資源簡介

正弦函數余弦函數的圖象
1.正、余弦函數的圖象
如圖，借助單位圓，利用描點法畫出正弦函數的圖象（實線）.正弦函數的圖象叫正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線，根據，將正弦函數的圖象向左平移個單位長度得到余弦函數的圖象（虛線），余弦函數的圖象叫余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線
2.“五點（作圖）法”
在正弦函數的圖象中，五個關鍵點是：起點，最高點，中間點，最低點，終點，在精確度要求不高時，往往先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數的簡圖，簡稱“五點（作圖）法”
典型例題
例1如圖在平面直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，圓O與x軸正半軸的交點為，
在單位圓上，將點A繞著點O旋轉弧度至點B，則點B的縱坐標，由此，以為橫坐標為縱坐標畫點，就得到正弦函數的圖象上的點.
請填寫下表
0
（2）請在上圖中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來.
（3）觀察函數的圖象，請指出在確定圖象形狀時起關鍵作用的五個點
（4）根據函數的圖象，你能想象函數的圖象嗎？
（5）由誘導公式：，你能根據函數的圖象，畫出函數的圖象嗎？
解：略
例2 作出下列函數的簡圖.
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）用“五點法”，圖略；
（2）取絕對值，圖象作對稱變換，圖略；
（3）用“五點法”，圖象作平移變換，圖略．
例3 （1）設都是銳角，且，求的取值范圍
（2）已知，若方程 有解，求參數的取值范圍.
解：（1）因為都是銳角，又，所以，
從而．令，畫出函數在上的圖象，當時，，故的取值范圍是．
（2）由得，作出的圖象，如圖，得，解得．
例4 定義函數，其中.
畫出的圖像，寫出不等式的解集；
求的最大值與最小值；
若，討論方程根的個數.
解：（1），圖像如圖，不等式的解集為.
當或時，，當時，.
由圖可知，當時，方程有四個根，當時，方程有兩個根；當時，方程有一個根；當時，方程無實數根.
【變式】（1）求函數的定義域；
（2）求函數的定義域.
解：（1）定義域為，．
（2）由已知得，即，畫出函數在上的圖象（略），
從而．
基礎訓練
單選題
1.下列變換中能得到的圖象的有（ ）.
①將的圖象向右平移個單位長度；
②將的圖象向左平移個單位長度；
③將的圖象向右平移π個單位長度；
④將的圖象向左平移π個單位長度， 或
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：C 解：②③④正確．
2.在上，適合的角x是（ ）
A. B. C. 或 D或
答案：A 解：觀察余弦函數圖象即可．
3.函數的定義域為（ ）.
A. B.
C. D.
答案：A 解：，先考察一個周期內，即上的圖象，再延伸．
4.在范圍內使成立的角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
答案：A 解：在同一坐標系內畫出，的圖象，觀察可得．
5若方程在上有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是( )
B. C. D.
答案：D 解：由，的圖象可知，，解得．
二、多選題
6.（多選）函數與有一個交點，則的值為（ ）
A． B．0
C．1 D．
【答案】BD
【分析】根據函數圖象的交點個數，即可結合圖象求解.
【詳解】畫出的圖象.
如圖：直線和與的圖象只有一個交點，

故或.
故選：BD.
7．函數，的圖像與直線（t為常數，）的交點可能有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】ABC
【分析】作出函數圖像，通過觀察判斷結果.
【詳解】作出，的圖像觀察可知，

當或時，的圖像與直線的交點個數為0；
當或或時，的圖像與直線的交點個數為l；
當或時，的圖像與直線的交點個數為2.
三、填空題
8.用“五點法”作函數的圖象，所選的五個點依次是：______、______、______、______、_____.
答案：，，，，．
9.已知函數的定義域為，則的定義域為____________________.
答案：，．
10.若函數的圖象和直線圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面積為___.
答案： 解：用割補法，轉化為長方形的面積求解．
四、解答題
11．作出下列函數的簡圖.
（1）；
（2）.
解：（1）平移變換，圖略；（2）翻折變換，圖略；
12.求下列函數的定義域.
（1）；
（2）.
解：（1）；（2），．
13.（1）如果直線與函數的圖象有且只有一個交點，則______.
（2）如果直線與函數的圖象有且只有兩個交點，則______.
答案：（1）0或2 （2）
解：（1），的圖象由，的圖象向上平移一個單位長度得到，當直線經過，的圖象的最高點和最低點時，有且只有一個交點．
（2），的圖象由，的圖象關于軸對稱得到，當直線經過，的圖象的最高點和最低點位置時，有且只有兩個交點．
14.如圖，A，B是單位圓O上的點，且點A在第一象限，點B在第二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點，若△AOB為正三角形，求的取值范圍.
解：設，因為為正三角形，所以，又點在第一象限，點在第二象限，知，于是．正弦函數余弦函數的圖象
1.正、余弦函數的圖象
如圖，借助單位圓，利用描點法畫出正弦函數的圖象（實線）.正弦函數的圖象叫正弦曲線，是一條“波浪起伏”的連續光滑曲線，根據，將正弦函數的圖象向左平移個單位長度得到余弦函數的圖象（虛線），余弦函數的圖象叫余弦曲線，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪起伏”的連續光滑曲線
2.“五點（作圖）法”
在正弦函數的圖象中，五個關鍵點是：起點，最高點，中間點，最低點，終點，在精確度要求不高時，往往先找出這五個關鍵點，再用光滑的曲線將它們連接起來，得到正弦函數的簡圖，簡稱“五點（作圖）法”
典型例題
例1如圖在平面直角坐標系中畫出以原點為圓心的單位圓，圓O與x軸正半軸的交點為，
在單位圓上，將點A繞著點O旋轉弧度至點B，則點B的縱坐標，由此，以為橫坐標為縱坐標畫點，就得到正弦函數的圖象上的點.
請填寫下表
0
（2）請在上圖中描出這些點，并用光滑的曲線連接起來.
（3）觀察函數的圖象，請指出在確定圖象形狀時起關鍵作用的五個點
（4）根據函數的圖象，你能想象函數的圖象嗎？
（5）由誘導公式：，你能根據函數的圖象，畫出函數的圖象嗎？
例2 作出下列函數的簡圖.
（1）；
（2）；
（3）.
例3 （1）設都是銳角，且，求的取值范圍
（2）已知，若方程 有解，求參數的取值范圍.
例4 定義函數，其中.
畫出的圖像，寫出不等式的解集；
求的最大值與最小值；
若，討論方程根的個數.
【變式】（1）求函數的定義域；
（2）求函數的定義域.
課堂基礎訓練
單選題
1.下列變換中能得到的圖象的有（ ）.
①將的圖象向右平移個單位長度；
②將的圖象向左平移個單位長度；
③將的圖象向右平移π個單位長度；
④將的圖象向左平移π個單位長度， 或
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2.在上，適合的角x是（ ）
A. B. C. 或 D或
3.函數的定義域為（ ）.
A. B.
C. D.
4.在范圍內使成立的角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5若方程在上有兩個不同的實數根，則實數的取值范圍是( )
B. C. D.
二、多選題
6.函數與有一個交點，則的值為（ ）
A． B．0
C．1 D．
7.函數，的圖像與直線（t為常數，）的交點可能有（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
三、填空題
8.用“五點法”作函數的圖象，所選的五個點依次是：______、______、______、______、_____.
9.已知函數的定義域為，則的定義域為____________________.
10.若函數的圖象和直線圍成一個封閉的平面圖形，則這個封閉圖形的面積為___.
四、解答題
11．作出下列函數的簡圖.
（1）；
（2）.
12.求下列函數的定義域.
（1）；
（2）.
13.（1）如果直線與函數的圖象有且只有一個交點，則______.
（2）如果直線與函數的圖象有且只有兩個交點，則______.
14.如圖，A，B是單位圓O上的點，且點A在第一象限，點B在第二象限，C是圓O與x軸正半軸的交點，若△AOB為正三角形，求的取值范圍.

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