資源簡介

5.3簡單的軸對稱圖形
北師大版七年級下冊寒假預習
學習目標
1．理解并掌握等腰三角形的性質；(重點)
2．經歷等腰三角形的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質解決有關問題．(難點)　　　
3．理解線段的垂直平分線的概念；
4．掌握線段的垂直平分線的性質定理及逆定理；(重點)
5．能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算．(難點)
6．經歷角的平分線性質的發現過程，初步掌握角的平分線的性質定理；(重點)
7．能運用角的平分線性質定理解決簡單的幾何問題．(難點)
考點類型梳理及方法總結
探究點：等腰三角形的性質
【類型一】 利用“等邊對等角”求角度
方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
【類型二】 利用方程思想求等腰三角形的角度
方法總結：利用等腰三角形的性質和三角形內角和可以得到角與角之間的關系，當這種等量關系或和差關系較多時，可考慮列方程解答，設未知數時，一般設較小的角的度數為x.
【類型三】 利用“等邊對等角”的性質進行證明
方法總結：證明線段的平行關系，主要是通過證明角相等或互補．
【類型四】 利用等腰三角形“三線合一”的性質進行證明
方法總結：在等腰三角形有關計算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
探究點：線段垂直平分線的性質
【類型一】 利用線段垂直平分線的性質進行證明
方法總結：解題時，往往利用線段垂直平分線的性質得出線段相等，進而得出角相等，這體現了數學的轉化思想．
【類型二】 利用線段垂直平分線的性質進行判斷
方法總結：AB是CD的垂直平分線，它包含兩個方面的含義：一是AB與CD垂直，二是AB把CD分成相等的兩部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“單向”的．
【類型三】 與線段垂直平分線有關的計算
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．對相等的線段進行轉化是解答本題的關鍵．
【類型四】 線段垂直平分線的性質與全等三角形的綜合
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．
探究點：線段垂直平分線的作圖
方法總結：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．
探究點一：角平分線的性質
【類型一】 利用角平分線的性質證明線段相等
方法總結：角平分線的性質是判定線段相等的一個重要依據，在運用時一定要注意是兩條垂線段相等．
【類型二】 角平分線的性質與三角形面積的綜合運用
方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．
【類型三】 角平分線的性質與全等三角形綜合
方法總結：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質是判定線段相等的主要依據，可作為判定三角形全等的條件．
【類型四】 角平分線的性質與線段垂直平分線性質的綜合運用
方法總結：本題是線段垂直平分線的性質和角平分線的性質的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．
【類型五】 角平分線的性質與等腰三角形的性質綜合的探究性問題
探究點：角平分線的畫法
方法總結：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關鍵．
預習檢測
一．選擇題
1．（2023秋 安溪縣期末）如圖，在，的垂直平分線交于，若，，則的周長是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
2．（2023秋 特克斯縣期中）如圖，點是平分線上一點，，垂足為，若，則點到邊的距離是　　
A．2 B．3 C． D．4
3．（2023秋 衡陽期末）等腰三角形的一個角是，則它的頂角是　　
A． B． C． D．或
4．（2023秋 裕華區校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線與交于點，則的度數是　　
A． B． C． D．
5．（2023秋 杜爾伯特縣期末）已知等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為　　
A． B． C． D．
6．（2023秋 青龍縣期末）等腰三角形的一個角為，則它的底角的度數為　　
A． B． C．或 D．
7．（2023秋 宣化區期末）如圖，在中，，是邊上的中點，，則等于　　
A． B． C． D．
8．（2023秋 虹口區校級期末）如圖，中，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
9．（2023秋 禹城市期中）如圖，射線平分，點、分別在射線、上，若，的面積為10，過點作于點，則的長為　　
A．10 B．5 C．4 D．3
10．（2023秋 東莞市期末）如圖，平分，于點，點是射線上的一個動點．若，則的長不可能是　　
A．4 B．3.5 C．2 D．1.5
11．（2023秋 咸安區期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為13，的周長為　　
A．16 B．13 C．19 D．10
12．（2022秋 金平縣期末）如圖是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應建在三角形草坪　　
A．三條角平分線的交點處
B．三條中線的交點處
C．三條高的交點處
D．三條邊的垂直平分線的交點處
13．（2023秋 四平期末）等腰三角形的頂角為，則它的一個底角是　　
A． B． C． D．
14．（2023 綿陽）如圖，在等邊中，是邊上的中線，延長至點，使，若，則　　
A． B．6 C．8 D．
15．（2023秋 官渡區期末）已知等腰三角形的一內角度數為，則它的頂角的度數為　　
A． B． C． D．或
16．（2022秋 海滄區校級期末）如圖，在四邊形中，，平分，，，則的面積是　　
A．3 B．4 C．6 D．12
17．（2023秋 合江縣期中）一個等腰三角形的兩邊長分別為 5 和 9 ，則這個三角形的周長是　　
A ． 19 B ． 23 C ． 19 或 23 D ． 20
18．（2023秋 章貢區期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為、，則該等腰三角形的周長是　　
A． B． C．或者 D．
19．（2022秋 費縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和1，則這個等腰三角形的周長為　　
A．13 B．8 C．10 D．8或13
20．（2023秋 西豐縣期末）如圖，中，是的角平分線，，是中點，連接，若，，，則的面積為　　
A．7.5 B．8 C．9 D．12
二．填空題
21．（2023秋 惠州期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是 　　．
22．（2023秋 黔江區期末）等腰三角形的周長為，其中一邊長為，則該等腰三角形的底邊為　　．
23．（2023 九龍坡區校級開學）如圖，中，、兩點分別在、上，為的中垂線，為的角平分線，若，則　　．
24．（2023秋 江都區期末）等腰三角形的兩邊、滿足，那么這個三角形的周長是　 　．
25．（2023秋 永春縣校級月考）等腰三角形兩條邊長分別為和，則該等腰三角形的周長為 　　．
26．（2023秋 博爾塔拉州期末）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為 　　．
27．（2022秋 南寧期末）在中，，平分，一個等邊三角形如圖擺放，交于點．若，，則等邊三角形的邊長為 　　．
28．（2023秋 雙橋區校級期末）如圖，是的角平分線，于點，于點，點是上的點，點是上的點．
（1）與是否相等？　　（填“是”或“否” ；
（2）若，則　　．
29．（2023秋 中江縣期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是 　 　．
30．（2022秋 曾都區期末）如圖，在中，，，點在線段上運動（點不與、重合），連接，作，交于點，當為等腰三角形時，的度數為 　　．
31．（2023秋 源匯區校級期中）如圖，在中，，，為中點，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則　　．
32．（2023秋 德化縣期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長 為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點，連接．若，，則的周長為 　　．
33．（2023秋 東港區校級期中）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優美比”為 　　．
34．（2021秋 利辛縣期末）已知是等腰三角形但不是直角三角形，，若剪一刀，能將其分割成兩個等腰三角形，則的度數是 　　．
35．（2023秋 海淀區校級期中）定義：如果一個三角形的一條邊是另一條邊長度的兩倍，則稱這個三角形為倍長三角形．若等腰是倍長三角形，且一邊長為6，則的底邊長為 　　．
36．（2023秋 藁城區期末）如圖，是一個鋼架，，為使鋼架更牢固，需在其內部焊接一些鋼管，如、、若焊接的鋼管的長度都與的長度相等，則最多能焊接 　　根．
37．（2023秋 深圳校級期末）如圖，已知在中，，，，平分，平分，與交于點，若過點的直線平分面積，那么的值為 　　．
38．（2022秋 瓊山區校級期末）如圖，在中，，的平分線交于點，，，則的面積是 　　．
39．（2023秋 裕華區期末）如圖，中．，，，若動點從點開始．按的路徑運動，且速度為每秒，設出發的時間為秒
（1）若為直角三角形，則的取值是 　　；
（2）若為等腰三角形．則的值是 　　．
40．（2023秋 通州區期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線相交于點．若，則　　度．
三．解答題
41．（2022秋 昌黎縣期末）如圖，是的角平分線，、分別是和的高．
（1）試說明垂直平分；
（2）若，求證：．
42．（2023秋 金安區校級期末）如圖所示，若和分別垂直平分和．
（1）若的周長為12，求的長；
（2），求的度數．
43．（2023秋 龍山區期末）已知：在中，平分，平分．
（1）如圖1，若，，求的度數．
（2）如圖2，連接，作，，，求的面積．
44．（2023秋 肅寧縣期中）如圖，與相交于點，且是的垂直平分線，于點，于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
45．（2022秋 南昌縣期末）如圖所示，中，，于點，于點，交于．
（1）若，求的度數；
（2）若點是的中點，求證：．
46．（2023秋 白云區校級期中）在中，，，平分，交于點，點與點關于直線對稱，連接，，延長交于點，過點作于．
（1）補全圖形；
（2）直接寫出、、之間的相等關系：　　；
（3）求證：．
47．（2023春 桃城區校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，垂足為．
（1）求的周長；
（2）若，求的度數．
48．（2023秋 天津期末）在中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，與相交于點，的周長為6．
（1）與的數量關系為　　．
（2）求的長．
（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．
49．（2023 越秀區校級三模）如圖所示，，，，，求的大小．
50．（2022秋 思明區期末）如圖，為線段的垂直平分線，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，．若，求證：．
51．（2023 蓬江區校級三模）如圖，于，于，若，
求證：平分．
52．（2023秋 靜安區校級期中）已知：如圖，在中，是的角平分線，，垂足為．求證：．
53．（2023秋 合浦縣期中）如圖，在中，于點，垂直平分，交于點，交于點，連接，且．
（1）若，求的度數；
（2）若的周長為，，求的長．
54．（2023秋 蛟河市期末）問題背景：如圖，在中，．在的延長線上取點，，作，使．
（1）探究一：當時．
①若，求的度數；
②若，則的度數用含的式子表示為 　　，的度數為 　　．
（2）探究二：若，直接寫出的度數．
55．（2023秋 高新區校級期末）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，，垂足為，且，連接．
（1）求證：；
（2）若的周長為，，則的長為多少？
56．（2023秋 杭州期中）已知：如圖，，，，在同一直線上，，．求證：．
57．（2023秋 于都縣期中）如圖所示，、分別是的邊、上的點，且，．
（1）若，則　　；
（2）若，則　　；
（3）設，，你能由（1）（2）中的結果找到、所滿足的關系嗎？請說明理由．
58．（2022秋 濉溪縣期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接．
（1）若，求的度數；
（2）若，的周長是，求的長．
59．（2022秋 瀘縣期末）如圖，在中，，，平分交于點，求的度數．
60．（2022秋 梁山縣期末）教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．
定理證明：請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．
定理應用：
如圖②，的周長是12，、分別平分和，于點，若，則的面積為　　．
5.3簡單的軸對稱圖形
【答案版】
學習目標
1．理解并掌握等腰三角形的性質；(重點)
2．經歷等腰三角形的探究過程，能初步運用等腰三角形的性質解決有關問題．(難點)　　　
3．理解線段的垂直平分線的概念；
4．掌握線段的垂直平分線的性質定理及逆定理；(重點)
5．能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算．(難點)
6．經歷角的平分線性質的發現過程，初步掌握角的平分線的性質定理；(重點)
7．能運用角的平分線性質定理解決簡單的幾何問題．(難點)
考點類型梳理及方法總結
探究點：等腰三角形的性質
【類型一】 利用“等邊對等角”求角度
方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
【類型二】 利用方程思想求等腰三角形的角度
方法總結：利用等腰三角形的性質和三角形內角和可以得到角與角之間的關系，當這種等量關系或和差關系較多時，可考慮列方程解答，設未知數時，一般設較小的角的度數為x.
【類型三】 利用“等邊對等角”的性質進行證明
方法總結：證明線段的平行關系，主要是通過證明角相等或互補．
【類型四】 利用等腰三角形“三線合一”的性質進行證明
方法總結：在等腰三角形有關計算或證明中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
探究點：線段垂直平分線的性質
【類型一】 利用線段垂直平分線的性質進行證明
方法總結：解題時，往往利用線段垂直平分線的性質得出線段相等，進而得出角相等，這體現了數學的轉化思想．
【類型二】 利用線段垂直平分線的性質進行判斷
方法總結：AB是CD的垂直平分線，它包含兩個方面的含義：一是AB與CD垂直，二是AB把CD分成相等的兩部分．“垂直”是相互的，而“平分”是“單向”的．
【類型三】 與線段垂直平分線有關的計算
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．對相等的線段進行轉化是解答本題的關鍵．
【類型四】 線段垂直平分線的性質與全等三角形的綜合
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．
探究點：線段垂直平分線的作圖
方法總結：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結合對應幾何圖形的性質和基本作圖的方法作圖．
探究點一：角平分線的性質
【類型一】 利用角平分線的性質證明線段相等
方法總結：角平分線的性質是判定線段相等的一個重要依據，在運用時一定要注意是兩條垂線段相等．
【類型二】 角平分線的性質與三角形面積的綜合運用
方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形面積公式求出線段的長度是常用的方法．
【類型三】 角平分線的性質與全等三角形綜合
方法總結：全等三角形的判定離不開邊，而角平分線的性質是判定線段相等的主要依據，可作為判定三角形全等的條件．
【類型四】 角平分線的性質與線段垂直平分線性質的綜合運用
方法總結：本題是線段垂直平分線的性質和角平分線的性質的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．
【類型五】 角平分線的性質與等腰三角形的性質綜合的探究性問題
探究點：角平分線的畫法
方法總結：通過本題要掌握角平分線的作圖步驟，根據作圖明確AM是∠BAC的角平分線是解題的關鍵．
預習檢測
一．選擇題
1．（2023秋 安溪縣期末）如圖，在，的垂直平分線交于，若，，則的周長是　　
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】由的垂直平分線交于，可得，又由，，的周長，即可求得答案．
【解答】解：的垂直平分線交于，
，
，，
的周長是：．
故選：．
2．（2023秋 特克斯縣期中）如圖，點是平分線上一點，，垂足為，若，則點到邊的距離是　　
A．2 B．3 C． D．4
【答案】
【分析】根據角平分線上的點到兩邊的距離相等即可得到答案．
【解答】解：點是平分線上一點，，，
點到邊的距離是2；
故選：．
3．（2023秋 衡陽期末）等腰三角形的一個角是，則它的頂角是　　
A． B． C． D．或
【答案】
【分析】分這個角為頂角和底角，結合三角形內角和定理可求得答案．
【解答】解：當角為頂角時，則頂角為，
當角為底角時，則兩個底角和為，求得頂角為，
故選：．
4．（2023秋 裕華區校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線與交于點，則的度數是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據三角形內角和定理求出，根據線段垂直平分線的性質得到，根據等腰三角形的性質得到，結合圖形計算，得到答案．
【解答】解：，，
，
是的垂直平分線，
，
，
，
故選：．
5．（2023秋 杜爾伯特縣期末）已知等腰三角形的一個底角為，則這個等腰三角形的頂角為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】等腰三角形的特征：兩腰相等，兩底角也相等；再根據三角形內角和是和底角是，進而求得它的頂角的度數．
【解答】解：等腰三角形中的一個底角為，等腰三角形的兩底角相等，
等腰三角形的頂角度數為：，
故選：．
6．（2023秋 青龍縣期末）等腰三角形的一個角為，則它的底角的度數為　　
A． B． C．或 D．
【答案】
【分析】等腰三角形中相等的角叫底角，另外一個角叫頂角，所以本題有兩種情況．
【解答】解：當為頂角時，底角為：．
也可以為底角．
故選：．
7．（2023秋 宣化區期末）如圖，在中，，是邊上的中點，，則等于　　
A． B． C． D．
【分析】根據等腰三角形的性質可得到，再由的度數即可求出的度數．
【解答】解：在中，已知，是邊上的中點，
，
，
，
，
故選：．
8．（2023秋 虹口區校級期末）如圖，中，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，若，則的度數為　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根據三角形內角和定理可求，根據垂直平分線性質，，，則，，從而可得，即可得到，即可得解．
【解答】解：，
，
的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，
，，
，，
，
．
故選：．
9．（2023秋 禹城市期中）如圖，射線平分，點、分別在射線、上，若，的面積為10，過點作于點，則的長為　　
A．10 B．5 C．4 D．3
【答案】
【分析】過點作，垂足為，先根據三角形的面積求出的長，然后利用角平分線的性質可得，即可解答．
【解答】解：過點作，垂足為，
，的面積為10，
，
，
射線平分，，，
，
故選：．
10．（2023秋 東莞市期末）如圖，平分，于點，點是射線上的一個動點．若，則的長不可能是　　
A．4 B．3.5 C．2 D．1.5
【答案】
【分析】根據角平分線的性質得到點到的距離等于，根據垂線段最短得到，然后對各選項進行判斷．
【解答】解：平分，，
點到的距離等于，即點到的距離為2，
．
故選：．
11．（2023秋 咸安區期末）如圖，在中，是的垂直平分線，，的周長為13，的周長為　　
A．16 B．13 C．19 D．10
【答案】
【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：是的垂直平分線，，
，，
的周長為13，
，
的周長，
故選：．
12．（2022秋 金平縣期末）如圖是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，若要使涼亭到草坪三條邊的距離都相等，則涼亭應建在三角形草坪　　
A．三條角平分線的交點處
B．三條中線的交點處
C．三條高的交點處
D．三條邊的垂直平分線的交點處
【答案】
【分析】首先理解涼亭到草坪三條邊的距離相等的意義，而角平分線上的點到角兩邊的距離相等，從而得出的角平分線交于三角形內一點，判斷它到三角形各邊的距離是否相等，問題即可解答．
【解答】解：因為角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
所以涼亭的位置應為三條角平分線的交點．
故選：．
13．（2023秋 四平期末）等腰三角形的頂角為，則它的一個底角是　　
A． B． C． D．
【分析】根據等腰三角形的兩個底角相等即可得出結論．
【解答】解：一個等腰三角形的頂角為，
它的底角．
故選：．
14．（2023 綿陽）如圖，在等邊中，是邊上的中線，延長至點，使，若，則　　
A． B．6 C．8 D．
【答案】
【分析】先由等邊三角形的性質，得，，，再根據，得，進而得，則，然后在中，由勾股定理求出即可．
【解答】解：為等邊三角形，
，，
是邊上的中線，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
．
故選：．
15．（2023秋 官渡區期末）已知等腰三角形的一內角度數為，則它的頂角的度數為　　
A． B． C． D．或
【分析】分類討論，①若是頂角；②若是底角，再結合等腰三角形的性質、三角形內角和定理可求度數．
【解答】解：①若是頂角，則底角；
②若是底角，那么頂角．
故選：．
16．（2022秋 海滄區校級期末）如圖，在四邊形中，，平分，，，則的面積是　　
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】
【分析】過點作交的延長線于點，由角平分線的性質得出，再根據三角形的面積公式即可求解．
【解答】解：如圖，過點作交的延長線于點，
平分，，，
，
，
．
故選：．
17．（2023秋 合江縣期中）一個等腰三角形的兩邊長分別為 5 和 9 ，則這個三角形的周長是　　
A ． 19 B ． 23 C ． 19 或 23 D ． 20
【分析】根據等腰三角形的性質， 分兩種情況：①當腰長為 5 時，②當腰長為 6 時， 解答出即可 ．
【解答】解： 根據題意，
①當腰長為 5 時， 周長；
②當腰長為 9 時， 周長．
故其周長為 19 或 23 ，
故選：．
18．（2023秋 章貢區期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為、，則該等腰三角形的周長是　　
A． B． C．或者 D．
【答案】
【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為和，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
【解答】解：①為腰，為底，此時周長為；
②為底，為腰，則兩邊和小于第三邊無法構成三角形，故舍去．
其周長是．
故選：．
19．（2022秋 費縣期末）已知等腰三角形的兩邊長分別為6和1，則這個等腰三角形的周長為　　
A．13 B．8 C．10 D．8或13
【答案】
【分析】根據腰為6和1，分類求解，注意根據三角形的三邊關系進行判斷．
【解答】解：當等腰三角形的腰為1時，三邊為1，1，6，，三邊關系不成立，
當等腰三角形的腰為6時，三邊為1，6，6，三邊關系成立，周長為．
故選：．
20．（2023秋 西豐縣期末）如圖，中，是的角平分線，，是中點，連接，若，，，則的面積為　　
A．7.5 B．8 C．9 D．12
【答案】
【分析】過點作于點，根據角平分線的性質可得，從而得到，再由是中點，即可求解．
【解答】解：如圖，過點作于點，
是的角平分線，，，
，
，
是中點，
，
故選：．
二．填空題
21．（2023秋 惠州期末）如圖，在中，，以頂點為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交，于點、，再分別以點、為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交邊于點，若，，則的面積是 　15　．
【分析】作于，根據角平分線的性質得到，根據三角形的面積公式計算即可．
【解答】解：如圖，作于，
由基本尺規作圖可知，是的角平分線，
，，
，
的面積，
故答案為：15．
22．（2023秋 黔江區期末）等腰三角形的周長為，其中一邊長為，則該等腰三角形的底邊為　或　．
【分析】分長的邊是腰和底邊兩種情況進行討論即可求解．
【解答】解：當長是的邊是底邊時，三邊為，，，等腰三角形成立；
當長是的邊是腰時，底邊長是：，等腰三角形成立．
故底邊長是：或．
故答案為：或
23．（2023 九龍坡區校級開學）如圖，中，、兩點分別在、上，為的中垂線，為的角平分線，若，則　62　．
【答案】62．
【分析】首先根據角平分線定義得到．結合為的中垂線，可得．然后根據三角形的內角和等于，結合，可以得到的度數，即可得的答案．
【解答】解：為的角平分線，
．
為的中垂線，
，
，
，
又，
．
，，且的內角和為，
，
，，
，
答的度數為．
故答案為：62．
24．（2023秋 江都區期末）等腰三角形的兩邊、滿足，那么這個三角形的周長是　12　．
【分析】通過等式可以判斷，的長度，已知等腰三角形的兩邊，通過兩邊相等及構造條件可以判斷三邊，求出周長即可．
【解答】解：因為，所以，．
又因為是等腰三角形，所以三邊長為5，5，2，2或2，2，5（不滿足三角形構造條件，舍去）
所以周長為．
故填12．
25．（2023秋 永春縣校級月考）等腰三角形兩條邊長分別為和，則該等腰三角形的周長為 　　．
【答案】．
【分析】由于未說明兩邊哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長．
【解答】解：當等腰三角形的腰為，底為時，，，不能夠組成三角形；
當等腰三角形的腰為，底為時，，，能夠組成三角形，此時周長為．
則這個等腰三角形的周長是．
故答案為：．
26．（2023秋 博爾塔拉州期末）如果等腰三角形的兩邊長分別為3和7，那么它的周長為 　17　．
【分析】求等腰三角形的周長，即是確定等腰三角形的腰與底的長求周長；題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和7，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形．
【解答】解：（1）若3為腰長，7為底邊長，
由于，則三角形不存在；
（2）若7為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．
所以這個三角形的周長為．
故答案為：17．
27．（2022秋 南寧期末）在中，，平分，一個等邊三角形如圖擺放，交于點．若，，則等邊三角形的邊長為 　5　．
【答案】5．
【分析】設，先利用等腰三角形的三線合一性質可得，，再利用等邊三角形的性質可得，，從而可得，然后利用含30度角的直角三角形的性質可得，從而列出關于的方程進行計算，即可解答．
【解答】解：設，
，平分，
，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
等邊三角形的邊長為5，
故答案為：5．
28．（2023秋 雙橋區校級期末）如圖，是的角平分線，于點，于點，點是上的點，點是上的點．
（1）與是否相等？　是　（填“是”或“否” ；
（2）若，則　　．
【答案】是180
【分析】（1）根據角平分線的性質定理，判斷作答即可；
（2）證明，可求，根據，計算求解即可．
【解答】解：（1）是的角平分線，，，
，
故答案為：是；
（2）在與中，
，
，
，
，
，
，
故答案為：180．
29．（2023秋 中江縣期末）如圖，在∠AOB的邊OA，OB上取點M，N，連接MN，PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，若MN＝2，△PMN的面積是2，△OMN的面積是8，則△OMN的周長是 　12　．
【答案】12．
【分析】過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，由角平分線的性質得到PL＝PH，PK＝PH，因此PL＝PK，由三角形面積公式求出PH＝2，得到PK＝PL＝2，由△OMN的面積+△PMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積＝（OM+ON） PK＝10，求出OM+ON＝10，即可得到△OMN的周長＝OM+ON+MN＝10+2＝12．
【解答】解：過P作PH⊥MN與H，PK⊥OB于K，PL⊥AO于L，連接PO，
∵PM平分∠AMN，PN平分∠MNB，
∴PL＝PH，PK＝PH，
∴PL＝PK，
∵MN＝2，△PMN的面積＝MN PH＝2，
∴PH＝2，
∴PK＝PL＝2，
∵△POM的面積＝OM PL，△PON的面積＝ON PK，
∴△OMN的面積+△PMN的面積＝△POM的面積+△PON的面積＝（OM+ON） PK＝8+2＝10，
∴OM+ON＝10，
∴△OMN的周長＝OM+ON+MN＝10+2＝12．
故答案為：12．
30．（2022秋 曾都區期末）如圖，在中，，，點在線段上運動（點不與、重合），連接，作，交于點，當為等腰三角形時，的度數為 　或　．
【答案】或．
【分析】先利用等腰三角形的性質可得，從而利用三角形內角和定理可得，然后分三種情況：當時，當時，當時，分別進行計算即可解答．
【解答】解：，，
，
，
分三種情況：
當時，
，
是的一個外角，
，
此種情況不符合題意；
當時，
，
；
當時，
，
；
綜上所述：的度數為或，
故答案為：或．
31．（2023秋 源匯區校級期中）如圖，在中，，，為中點，為的角平分線，的面積記為，的面積記為，則　10　．
【答案】10．
【分析】根據三角形中線的性質和角平分線的性質解答即可．
【解答】解：，，為中點，為的角平分線，
，到的距離到的距離，
，
的面積記為，的面積記為，則，
故答案為：10．
32．（2023秋 德化縣期末）如圖，在中，分別以點和點為圓心，大于的長 為半徑畫弧，兩弧相交于點，，作直線，交于點，連接．若，，則的周長為 　15　．
【答案】15．
【分析】先根據作圖痕跡可得是線段的垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質證得即可求解．
【解答】解：根據作圖痕跡，是線段的垂直平分線，
，
，，
的周長為，
故答案為：15．
33．（2023秋 東港區校級期中）等腰三角形的底邊長與其腰長的比值稱為這個等腰三角形的“優美比”．若等腰的周長為20，其中一邊長為8，則它的“優美比”為 　或　．
【答案】或．
【分析】分8為腰長和底邊長，兩種情況進行討論即可．
【解答】解：當8為腰長時，
等腰的周長為20，
的底邊長為：，
“優美比”為；
當8為底邊長時，
的腰長為：，
“優美比”為；
故答案為：或．
34．（2021秋 利辛縣期末）已知是等腰三角形但不是直角三角形，，若剪一刀，能將其分割成兩個等腰三角形，則的度數是 　或或　．
【答案】或或．
【分析】題中沒有指明直線是經過頂角的頂點還是底角的頂點，故應該分情況進行分析，從而不難求解．
【解答】解：分兩種情況討論：
①當直線通過等腰三角形的頂點時，頂角為；
圖1，，，，
，，
設；
，
，
，
，
；
②當直線通過等腰三角形的底角頂點時，頂角：、，
圖，，，
，，
，
，
，
，
圖，，．
同理可得，
綜上所述，的度數是或或．
故答案為：或或．
35．（2023秋 海淀區校級期中）定義：如果一個三角形的一條邊是另一條邊長度的兩倍，則稱這個三角形為倍長三角形．若等腰是倍長三角形，且一邊長為6，則的底邊長為 　3或6　．
【分析】由倍長三角形的定義，分兩種情況討論，即可求解．
【解答】解：等腰是倍長三角形，
腰長底邊長的2倍或底邊長腰長的2倍，
如果腰長是6，底邊長是3或12，
，
此時不能構成三角形，
底邊長是3，腰長是6；
如果底邊長是6，腰長是12或3，
，
此時不能構成三角形，
底邊長是6，腰長是12，
的底邊長是3或6．
故答案為：3或6．
36．（2023秋 藁城區期末）如圖，是一個鋼架，，為使鋼架更牢固，需在其內部焊接一些鋼管，如、、若焊接的鋼管的長度都與的長度相等，則最多能焊接 　17　根．
【答案】17．
【分析】根據已知利用等腰三角形的性質及三角形外角的性質，找出圖中存在的規律，根據規律及三角形的內角和定理不難求解．
【解答】解：添加的鋼管長度都與相等，，
，
，
從圖中我們會發現有好幾個等腰三角形，即第一個等腰三角形的底角是，第二個是，第三個是，第四個是，第五個是，第六個是，第七個是，第八個是，，第十八個是就不存在了．
所以一共有17個．
故答案為：17．
37．（2023秋 深圳校級期末）如圖，已知在中，，，，平分，平分，與交于點，若過點的直線平分面積，那么的值為 　6　．
【答案】6．
【分析】過點作于點，于點，于點，如圖，先根據角平分線的性質可得，再利用勾股定理計算出，利用三角形面積公式計算出，由于，所以，從而可求出，然后利用得到，所以．
【解答】解：過點作于點，于點，于點，如圖，
平分，平分，與交于點，
，，
，
，，，
，，
，
，
即，
解得，
點的直線平分面積，
，
，
．
故答案為：6．
38．（2022秋 瓊山區校級期末）如圖，在中，，的平分線交于點，，，則的面積是 　18　．
【答案】18．
【分析】過作于，根據角平分線性質求出，根據三角形的面積求出即可．
【解答】解：過作于，
，
，
平分，
，
的面積是，
故答案為：18．
39．（2023秋 裕華區期末）如圖，中．，，，若動點從點開始．按的路徑運動，且速度為每秒，設出發的時間為秒
（1）若為直角三角形，則的取值是 　或　；
（2）若為等腰三角形．則的值是 　　．
【答案】（1）或；（2）3秒或5.4秒或6秒或．
【分析】（1）當點在線段上，或時，滿足條件；
（2）先根據勾股定理計算出，然后分類討論：當時，為等腰三角形，若點在上得，若點在上，則；當時，為等腰三角形，作于，如圖，根據等腰三角形的性質得，則可判斷為的中位線，則，易得；當時，為等腰三角形，則，易得．
【解答】解：（1），動點從點開始，按的路徑運動，且速度為每秒，
在上運動時為直角三角形
，
當在上時，時，為直角三角形（如圖1中），
，
，
解得：，
，
，
速度為每秒，
，
綜上所述：當或，為直角三角形；
故答案為：或；
（2），，，
，
當時，為等腰三角形，若點在上，；
若點在上，，作于，如圖，，在中，，
則，
，此時；
當時，為等腰三角形，作于，如圖，
則，
為的中位線，
，即，
；
當時，為等腰三角形，即，
，
，
綜上所述，為或或或時，為等腰三角形．
故答案為：3秒或5.4秒或6秒或．
40．（2023秋 通州區期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線相交于點．若，則　140　度．
【答案】140．
【分析】根據線段垂直平分線的性質得到，，所以，，結合圖形計算即可．
【解答】解：如圖，連接，
邊，的垂直平分線相交于點，
，，
，，
，
，
，
．
故答案為：140．
三．解答題
41．（2022秋 昌黎縣期末）如圖，是的角平分線，、分別是和的高．
（1）試說明垂直平分；
（2）若，求證：．
【答案】（1）見解析；
（2）見解析．
【分析】（1）由角平分線的性質得，再由，得，從而證明結論；
（2）根據全等三角形的性質和線段垂直平分線的性質以及直角三角形的性質即可得到結論．
【解答】（1）解：是的角平分線，、分別是和的高，
，
在與中，
，
，
，
，
垂直平分；
（2）證明：，
，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
．
42．（2023秋 金安區校級期末）如圖所示，若和分別垂直平分和．
（1）若的周長為12，求的長；
（2），求的度數．
【分析】（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得，，然后求出的周長，代入數據進行計算即可得解；
（2）根據等邊對等角的性質可得，，根據三角形內角和定理求出，再求解即可．
【解答】解：（1）和分別垂直平分和，
，，
的周長，
的周長為12，
；
（2），，
，，
，
，
．
43．（2023秋 龍山區期末）已知：在中，平分，平分．
（1）如圖1，若，，求的度數．
（2）如圖2，連接，作，，，求的面積．
【答案】（1）；
（2）2．
【分析】（1）先根據角平分線的定義得到，，然后根據三角形內角和計算的度數；
（2）作于，于，如圖2，根據角平分線的性質得到，然后根據三角形面積公式計算的面積．
【解答】解：（1）平分，
，
平分，
，
；
（2）作于，于，如圖2，
平分，，，
，
平分，，，
，
的面積．
44．（2023秋 肅寧縣期中）如圖，與相交于點，且是的垂直平分線，于點，于點．
（1）求證：；
（2）若，，求的長．
【答案】（1）證明見解析；
（2）7．
【分析】（1）利用線段垂直平分線的性質得到，，進而利用證明，即可證明；
（2）由（1）得，則，由全等三角形的性質得到，再證明，即可得到．
【解答】（1）證明：是的垂直平分線，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：由（1）得，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
45．（2022秋 南昌縣期末）如圖所示，中，，于點，于點，交于．
（1）若，求的度數；
（2）若點是的中點，求證：．
【分析】（1）求得的度數后利用四邊形的內角和定理求得結論即可；
（2）連接，根據，且點是的中點，得到，，證得后即可證得．
【解答】解：（1），
，
，，
，
在中，
，
，
，
．
（2）連接
，且點是的中點，
，，
，
，
，
．
46．（2023秋 白云區校級期中）在中，，，平分，交于點，點與點關于直線對稱，連接，，延長交于點，過點作于．
（1）補全圖形；
（2）直接寫出、、之間的相等關系：　　；
（3）求證：．
【答案】（1）見詳解；（2）．證明見詳解；（3）見詳解．
【分析】（1）根據題干做法畫出圖形即可；
（2）根據等腰直角三角形和角平分線的性質，可得；
（3）延長交于點，連接，利用和全等得到，再用三線合一得到等量代換即可得到結果．
【解答】（1）解：補全圖形如圖：
（2）解：，理由如下：
如圖，過點作于點，
平分，，，
，，
，，
，
，
，
即：．
故答案為：．
（3）證明：如圖，延長交于點，連接，
點與點關于直線對稱，
，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
和，
，
在中，
，，
，
，
平分，
（三線合一），
，即．
47．（2023春 桃城區校級期末）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，垂足為．
（1）求的周長；
（2）若，求的度數．
【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質易得到的周長；
（2）根據等腰三角形的“兩個底角相等”得到，所以由三角形內角和定理易求的度數．
【解答】解：（1）如圖，是的垂直平分線，
，
，，
的周長是：；
（2）如圖，，，
，
又，
，
．
48．（2023秋 天津期末）在中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，與相交于點，的周長為6．
（1）與的數量關系為　　．
（2）求的長．
（3）分別連接，，，若的周長為16，求的長．
【答案】（1）；
（2）6；
（3）5．
【分析】（1）根據線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等解答；
（2）根據線段垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算即可；
（3）根據線段垂直平分線的性質得到，根據三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：（1）是線段的垂直平分線，
，
故答案為：；
（2）是線段的垂直平分線，
，
的周長為6，
，
，即；
（3）是線段的垂直平分線，
，
是線段的垂直平分線，
，
，
的周長為16，，
，
．
49．（2023 越秀區校級三模）如圖所示，，，，，求的大小．
【答案】．
【分析】由可得，根據可證，再根據全等三角形的性質即可求解．
【解答】解：，
，即，
在與中，
，
，
．
50．（2022秋 思明區期末）如圖，為線段的垂直平分線，在線段上取一點，使得，在線段上取一點，使得，連接，．若，求證：．
【答案】見解析．
【分析】根據垂直平分線的性質得出，進而證明，得出是等腰的頂角的角平分線，即可得證．
【解答】證明：為線段的垂直平分線，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
是等腰三角形，
，
是的頂角的角平分線，
．
51．（2023 蓬江區校級三模）如圖，于，于，若，
求證：平分．
【分析】由于，于，若，，即可判定，則可得，然后由角平分線的判定定理，即可證得平分．
【解答】證明：，，
，
在和中，
，
，
，
在與中，
，
，
，
平分．
52．（2023秋 靜安區校級期中）已知：如圖，在中，是的角平分線，，垂足為．求證：．
【答案】見詳解．
【分析】延長三線合一得到，等邊對等角得到，利用外角性質即可證明．
【解答】證明：如圖，延長交于點，
是的角平分線，，垂足為．
（三線合一），
（等邊對等角），
（三角形外角性質），
．
53．（2023秋 合浦縣期中）如圖，在中，于點，垂直平分，交于點，交于點，連接，且．
（1）若，求的度數；
（2）若的周長為，，求的長．
【答案】（1）的度數為；
（2）．
【分析】（1）先利用等腰三角形的性質以及三角形內角和定理可得，從而利用三角形的外角性質可得，然后利用線段垂直平分線的性質可得，從而可得，即可解答；
（2）利用等腰三角形的三線合一性質，再利用等量代換可得，然后利用三角形的周長可得，從而利用線段和差關系以及等量代換進行計算，即可解答．
【解答】解：（1），，
，
是的一個外角，
，
垂直平分，
，
，
的度數為；
（2），，
，
，
，
的周長為，，
，
，
，
，
．
54．（2023秋 蛟河市期末）問題背景：如圖，在中，．在的延長線上取點，，作，使．
（1）探究一：當時．
①若，求的度數；
②若，則的度數用含的式子表示為 　　，的度數為 　　．
（2）探究二：若，直接寫出的度數．
【答案】（1）①；②，；
（2）．
【分析】（1）根據三角形外角的性質得到，①求出，再根據，利用三角形的外角的性質，可得．求得，②由①，②即可得到結論；
（2）設，根據三角形的內角和定理和等腰三角形的性質即可得到結論．
【解答】解：（1）①，
，①，
，
，
，
，
，
，
；
②，
①，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
②，
由①，②得，；
故答案為：，45；
（2）設，
則，，
，
，
，
．
55．（2023秋 高新區校級期末）如圖，中，垂直平分，交于點，交于點，，垂足為，且，連接．
（1）求證：；
（2）若的周長為，，則的長為多少？
【答案】（1）見解析；
（2）．
【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到，，等量代換證明結論；
（2）根據三角形的周長公式得到，根據，計算，得到答案．
【解答】（1）證明：垂直平分，
，
，，
，
；
（2）解：的周長為，
，
，
，
，，
，
．
56．（2023秋 杭州期中）已知：如圖，，，，在同一直線上，，．求證：．
【分析】此題可以用等腰三角形的三線合一的性質解決．
【解答】證明：作于，
（已知），
（三線合一），
又（已知），
（三線合一），
，即（等式的性質）．
57．（2023秋 于都縣期中）如圖所示，、分別是的邊、上的點，且，．
（1）若，則　　；
（2）若，則　　；
（3）設，，你能由（1）（2）中的結果找到、所滿足的關系嗎？請說明理由．
【分析】（1）先利用，可得，同理可得，再利用外角性質可得，，而，等量代換可得，化簡得，解即可；
（2）、（3）、同（1）．
【解答】解：（1），
，
，
，
又，，
，
即，
，
；
故答案為：；
（2），
，
，
，
又，，
，
即，
，
；
故答案為：．
（3），
理由：，
，
，
，
又，，
，
即，
．
58．（2022秋 濉溪縣期末）如圖，在中，，的垂直平分線交于點，交于點，連接．
（1）若，求的度數；
（2）若，的周長是，求的長．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根據等腰三角形的性質得出，求得的度數，根據垂直平分線性質得出，得出，利用外角性質進而求出的度數；
（2）由（1）知，，利用，即可求出的長．
【解答】解：（1），
，
，
是的垂直平分線，
，
，
；
（2）由（1）知，
，
，
，
的周長是，即，
．
59．（2022秋 瀘縣期末）如圖，在中，，，平分交于點，求的度數．
【答案】．
【分析】根據等腰三角形的性質和三角形內角和，可以得到和的度數，再根據平分，即可得到的度數，然后根據，即可得到的度數；
【解答】解：，
，
，
平分，
，
．
60．（2022秋 梁山縣期末）教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．
定理證明：請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．
定理應用：
如圖②，的周長是12，、分別平分和，于點，若，則的面積為　18　．
【答案】定理證明見解答，
定理應用：18．
【分析】定理證明：利用判定可得；
定理應用：過作與，于，利用角平分線的性質可得，，然后再利用面積的計算方法可得答案．
【解答】定理證明：是的角平分線，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
定理應用：過作與，于，
、分別平分和，
，，
，
，
的周長是12，
，
的面積：，
故答案為：18．

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