資源簡介

6.3.1平面向量基本定理5種常考題型歸類
高頻考點
題型1 基底的概念及辨析
基底概念的理解
基底的判斷
幾何圖形中基底的判斷
與向量平行的結合
題型2 用基底表示向量
題型3 利用平面向量基本定理求參數
題型4 運用平面向量基本定理解決證明問題
題型5 平面向量基本定理的綜合應用
與面積的結合
與數量積的結合
與基本不等式的結合
解題策略
1、兩個向量是否能構成基底
考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來.
2、平面向量基本定理的作用以及注意點
(1)根據平面向量基本定理，任何一個基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算.
(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程求出要表示的向量.
3、應用平面向量基本定理一般思路：
（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系．
（2）用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．　
考點精析
題型1 基底的概念及辨析
（1）基底概念的理解
1．（2022·高一課時練面向量的基底確定后，平面內的任何一個向量都可以用這組基底唯一表示．( )
【答案】正確
【分析】根據平面向量的基本定理進行判斷.
【詳解】平面向量的基底確定后，根據平面向量的基本定理可知，平面內的任何一個向量都可以用這組基底唯一表示.
所以說法正確.
故答案為：正確
2．（2022·高一課時練面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．( )
【答案】錯誤
【分析】根據基底的知識進行判斷.
【詳解】平面內的任意兩個不共線的向量都可以作為一組基底.
兩個共線的向量不能作為一組基底，
所以說法錯誤.
故答案為：錯誤.
3．（2021·高一課時練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示
B．平面內的所有向量均可以用此平面內的任意兩個向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面內的任意向量在給定基底下的分解式唯一
【答案】B
【分析】根據共線向量的性質和基底的性質，結合平面向量基本定理逐一判斷即可.
【詳解】由共線向量的性質可知選項A正確；
根據平面向量基本定理可知：平面內的所有向量均可以用此平面內的任意兩個不共線的向量表示，所以選項B不正確；
根據平面向量基本定理可知中：選項C、D都正確，
故選：B
4．（2023下·高一課時練習）下面三種說法中正確的是（ ）
①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
②一個平面內有無數對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
③零向量不可作為基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B
【分析】利用平面向量基底的概念進行判斷.
【詳解】由于同一個平面內任意不共線的向量，都可以作為表示這個平面內所有向量的基，故①錯誤，②正確；
由于零向量與任何向量平行，所以零向量不可作為基中的向量，故③正確.
故選：B
5．【多選】（2020上·遼寧大連·高一統考期末）下列結論正確的是（ ）
A．一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底
B．若，是單位向量)，則
C．向量與共線存在不全為零的實數使
D．已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若則
【答案】CD
【分析】由平面基底的概念以及平面向量基本定理可判斷AB，由共線向量定理可判斷CD.
【詳解】對于A，由平面基底的概念可知，只要不共線的任何兩個向量都可以作為平面的一組基底向量，故A錯誤；
對于B，不妨設，，此時有，但不成立，故B錯誤；
對于C，向量共線定理的充要條件可知C正確；
對于D，由向量共線定理可知，
其中，
若則，故D正確.
故選：CD.
（2）基底的判斷
6．（2021下·高一課時練習）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】由零向量與任意向量共線判斷A，根據判斷B，設，建立方程，根據方程解的情況判斷C，根據判斷D.
【詳解】對于A：零向量與任意向量均共線，所以此兩個向量不可以作為基底；
對于B：因為，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；
對于C：設，即，則，所以無解，所以此兩個向量不共線，可以作為一組基底；
對于D：設，，所以，所以此兩個向量不可以作為基底；
故選：C.
7．（2022下·福建三明·高一三明一中校考階段練習）已知向量是平面內的一組基底，則下列四組向量中也能作為平面向量的一組基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】對于選項ACD，可以判斷選項的向量共線，所以不能作為基底；對于選項B, ,不共線，所以可以作為基底.
【詳解】對于選項A，，所以共線，所以不能作為基底；
對于選項B, ,所以不共線，所以可以作為基底；
對于選項C, 共線，所以不能作為基底；
對于選項D, ，所以共線，所以不能作為基底.
故選：B
8．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】只要兩個向量不共線，便可作為平面內的一組基底，從而判斷哪組向量共線即可.
【詳解】對于A，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，A錯誤；
對于B，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，B錯誤；
對于C，，
和共線，不能作為一組基底，C正確；
對于D，令，則，不存在，，不共線，可以作為基底，D錯誤.
故選：C.
9．（2023·全國·高一專題練習）設，是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①與；②與；③與；④與．其中不能作為平面內所有向量的一組基底的是 ．（寫出所有滿足條件的序號）
【答案】③
【分析】根據基底的定義判斷即可.
【詳解】解：③中，可知兩向量共線，不能作為一組基底，選③；
其它選項中的兩個向量都不滿足，都能做基底，不選．
故答案為：③．
10．（2023·全國·高三專題練習）設為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根據基底的概念確定正確答案.
【詳解】平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，
C選項中，，即和為共線向量，
所以它們不能作為基底.
其它選項中的兩個向量都沒有倍數關系，所以可以作為基底.
故選：C
11．【多選】（2023下·安徽阜陽·高一田家炳實驗中學校考期中）設是平面內兩個不共線的向量，則以下可作為該平面內一組基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根據基底的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】不能用表示，故不共線，所以A符合；
不能用表示，所以不共線，故B符合；
，故共線，所以C不符合；
不能用表示，故不共線，所以D符合.
故選：ABD.
12．（2023下·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學校考期中）已知是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判斷選項中的兩個向量是否平行，即可判斷選項.
【詳解】若兩向量平行，則不可以作為基底，
由選項可知，ABD中的兩個向量都不共線，可以作為基底，
C中的向量，滿足，向量，不能作為基底.
故選：C
13．【多選】（2021下·廣東深圳·高一紅嶺中學校考期中）向量都是非零向量，滿足下面哪個條件時，可以充當該平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】兩個向量不共線，則可以作為基底.
【詳解】對于A， ，則，不能作為基底；故A錯誤；
對于B，，則，不能作為基底，故B錯誤；
對于C，，則，，與不共線，可作為基底，故C正確；
對于D，，可作為基底，故D正確；
故選：CD.
（3）幾何圖形中基底的判斷
14．【多選】（2022下·廣西北海·高一統考期末）如圖所示，設是平行四邊形的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內所有向量的基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】BC
【分析】根據平面向量基底的定義，結合平行四邊形的性質逐一判斷即可.
【詳解】A項中與共線，D項中與共線，B，C項中兩向量不共線，
故選：BC
15．（2022下·江西·高一校聯考期中）如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，則下列說法正確的是（ ）
A．，是該平面所有向量的一組基底，
B．，是該平面所有向量的一組基底，
C．，不是該平面所有向量的一組基底，
D．，不是該平面所有向量的一組基底，
【答案】A
【分析】根據基底的概念及平面向量線性運算法則計算可得；
【詳解】解：由圖可知，平面向量，不共線，是該平面所有向量的一組基底，
且，
故選：A.
16．（2022上·吉林·高三吉化第一高級中學校校考階段練習）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形圖中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則下列說法不正確的是（ ）
B．
C． D．和能構成一組基底
【答案】B
【分析】根據正八邊形的幾何特點，結合向量的線性運算，對每個選項逐一分析即可判斷.
【詳解】在正八邊形中，
對于A，，所以選項A正確；
對于B，，所以選項B錯誤；
對于C，在正八邊形中，因為，，所以以向量和向量為鄰邊的平行四邊形為正方形，對角線長度為，因為，所以的方向與向量方向相同，且長度為向量長度的倍，所以，所以選項C正確；
對于D，由圖可知向量和為相等向量，所以向量和不共線，故和能構成一組基底，所以選項D正確.
故選：B.
17．【多選】（2022·廣東惠州·統考一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（ ）
A．與能構成一組基底 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】對A，由正八邊形性質可證與平行，即可由基底定義判斷；
對B，由正八邊形性質可證，即可由向量數量積與向量垂直的關系判斷；
對C，由，利用平行四邊形法則即可計算；
對D，由，即可根據向量數量積定義計算
【詳解】
連接BG，CF，由正八邊形的性質可知，，，所以，所以與是共線向量，所以與不能構成一組基底，A項錯誤；
，所以，所以，B項正確；
因為，由平行四邊形法則可知，，C項正確；
正八邊形的每一個內角為，，
所以，D項錯誤（或者從正八邊形的性質可知與的夾角為銳角，則有可判斷D錯誤）.
故選：BC
（4）與向量平行的結合
18．（2023下·江西贛州·高一校考期中）已知向量與不平行，記，，若，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據向量平行的條件列出方程組求解即可.
【詳解】依題意，，，
，即，
，解得．
故選：B．
19．【多選】（2022下·廣東湛江·高一校考階段練習）已知向量，是兩個不共線的向量，且向量與共線，則實數的可能取值為（ ）
A． B． C．4 D．3
【答案】AD
【分析】依題意可得向量，可以作為平面內的一組基底，則，即可得到方程組，解得即可.
【詳解】解：因為向量，是兩個不共線的向量，所以向量，可以作為平面內的一組基底，
又向量與共線，所以，
即，解得或；
故選：AD
20．（2021下·高一課時練習）已知為平面內所有向量的一組基底，，，，則與共線的條件為（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】由題意可得存在使得，得到關于的方程組，根據方程組求解即可.
【詳解】因為為平面內所有向量的一組基底，所以不共線，且不為零向量，
由與共線可得使得，即，
又因為不共線，所以，
所以，
故選：A
21．（2021·高一課時練習）設，為平面內所有向量的一組基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則實數k的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
【答案】A
【分析】由基底的定義和向量共線的條件求參數.
【詳解】.
因為A，B，D三點共線，
所以存在實數λ使得，
即
，為平面內所有向量的一組基底，，解得，.
故選：A
22．（2023下·山東濰坊·高一校聯考期中）設，是平面內不平行的非零向量，，.
(1)證明：，組成平面上向量的一組基底；
(2)請探究是否存在實數k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）證明不共線即可；
（2）設，然后可建立方程組求解即可.
【詳解】（1）假設共線，設，
則，
因為，是平面內不平行的非零向量，所以，無解，
所以不共線，所以，組成平面上向量的一組基底，
（2）假設存在實數k，使得和平行，
設，則，
因為，是平面內不平行的非零向量，所以，解得，
所以存在實數k，使得和平行，.
23．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）已知與不共線，是一組基底，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由是一組基底，可得兩個向量不共線，利用平面向量共線定理結合平面向量基本定理求出時的值，即可得解.
【詳解】當時，
則存在唯一實數，使得，
所以，解得，
因為是一組基底，
所以兩個向量不共線，
所以.
故答案為：.
24．（2019·高一課時練習）已知不共線，，要使能作為平面內的一組基底，則實數λ的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據平面向量基底的定義，結合平面向量共線的性質進行求解即可.
【詳解】當平面向量共線時，有，即，因此有，
因此要想能作為平面內的一組基底，則必有平面向量不共線，所以，
故答案為：
題型2 用基底表示向量
25．（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據圖形的幾何性質，以及向量加減法、數乘運算的幾何意義，即可得出答案.
【詳解】
因為，所以
由已知可得，，
所以，，
所以，.
故選：A.
26．（2021·高一課時練習）如圖，平行四邊形中，，，是的中點，以、為基底表示向量＝ .
【答案】/
【分析】利用平面向量的線性運算可得出關于、的表達式.
【詳解】由題意可得.
故答案為：.
27．（2020·全國·高一專題練習）在中，點D在BC邊上，且.設，，則可用基底，表示為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據向量的加減運算法則、數乘運算即可求解.
【詳解】因為，所以.
所以
故選：C
28．（2024·全國·模擬預測）已知在平行四邊形中，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】結合圖形，根據向量的線性運算即得.
【詳解】因為，，，，四邊形為平行四邊形，
則，
故選：D.
29．（2023·河北·統考模擬預測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F分別為CD，AD的中點，若以向量，為基底表示向量，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】注意到，后利用表示，即可得答案.
【詳解】注意到.
又為DC中點，則；
F為AD中點，則.
則；
.
則.
故選：D
30．（2023·全國·模擬預測）在中，點D在邊AB上且滿足，E為BC的中點，直線DE交AC的延長線于點F，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據A，C，F三點共線及D，E，F三點共線，結合平面向量基本定理用和表示出，然后根據向量相等即可得解．
【詳解】
由題，A，C，F三點共線，則，
D，E，F三點共線，則，
∴　，得　，
∴．
故選：B.
31．（2023上·河南·高三校聯考期中）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】選取為基底，表示出，結合平行向量基本定理設，即可求解.
【詳解】選取為基底，
，
，
，
設
，
，，
即.
故選：A
32．【多選】（2023下·河南駐馬店·高一統考階段練習）如圖，E，H分別在線段PA，PD上，C是線段AD的中點，F是線段EH的中點，，PC與EH交于點G，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由題意，選定和作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，將和用基底表示出來，比較系數即可求得．
【詳解】設，，
因為是線段的中點，則有，
由，可得，
設
，
則由平面向量基本定理可得，解得，
又，，三點共線，
故可設，
設，由為中點可知，
，將代入可得，
即，正確；
又，
，
，
設，
則有，
即，解得，，
故，正確；
故選：CD．
33．【多選】（2023下·湖南·高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，與相交于點，，則下列選項正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．若，則
【答案】BCD
【分析】根據給定條件，利用平面向量的線性運算結合給定圖形計算判斷ABC；利用數量積的定義及運算律計算判斷D作答.
【詳解】在中，為的中點，為的中點，，
對于A，，A錯誤；
對于B，，B正確；
對于C，由，有，C正確；
對于D，依題意，，于是
，D正確.
故選：BCD
34．【多選】（2023下·山西·高一統考階段練習）如圖，在正方形中，Q為上一點，交于E，且E，F為的兩個三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用向量的線性運算及三角形相似的性質即可求解.
【詳解】因為，所以，故A錯誤．
，故B正確．
，故C正確．
因為E為上靠近B的三等分點，所以，利用相似性質可得，則．故D正確．
故選：BCD.
35．【多選】（2022·全國·模擬預測）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據平面向量的線性運算并結合平面向量共線定理即可判斷答案.
【詳解】對于A選項，
，故A選項正確；
對于B選項，因為B，F，D三點共線，設，由，所以存在唯一實數，使得，結合A可知，，因為不共線，所以，所以，故B選項正確；
對于C選項，結合B，，故C選項錯誤；
對于D選項，結合B，，故D選項正確.
故選：ABD.
題型3 利用平面向量基本定理求參數
36．（2021下·高一課時練習）設向量和是某一平面內所有向量的一組基底，若，則實數y的值為（　　）
A．3 B．4
C．－ D．－
【答案】B
【分析】根據向量的線性運算及基底的性質求解即可.
【詳解】因為，
所以，
又因為和是某一平面內所有向量的一組基底，
所以
解得
故選：B．
37．（2023下·遼寧·高一校聯考階段練習）已知向量、不共線，且，則的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
【答案】D
【分析】由平面向量基本定理，列方程求解.
【詳解】向量、不共線，且，
則有，解得，所以.
故選：D
38．（2024·廣東·高三學業考試）在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，若，則的值為 .
【答案】/
【分析】根據題意，由平面向量的線性運算，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，
所以，則
故答案為：
39．（2024上·陜西西安·高三統考期末）在中，在上，且，在上，且.若，則 .
【答案】/
【分析】根據已知條件先確定，，再根據平面向量基本定理，把向量與向量作為一組基底表示出向量即可.
【詳解】因為，所以，因為，所以，
因為，
所以，則，
因為，所以，則.
故答案為：
40．（2024上·北京昌平·高一統考期末）在中，點D，E滿足，.若，則 .
【答案】/
【分析】利用向量的線性運算，結合平面向量基本定理求解即得.
【詳解】在中，點D，E滿足，，
則，
而不共線，又，因此，
所以.
故答案為：
41．【多選】（2023·廣東梅州·統考三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點，若，則（ ）

A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根據平行向量的線性運算結合平面向量基本定理運算求解.
【詳解】因為，，所以，
因為為的中點，所以，
所以，所以，.
可知：AD錯誤，BC正確.
故選：BC.
【點睛】本題考查平面向量的基本定理，要求考生了解平面向量基本定理及其意義.
42．（2023上·四川內江·高三四川省內江市第二中學校考階段練習）在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由是的重心，得到，再由三點共線，得到，結合題意，得出方程組求得，結合基本不等式，即可求得的最小值.
【詳解】如圖所示，設邊上的中點為，因為是的重心，可得，
根據向量的線性運算法則，可得，
又因為三點共線，可得，即，
可得，
因為，可得，
所以，整理得，即，其中，
則，
當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
題型4 運用平面向量基本定理解決證明問題
43．（2023上·陜西銅川·高三校考期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點，交于．
(1)用和表示；
(2)求證：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據已知條件可得，，再結合向量的加減法和平面向量基本定理可求得結果；
（2）由題意可得，再結合和三點共線，可求出，從而可證得結論.
【詳解】（1），
，
又為上靠近的三等分點，
，
；
（2）交于，，
由（1）知．
．
三點共線，
，解得，
．
即
44．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）根據幾何圖形進行線性運算即可；
（2）利用向量共線定理即可證明.
【詳解】（1）因為E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點，
所以 ，
則，
.
（2）因為，所以，
則，
所以，即，所以，
又因為有公共點，
所以，，三點共線.

45．（2023下·甘肅武威·高一校考階段練習）如圖，在中，已知，，，．

(1)若，證明：A，F，E三點共線；
(2)若AE，BD交于點F，求的值．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）結合圖形，利用平面向量的線性運算，用基底表示出，根據共線定理可證；
（2）設，結合（1）中結論表示出，再設，由平面向量基本定理列方程求出，然后可得.
【詳解】（1）因為，，
所以，
又，所以，
因為，
，
所以，
又有公共點A，所以A，F，E三點共線.
（2）記，則，
由（1）知，
由題知，A，F，E三點共線，記，
所以，
因為不共線，所以，解得，
所以，所以.
46．（2023下·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學校聯考期末）如圖，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若點滿足，證明：，，三點共線．
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）利用向量的線性運算和基本定理求解即可.
（2）利用三點共線的判定證明即可.
【詳解】（1）因為，
，
.
（2）由，
可得，
所以，，即，
所以，，三點共線.
47．（2023下·河北保定·高一校聯考期中）已知，如圖，在中，點滿足，是線段上一點，，點為的中點，且三點共線．

(1)求的最小值．
(2)若點滿足，證明：．
【答案】(1)4
(2)證明見解析
【分析】（1）根據向量的線性運算可得，根據三點共線可得，利用“1”的代換可求的最小值.
（2）根據向量的線性運算可得，故可證.
【詳解】（1）由題可知，
因為點為的中點，所以
，
因為三點共線，所以，
，
當且僅當時，等號成立．
所以的最小值為4.
（2）
由，則，即，
，
所以，又三點不共線，所以．
題型5 平面向量基本定理的綜合應用
（1）與面積的結合
48．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為 .
【答案】
【分析】由向量的線性運算求得，具體為利用平行四邊形定則結合圖形關系令，，解得，再令，，解得，確定點是線段的中點，最后由面積關系得出結果.
【詳解】如圖，令，，
于是，
而，并且不共線，因此，解得，
令，，
則，
從而，解得，因此點是線段的中點，
所以，所以.
故答案為：
49．【多選】（2023上·福建福州·高三校聯考期中）在中，，為中點，交于點，則（ ）
A．
B．
C．四邊形的面積是面積的
D．和的面積相等
【答案】AB
【分析】根據向量的運算法則，可判定A正確；設，求得，結合三點共線，求得，可判定B正確；設的面積為，根據三角形的面積公式，求得四邊形的面積為，可判定C不正確；根據題意，得到，可判定D錯誤.
【詳解】對于A，因為，即為（靠近點）的三等分點，
所以，所以A正確；
對于B，設，
由點為的中點，可得，
可得，
因為三點共線，可得，
所以，可得且，
解得，即，所以B正確；
對于C，設的面積為，因為，可得，
又因為為中點，且，可得，
所以四邊形的面積為，所以C錯誤；
對于D，由，可得，所以，
所以和的面積不相等，所以D錯誤.
故選：AB
（2）與數量積的結合
50．（2023上·貴州六盤水·高二統考期中）已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點，則（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】將，設為基底，表示出，，運用數量積定義解決問題.
【詳解】解：
.
故答案選：A.

51．（2024上·黑龍江雞西·高三校考期末）如下圖，在平行四邊形中，，點在上，且，則= ．
【答案】18
【分析】表達出，，利用數量積運算法則求出答案.
【詳解】因為平行四邊形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案為：18
52．（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形中，，點分別為的中點，與交于點，則 ．
【答案】
【分析】根據題意畫出圖形，連接，交于點，根據相似得到和的關系，設，根據三點共線得到的值即可求出.
【詳解】如圖，連接，交于點，

由題意易知，所以，
所以，設，
因為點為的中點，所以，
所以，
又三點共線，所以，
從而，
則，
所以
．
故答案為：.
53．（2023上·天津津南·高三天津市咸水沽第一中學校考階段練習）如圖．在中，，分別為的中點，P為AD與BF的交點，且．若，則 ，若，則 ．
【答案】
【分析】利用平面向量基本定理求解出及，進而利用平面向量的數量積運算法則進行計算即可得解.
【詳解】連接DF，
因為分別為的中點，所以是△ABC的中位線，所以，
則
，
所以，所以；
因為，
所以，
故
.
故答案為：；.
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵在于注意到點是的重心，從而利用中位數定理得到，進而利用平面向量的相關運算即可得解.
54．（2024上·天津河北·高三統考期末）如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據兩個三角形相似對應邊成比例，得到，運用向量的加減運算和向量中點的表示，結合向量數量積的定義和性質，將向量用，表示，計算即可得到結果．
【詳解】平行四邊形，，，，，
可得，
是線段的中點，
可得，
；
，
則
．
故選：C
55．（2023上·廣東佛山·高三統考階段練習）在中，點在邊上，且．點滿足．若，，則（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用平面向量的線性運算結合數量積公式計算即可.
【詳解】由題意可知
，
所以
，
所以，
故選：A．
56．（2023下·河南焦作·高一校考階段練習）如圖，在中，已知，，，且，邊上的兩條中線，相交于點.

(1)求；
(2)求的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用重心的性質及平面向量的線性運算得，再由平面向量數量積運算律計算即可；
（2）即，根據上問及中線性質結合平面向量數量積及模長求夾角即可.
【詳解】（1）由題可知為的重心，則，
所以，
所以.
（2）因為為的中點，所以.
又，
所以
.
又，
所以.
又與，的夾角相等，
所以，所以的余弦值為.
（3）與基本不等式的結合
57．（2023上·山東濟寧·高三統考期中）在中，點是線段上的兩個動點，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【分析】畫出圖形，通過向量線性運算分析得到，從而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意驗證取等條件是否滿足.
【詳解】如圖所示：
不妨設，則，
同理設，則，
所以
又由題意，
所以，
從而，
當時，由基本不等式可得，
等號成立當且僅當.
綜上所述：的最小值為2.
故選：C.
58．（2023上·湖北·高三隨州市曾都區第一中學校聯考期中）在中，，是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得，，則，化簡后利用基本不等式可求得結果
【詳解】
因為，所以，
因為，所以，
因為三點共線，所以，，
所以
，當且僅當，即、時取等號，
所以的最小值是.
故選：D
59．（2024上·天津和平·高三統考期末）如圖，在中，，過點的直線分別交直線于不同的兩點，記，用表示 ；設，若，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】利用平面向量的線性運算、用基底表示向量，結合基本不等式即可求解.
【詳解】由題知，
，
即.
由，，
所以，
因為、、三點共線，
所以，
所以
，
當且僅當，即時等號成立.
故答案為：；
60．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）在中，點為邊上的中點，點滿足，點是直線，的交點，過點做一條直線交線段于點，交線段于點（其中點，均不與端點重合）設，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意作交于F，可推出，利用向量的線性運算推出，結合題意推出，根據三點共線可得，結合“1”的妙用，即得，展開后利用基本不等式，即可求得答案.
【詳解】作交于F，連接 ，則∽，故，
由于點為邊上的中點，故，
，故，又∽，故，
故，
則
,
由于，，故，
因為三點共線，故，
所以，
當且僅當，結合，即時等號成立，
即的最小值為，
故選：B
61．（2023上·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)①；②
(2).
【分析】（1）①根據平面向量基本定理即可求；②由三點共線可得，結合①列方程即可求出的值；
（2）設，根據平面向量基本定理可得，結合已知得到，與之間的關系，利用基本不等式可求得結果.
【詳解】（1）①因為，所以，
故在中，
；
②因為三點共線，設，
所以，
因為，
所以，
所以
又由①及已知，，
所以，解得.
（2）因為，又三點共線，設，
所以，
又因為，所以，
所以，，
當且僅當，即時取得等號，
所以的最小值為.6.3.1平面向量基本定理5種常考題型歸類
高頻考點
題型1 基底的概念及辨析
基底概念的理解
基底的判斷
幾何圖形中基底的判斷
與向量平行的結合
題型2 用基底表示向量
題型3 利用平面向量基本定理求參數
題型4 運用平面向量基本定理解決證明問題
題型5 平面向量基本定理的綜合應用
與面積的結合
與數量積的結合
與基本不等式的結合
解題策略
1、兩個向量是否能構成基底
考查兩個向量是否能構成基底，主要看兩向量是否不共線.此外，一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出來.
2、平面向量基本定理的作用以及注意點
(1)根據平面向量基本定理，任何一個基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，實質上是利用三角形法則或平行四邊形法則，進行向量的線性運算.
(2)基底的選取要靈活，必要時可以建立方程或方程組，通過方程求出要表示的向量.
3、應用平面向量基本定理一般思路：
（1）應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算．一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系．
（2）用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的．　
考點精析
題型1 基底的概念及辨析
（1）基底概念的理解
1．（2022·高一課時練面向量的基底確定后，平面內的任何一個向量都可以用這組基底唯一表示．( )
2．（2022·高一課時練面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．( )
3．（2021·高一課時練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示
B．平面內的所有向量均可以用此平面內的任意兩個向量表示
C．平面上向量的基底不唯一
D．平面內的任意向量在給定基底下的分解式唯一
4．（2023下·高一課時練習）下面三種說法中正確的是（ ）
①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
②一個平面內有無數對不共線向量可作為表示該平面內所有向量的基；
③零向量不可作為基中的向量.
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．【多選】（2020上·遼寧大連·高一統考期末）下列結論正確的是（ ）
A．一個平面內只有一對不共線的向量可作為表示該平面內所有向量的基底
B．若，是單位向量)，則
C．向量與共線存在不全為零的實數使
D．已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若則
（2）基底的判斷
6．（2021下·高一課時練習）已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2022下·福建三明·高一三明一中校考階段練習）已知向量是平面內的一組基底，則下列四組向量中也能作為平面向量的一組基底的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·黑龍江齊齊哈爾·高一齊齊哈爾中學校考期中）設是平面內所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
9．（2023·全國·高一專題練習）設，是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①與；②與；③與；④與．其中不能作為平面內所有向量的一組基底的是 ．（寫出所有滿足條件的序號）
10．（2023·全國·高三專題練習）設為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
11．【多選】（2023下·安徽阜陽·高一田家炳實驗中學校考期中）設是平面內兩個不共線的向量，則以下可作為該平面內一組基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2023下·重慶萬州·高一重慶市萬州第二高級中學校考期中）已知是不共線的非零向量，則以下向量不可以作為一組基底的是（ ）
A． B．
C． D．
13．【多選】（2021下·廣東深圳·高一紅嶺中學校考期中）向量都是非零向量，滿足下面哪個條件時，可以充當該平面的基底（ ）
A． B．
C． D．
（3）幾何圖形中基底的判斷
14．【多選】（2022下·廣西北海·高一統考期末）如圖所示，設是平行四邊形的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內所有向量的基底的是（ ）
A．與 B．與 C．與 D．與
15．（2022下·江西·高一校聯考期中）如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，則下列說法正確的是（ ）
A．，是該平面所有向量的一組基底，
B．，是該平面所有向量的一組基底，
C．，不是該平面所有向量的一組基底，
D．，不是該平面所有向量的一組基底，
16．（2022上·吉林·高三吉化第一高級中學校校考階段練習）《易經》是闡述天地世間關于萬象變化的古老經典，其中八卦深邃的哲理解釋了自然、社會現象.如圖1所示的是八卦模型圖，其平面圖形圖中的正八邊形，其中為正八邊形的中心，則下列說法不正確的是（ ）
B．
C． D．和能構成一組基底
17．【多選】（2022·廣東惠州·統考一模）如圖，點O是正八邊形ABCDEFGH的中心，且，則（ ）
A．與能構成一組基底 B．
C． D．
（4）與向量平行的結合
18．（2023下·江西贛州·高一校考期中）已知向量與不平行，記，，若，則（ ）
A．2 B． C． D．
19．【多選】（2022下·廣東湛江·高一校考階段練習）已知向量，是兩個不共線的向量，且向量與共線，則實數的可能取值為（ ）
A． B． C．4 D．3
20．（2021下·高一課時練習）已知為平面內所有向量的一組基底，，，，則與共線的條件為（ ）
A． B．
C． D．或
21．（2021·高一課時練習）設，為平面內所有向量的一組基底，已知向量，，，若A，B，D三點共線，則實數k的值等于（　　）
A．2 B．-2 C．10 D．-10
22．（2023下·山東濰坊·高一校聯考期中）設，是平面內不平行的非零向量，，.
(1)證明：，組成平面上向量的一組基底；
(2)請探究是否存在實數k，使得和平行？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.
23．（2023下·福建福州·高一校聯考期中）已知與不共線，是一組基底，則實數的取值范圍是 .
24．（2019·高一課時練習）已知不共線，，要使能作為平面內的一組基底，則實數λ的取值范圍為 .
題型2 用基底表示向量
25．（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）在中，為邊上的中線，，則（ ）
A． B．
C． D．
26．（2021·高一課時練習）如圖，平行四邊形中，，，是的中點，以、為基底表示向量＝ .
27．（2020·全國·高一專題練習）在中，點D在BC邊上，且.設，，則可用基底，表示為（ ）
A． B．
C． D．
28．（2024·全國·模擬預測）已知在平行四邊形中，，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
29．（2023·河北·統考模擬預測）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E，F分別為CD，AD的中點，若以向量，為基底表示向量，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
30．（2023·全國·模擬預測）在中，點D在邊AB上且滿足，E為BC的中點，直線DE交AC的延長線于點F，則（ ）
A． B． C． D．
31．（2023上·河南·高三校聯考期中）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
32．【多選】（2023下·河南駐馬店·高一統考階段練習）如圖，E，H分別在線段PA，PD上，C是線段AD的中點，F是線段EH的中點，，PC與EH交于點G，則（ ）

A． B． C． D．
33．【多選】（2023下·湖南·高二開學考試）如圖，在平行四邊形中，為的中點，為的中點，與相交于點，，則下列選項正確的是（ ）

A．
B．
C．
D．若，則
34．【多選】（2023下·山西·高一統考階段練習）如圖，在正方形中，Q為上一點，交于E，且E，F為的兩個三等分點，則（ ）
A． B．
C． D．
35．【多選】（2022·全國·模擬預測）如圖，在等腰梯形ABCD中，，E是BC的中點，連接AE，BD相交于點F，連接CF，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型3 利用平面向量基本定理求參數
36．（2021下·高一課時練習）設向量和是某一平面內所有向量的一組基底，若，則實數y的值為（　　）
A．3 B．4
C．－ D．－
37．（2023下·遼寧·高一校聯考階段練習）已知向量、不共線，且，則的值等于（ ）
A．3 B．－3 C．0 D．2
38．（2024·廣東·高三學業考試）在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，E是線段OD的中點，若，則的值為 .
39．（2024上·陜西西安·高三統考期末）在中，在上，且，在上，且.若，則 .
40．（2024上·北京昌平·高一統考期末）在中，點D，E滿足，.若，則 .
41．【多選】（2023·廣東梅州·統考三模）如圖所示，四邊形為等腰梯形，，，，分別為，的中點，若，則（ ）

A． B．
C． D．
42．（2023上·四川內江·高三四川省內江市第二中學校考階段練習）在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，則的最小值為 .
題型4 運用平面向量基本定理解決證明問題
43．（2023上·陜西銅川·高三校考期末）如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點，交于．
(1)用和表示；
(2)求證：．
44．（2023上·江蘇徐州·高三校考階段練習）在中，E為AC的中點，D為邊BC上靠近點B的三等分點．
(1)分別用向量，表示向量，；
(2)若點N滿足，證明：B，N，E三點共線．
45．（2023下·甘肅武威·高一校考階段練習）如圖，在中，已知，，，．

(1)若，證明：A，F，E三點共線；
(2)若AE，BD交于點F，求的值．
46．（2023下·河南南陽·高一社旗縣第一高級中學校聯考期末）如圖，在中，．

(1)用，表示，；
(2)若點滿足，證明：，，三點共線．
47．（2023下·河北保定·高一校聯考期中）已知，如圖，在中，點滿足，是線段上一點，，點為的中點，且三點共線．

(1)求的最小值．
(2)若點滿足，證明：．
題型5 平面向量基本定理的綜合應用
（1）與面積的結合
48．（2023下·寧夏石嘴山·高一石嘴山市第三中學校考期末）已知中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿足，則的值為 .
49．【多選】（2023上·福建福州·高三校聯考期中）在中，，為中點，交于點，則（ ）
A．
B．
C．四邊形的面積是面積的
D．和的面積相等
（2）與數量積的結合
50．（2023上·貴州六盤水·高二統考期中）已知等邊三角形ABC的邊長為2，D，E分別是BC，AC的中點，則（ ）
A． B． C． D．0
51．（2024上·黑龍江雞西·高三校考期末）如下圖，在平行四邊形中，，點在上，且，則= ．
52．（2023·全國·模擬預測）在平行四邊形中，，點分別為的中點，與交于點，則 ．
53．（2023上·天津津南·高三天津市咸水沽第一中學校考階段練習）如圖．在中，，分別為的中點，P為AD與BF的交點，且．若，則 ，若，則 ．
54．（2024上·天津河北·高三統考期末）如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
55．（2023上·廣東佛山·高三統考階段練習）在中，點在邊上，且．點滿足．若，，則（ ）
A． B． C． D．3
56．（2023下·河南焦作·高一校考階段練習）如圖，在中，已知，，，且，邊上的兩條中線，相交于點.

(1)求；
(2)求的余弦值.
（3）與基本不等式的結合
57．（2023上·山東濟寧·高三統考期中）在中，點是線段上的兩個動點，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C．2 D．8
58．（2023上·湖北·高三隨州市曾都區第一中學校聯考期中）在中，，是線段上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
59．（2024上·天津和平·高三統考期末）如圖，在中，，過點的直線分別交直線于不同的兩點，記，用表示 ；設，若，則的最小值為 ．
60．（2024上·浙江寧波·高一鎮海中學校考期末）在中，點為邊上的中點，點滿足，點是直線，的交點，過點做一條直線交線段于點，交線段于點（其中點，均不與端點重合）設，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
61．（2023上·遼寧大連·高一期末）在三角形中，，，，為線段上任意一點，交于.
(1)若.
①用表示.
②若，求的值.
(2)若，求的最小值.

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