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隨機變量及其分布
一、條件概率
1.定義：一般地，設為兩個隨機事件，且,稱 = （利用古典概型）為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率.
2.乘法公式：
3.條件概率的性質：條件概率只是縮小了
設①
②如果和是兩個互斥事件，則＝
③設和互為對立事件，則
④則
4.全概率公式
（1）全概率公式：一般地，設是一組 的事件，且，則對任意的事件有 稱上面的公式為全概率公式.
（2）貝葉斯公式：
實質還是條件概率公式，用貝葉斯之前需先用全概率公式把求出來.
離散型隨機變量及其分布列、數字特征
1.離散型隨機變量的特點： 或可以 的隨機變量.
...
...
2.離散型隨機變量的分布列可以用如右側表格表示.
具有如下性質：①
②=
離散型隨機變量的均值（數學期望）和方差
① ，它反映了離散型隨機變量取值的 .
② = ，它反映了離散型隨機變量取值的 .
方差也可以記為，并稱為隨機變量的 ，記為.
③若，其中是常數，是隨機變量，則 .
判斷：（1）離散型隨機變量是指某一區間內的任意值.（　　）
射擊10次，命中目標的次數是離散型隨機變量.（ ）
離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之積.（ ）
隨機變量的均值具有隨機性，反映了樣本的平均水平. （　　）
離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離期望的平均程度，越大，隨機變量的取值越集中在附近.（　　）
兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態分布
兩點分布：也叫作 分布， ， （表示成功的概率）.
（1）伯努利試驗：只包含 可能結果的試驗叫做伯努利試驗.將一個伯努利試驗獨立地重復進行次所組成的隨機試驗稱為 .
注意：重伯努利試驗的特征：①：每次試驗的結果只有兩個②每次試驗的條件完全相同；③各次試驗結果相互獨立
二項分布：一般地，在重伯努利試驗中，設每次試驗中事件發生的概率為，用表示事件發生的次數，則的分布列為 ，如果隨機變量的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量服從二項分布，記作 , ， .
超幾何分布：一般地，假設一批產品共有件，其中有件次品.從件產品中隨機抽取件（不放回），用表示抽取的件產品中的次品數，則的分布列為 ,如果隨機變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量服從超幾何分布， .
注意：（1）隨機變量取值不一定是從，具體情況要根據題意來定.
（2）超幾何分布的特征：①不放回抽樣；②總體被分為明顯的兩類，且知道各類的個數；③隨機變量表示其中一類的個數.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.
二項分布的特征：①放回抽樣；②重伯努利試驗；③隨機變量表示其中一個結果發生的次數.
二項分布和超幾何分布最明顯的區別就是是否放回，對于不放回抽樣，當遠小于，每抽取一次后，對的影響很小，此時超幾何分布可以用二項分布近似.
正態分布：若隨機變量服從正態分布，記為 ， ， ，其正態密度函數為，當時，隨機變量服從標準正態分布.
（1）正態曲線的特點
①曲線位于軸 ，與軸不相交；曲線是單峰的，呈鐘型它關于直線 對稱，峰值為 ；
②曲線與軸之間的面積為 ；
③決定曲線的 ，決定曲線的 ，當一定時， ，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越 ； ，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越分散.
原則
①
②
③
在實際應用中，通常認為服從正態分布的隨機變量只取中的值，并簡稱為原則.在解決連續型隨機變量的密度曲線，求某區間的概率問題時，采用數形結合既方便又準確.
判斷：（1）若隨機變量服從兩點分布，則.（　　）
（2）從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數服從超幾何分布.（　　）
（3）一個袋子里裝有4個白球，5個黑球和6個黃球，隨機變量表示直至摸出黑球為止，則服從二項分布.（　　）
（4）重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立.（　　）
（5）正態分布是對連續型隨機變量而言的.（　　）
練習題
已知且，則　　　　.
已知是一個三位正整數，若的十位數字大于個位數字，百位數字大于十位數字，則稱為遞增數.已知，設事件“由組成三位正整數”，事件“由組成的三位正整數為遞增數”，則　　　　.
某社區舉辦“環保我參與”有獎問答比賽活動，某場比賽中，甲、乙、丙三個家庭同時回答一道有關環保知識的問題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個家庭都回答錯誤的概率是，乙、丙兩個家庭都回答正確的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.則甲、乙、丙三個家庭中有1個家庭回答正確這道題的概率為　　　　.
有一批種子的發芽率為0.8，出芽后的幼苗成活率為0.7，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為　　　　.
在某次考試中，要從20道題中隨機抽出6道題，若考生至少答對其中4道算通過，至少答對其中5道算優秀.已知某考試能答對其中10道題，并且知道他在這次考試中已經通過，則他獲得優秀的概率　　　　.
設某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量表示試驗的成功次數，則　 .
－2 －1 0 1 2 3
0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1
若隨機變量的分布列如下表，則當時，實數的取值范圍為　　　　.
一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數是一個隨機變量，則　　　　.
已知隨機變量的分布列為：
－1 0 1
其中成等差數列，則　　　　，公差的取值范圍是　　　　.
離散型隨機變量滿足，其中是常數，則　　　.
已知離散型隨機變量的分布列服從兩點分布，且，則　　　.
在如圖所示的正方形區域中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線為正態分布的密度曲線）的點的個數的估計值為（附：）　　 　.
13.某超市在節日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球，顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就繼續摸球，規定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵.
（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎的概率；
（2）記為1名顧客1次摸獎機會獲得的獎金數額，求隨機變量的分布列.
14.面對新一輪科技和產業革命帶來的創新機遇，某企業對現有機床進行更新換代，購進一批新機床.設新機床生產的零件的直徑為（單位：mm）.
（1）現有舊機床生產的零件10個，其中直徑大于124 mm的有3個.若從中隨機抽取4個，記表示取出的零件中直徑大于124 mm的零件的個數，求的分布列及均值；
（2）若新機床生產的零件直徑，從生產的零件中隨機取出10個，求至少有一個零件直徑大于124 mm的概率.
參考數據：
若，則，,，，.
15.某社區組織開展“普法”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現場設置了抽獎環節.在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“學法用法依法治國”“普法宣傳人人參與”圖案.抽獎規則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“學法用法依法治國”卡即可獲獎，否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續重復進行.活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與’卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘學法用法依法治國’卡的概率是.”
（1）求抽獎者獲獎的概率；
（2）為了增加抽獎的趣味性，規定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規則進行抽獎，現有甲、乙、丙三人依次抽獎，用表示獲獎的人數，求的分布列、均值和方差.
16.某通訊商場推出一款新手機，分為甲、乙、丙、丁4種不同的配置型號.該商場對近期售出的100部該款手機的情況進行了統計，繪制成如下表格：
配置型號 甲 乙 丙 丁
頻數 25 40 15 20
（1）每售出一部甲、乙、丙、丁配置型號的手機可分別獲得利潤600元、400元、500元、450元，根據以上消費者的購機情況，估計該商場銷售一部該款手機的平均利潤；
（2）該商場某天共銷售了4部該款手機，每銷售一部該款手機的配置型號相互獨立，其中甲配置型號手機售出的數量為，將樣本頻率視為概率，求的分布列及期望.

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