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專題05 一次、二次方程與方程組
考點解讀 在中考中，主要考查一元一次方程和二元一次方程的解法，常以選擇題、填空題和計算題考查為主；一次方程的實際應用常在解答題中與不等式、一次函數(shù)的實際應用結合考查，一元二次方程的概念主要在選擇題和填空題中考查，解一元二次方程（包括配方法）以選擇題、填空題和計算題考查，一元二次方程根的判別式常以選擇題、填空題考查，一元二次方程應用常在選擇題、填空題和解答題的第一間考查．
考向01 等式的性質
考向02 一元一次方程的解
考向03 解一元一次方程
考向04 一元一次方程的實際應用
考向05 二元一次方程（組）的解
考向06 二元一次方程組的實際應用
考向07 一元二次方程的解
考向08 解一元二次方程
考向09 一元二次方程的根與系數(shù)的關系
考向10 一元二次方程的實際應用
【母題1】根據等式的性質，下列各式變形正確的是　　
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【母題2】在物理學中，導體中的電流跟導體兩端的電壓、導體的電阻之間有以下關系：，去分母得，那么其變形的依據是　　
A．等式的性質1 B．等式的性質2
C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【母題3】設，，為互不相等的實數(shù)，且，則下列結論正確的是　　
A． B． C． D．
方法技巧 1．性質1中“同一個”是指等式兩邊所加（或減）的數(shù)（或式子）必須相同． 2．等式的性質包括加、減、乘和除，其中加、減或乘的數(shù)往往是任意的，只有除法中的除數(shù)不能為0．
【母題1】關于的一元一次方程的解為，則的值為　　
A．3 B． C．7 D．
【母題2】若，則關于的方程解的取值范圍為　　
A． B． C． D．
【母題3】方程的解是　　
A． B． C． D．
方法技巧 （1）解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解． （2）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值可以不止一個，即方程的解可以有多個． （3）方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的結果，解方程是求解的過程，要區(qū)別開．
【母題1】小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號，得②
移項，得③
合并同類項，得④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是　　
A．① B．② C．③ D．④
【母題2】小紅在解方程時，第一步出現(xiàn)了錯誤：
解：，
（1）請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處．
（2）寫出你的解答過程．
【母題3】解方程：．
方法技巧 1．合并同類項的實質是系數(shù)的合并，字母及指數(shù)都不變； 2．系數(shù)合并時要連同前面的“±”號，如–3x+2x=5應變成（–3+2）x=5，即–x=5； 3．系數(shù)合并的實質是有理數(shù)的加法運算； 4．移項時，所移的項一定要變號，而且必須是從方程的一邊移到方程的另一邊． 5．去括號：把方程中含有的括號去掉的過程叫做去括號． （1）去括號的依據：分配律． （2）去括號的法則：將括號外的因數(shù)連同它前面的符號看成一個整體，按照分配律與括號內各項相乘．括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后各項符號與原括號內相應的各項符號相同；括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后各項符號與原括號內相應的各項符號相反． （3）對于多重括號的，可以先去小括號，再去中括號，若有大括號，最后去大括號，或由外向內去括號，有時也可用去分母的方法去括號．
【母題1】元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬天可追上慢馬，由題意得　　
A． B．
C． D．
【母題2】某校組織七年級學生到江姐故里研學旅行，租用同型號客車4輛，還剩30人沒有座位；租用5輛，還空10個座位．求該客車的載客量．
【母題3】某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數(shù)，需重新投．計分規(guī)則如下：
投中位置 區(qū) 區(qū) 脫靶
一次計分（分 3 1
在第一局中，珍珍投中區(qū)4次，區(qū)2次．脫靶4次．
（1）求珍珍第一局的得分；
（2）第二局，珍珍投中區(qū)次，區(qū)3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求的值．
方法技巧 1．列一元一次方程解應用題的一般步驟： （1）審：理解題意．弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么．
（2）設：設元（未知數(shù)）：用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關的量．
①直接未知數(shù)；②間接未知數(shù)（往往二者兼用）．
（3）列：尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程． （4）解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值． （5）驗：檢驗方程的解是否符合問題的實際意義．
（6）答：寫出答案． 2．列一元一次方程解應用題的關鍵是：找相等關系． 3．設未知數(shù)的幾種方法： （1）直接設未知數(shù)：題目求什么就設什么為未知數(shù)． （2）間接設未知數(shù)：間接地設一個或幾個與所求的量有關系的量作為未知數(shù)，列出方程求出未知數(shù)的值，進而得到所求的量． （3）設輔助未知數(shù)：設某個量為輔助未知數(shù)作為題目中量與量之間的橋梁．一般情況下，解方程時不需要求出這個量．
【母題1】已知關于，的二元一次方程組的解滿足，則的值為
　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【母題2】已知是方程的解，則代數(shù)式的值為 　?。?br/>【母題3】已知關于，的方程組的解滿足，則的值為 　?。?br/>方法技巧 檢驗一對數(shù)值是否是某個二元一次方程組的解，常用的方法是將這對數(shù)值分別代入方程組中的每個方程．只有當這對數(shù)值同時滿足所有方程時，才能說這對數(shù)值是此方程組的解；如果這對數(shù)值不滿足其中的某個方程，那么它就不是此方程組的解．
【母題1】《孫子算經》中有一道題，原文是：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺．問木長多少尺？設木長尺，繩長尺，根據題意列方程組得　　
A． B． C． D．
【母題2】2022年12月28日查干湖冬捕活動后，某商家銷售，兩種查干湖野生魚，如果購買1箱種魚和2箱種魚需花費1300元：如果購買2箱種魚和3箱種魚需花費2300元．分別求每箱種魚和每箱種魚的價格．
【母題3】根據經營情況，公司對某商品在甲、乙兩地的銷售單價進行了如下調整：甲地上漲，乙地降價5元．已知銷售單價調整前甲地比乙地少10元，調整后甲地比乙地少1元，求調整前甲、乙兩地該商品的銷售單價．
方法技巧 一、行程問題 1．相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=兩地距離． 2．追及問題：同地不同時出發(fā)：前者走的路程=追者走的路程； 同時不同地出發(fā)：前者走的路程+兩地距離=追者走的路程． 二、配套問題 產品配套問題是指某件產品是由幾個部件配套加工而成的，而部件的數(shù)量并不完全相同，在生產過程中，為了使每個部件生產的數(shù)量恰好符合組裝所需，而不產生積壓．各部件的數(shù)量不一定相等，但存在一定數(shù)量關系： 三、幾何圖形問題 對于圖形問題的求解，要會通過對圖形的觀察比較、分析，發(fā)現(xiàn)隱含在圖形中的數(shù)量關系，這是解決有關圖形問題的關鍵．圖形中隱含的數(shù)量關系有邊長之間的關系、面積之間的關系，等等． 四、方案問題 優(yōu)化方案問題先要列舉出所有可能的方案，再按題目要求分別求出每種方案的具體結果，進行比較，從中選擇最優(yōu)．
【母題1】若是關于的方程的解，則的值為 　　．
【母題2】若是關于的一元二次方程的一個根，則　?。?br/>【母題3】若是方程的根，則　　．
方法技巧 使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據．將此數(shù)代入這個一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等，就是這個方程的根；若不相等，就不是這個方程的根．
【母題1】用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　
A． B． C． D．
【母題2】（2022 東營）一元二次方程的解是　　
A．， B．，
C．， D．，
【母題3】解方程：．
方法技巧 1．直接開平方法 （1）依據平方根的意義，將形如的一元二次方程“降次”轉化為兩個一元一次方程． （2）步驟： ①將方程轉化為（或）的形式； ②分三種情況降次求解：（?。┊敃r，，；（ⅱ）當時，；（ⅲ）當時，方程無實數(shù)根． 2．利用配方法解一元二次方程的一般步驟： （1）把常數(shù)項移到等號的右邊，使方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項； （2）方程兩邊同時除以二次項系數(shù)，使二次項的系數(shù)化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，把原方程化為（x±m(xù)）2=n的形式； （4）用直接開平方解變形后的方程． 解題時要注意解題步驟的準確應用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)． 3．公式法 利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算出根的判別式，當根的判別式大于等于0時，將a，b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解． 4．因式分解法 因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式，那么這兩個因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個一元一次方程的解，這樣也就把原方程進行了降次，把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學轉化思想）．
【母題1】已知一元二次方程的兩個實數(shù)根為，，若，則實數(shù)　　．
【母題2】已知關于的一元二次方程．
（1）求證：無論取何值時，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設該方程的兩個實數(shù)根為，，若，求的值．
【母題3】已知關于的一元二次方程．
（1）求證：無論為何值，方程總有實數(shù)根；
（2）若，是方程的兩個實數(shù)根，且，求的值．
方法技巧 涉及兩根的代數(shù)式的重要變形： （1）； （2）； （3）； （4）．
【母題1】近年來，由于新能源汽車的崛起，燃油汽車的銷量出現(xiàn)了不同程度的下滑，經銷商紛紛開展降價促銷活動．某款燃油汽車今年3月份售價為23萬元，5月份售價為16萬元．設該款汽車這兩月售價的月均下降率是，則所列方程正確的是　　
A． B．
C． D．
【母題2】如圖，老李想用長為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長）圍成一個矩形羊圈，并在邊上留一個寬的門（建在處，另用其他材料）．
（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為的羊圈？
（2）羊圈的面積能達到嗎？如果能，請你給出設計方案；如果不能，請說明理由．
【母題3】為了便于勞動課程的開展，學校打算建一個矩形生態(tài)園（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由．
方法技巧 列一元二次方程解應用題的一般步驟 1．審：讀懂題目，弄清題意，明確已知量、未知量，以及它們之間的關系． 2．設：設出未知數(shù)． 3．列：找出相等關系，列出方程． 4．解：解方程，求出未知數(shù)的值． 5．驗：檢驗方程的解是否符合實際意義． 6．答：寫出答案．
一、選擇題
1．《九章算術》中記載了這樣一個數(shù)學問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發(fā)，5日到齊國；乙從齊國出發(fā)，7日到長安．現(xiàn)乙先出發(fā)2日，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相逢？設乙出發(fā)日，甲乙相逢，則可列方程　　
A． B． C． D．
2．若關于的方程無解，只有一個解，有兩個解，則，，的大小關系是　　
A． B． C． D．
3．關于的方程與方程的解相同，則常數(shù)是　　
A． B．3 C．2 D．
4．在一次設計環(huán)保標志的活動中，初三（1）班的同學們積極投稿，班主任王老師準備了若干盒巧克力獎勵給本班投稿的同學，若每2位同學獎勵一盒巧克力，則少2盒；若每3位同學獎勵一盒巧克力，則又多了3盒，設該班投稿的同學有人，巧克力有盒，根據題意得方程組　　
A． B． C． D．
5．若關于、的方程的解滿足，則的值為　　
A． B． C．0 D．不能確定
6．關于的方程是一元二次方程，則的值是　　
A． B．3 C．1 D．1或
7．若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是
　　
A． B． C．，且 D．，且
8．已知方程有兩個實數(shù)根，則的取值范圍是　　
A． B． C．且 D．且
二、填空題
9．方程有三個實數(shù)根，則　?。?br/>10．小明在解方程時，發(fā)現(xiàn)用配方法和公式法計算量都比較大，因此他又想到了另外一種方法，快速解出了答案：
方法如下：
第①步
第②步
第③步
第④步
老師看到后，夸小明很聰明，方法很好，但是有一步做錯了，請問小明出錯的步驟為 　?。ㄌ钚蛱枺?br/>三、解答題
11．解方程組．
12．已知關于的一元二次方程．
（1）試證明：無論取何值此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若原方程的兩根，滿足，求的值．
13．某草莓采摘園收費信息如下表：
成人票 兒童票 帶出草莓價格
不超過10人 超過10人 20元人 30元斤
30元人 每增加1人，人均票價下降1元，但不低于兒童票價
（1）某社團共32人去該采摘園進行綜合實踐活動，購買了10張兒童票，其余均為成人票，總費用不超過1240元，求本次活動他們最多共帶出草莓多少斤？
（2）某公司員工（均為成人）在該草莓采摘園組織團建活動，共支付票價391元，求這次參加團建的共多少人？

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