資源簡介

5.2導數的運算
學習目標
1.能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數.
2.能夠綜合運用導數公式和導數運算法則求函數的導數
3.理解復合函數的求導法則,并能求簡單的復合函數的導數.
考點預覽
知識梳理
一、導數的計算
1.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數 基本初等函數 導函數
（為常數）
2.導數的運算法則
若存在，則有：
加減運算
乘法運算
除法運算 ，則．
3.復合函數的導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
二、求切線方程
1.求曲線“在”點處的切線方程：
第一步：計算切點的縱坐標；第二步：計算切線斜率；
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
2.求曲線“過”點處的切線方程
第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
考點剖析
考點01 基本初等函數的導數及運算法則
1．下列導數公式不正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函數，若，則 ．
4．已知，則 .
5．求下列函數的導函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
6．函數，如果為奇函數，則的取值范圍為
7．已知函數，若，則 .
考點02 復合函數的導數
8．設函數（）的導函數的最大值為2，則在上的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
9．（多選）下列函數的導數計算正確的是（ ）
A．若函數，則
B．若函數（且），則
C．若函數，則（e是自然對數的底數）
D．若函數，則
10．（多選）下列導數運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，則 ．
12．鹽城沿海灘涂濕地現已發現高等植物559種、動物1665種，經研究發現其中某生物種群數量的增長規律可以用邏輯斯諦模型刻畫，其中是該種群的內稟增長率，若，則時，的瞬時變化率為 .
13．求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
考點03 解析式中含
14．已知函數，則在處的導數為（ ）
A． B． C． D．
15．若函數 ，則 （ ）
A． B． C．1 D．3
16．已知，則（ ）
A．0 B． C． D．
17．已知函數，則= .
18．設函數的導數為，且，則 .
考點04 “在”點的切線方程
19．已知函數是偶函數，當時，，則曲線在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
20．函數在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
21．已知，則曲線在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
22．曲線在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為 .
23．曲線在點處的切線方程為 .
24．已知函數，則在點處切線方程為 ．
考點05 “過”點的切線方程
25．已知函數，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
26．函數為上的奇函數，過點作曲線的切線，可作切線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不確定
27．（多選）過點與函數相切的直線為（ ）
A． B．
C． D．
28．若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是 .
29．過原點與曲線相切的一條切線的方程為 .
30．已知曲線.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
考點06 已知切線(斜率) 求參數
31．已知函數在點處的切線方程為，則（ ）
A． B． C． D．
32．已知直線與曲線相切，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
33．若直線是曲線（）的一條切線，則實數b的值為（　 ）
A．4 B．
C． D．
34．已知，若曲線與直線相切，則 ．
35．函數的圖象在點處的切線與直線垂直，則實數 ．
36．已知拋物線，求：
(1)拋物線上哪一點處的切線的傾斜角為45°？
(2)拋物線上哪一點處的切線平行于直線
(3)拋物線上哪一點處的切線垂直于直線
考點07利用相切關系求最短距離
37．若點P是曲線上任一點，則點P到直線的最小距離是（ ）
A． B． C． D．
38．已知函數為偶函數，當時，，則曲線上的點到直線的最小距離為（ ）
A． B． C． D．
39．若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離是 ．
40．若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，則的最小距離為 .
41．若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為 .
42．設點是曲線上的任意一點，則到直線的最小距離是 ．
基礎過關練
1．下列式子錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
3．曲線在點處的切線與直線平行，則（ ）
A． B． C．1 D．2
4．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．（多選）下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
6．（多選）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數的導數為，則的圖象在點處的切線的斜率為 ．
8．已知直線是曲線的一條切線，則 .
9．已知點是函數圖象上的任意一點，直線，則點到直線的距離的最小值是 .
10．求下列函數的導數：
(1)
(2)
11．已知曲線．
(1)求平行于直線且與曲線相切的直線方程；
(2)求過點且與曲線相切的直線方程．
12．已知曲線在處的切線與曲線在處的切線互相平行，求的值．
能力提升練
1．以正弦曲線上一點P為切點得切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（ ）
A．∪ B．
C． D．∪
2．設曲線在處的切線為，若的傾斜角小于，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函數，其導函數為，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．
4．（多選）若函數在R上可導，且，則（ ）
A． B．
C． D．
5．設函數，若為奇函數，則曲線過點的切線方程為 ．
6．設函數的定義域為為的導函數，，則 ．
7．已知.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)設P為曲線上的點，求曲線C在點P處切線的斜率的最小值及傾斜角的取值范圍.
8．已知函數，其中b，d為常數，函數是其導函數，且滿足
(1)求函數的解析式；
(2)若函數在某點處的切線過點，求切線的一般式方程．5.2導數的運算
學習目標
1.能利用給出的基本初等函數的導數公式求簡單函數的導數.
2.能夠綜合運用導數公式和導數運算法則求函數的導數
3.理解復合函數的求導法則,并能求簡單的復合函數的導數.
考點預覽
知識梳理
一、導數的計算
1.基本初等函數的導數公式
基本初等函數 導函數 基本初等函數 導函數
（為常數）
2.導數的運算法則
若存在，則有：
加減運算
乘法運算
除法運算 ，則．
3.復合函數的導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
二、求切線方程
1.求曲線“在”點處的切線方程：
第一步：計算切點的縱坐標；第二步：計算切線斜率；
第三步：計算切線方程.切線過切點，切線斜率；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
2.求曲線“過”點處的切線方程
第一步：設切點為；第二步：求出函數在點處的導數；
第三步：利用Q在曲線上和，解出及；
第四步：根據直線的點斜式方程得到切線方程：.
考點剖析
考點01 基本初等函數的導數及運算法則
1．下列導數公式不正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據基本初等函數的導數公式直接判斷即可．
【詳解】根據基本初等函數的導數公式可知，ABD正確；C錯誤，應為.
故選：C.
2．（多選）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用求導公式及導數的運算法則逐項計算即得.
【詳解】對于A，，A錯誤；
對于B，，B錯誤；
由求導公式得C正確，由商的導數運算法則得D正確.
故選：CD
3．已知函數，若，則 ．
【答案】1
【分析】對函數求導，求出，解方程即可得出答案.
【詳解】因為，所以，
又，所以，解得．
故答案為：.
4．已知，則 .
【答案】
【分析】求出函數的導函數，再代入計算可得.
【詳解】因為，所以，則.
故答案為：
5．求下列函數的導函數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)．
(3)
(4)
【分析】根據求導公式及導數的運算法則進行求導即可.
【詳解】（1）.
（2）.
（3）因為，
所以.
（4）因為，
所以.
6．函數，如果為奇函數，則的取值范圍為
【答案】
【分析】求出，結合函數奇偶性的定義判斷可得出結果.
【詳解】由可得，即函數的定義域為，
則，
又因為函數為奇函數，對任意的，
，
對任意的實數都滿足條件，故實數的取值范圍是.
故答案為：.
7．已知函數，若，則 .
【答案】/
【分析】利用導數的運算法則及求導公式求出導數，再由給定的導數值求出.
【詳解】函數，求導得，
于是，所以.
故答案為：
考點02 復合函數的導數
8．設函數（）的導函數的最大值為2，則在上的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函數的導數，依題意可得，利用余弦函數性質可求出的最小值.
【詳解】∵的最大值為2，∴．
∴，，∴，
∴，即，的最小值為．
故選：D.
9．（多選）下列函數的導數計算正確的是（ ）
A．若函數，則
B．若函數（且），則
C．若函數，則（e是自然對數的底數）
D．若函數，則
【答案】BCD
【分析】根據復合函數的求導法則，結合基本初等函數求導公式以及求導法則即可逐一求解.
【詳解】對于A，，所以，A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，C正確，
對于D，，D正確，
故選：BCD
10．（多選）下列導數運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用基本函數和復合函數的求導法則求解即可.
【詳解】選項A，，故A正確；
選項B，，故B錯誤；
選項C，，故C正確；
選項D，，故D錯誤.
故選：AC.
11．已知，則 ．
【答案】
【分析】利用復合函數求導函數方法求解即可.
【詳解】由，
故答案為：
12．鹽城沿海灘涂濕地現已發現高等植物559種、動物1665種，經研究發現其中某生物種群數量的增長規律可以用邏輯斯諦模型刻畫，其中是該種群的內稟增長率，若，則時，的瞬時變化率為 .
【答案】/
【分析】求時的瞬時變化率，即求在處導數值，求導，代入計算即可.
【詳解】當時，，則，
則時，的瞬時變化率為.
故答案為：.
13．求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用復合函數求導運算求解即可；
（2）利用復合函數求導運算求解即可；
（3）利用復合函數求導運算求解即可；
（4）誘導公式和二倍角公式先化簡，再直接求導；
（5）利用復合函數求導運算求解即可；
（6）利用復合函數求導運算求解即可.
【詳解】（1）由，
則.
（2）由，
則.
（3）由，
則.
（4）由
，
則.
（5）由，
則.
（6）由，
則.
考點03 解析式中含
14．已知函數，則在處的導數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對求導，將代入求即可.
【詳解】由已知可得，
所以，所以
故選：A.
15．若函數 ，則 （ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】利用導數的運算法則求得，從而求得.
【詳解】因為，所以，
則，所以，
故選：B．
16．已知，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】求導代入直接計算即可.
【詳解】求導得：，
所以，
即，解得：.
故選：C
17．已知函數，則= .
【答案】
【分析】首先求函數的導數，并求，再根據函數的解析式，即可求解.
【詳解】，
則，得，
所以，
故.
故答案為：
18．設函數的導數為，且，則 .
【答案】
【分析】根據求導法則，建立方程，可得答案.
【詳解】由題意，可得，
所以，即，
解得：，
所以.
故答案為：.
考點04 “在”點的切線方程
19．已知函數是偶函數，當時，，則曲線在處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先由奇偶性求得時的解析式，再結合導數的幾何意義求切線方程即可.
【詳解】因為，，，
又由是偶函數，，
令，則，
根據是偶函數，，
得到時，，
所以，時，，，
故曲線在處的切線方程為，
即.
故選：C.
20．函數在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用導數的幾何意義即可求解.
【詳解】由，得，
在點處的切線斜率為，
所以切線方程為，即.
故選：A.
21．已知，則曲線在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將換成，與原式聯立得到，利用換元法求出函數的解析式，進而寫出的解析式，從而求得切線方程.
【詳解】因為①，
將換成，得②，
，得
，
令，，
則，故，
故，
則，
所以，，
故切點為，切線斜率為，故切線方程為.
故選：C.
22．曲線在點處的切線與坐標軸圍成的圖形的面積為 .
【答案】/0.25
【分析】先求出切線方程，后求圍成的三角形面積即可.
【詳解】易知的定義域為，而，故切點為，
設切線斜率為，且，故，
切線方程為，化簡得，
當時，，當時，，
易知圍成的圖形是三角形，設面積為，故.
故答案為：
23．曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】通過求導得出在點的切線斜率，即可求出在點處的切線方程.
【詳解】由題意，
在中，，
當時，，
∴在點處的切線方程為：，
即：，
故答案為：.
24．已知函數，則在點處切線方程為 ．
【答案】
【分析】對求導可得計算出得，再根據題意利用導數的幾何意義求解即可.
【詳解】對求導可得，則，
解得，
，
，
切線方程為，整理得.
故答案為：.
考點05 “過”點的切線方程
25．已知函數，則曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由導數求切線的斜率，再求出切點，結合點斜式方程寫出即可.
【詳解】由，得，
所以，又，
故曲線在點處的切線的方程為，即.
故選：A.
26．函數為上的奇函數，過點作曲線的切線，可作切線條數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．不確定
【答案】A
【分析】根據奇函數確定，求導得到導函數，設出切點，根據切線方程公式計算，計算切線得到答案.
【詳解】，故，，
，，
設切點為，則，且，
整理得到，解得，，
故切線方程為，
故選：A
27．（多選）過點與函數相切的直線為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】當為切點時，根據的值和直接求解出切線方程；當不是切點時，設出切點，然后根據斜率的表示求解出的坐標，則切線方程可求.
【詳解】因為，所以；
若A點是切點，則，
則切線方程為，即，故C正確；
若A點不是切點，設切點，則B處切線斜率為，
又因為直線AB的斜率為，
則，，
化簡可得，所以或（舍去，此時重合），
所以點B為，故切線斜率為，
則切線方程為，即，故D正確．
故選：CD．
28．若曲線有兩條過點的切線，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先利用導數求曲線過坐標的切線方程，再列出關于的不等式，進而求得的取值范圍.
【詳解】由得，設切點坐標為，
則切線斜率，
切線方程為，
又因為切線過，所以，整理得，
又曲線有兩條過坐標原點的切線，所以該方程有兩個實數解，
所以，解得或，
所以的取值范圍是，
故答案為：.
29．過原點與曲線相切的一條切線的方程為 .
【答案】或或(寫出其中一條即可)
【分析】根據曲線表示拋物線的一部分，設其切線方程為，利用判別式法求解；設的切線的切點為，利用導數法求解.
【詳解】解：設曲線表示拋物線的一部分，
設其切線方程為，代入，
得.由，得.
當時，，符合題意，
當時，，均符合題意，
所以切線方程.
設的切線的切點為.
由，得，，
得切線方程為.
將的坐標代入切線方程，得，
所以，所以切線方程為.
故答案為：或或(寫出其中一條即可)
30．已知曲線.
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)求曲線過點的切線方程.
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）先利用導數求出在處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，利用點斜式即可得到切線方程；
（2）設過點的切線與曲線相切于點，然后根據曲線在點處切線的切線方程，求出切點坐標，從而可求出結果．
【詳解】（1）由題意得，則在點處的切線的斜率，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）設曲線與過點的切線相切于點，
設切線的斜率為，則由點斜式得直線方程為，又因為切點為，
則，解得或，
則曲線過點處的切線方程為和.
考點06 已知切線(斜率) 求參數
31．已知函數在點處的切線方程為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據導數的幾何意義求解即可.
【詳解】因為函數在點處的切線方程為，
所以，且，所以，
所以．
故選：A.
32．已知直線與曲線相切，則的值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】設切點為，再根據切點在直線與切線上，導數的幾何意義列式求解即可.
【詳解】的導函數，設切點為，則，故，即，則.
易得函數為增函數，且，故.
故.
故選：A
33．若直線是曲線（）的一條切線，則實數b的值為（　 ）
A．4 B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求得曲線的導函數，由導函數幾何意義及直線方程可求得切點坐標，再代入直線方程即可求得b的值.
【詳解】∵的導數，∴令，得，∴切點為．
代入直線，得，即 ．
故選：C
34．已知，若曲線與直線相切，則 ．
【答案】
【分析】設出切點，利用切點在曲線上也在直線上和切點處的導數等于斜率列方程求解。
【詳解】設，與直線相切的切點為，
則，
故在點處的切線方程可寫為，
即，
若切線為，則且，得，
所以，設則，所以，
所以，所以又因為，所以解得．
故答案為：
35．函數的圖象在點處的切線與直線垂直，則實數 ．
【答案】0
【分析】根據導數得幾何意義，先求導，所以在點處的切線斜率為，再根據直線的垂直關系，即可得解.
【詳解】由題可得，，
所以在點處的切線斜率為，
又切線與直線垂直，
所以，解得．
故答案為：
36．已知拋物線，求：
(1)拋物線上哪一點處的切線的傾斜角為45°？
(2)拋物線上哪一點處的切線平行于直線
(3)拋物線上哪一點處的切線垂直于直線
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）運用導數的幾何意義，結合直線斜率與直線傾斜角之間的關系進行求解即可；
（2）運用導數的幾何意義，結合互相平行直線的性質進行求解即可；
（3）運用導數的幾何意義，結合互相垂直直線的性質進行求解即可；
【詳解】（1）由，設切點為，
因為切線的傾斜角為45°，
所以切線的斜率為，因此有；
（2）由，設切點為，
因為切線切線平行于直線，
所以切線的斜率為，因此有；
（3）由，設切點為，
因為切線線垂直于直線，
所以切線的斜率為，因此有
考點07利用相切關系求最短距離
37．若點P是曲線上任一點，則點P到直線的最小距離是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用導數求出與直線平行的直線與曲線的切點，再由點到直線的距離公式求解．
【詳解】解：設與直線平行的直線與曲線切于，
由定義域為，得，則，
由，解得（舍去負值）．
，則點到直線的最小距離是．
故選：C．
38．已知函數為偶函數，當時，，則曲線上的點到直線的最小距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求的解析式，根據條件求的點，再求點到直線的距離的最小值.
【詳解】當時，設點，，
解得：，，
此時點到直線的距離，
設，，因為函數是偶函數，所以，
設點，，解得：，，
此時點到直線的距離，
因為，所以曲線上的點到直線的最小距離為.
故選：B
39．若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離是 ．
【答案】
【分析】作直線的平行線，使得與曲線相切，設切點為，根據導數的幾何意義求得切點為，結合點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】作直線的平行線，使得與曲線相切，設切點為，
因為函數，可得，
所以曲線在點處的導數為，即切線的斜率為
令，解得，則，即切點為，
又由點到直線的距離公式，可得切線到直線的距離為，
即到直線的最小距離為.
故答案為：.
40．若點是曲線上任意一點，點是直線上任意一點，則的最小距離為 .
【答案】/
【分析】利用導數的幾何意義處理即可.
【詳解】
令，則，即曲線在處的切線方程為：，
即,
如下圖所示，當時的最小值為點到直線的距離（為垂足）.
故.
故答案為：
41．若點是曲線上任意一點，則點到直線的最小距離為 .
【答案】
【分析】由已知，先在曲線上設出點，然后寫出以點為切點的曲線的切線方程，根據題意，找到距離直線最近的點，即，從而求解出切點以及切線方程，最后計算兩條平行線之間的距離即可.
【詳解】由已知，設點曲線上一點，則有，
因為，所以，所以，
所以曲線在處的切線斜率為，
則曲線在處的切線方程為，即．
要求得曲線上任意一點，到直線的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點，即，解得或（舍去），
此時，以點為切點，曲線的切線方程為：，
此時，切點為曲線上距離直線最近的點，即點與點重合，
最小距離為直線與直線之間的距離，設最小距離為，
所以.
故答案為：.
42．設點是曲線上的任意一點，則到直線的最小距離是 ．
【答案】
【分析】對函數求導，由題意得在點的切線與直線平行，從而求出點坐標，根據點到直線的距離進行求解即可
【詳解】由題意得在點的切線與直線平行
設曲線上與直線平行的切線的切點，
由的斜率為，
則由，解得，故切點為
切點到的距離．
故答案為：
基礎過關練
1．下列式子錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據題意，依次計算選項函數的導數，綜合即可得答案．
【詳解】對于A：，故正確；
對于B：，故錯誤；
對于C：，故正確；
對于D：，故正確，
故選：B．
2．已知函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在等式兩邊求導，令，可求得的值，可得出的表達式，代值計算可得出的值.
【詳解】因為，則，
所以，，解得，所以，，
因此，.
故選：A.
3．曲線在點處的切線與直線平行，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】確定曲線在點處的切線的斜率，求出函數的導數，根據導數的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】因為曲線在點處的切線與直線平行，
故曲線在點處的切線的斜率為2，
因為，所以，
所以，
故選：C.
4．若點是曲線上任意一點，則點到直線的距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用導數求得平行于直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
令，可得，
因為，可得，則，
即平行于直線且與曲線相切的切點坐標為，
由點到直線的距離公式，可得點到直線的距離為.
故選：B.
5．（多選）下列結論正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】BCD
【分析】由導數的四則運算和復合函數的導數公式計算.
【詳解】對A,若，則，A選項不正確；
對B,若，則，B選項正確；
對C,若，則，C選項正確．
對D,若，則，D選項正確．
故選：BCD
6．（多選）已知直線l與曲線相切，則下列直線中可能與l平行的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】根據導數的幾何意義和平行關系的斜率關系對選項一一分析即可.
【詳解】，，則，當且僅當即等號成立，
根據導數的幾何意義知，切線的斜率，因為切線與直線l平行，所以l的斜率，
選項A中直線的斜率為，符合題意；
選項B中直線的斜率為，不符合題意；
選項C中直線的斜率為，符合題意；
選項D中直線的斜率為，符合題意；
故選：ACD.
7．已知函數的導數為，則的圖象在點處的切線的斜率為 ．
【答案】1
【分析】利用導數的運算法則，結合導數的幾何意義，即可求解.
【詳解】因為，
所以，則，
解得．
所以的圖象在點處的切線的斜率為1.
故答案為：1
8．已知直線是曲線的一條切線，則 .
【答案】2
【分析】分和兩種情況，設切點，由導數的幾何意義得到切點坐標，從而代入，求出答案.
【詳解】，
當時，，，
設切點為，則切線斜率為，故切線斜率不可能為，舍去，
當時，，，
設切點為，則切線斜率為，令，
解得，則切點為，
將代入中得，，解得.
故答案為：2
9．已知點是函數圖象上的任意一點，直線，則點到直線的距離的最小值是 .
【答案】
【分析】設直線與平行，且與函數相切，從而求出切點坐標，則求出切點到直線的距離，從而可求解。
【詳解】因為，所以.
令，得，則，
故點到直線的距離.
故答案為：
10．求下列函數的導數：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）應用導數加減、乘法及簡單復合函數導數求法求函數的導函數；
（2）應用導數除法法則求函數的導函數.
【詳解】（1）
（2）
11．已知曲線．
(1)求平行于直線且與曲線相切的直線方程；
(2)求過點且與曲線相切的直線方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）設過點的切線與直線平行，求出函數的導函數，依題意可得，即可求出切點坐標，從而求出切線方程；
（2）設切點為，由求出、，從而求出切線方程.
【詳解】（1）因為，所以，設過點的切線與直線平行，
則，解得，所以，
所以切線方程為，即.
（2）設切點為，則，
所以，解得或，
所以切點為或，
當切點為時切線的斜率，所以切線方程為；
當切點為時切線的斜率，所以切線方程為；
所以過點且與曲線相切的直線方程為或.
12．已知曲線在處的切線與曲線在處的切線互相平行，求的值．
【答案】或
【分析】利用導數的幾何意義求解即可.
【詳解】對于曲線，，在處的切線斜率為
對于曲線，，在處的切線斜率為.
由題意得，解得或經檢驗，均符合題意．
能力提升練
1．以正弦曲線上一點P為切點得切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是（ ）
A．∪ B．
C． D．∪
【答案】A
【分析】根據導數求解點的斜率，然后結合三角函數與直線傾斜角范圍判斷；
【詳解】因為，所以，
∴切線的斜率范圍是，
∴傾斜角的范圍是∪，
故選：A.
2．設曲線在處的切線為，若的傾斜角小于，則實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出函數的導數，利用導數的幾何意義，結合切線傾斜角范圍建立不等式，再求解不等式即得.
【詳解】令，求導得，則切線的斜率為，
由的傾斜角小于，得切線的斜率或，
即或，
解得，解得或，
所以實數的取值范圍是.
故選：B
3．已知函數，其導函數為，則的值為（ ）
A．0 B．2 C．2021 D．
【答案】B
【分析】利用函數解析式可求出，求導可得，滿足，即可得出結論.
【詳解】易知，
所以；
根據題意可得，
所以，
即，
所以可得.
故選：B
4．（多選）若函數在R上可導，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】求出函數導數，令可求判斷A，代入函數解析式后，令求出判斷B，計算即可判斷CD.
【詳解】，
，
，即，故A正確；
，，
，故B正確；
，
，故C錯誤，D正確.
故選：ABD
5．設函數，若為奇函數，則曲線過點的切線方程為 ．
【答案】和
【分析】由奇函數的概念求出，再由導數的幾何意義設出切線方程后將點坐標代入求解．
【詳解】因為為奇函數，，得，
，，
設切點，則切線方程為，
又切線過點，代入得
解得或．當時，切點為，切線方程為；
當時，切點為，切線方程為．
故答案為：和
6．設函數的定義域為為的導函數，，則 ．
【答案】89
【分析】由題設可得，進而有且，即可求目標函數的值.
【詳解】由，則，
所以，則，即，且，
則．
故答案為：89
7．已知.
(1)求曲線在處的切線方程；
(2)設P為曲線上的點，求曲線C在點P處切線的斜率的最小值及傾斜角的取值范圍.
【答案】(1)
(2)1，
【分析】（1）求出導函數，利用導數的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求解切線方程即可；
（2）利用基本不等式求解切線的斜率范圍，根據正切函數的性質結合傾斜角的范圍求解即可.
【詳解】（1）∵，∴，
當時，，，
∴曲線在處的切線方程為，即；
（2）由題意，，
∴，當且僅當即時，等號成立，
∴曲線C在點P處切線的斜率的最小值為1，
∴，又，
∴，即傾斜角的取值范圍為.
8．已知函數，其中b，d為常數，函數是其導函數，且滿足
(1)求函數的解析式；
(2)若函數在某點處的切線過點，求切線的一般式方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據給定條件，利用待定系數法求解即可；
（2）根據題意先判斷點不是切點，再設切點為，再根據切線的斜率與函數導數的關系即可求得或，從而即可求解切線方程．
【詳解】（1）由，則，
所以，解得，
所以，
函數的解析式為．
（2）由，
則點不在函數上，即其不是切點，
則設切點為，
結合（1）有，
則切線的斜率為，
又切線過點，
則，解得或，
當時，，此時切線方程為；
當時，，此時切線方程為，即，
綜上所述，所求的切線的一般式方程為或．

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