而與有公共點，
所以，，三點共線.
2．（2023·全國·高一課堂例題）已知，，，求證：A，B，C三點共線．
【答案】證明見解析
【分析】分別用，表示和，根據和的關系即可證明.
【詳解】證明:因為，
，
所以，
因此，A，B，C三點共線．
3．（2022上·廣西玉林·高二校考階段練習）已知向量，不共線，且，，，則一定共線的是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
【答案】A
【分析】根據給定條件，求出，再利用共線向量定理逐項判斷作答.
【詳解】向量，不共線，且，，，
，則有共線，而有公共點B，有A，B，D共線，A是；
，不存在實數，使得，因此不共線，A，B，C不共線，B不是；
，不存在實數，使得，因此不共線，B，C，D不共線，C不是；
，不存在實數，使得，因此不共線，A，C，D不共線，D不是.
故選：A
4．（2023·全國·高三專題練習）設兩向量 與不共線，若， ，，則為何值時，三點共線？
【答案】
【分析】根據平面向量的加法運算求出，由三點共線，可得存在實數，使，列方程組即可求解.
【詳解】，
若三點共線，則存在實數，使，
即，
所以，解得.
故當時，三點共線.
題型三 利用向量共線求參數
提分筆記 已知向量共線求，常根據向量共線的條件轉化為相應向量系數相等求解．
1．（2023下·重慶·高一校聯考期末）已知點在線段上，且，若向量，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】根據題意可知，結合向量的線性表示即可求得.
【詳解】如圖，由，可得，所以，即，
故選：D.
2．（2023上·江西·高三校聯考階段練習）在中，若點滿足，，則 .
【答案】2
【分析】利用平面向量的線性運算計算即可.
【詳解】易知，
又因為，所以.
故答案為：2.
3．（2023·高一單元測試）在中，，，，分別是邊，，的中點，是的重心，若，則 .
【答案】4
【分析】由向量的平行四邊形法則，由向量共線，是的重心，可得，代入可得.
【詳解】
因為的中點，所以，
因是的重心，所以，所以
，
故，
故答案為：4
4．（2018·高一課時練習）已知向量，，中任意兩個都不共線，并且與共線，與共線，那么等于（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據向量共線定理即可得到相關方程組，解出即可.
【詳解】∵與共線，∴存在實數，使得.①
又∵與共線，
∴存在實數，使得.②
由①得，.
∴，
∴即.
∴
故選：D.
考點四 三角形四心問題
題型一 三角形四心的判斷
1．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】A
【詳解】
由題意，當時，由于表示邊上的中線所在直線的向量，∴動點的軌跡一定通過的重心，如圖，故選A．

2．（2023·全國·高三專題練習）設為的外心，若，則點是的（ ）
A．重心 B．內心 C．垂心 D．外心
【答案】C
【分析】取BC的中點D，連接OD，AM，BM，CM，由，結合，得到，從而，再由為的外心，得到即可.
【詳解】解：取BC的中點D，如圖所示，
連接OD，AM，BM，CM．
因為，
所以，
又，則，
所以，
又由于為的外心，
所以，
因此有．同理可得，，
所以點是的垂心．
故選：C．
3．（2023·江蘇·高一專題練習）已知O是平面上的一個定點，A B C是平面上不共線的三點，動點P滿足，則點P的軌跡一定經過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內心 D．垂心
【答案】C
【分析】根據是以為始點，向量與為鄰邊的菱形的對角線對應的向量，可知點軌跡，據此可求解.
【詳解】因為為方向上的單位向量，為方向上的單位向量，
則的方向與的角平分線一致，
由，可得，
即，
所以點P的軌跡為的角平分線所在直線，
故點P的軌跡一定經過的內心.
故選：C.
4．（2022上·山西太原·高三統考期中）已知點在所在平面內，滿，，則點依次是的（ ）
A．重心，外心 B．內心，外心 C．重心，內心 D．垂心，外心
【答案】A
【分析】設中點為，進而結合向量加法法則與共線定理得三點共線，在的中線，進而得為的重心，根據題意得點為的外接圓圓心，進而可得答案.
【詳解】解：設中點為，因為，
所以，即，
因為有公共點，
所以，三點共線，即在的中線，
同理可得在的三條中線上，即為的重心；
因為，
所以，點為的外接圓圓心，即為的外心
綜上，點依次是的重心，外心.
故選：A
題型二 已知三角形四心的向量表示
1．（2023上·江蘇南通·高三統考期末）設為的重心，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的線性運算即可求解.
【詳解】因為為重心，
所以，
所以，
故選：B.
2．（2023下·廣東廣州·高一統考期末）已知點P在所在平面內，滿足，且，則（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根據題意分析可知點P為的重心，根據重心的性質結合向量的線性運算求解.
【詳解】因為，則點P為的重心，
取的中點D，
則，整理得，
所以，可得.
故選：D.
題型三 向量與基本不等式交匯問題
1．（2024上·陜西安康·高三校聯考階段練習）已知是所在平面內一點，若均為正數，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】由題設是的重心，應用向量加法、數乘幾何意義可得，根據得，最后應用基本不等式求最小值，注意等號成立條件.
【詳解】因為，所以點是的重心，
所以.
因為，所以，
綜上，.
因為，所以三點共線，則，即.
因為均為正數，所以，則，
所以（當且僅當，即時取等號），
所以的最小值為.
故選：B
2．（2024上·遼寧大連·高一大連二十四中校考期末）如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別與邊、交于、兩點（點、與點、不重合），設，．
(1)求的值；
(2)求的最小值，并求此時，的值．
【答案】(1)
(2)，時，最小值為．
【分析】（1）由三角形重心性質可得，結合三點共線性質即可求得結果.
（2）運用“1”的代換及基本不等式求解即可.
【詳解】（1）如圖所示，
因為G為重心，所以，
所以，
因為M，G，N三點共線，所以，即．
（2）由題意可知，且，
所以
當且僅當，即時取等號，
又∵，∴，時，取得最小值為．
考點五 三角形面積問題
1．（2022上·山西朔州·高三懷仁市第一中學校校考期末）已知是內一點，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的加法和減法運算由條件，可得出，然后即可得到是的重心，從而可得出答案.
【詳解】，
所以是的重心，所以.
故選：A.
2．（2023下·安徽蕪湖·高一安徽師范大學附屬中學校考期中，多選）在中，，以下結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據給定條件，利用向量運算可得，，，再利用三角形面積性質判斷作答.
【詳解】由，兩邊同時乘以，得，
令，則，即有，
因此，點在上，且，如圖，
所以，則；
同理，兩邊同時乘以得：，
令，點在上，，
所以，則；
，
所以.
故選：ABD

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