資源簡介

5.1導數的概念及其意義
1.通過對實例的分析,經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導數概念的實際背景.
2.理解函數的平均變化率、瞬時變化率,會求函數在某一點附近的平均變化率.
3.理解導數的概念,會利用導數的定義求函數在某點處的導數.
4.理解導數的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程.
一、平均速度與瞬時速度
（1）平均速度：一般地,在這段時間里,物體的平均速度
（2）瞬時速度：把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.物體在某一時刻的瞬時速度為當時間間隔無限趨近于0時平均速度的極限,即
二、割線的斜率和切線的斜率
（1）割線的斜率：如圖所示，平均變化率表示割線的斜率.
（2）切線與切線的斜率
①曲線的切線：如圖所示，在曲線上任取一點,如果當點沿著曲線無限趨近于點時,割線無限趨近于一個確定的位置,這個確定位置的直線稱為曲線在點處的切線.
②切線的斜率：曲線在某一點處切線的斜率,即當橫坐標間隔無限趨近于0時,割線斜率的極限,即.
三、導數
（1）平均變化率：把比值,即叫做函數從到的平均變化率
（2）導數的概念：如果當時,平均變化率無限趨近于一個確定的值,即有極限,則稱在處可導,并把這個確定的值叫做在處的導數(也稱為瞬時變化率),記作或,即.
（3）導數的幾何意義：函數在處的導數,就是切線的斜率,即.
（4）導函數
當時,是一個唯一確定的數,當變化時,是的函數,稱它為的導函數(簡稱導數),的導函數有時也記作,即.
說明:①平均變化率與瞬時變化率的區別:平均變化率刻畫函數值在區間上變化快慢,瞬時變化率刻畫函數值在處變化的快慢.
②平均變化率與瞬時變化率的聯系:當趨于0時,平均變化率趨于一個常數,這個常數為函數在處的瞬時變化率,它是一個固定值.
四、求切線方程
1.求曲線“在”點處的切線方程：
第一步：計算切點的縱坐標；第二步：計算切線斜率；
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
2.求曲線“過”點處的切線方程
第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
考點01平均變化率（平均速度）
1．函數在區間上的平均變化率為（ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．某物體運動后，其位移（單位：）為．在這段時間里，該物體的平均速度為（ ）
A． B． C． D．
3．若函數在區間上的平均變化率為3，則m等于 ．
4．如圖，水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，試分別找出與各容器對應的水面高度h與時間t的函數圖象

A． B．
C． D．
5．路燈距地面，一個身高為的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影C點處沿直線勻速離開路燈.
(1)求身影的長度y(單位：m)與人距C點的距離x(單位：m)之間的關系式；
(2)求人離開C點10 s內身影長度的平均變化率.
6．已知氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數關系是.
(1)求半徑r關于體積V的函數r(V)；
(2)比較體積V從0 L增加到1 L和從1 L增加到2 L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化得快(精確到0.01)？此結論可說明什么意義？
考點02瞬時變化率（瞬時速度）
7．在高臺跳水運動中，時運動員相對于水面的高度單位：）是，則運動員在時的瞬時速度為（ ）
A． B． C． D．
8．一個質量的物體作直線運動，設運動距離（單位：m）與時間（單位：s）的關系可用函數：表示，若，則該物體開始運動后第2s時的速度是（ ）
A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s
9．物體位移s和時間t滿足函數關系，則當時，物體的瞬時速度為 ．
10．球的體積V（單位：）與半徑R（單位：cm）的關系為，則時體積關于半徑的瞬時變化率為（ ）
A． B． C． D．
11．槍彈在槍筒中可以看作勻加速直線運動，如果它的加速度是 ，槍彈從槍口射出時所用的時間為s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度.
12．某賽車比賽中，一賽車的位移s（單位：m）與比賽時間t（單位：s）存在函數關系.
(1)當，時，求與的值；
(2)求當時的瞬時速度.
考點03導數的定義
13．若函數的滿足，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
14．若可導函數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
15．已知函數，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
16．若是函數的導數，且，則（ ）
A． B． C． D．0
17．設函數，則（ ）
A． B． C． D．
18．已知函數的導函數為，且，，則實數t的值為 .
19．已知，用割線逼近切線的方法可以求得 .
考點04利用導數的定義求切線斜率
20．曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A． B．
C． D．
21．設為可導函數，且當時，，則曲線在點處的切線斜率為（ ）
A．2 B． C．1 D．
22．已知函數，則該函數在處的切線斜率為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
23．若為可導函數，且，則過曲線上點處的切線斜率為 ．
24．函數的圖象在點處的切線的傾斜角的大小為 ．
25．拋物線y＝x2＋4在點(1，5)處的切線的斜率為 .
26．求函數的圖象上點處切線的斜率．
考點05求切線方程
27．曲線在點處的切線方程為 .
28．求曲線上點處的切線方程．
29．（1）求曲線在點處的切線方程．
（2）求函數在點處的切線方程．
30．已知函數．
(1)求函數的導函數；
(2)過點作函數的圖象的切線，求切線方程．
31．已知曲線
(1)求過的點的切線方程；
(2)（1）中以為切點的切線與曲線是否還有其他公共點？
32．已知，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積S．
33．已知函數f(x)＝x3.
（1）求函數f(x)的圖象在點(1，1)處的切線方程；
（2）若函數f(x)的圖象為曲線C，過點P(，0)作曲線C的切線，求切線的方程．
考點06已知切線(斜率)求其他
34．如圖，函數的圖象在點處的切線是，則（ ）
A． B． C．2 D．1
35．（多選）下列各點中，在曲線上，且在該點處的切線傾斜角為的是（　?。?br/>A． B．
C． D．
36．若曲線在點處的切線垂直于直線，則點的坐標是 ．
37．曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的坐標為 ．
38．函數y＝x2＋4x在x＝x0處的切線斜率為2，則x0＝ .
39．若曲線y＝2x2－4x＋m與直線y＝1相切，則m＝ .
40．若曲線在點A處的切線方程為，且點A在直線（其中，）上，求的最小值．
基礎過關練
1．設函數在處可導，若，則（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
2．質點M按規律s＝2t2＋3t做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點M在t＝2 s時的瞬時速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
3．已知函數，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．設曲線在點處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
5．（多選）設函數，當自變量由變化到時，下列說法正確的是（ ）
A．可以是正數也可以是負數，但不能為0
B．函數值的改變量為
C．函數在上的平均變化率為
D．函數在上的平均變化率
6．（多選）設在處可導，下列式子中與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的序號是 ．
①在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度；
③在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度．
8．如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則 ， ．

9．已知曲線在點P處的切線方程為，則切點P的坐標為 .
10．（1）已知函數，分別計算在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區間上函數值變化得較快；
（2）已知函數，求在區間上的平均變化率．
11．正方形的邊長變化時，其面積關于的變化率是正方形周長的多少倍？
12．求雙曲線在點處的切線方程．
能力提升練
1．若一射線從處開始，繞點勻速逆時針旋轉（到處為止），所掃過的圖形內部的面積是時間的函數，的圖象如圖所示，則下列圖形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
2．吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為，為的導函數．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
3．校考期中）①若直線與曲線有且只有一個公共點，則直線一定是曲線的切線；
②若直線與曲線相切于點，且直線與曲線除點外再沒有其他的公共點，則在點附近，直線不可能穿過曲線；
③若不存在，則曲線在點處就沒有切線；
④若曲線在點處有切線，則必存在.
則以上論斷正確的個數是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
4．（多選）下列有關導數的說法，正確的是（ ）.
A．就是曲線在點處的切線的斜率
B．與的意義是一樣的
C．設是位移函數，則表示物體在時刻的瞬時速度
D．設是速度函數，則表示物體在時刻的瞬時加速度
5．在附近,取,在四個函數①；②；③；④中,平均變化率最大的是 .
6．已知曲線，y＝g(x)＝，它們的交點坐標為 ，過兩曲線的交點作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點處的切線方程為 ．
7．已知函數f(x)＝求的值．
8．若函數，求其圖象在與軸交點處的切線方程．5.1導數的概念及其意義
1.通過對實例的分析,經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,了解導數概念的實際背景.
2.理解函數的平均變化率、瞬時變化率,會求函數在某一點附近的平均變化率.
3.理解導數的概念,會利用導數的定義求函數在某點處的導數.
4.理解導數的幾何意義,會求曲線上某點處的切線方程.
一、平均速度與瞬時速度
（1）平均速度：一般地,在這段時間里,物體的平均速度
（2）瞬時速度：把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.物體在某一時刻的瞬時速度為當時間間隔無限趨近于0時平均速度的極限,即
二、割線的斜率和切線的斜率
（1）割線的斜率：如圖所示，平均變化率表示割線的斜率.
（2）切線與切線的斜率
①曲線的切線：如圖所示，在曲線上任取一點,如果當點沿著曲線無限趨近于點時,割線無限趨近于一個確定的位置,這個確定位置的直線稱為曲線在點處的切線.
②切線的斜率：曲線在某一點處切線的斜率,即當橫坐標間隔無限趨近于0時,割線斜率的極限,即.
三、導數
（1）平均變化率：把比值,即叫做函數從到的平均變化率
（2）導數的概念：如果當時,平均變化率無限趨近于一個確定的值,即有極限,則稱在處可導,并把這個確定的值叫做在處的導數(也稱為瞬時變化率),記作或,即.
（3）導數的幾何意義：函數在處的導數,就是切線的斜率,即.
（4）導函數
當時,是一個唯一確定的數,當變化時,是的函數,稱它為的導函數(簡稱導數),的導函數有時也記作,即.
說明:①平均變化率與瞬時變化率的區別:平均變化率刻畫函數值在區間上變化快慢,瞬時變化率刻畫函數值在處變化的快慢.
②平均變化率與瞬時變化率的聯系:當趨于0時,平均變化率趨于一個常數,這個常數為函數在處的瞬時變化率,它是一個固定值.
四、求切線方程
1.求曲線“在”點處的切線方程：
第一步：計算切點的縱坐標；第二步：計算切線斜率；
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
2.求曲線“過”點處的切線方程
第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
考點01平均變化率（平均速度）
1．函數在區間上的平均變化率為（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根據平均變化率的計算即可求解.
【詳解】在區間上的平均變化率為，
故選：A
2．某物體運動后，其位移（單位：）為．在這段時間里，該物體的平均速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據平均速度的含義，進行計算即可求得答案.
【詳解】當時，位移為，
當時，位移為，
在這段時間里，該物體的平均速度為：．
故選：A.
3．若函數在區間上的平均變化率為3，則m等于 ．
【答案】2
【分析】利用平均變化率公式直接求解即可.
【詳解】由題意得，
所以，或（舍去）．
故答案為：2
4．如圖，水以恒速（即單位時間內注入水的體積相同）注入下面四種底面積相同的容器中，試分別找出與各容器對應的水面高度h與時間t的函數圖象

A． B．
C． D．
【答案】容器（1）對應B，容器（2）對應A，容器（3）對應D，容器（4）對應C.
【分析】根據容器的形狀判斷水面高度h隨時間t的變化率的變化趨勢，即可確定對應函數圖象.
【詳解】由于單位時間內注入水的體積相同，
容器（1）水面高度h隨時間t的變化率恒定，函數圖象為直線，即為B；
容器（2）水面高度h隨時間t的變化率逐漸變大，函數圖象先緩后陡，即為A；
容器（3）水面高度h隨時間t的變化率逐漸變小，函數圖象先陡后緩，即為D；
容器（4）水面高度h隨時間t的變化率先變小后變大，函數圖象先陡后緩，再變陡，即為C；
故答案為：（1）對應B；（2）對應A；（3）對應D；（4）對應C.
5．路燈距地面，一個身高為的人以84 m/min的速度在地面上從路燈在地面上的射影C點處沿直線勻速離開路燈.
(1)求身影的長度y(單位：m)與人距C點的距離x(單位：m)之間的關系式；
(2)求人離開C點10 s內身影長度的平均變化率.
【答案】(1)；
(2)0.35 m/s.
【分析】（1）根據題設，利用相似比，列方程即可得關系式；
（2）根據（1）所得關系，分別求出區間內對應自變量、函數值的增量，即可得平均變化率.
【詳解】（1）如題圖，設人從C點運動到B點位移為x m，AB為身影長度，為y m，
由于，則，即，所以.
（2）設人離開C點的時間為t s，而，而，所以.
在內自變量的增量為，
函數值的增量為，
所以.
即人離開C點10 s內身影長度的平均變化率為 m/s.
6．已知氣球的體積V(單位：L)與半徑r(單位：dm)之間的函數關系是.
(1)求半徑r關于體積V的函數r(V)；
(2)比較體積V從0 L增加到1 L和從1 L增加到2 L半徑r的平均變化率；哪段半徑變化得快(精確到0.01)？此結論可說明什么意義？
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）根據體積公式，求解出.
（2）根據平均變化率的定義代入求解即可；
【詳解】（1）∵
∴，
∴，即.
（2）函數r(V)在區間[0，1]上的平均變化率為≈0.62(dm/L)，
函數r(V)在區間[1，2]上的平均變化率為≈0.16(dm/L).
顯然體積V從0 L增加到1 L時，半徑變化得快，這說明氣球剛開始膨脹得快，隨著體積的增大，半徑增加得越來越慢.
考點02瞬時變化率（瞬時速度）
7．在高臺跳水運動中，時運動員相對于水面的高度單位：）是，則運動員在時的瞬時速度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據瞬時速度的定義直接求解即可．
【詳解】運動員在時的瞬時速度即為，令，
根據導數的定義，
，
所以，
故運動員在時的瞬時速度為.
故選：A．
8．一個質量的物體作直線運動，設運動距離（單位：m）與時間（單位：s）的關系可用函數：表示，若，則該物體開始運動后第2s時的速度是（ ）
A．3m/s B．5m/s C．6m/s D．12m/s
【答案】B
【分析】根據導數的知識求得正確答案.
【詳解】由于，
所以該物體開始運動后第2s時的速度是m/s.
故選：B
9．物體位移s和時間t滿足函數關系，則當時，物體的瞬時速度為 ．
【答案】80
【分析】由瞬時變化速度計算公式可求當時，物體的瞬時速度.
【詳解】因為.
所以該物體時，物體的瞬時速度為.
故答案為：80
10．球的體積V（單位：）與半徑R（單位：cm）的關系為，則時體積關于半徑的瞬時變化率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據導數的物理定義，對函數求導代入即可求解；
【詳解】由，得：，所以時體積關于半徑的瞬時變化率為;
故選：D.
11．槍彈在槍筒中可以看作勻加速直線運動，如果它的加速度是 ，槍彈從槍口射出時所用的時間為s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度.
【答案】
【分析】計算出，代入即可求解.
【詳解】運動方程為，
因為
所以，
所以，
由題意知，，s，
所以，
即槍彈射出槍口時的瞬時速度為.
12．某賽車比賽中，一賽車的位移s（單位：m）與比賽時間t（單位：s）存在函數關系.
(1)當，時，求與的值；
(2)求當時的瞬時速度.
【答案】(1)，
(2)210 m/s
【分析】（1）代入計算出，進而計算出；
（2）在（1）的基礎上得到，進而得到賽車在時的瞬時速度.
【詳解】（1）
;
（2）由（1）可知，
當趨于0時，趨于210，
所以賽車在時的瞬時速度為210 m/s.
考點03導數的定義
13．若函數的滿足，則（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】由極限的定義化簡即可求出答案.
【詳解】因為，
所以
故選：D
14．若可導函數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據導數定義可直接得到結果.
【詳解】由導數的定義知：.
故選：C.
15．已知函數，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，利用導數的定義，求得，列出方程，即可求解.
【詳解】由函數，
則，
所以，解得.
故選：B.
16．若是函數的導數，且，則（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根據導數值的定義，將待求表達式轉化成和有關的形式后計算.
【詳解】根據導數值的定義，
.
故選：A
17．設函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數的定義可求得所求極限的值.
【詳解】因為，則，
因此，.
故選：A.
18．已知函數的導函數為，且，，則實數t的值為 .
【答案】/
【分析】根據導數的知識列方程，化簡求得的值.
【詳解】依題意，
即，解得.
故答案為：
19．已知，用割線逼近切線的方法可以求得 .
【答案】
【分析】根據導數的定義直接計算即可
【詳解】因為，
所以
，
故答案為：
考點04利用導數的定義求切線斜率
20．曲線在點處的切線的斜率為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用導數的定義求得正確答案.
【詳解】設，
故選：C
21．設為可導函數，且當時，，則曲線在點處的切線斜率為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由導數的定義及導數的幾何意義即可求解.
【詳解】解：由導數的幾何意義，點處的切線斜率為，
因為時，，
所以，
所以在點處的切線斜率為，
故選：D.
22．已知函數，則該函數在處的切線斜率為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用導數的定義求解.
【詳解】因為，
，
所以斜率，
．
故選：C
23．若為可導函數，且，則過曲線上點處的切線斜率為 ．
【答案】2
【分析】直接根據導數的定義計算得到答案.
【詳解】，故.
故答案為：2
24．函數的圖象在點處的切線的傾斜角的大小為 ．
【答案】135°/
【分析】利用導數的極限定義求解
【詳解】，即函數的圖象在點處的切線的斜率為－1，所以切線的傾斜角．
故答案為：135°
25．拋物線y＝x2＋4在點(1，5)處的切線的斜率為 .
【答案】2
【分析】根據導數的定義，代入化簡，即可得答案.
【詳解】根據導數的定義可得：
故答案為： 2
26．求函數的圖象上點處切線的斜率．
【答案】
【分析】根據導數的幾何意義以及導數的定義，即可求解.
【詳解】根據點在拋物線上，所以，
由導數的定義可知，
，
所以函數的圖象上點處切線的斜率為.
考點05求切線方程
27．曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據切點和斜率來求得切線方程.
【詳解】切線的斜率為
，
所以切線方程為.
故答案為：
28．求曲線上點處的切線方程．
【答案】答案見解析
【分析】利用導數的概念求導函數，再利用導數的幾何意義求直線的斜率，進而由點斜式得切線方程.
【詳解】由P在曲線上可得，解得或.
由導數的定義得
.
所以，
故在點處的切線方程為，即.
在點處的切線方程為，即.
29．（1）求曲線在點處的切線方程．
（2）求函數在點處的切線方程．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】利用導數的定義，結合導數的幾何意義求解.
【詳解】（1），
故所求切線的斜率為2，切線方程為，即．
（2）因為，
故所求切線的斜率為6，切線方程為，即．
30．已知函數．
(1)求函數的導函數；
(2)過點作函數的圖象的切線，求切線方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）先求函數在上的平均變化率，再求當時的極限即可；
（2）設切點為，根據導數的幾何意義利用點斜式表示切線方程，結合條件求切點坐標即可.
【詳解】（1）
，
當時，，
所以函數的導函數為．
（2）設切點為，則由（1），可得切線的斜率，
則切線方程為，即．
因為切線過點，所以，解得或，
從而切線方程為或．
31．已知曲線
(1)求過的點的切線方程；
(2)（1）中以為切點的切線與曲線是否還有其他公共點？
【答案】(1)或
(2)有
【分析】（1）分點P為切點和不是切點討論，利用定義求出導數值，代入點斜式求出切線方程；
（2）聯立直線與曲線方程，解方程即可判斷.
【詳解】（1）因為在曲線上，所以有兩種可能，即點為切點或點不是切點，
①當點為切點時，
所以切線方程為，即；
②當點不是切點時，設切點為.
由導數的定義，知在處，，所以切線方程為.
因為切線方程過點，將其代入整理，得，所以，
所以或（舍去），故切點為，所以切線方程為
綜上所述，所求切線法方程為或.
（2）由（1），知以點為切點的切線方程為，
由，得，解得.
從而求得公共點為和.
故以點為切點的切線與曲線的公共點除切點外，還有其他公共點.
32．已知，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積S．
【答案】.
【分析】根據導數的定義可求出，根據導數的幾何意義，可得，進而求出切線方程以及切線與兩坐標軸的交點坐標，即可求出結果.
【詳解】
，
根據導數的概念可得，
，
所以，則，
根據導數的幾何意義可得，曲線在點處的切線的斜率，
所以曲線在點處的切線的方程為，即．
令，得；令，得．
由此知該切線與兩條坐標軸的交點分別為與，所以所求三角形的面積．
33．已知函數f(x)＝x3.
（1）求函數f(x)的圖象在點(1，1)處的切線方程；
（2）若函數f(x)的圖象為曲線C，過點P(，0)作曲線C的切線，求切線的方程．
【答案】（1） y＝3x－2；（2）y＝0或y＝3x－2.
【分析】（1）由導函數的概念求得函數在點(1，1)處的導數值，再根據導數的幾何意義即可得切線的斜率，從而可求的切線方程；
（2）設切點為，則由第一問得切線的斜率為k＝，再將P(，0)代入即可求得，從而可得切線的方程．
【詳解】解：（1）由導函數的概念，得
＝
＝
＝
＝
＝ [3x(x＋Δx)＋(Δx)2]
＝3x2，
又＝3，，
所以函數f(x)的圖象在點(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即y＝3x－2；
（2）設切點為，則由第一問得切線的斜率為k＝，
切線方程為，即.
因為切線過點P(，0)，
所以，
解得x0＝0或x0＝1，
從而切線方程為y＝0或y＝3x－2.
考點06已知切線(斜率)求其他
34．如圖，函數的圖象在點處的切線是，則（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】D
【分析】根據已知求出切線方程，由導數的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結論．
【詳解】由題可得函數的圖象在點處的切線與軸交于點，與軸交于點，則切線，即.
所以，，，.
故選：D．
35．（多選）下列各點中，在曲線上，且在該點處的切線傾斜角為的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】先設切點為，再利用導數的定義及幾何意義求得，從而求得相應的，由此得解.
【詳解】依題意，設切點坐標為，
因為，
所以，解得，
當時，；當時，；
綜上：所求切點為或.
故選：BC.
36．若曲線在點處的切線垂直于直線，則點的坐標是 ．
【答案】
【分析】利用導數定義求出，設，根據垂直得出切線斜率為，則可得，進而求出點坐標.
【詳解】設，則
，
因為點處的切線垂直于直線，
所以點處的切線的斜率為，
所以，解得，則，
即點的坐標是．
故答案為：
37．曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的坐標為 ．
【答案】或
【分析】設切點，由題意可知切線斜率為，求函數在處的導數，列出方程即可得解.
【詳解】易知曲線在點P處的切線的斜率為，設，
因為，
當時，，
所以，則點P的坐標為或．
故答案為：或.
38．函數y＝x2＋4x在x＝x0處的切線斜率為2，則x0＝ .
【答案】-1
【分析】利用導數的定義結合導數的幾何意義即可求得答案.
【詳解】由題意，.
故答案為：－1.
39．若曲線y＝2x2－4x＋m與直線y＝1相切，則m＝ .
【答案】3
【分析】先設出切點坐標，進而根據導數的定義求出切點坐標，最后代入曲線的方程解得答案.
【詳解】設切點坐標為(x0，1)，由題意
k＝
∴x0＝1，即切點坐標為(1，1)，∴2－4＋m＝1，即m＝3.
故答案為：3
40．若曲線在點A處的切線方程為，且點A在直線（其中，）上，求的最小值．
【答案】
【分析】設，根據導數的定義和曲線在點A處的切線方程求出，，進而可得，結合基本不等式“1”的用法即可求得的最小值.
【詳解】設，的導數為
由曲線在點A處的切線方程為，可得，，
解得，或，，
由點A在直線（其中，）上，
可得（，舍去），
則，
當且僅當即時，等號成立．
所以的最小值為．
基礎過關練
1．設函數在處可導，若，則（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】D
【分析】利用導數的定義進行求解.
【詳解】，，
.
故選：D.
2．質點M按規律s＝2t2＋3t做直線運動（位移單位：m，時間單位：s），則質點M在t＝2 s時的瞬時速度是（ ）
A．2 m/s B．6 m/s
C．4 m/s D．11 m/s
【答案】D
【分析】本題首先分析題意，運用物理知識，進行數學結合.
【詳解】質點M在t＝2 s時位移的平均變化率為＝＝11＋2Δt，
當Δt無限趨近于0時，無限趨近于11 m/s.
故選：D.
3．已知函數，，，，它們在平面直角坐標系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根據導數的幾何意義，畫出各個函數圖象在處的切線，根據切線的斜率來判斷即可．
【詳解】依次作出，，，在的切線，如圖所示：
根據圖形中切線的斜率可知．
故選：A．
4．設曲線在點處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積等于（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】根據導數的定義求出曲線在點處的切線的斜率，寫出切線方程，求出直線在坐標軸上的截距，即可得解.
【詳解】，
所以，故在點處的切線的斜率為，
切線方程為，即．令，得，令，得，
所以，
故選：B
5．（多選）設函數，當自變量由變化到時，下列說法正確的是（ ）
A．可以是正數也可以是負數，但不能為0
B．函數值的改變量為
C．函數在上的平均變化率為
D．函數在上的平均變化率
【答案】ABD
【分析】利用平均變化率的概念一一判定即可.
【詳解】由平均變化率的定義可知自變量的改變量不能為零，可以為正數或負數，
函數值的改變量為，平均變化率為函數值的改變量比自變量的改變量，即A、B、D正確；
故選：ABD
6．（多選）設在處可導，下列式子中與相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用導數的定義對各選項逐一分析計算并判斷作答.
【詳解】對于A，，A滿足；
對于B，，B不滿足；
對于C，，C滿足；
對于D，，D不滿足.
故選：AC
7．如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的序號是 ．
①在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度；
③在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度．
【答案】③④
【分析】根據平均速度的公式判斷①③④，從而①錯誤，③④正確；
根據瞬時速度與切線斜率的關系作出判斷②錯誤；
【詳解】在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故①錯誤．
瞬時速度為切線斜率，故②錯誤．
在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故③正確．同理④正確．
故答案為：③④．
8．如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則 ， ．

【答案】 1 －2
【分析】利用導數的幾何意義求出，再利用切點在切線上求出．
【詳解】根據導數的幾何意義可知，
由切點在切線上，所以，
故答案為：1，－2．
9．已知曲線在點P處的切線方程為，則切點P的坐標為 .
【答案】
【分析】設切點，根據導數的幾何意義以及導數的定義得，進而可以求出的值，進而得到結果.
【詳解】設切點，切線斜率為k，由，得.由題意可知，所以，代入得，故所求切點P為.
故答案為：.
10．（1）已知函數，分別計算在自變量x從1變到2和從3變到5時的平均變化率，并判斷在哪個區間上函數值變化得較快；
（2）已知函數，求在區間上的平均變化率．
【答案】（1）答案見解析；（2）．
【分析】（1）根據平均變化率的意義直接計算，然后比較大小即可.
（2）根據平均變化率的意義直接計算.
【詳解】（1）自變量x從1變到2時，函數的平均變化率為
，
自變量x從3變到5時，函數f（x）的平均變化率為
，
因為，所以函數在自變量x從3變到5時函數值變化得較快．
（2），
所以在區間上的平均變化率為．
11．正方形的邊長變化時，其面積關于的變化率是正方形周長的多少倍？
【答案】
【分析】先表示出正方形的面積，周長，再求出正方形的面積關于的變化率是，然后與周長作比即可得解．
【詳解】解：邊長為的正方形的面積，
所以正方形的面積關于的變化率是 ，
又正方形的周長為，所以，
所以正方形的邊長變化時，其面積關于的變化率是正方形周長的倍．
12．求雙曲線在點處的切線方程．
【答案】
【分析】設，根據導數的定義，求出.然后根據導數的幾何意義可得切線的斜率，代入點斜式，整理即可得到切線方程.
【詳解】設雙曲線在點處的切線斜率為.
函數的定義域為.
設，因為，
根據導數的定義知，.
根據導數的幾何意義，，又切點為，
代入點斜式方程可得，整理可得.
能力提升練
1．若一射線從處開始，繞點勻速逆時針旋轉（到處為止），所掃過的圖形內部的面積是時間的函數，的圖象如圖所示，則下列圖形中，符合要求的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】逐個分析掃過部分的面積增速的快慢即得.
【詳解】因為OP是勻速旋轉，
選項A，OP掃過的圓內陰影部分面積在開始時段緩慢增加，中間增速最快，后面時段相對增速越來越慢，不合題意；
選項B，OP掃過的圓內陰影部分面積是勻速變化的，不合題意；
選項C，OP掃過正方形的陰影部分，是開始時段緩慢增加，中間增速最快，后面時段相對增速越來越慢，不合題意；
選項D， OP掃過的三角形內陰影部分面積在開始時段的增速和最后時段的增速比中間時段快，選項D符合
故選：D
2．吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為，為的導函數．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．存在，使得
【答案】D
【分析】A：設，由圖得，所以該選項錯誤；
B:根據圖像和導數的幾何意義得，所以該選項錯誤；
C:設 ，所以該選項錯誤；
D:結合圖像和導數的幾何意義可以判斷該選項正確.
【詳解】解：A：設，由圖得，
所以所以，所以該選項錯誤；
B:由圖得圖像上點的切線的斜率越來越小，根據導數的幾何意義得，所以該選項錯誤；
C:設，因為
所以，所以該選項錯誤；
D:表示兩點之間的斜率，表示處切線的斜率，由于，
所以可以平移直線使之和曲線相切，切點就是點,所以該選項正確.
故選：D
3．校考期中）①若直線與曲線有且只有一個公共點，則直線一定是曲線的切線；
②若直線與曲線相切于點，且直線與曲線除點外再沒有其他的公共點，則在點附近，直線不可能穿過曲線；
③若不存在，則曲線在點處就沒有切線；
④若曲線在點處有切線，則必存在.
則以上論斷正確的個數是（ ）
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
【答案】B
【解析】根據導數的定義，瞬時變化率的概念，以及導數的幾何意義，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于①中，根據函數在點處的切線定義：在曲線的某點附近取點，并使沿曲線不斷接近，這樣直線的極限位置就是曲線在點的切線. 直線與曲線有且只有一個公共點，但直線不是切線．注：曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個，例是正弦曲線的切線，但切線與曲線有無數多個公共點，所以不正確；
對于②中，根據導數的定義：
（1）導數：，
（2）左導數：，
（3）右導數：，
函數在點處可導當且僅當函數在點處的左導數和右導數都存在，且相等. 例如三次函數在處的切線，所以不正確；
對于③中，切線與導數的關系：
（1）函數在處可導，則函數在處切線一定存在，切線方程為
（2）函數在處不可導，函數在處切線可能存在，可能不存在，所以不正確；
對于④中，根據導數的幾何意義，可得曲線在點處有切線，則必存在，所以是正確的.
故選：B.
【點睛】本題主要考查了導數的概念，瞬時變化率，導數的幾何意義等概念的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.
4．（多選）下列有關導數的說法，正確的是（ ）.
A．就是曲線在點處的切線的斜率
B．與的意義是一樣的
C．設是位移函數，則表示物體在時刻的瞬時速度
D．設是速度函數，則表示物體在時刻的瞬時加速度
【答案】ACD
【分析】根據導數的定義以及幾何意義判斷ACD，根據常數函數的導數為判斷B.
【詳解】表示曲線在點處的切線的斜率，故A正確；
表示對函數值求導，因為是常函數，所以，
與的意義不一樣，故B錯誤；C，D易知正確.
故選：ACD
5．在附近,取,在四個函數①；②；③；④中,平均變化率最大的是 .
【答案】③
【分析】先根據平均變化率的定義，求得，再分別計算各選項對應的平均變化率，即可求解．
【詳解】根據平均變化率的計算公式，可得，
所以在附近取，則平均變化率的公式為，
則要比較平均變化率的大小，只需比較的大小，
下面逐項判定：
①中，函數，則；
②中，函數，則；
③中，函數，則；
④中，函數中, 則，
所以，平均變化率最大的是③．
【點睛】本題主要考查了平均變化率的應用，其中解答中熟記平均變化率的計算公式，正準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．
6．已知曲線，y＝g(x)＝，它們的交點坐標為 ，過兩曲線的交點作兩條曲線的切線，則曲線f(x)在交點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】先利用已知條件得到兩曲線的交點坐標，再利用導數的定義得到，利用導數的幾何意義以及點斜式寫直線方程即可.
【詳解】由，
得，
∴兩曲線的交點坐標為．
由，
得＝，
∴在點(1，1)處的切線方程為y－1＝(x－1)，
即．
故答案為：；.
7．已知函數f(x)＝求的值．
【答案】
【分析】根據導數的定義 ,分別求出，，即可得到答案.
【詳解】當 時，
當 時，
由導數的定義，得，
.
8．若函數，求其圖象在與軸交點處的切線方程．
【答案】和.
【分析】根據函數的導數的定義先求出，然后由導數的幾何意義可求出切線的斜率，從而可得切線方程.
【詳解】解：函數的圖象與軸有兩個交點，不妨設交點坐標分別為，，
，
∴，
∴在處的切線方程為；
同理，在處的切線方程為．

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