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中考數學第一輪復習
第二章 方程與不等式
第2節 一元二次方程
【知識清單】
一、一元二次方程的概念
1. 一元二次方程的定義：化簡整理后，只含有 個 ，并且 的最高次數
是 次，這樣的 方程，叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是： (其中a、b、c為常數，a ），其中 是二次項， 是二次項系數； 是一次項， 是一次項系數； 是常數項.
3.一元二次方程的根：能使一元二次方程成立的 稱為一元二次方程的解（根）.
二、一元二次方程的解法
1.直接開平方法： 依據的是平方根的意義，適用于易于化成ax2=p或a（mx+n)2=p的形式；當a、p同號或只p=0時，即可求解，其他情況無解；
2.配方法： 把一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)左端配成一個含有未知數的完全平方式，右端是一個非負常數，進而可用直接開平方法來求解。
【步驟歸納】（1）移項；（2）二次項系數化成1；（3）配方（方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方）；（4）開平方根。配方法適用于解所有一元二次方程，但具體情況適用于二次項系數化1后，一次項系數為“偶數”時，適用此法較為簡單；
公式法：利用求根公式，把一元二次方程的各系數代入求根公式，直接求出方程的解。
【步驟歸納】 (1)把方程化為一般形式； (2)確定a、b、c的值； (3)計算b2-4ac的值； (4)當b2-4ac≥0時，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；當b2-4ac<0時，方程沒有實數根。 需要注意的是：公式法是解一元二次方程的一般方法，又叫萬能方法，對于任意一個一元二次方程，只要有解，就一定能用求根公式解出來。
因式分解法： 先因式分解，使方程化為兩個一次因式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次求解的目的。
【步驟歸納】（1）移項：將方程的右邊化為0； （2）化積：把左邊因式分解成兩個一次式的積；（3)轉化：令每個一次因式都等于0,轉化為兩個一元一次方程； (4)求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。
需要注意的是：(1)在方程的右邊沒有化為0前，不能把左邊進行因式分解；(2)不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解，即因式分解法只適用部分一元二次方程。
的，等式左右兩邊相等的未知數的值。
三、一元二次方程根的判別式
對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式，用“△”表示(讀做“delta”)，即△=b2-4ac。
在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中
（1）當△>0時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）當△=0時，方程有兩個相等的實數根；
（3）當△<0時，方程沒有實數根,方程有兩個共軛虛根。
（1）和（2）合起來：當△≥0時，方程有兩個實數根。
四、一元二次方程根與系數的關系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0） 兩根為x 、x 那么有如下關系：x1+x2= - ，x1 x2=
注意：根與系數的關系成立的前提是方程存在實數根，也就是當△≥0時.
五、一元二次方程常見應用題型
1.增長率（下降率）問題
【例】今年來某縣加大了對教育經費的投入，2023年投入2500萬元，2015年投入3500萬元。假設該縣投入教育經費的年平均增長率為x，根據題意列方程，則下列方程正確的是（ ）
A． 2500x2=3500 （ B．2500（1+x）2=3500
C． 2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500
解：設增長率為x，根據題意得2500×（1+x）2=3500，故選B．
2.數字類問題
【例】已知一個兩位數的十位數字比個位數字大 2，兩位數字的積比這個兩位數小34，求這個兩位數。
解：設這個兩位數的個位數字為x，則十位數字為x＋2
根據題意，得x(x＋2)＋34＝10(x＋2)＋x
解得x1＝2，x2＝7
當x＝2時，x＋2＝4當x＝7時，x＋2＝9. （認
所以這個兩位數為42或97
3.營銷類問題
【例】為滿足市場需求，新生活超市在端午節前夕購進價格為3元/個的某品牌粽子，根據市場預測，該品牌粽子每個售價4元時，每天能出售500個，并且售價每上漲0.1元，其銷售量將減少10個，為了維護消費者利益，物價部門規定，該品牌粽子售價不能超過進價的200%，請你利用所學知識幫助超市給該品牌粽子定價，使超市每天的銷售利潤為800元。
解：設每個粽子的定價為x元時，每天的利潤為800元．
根據題意，得（x﹣3）（500﹣10×）=800
解得x1=7，x2=5.
售價不能超過進價的200%，x≤3×200%．
即x≤6，所以x=5
答：每個粽子的定價為5元時，每天的利潤為800元。
4.面積類問題
【例】如圖，某小區有一塊長為18米，寬為6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60平方米，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道。若設人行道的寬度為x米，則可以列出關于x的方程（）
x2+9x﹣8=0 B．x2﹣9x﹣8=0
C．x2﹣9x+8=0 D．2x2﹣9x+8=0
解：設人行道的寬度為x米，根據題意得，（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化簡整理得，x2﹣9x+8=0
故選C
動態類問題
例1、如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，AD=6cm，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止，點Q以2 cm/s的速度向D移動．
（1）P、Q兩點從出發開始到幾秒？四邊形PBCQ的面積為33cm2；
（2）P、Q兩點從出發開始到幾秒時？點P和點Q的距離是10cm
解：（1）設P、Q兩點從出發開始到x秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2，則PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，根據梯形的面積公式得（16﹣3x+2x）×6=33，解之得x=5 （
（2）設P，Q兩點從出發經過t秒時，點P，Q間的距離是10cm，作QE⊥AB，垂足為E，則QE=AD=6，PQ=10，
∵PA=3t，CQ=BE=2t，
∴PE=AB﹣AP﹣BE=|16﹣5t|，
由勾股定理，得（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4.8，t2=1.6
答：（1）P、Q兩點從出發開始到5秒時四邊形PBCQ的面積為33cm2；
從出發到1.6秒或4.8秒時，點P和點Q的距離是10cm．
鞏固提升專練
1.下列關于的方程中，屬于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.把方程化成一般式，則，，的值分別是 ( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.若，為方程的兩根，則的值為( )
A. B. C. D.
4.下表是部分二次函數的自變量與函數值的對應值：
那么方程的一個根在范圍之間．( )
A. B. C. D.
5.若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是( )
A. B. 且 C. 且 D. 且
6.如果，是方程的兩根，那么代數式的值為( )
A. B. C. D.
7.方程是關于的一元二次方程，則的值為_____．
8.如關于的一元二次方程一個根為，則______．
9.方程的根是 ．
10.如果一元二次方程的兩個根為，，則 ．
11.用恰當的方法解下列方程


12. 已知關于的一元二次方程．
如果該方程有實數根，求實數的取值范圍；
如果該方程有兩個相等的實數根，求出這兩個根．
13.已知關于的方程．
求證：無論取何實數值，方程總有實數根；
若等腰三角形的一邊，另兩邊長，恰好是這個方程的兩個根，求的周長
14.本小題分
已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
求的取值范圍．
設，分別是方程的兩個根，且，求的值．
15. 某廠家專門為產品生產包裝盒，該廠有一種特制的矩形包裝盒的原材料，長，寬為．
已知該公司年銷售這種原材料制作的包裝盒的銷售額為萬元，并預計年的銷售額為萬元，假設該廠在這兩年中的銷售額的增長率相同，設為，那么根據題意列出的方程為__________________；
該廠技術工人先將矩形原材料剪去兩個全等的正方形，又剪去了兩個全等的矩形，剩余部分制成了底面積為的有蓋包裝盒邊緣損耗忽略不計，則剪去的正方形邊長為_____ ，
已知該矩形包裝盒的生產成本為元個，市場調研發現：如果以元個銷售，每天可以售出個為了減少庫存，廠家決定降價銷售，根據近期銷售情況發現，銷售單價每降低元，銷售量就會增加個，在盡可能減少庫存的情況下，該廠家將售價定為多少元時，每天的銷售利潤為元？
鞏固提升專練 參考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7.
8.
9. ，
10.
11. 解：，，，
，
，
，；
，
，
，
，
或，
，．
12. 解：根據題意得，
解得；
根據題意得，
解得，
原方程變形為，
，
所以．
13. 證明：關于的方程，
，
則無論取何實數值，方程總有實數根；
解：當時，，方程為，
解得：，
此時三邊長為，，，周長為；
當或時，把代入方程得：，
解得：，此時方程為：，
解得：，，
此時三邊長為，，，周長為，
綜上所述，的周長為或．
14.

15.解：根據題意列出的方程為．
故答案為：；
設底面長為，寬為，正方形的邊長為，
根據題意得：
由得，由得，
把、的值代入中，得，
整理得：，
解得，舍去，
答：剪去的正方形的邊長為．
設該廠家將售價定為元時，每天的銷售利潤為元，
根據題意，得，
解得，，
要盡可能減少庫存，
價格越低，銷售量越大，
，
答：該廠家將售價定為元時，每天的銷售利潤為元．

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