資源簡介

6.4.3 余弦定理
學習目標
1、借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理及其變形；
2、掌握余弦定理的證明過程；
3、能夠利用余弦定理解決有關問題。
常考題型
知識梳理
一、余弦定理：
1、公式表達：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
2、語言敘述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍
【注意】余弦定理的特點
（1）適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．
（2）揭示的規律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系，它含有四個不同的量，知道其中的三個量，就可求得第四個量．
3、推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝
4、余弦定理的推導示例：在中，內角，，所對的邊分別為，，
如圖，因為，
∴，
即
從而
同理，根據，，
可以得到，
二、解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三個角，，和她們的對邊，，叫做三角形的元素.
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的應用
（1）類型1：已知兩邊及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：
一是利用余弦定理的推論求出其余角；
二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解；
（2）類型2：已知三邊解三角形
法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清晰，結果唯一
法二：若已知三角形的三邊的關系或比例關系，常根據邊的關系直接代入化簡或利用比例性質，轉化為已知三邊求解
三、判斷三角形形狀時常用到的結論
1、為直角三角形或或
2、為銳角三角形，且，且
3、為鈍角三角形，且，且
4、若，則或
題型精析
題型一 已知兩邊及一角解三角形
【例1】（2023·新疆和田·高一校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若，則 .
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理得，所以.
【變式1-1】（2023·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）在中，角對應的邊分別為，則
【答案】
【解析】因為，
由余弦定理可得，
解得或（舍）.
【變式1-2】（2023·山西朔州·高一校考階段練習）（多選）在中，已知，且，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BD
【解析】由，得，，又，
利用余弦定理可得，即，
整理得，解得或，故選：BD
【變式1-3】（2023·廣東湛江·高一湛江市第二中學校考期中）（多選）已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】AB
【解析】，，，由余弦定理，有，
得，即，解得或.故選：AB
題型二 已知三邊解三角形
【例2】（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區南陽中學校考期中）在，內角，，的對邊分別為，，，且=1，=2，=2， 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理得:，故選: C.
【變式2-1】（2022·高一校考單元測試）在中，內角、、所對的邊分別為、、，若、、，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
又因為，則，故選：C
【變式2-2】（2023·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習）已知中角A、B、C對邊分別為a、b、c，若，則中最大角的余弦值為 ．
【答案】
【解析】因為，不妨設，
在三角形中，大邊對大角，所以最大角為，
根據余弦定理，.
【變式2-3】（2023·湖北十堰·高一統考期末）已知，在鈍角中，，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，所以.
又，所以最大，
則由余弦定理得，得，
因為，解得，
因為，所以，
所以的取值范圍是，故選：B.
題型三 求邊或角的取值范圍
【例3】（2023·高一課時練習）在銳角三角形ABC中，，，則邊的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，即，則，
同理，即，則，
又，綜上，，故選：C
【變式3-1】（2023·四川廣元·高一廣元中學校考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，化簡得，
，
當且僅當時等號成立，故選：D.
【變式3-2】（2023·上海·高一開學考試）已知中，，，若為鈍角三角形，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】在中，，，
則，即，
，，，則角為鈍角或角為鈍角，
若角是鈍角，則，即，故，
若角是鈍角，則，即，解得．
綜上所述，的取值范圍是．
【變式3-3】（2023·上海楊浦·高一復旦附中校考期中）在△ABC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為 .
【答案】
【解析】由余弦定理可得
當且僅當時，即取等號，所以.
題型四 判斷三角形的形狀
【例4】（2023·河北保定·高一保定一中校考階段練習）在中，其內角的對邊分別為，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】因為，
所以由余弦定理得，
所以，所以，所以為等腰三角形，故選：A.
【變式4-1】（2023·浙江嘉興·高一校聯考期中）若，且，那么是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【解析】因為，則，可得，
由余弦定理可得，
因為，所以，，
因為，則，整理可得.
所以，為等邊三角形，故選：A.
【變式4-2】（2023·陜西商洛·高二校考期末）在中，內角的對邊分別為.若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
【答案】B
【解析】根據余弦定理知，
，
所以，則,
故三角形為直角三角形，故選：
【變式4-3】（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考期中）在△ABC中，，則這個三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：，，
代入中，
得，
等式兩邊同乘得：，
移項合并得：，
整理得：，
即，可得或，
則三角形為等腰三角形或直角三角形，故選：D.
題型五 余弦定理的實際應用
【例5】（2023·天津西青·高一天津市西青區楊柳青第一中學校考期中）《九章算術》是中國古代一部數學專著，其中的“邪田”為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為（注：）（ ）
A．6.6 B．3.3 C．4 D．7
【答案】A
【解析】由題意知：，
在中，由余弦定理可得：，
代入得：，即，
因為，故，
故，故選：A.
【變式5-1】（2023·江蘇鹽城·高一校考階段練習）《墨經·經說下》中有這樣一段記載：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在遠近有端，與于光，故景庫內也.”這是中國古代對小孔成像現象的第一次描述.如圖為一次小孔成像實驗，若物距：像距，則像高為 .
【答案】
【解析】由，則，
又，則，即，
又物距∶像距，
則，即像高為.
【變式5-2】（2023·湖北·高一荊州中學校聯考期中）宜昌奧林匹克體育中心為了迎接4月12日湖北省第十六屆運動會開幕式，將中心內一塊平面四邊形區域設計燈帶．已知燈帶米，米， 米，且，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，連接 BD .
在中，由余弦定理有：,①
在 中，由余弦定理有：,②
由①②得：,
又，，
又. 或,
若 ,則 （舍），，故選：A .
【變式5-3】（2023·北京·高一清華附中校考期中）如圖，某公園有一個半徑為2公里的半圓形湖面，其圓心為O，現規劃在半圓弧岸邊取點C、D、E，且，在扇形區域內種植蘆葦，在扇形區域內修建水上項目，在四邊形區域內種植荷花，并在湖面修建棧道和作為觀光線路.當最大時，游客有更美好的觀賞感受，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解析】設，則，
，則、為正數.
在三角形中，連接，
由余弦定理得，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以,
由于，所以當時，取得最大值，
也即時，取得最大值為.故選：C
題型六 余弦定理與平面圖形結合
【例6】（2023·廣東東莞·高一統考期末）如圖，在平行四邊形中，，，，將三角形沿翻折得三角形，使得交于，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為在平行四邊形中，，，，
所以，，
因為將三角形沿翻折得三角形，使得交于，
所以，
因為，所以≌，
所以，設，則，
在中由余弦定理得，
，解得，即，故選：B
【變式6-1】（2023·河北·高一校聯考階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為 .
【答案】
【解析】如圖，由余弦定理得，
，
又，
兩式相加得，
即，化簡得，
所以.
【變式6-2】（2023·黑龍江綏化·高一校考階段練習）如圖所示，點A是等邊外一點，且，，，則的周長為 ．
【答案】/
【解析】在中，由余弦定理可知，
整理可得，解得，所以，
又是等邊三角形，所以，，
由勾股定理可得，，所以的周長為．
【變式6-3】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中學西山學校校考階段練習）在中，內角所對的邊分別是，．
（1）求；
（2）若，且的平分線上的點滿足，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
，
，，，則，
又，.
（2）在中，設，則，
由余弦定理得：，；
設，，則，
在中，由余弦定理得：；
在中，由余弦定理得：；
，解得：，，
在中，由余弦定理得：，
又，.6.4.3余弦定理
學習目標
1、借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理及其變形；
2、掌握余弦定理的證明過程；
3、能夠利用余弦定理解決有關問題。
常考題型
知識梳理
一、余弦定理：
1、公式表達：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC
2、語言敘述：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍
【注意】余弦定理的特點
（1）適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．
（2）揭示的規律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關系，它含有四個不同的量，知道其中的三個量，就可求得第四個量．
3、推論：cos A＝，cos B＝，cos C＝
4、余弦定理的推導示例：在中，內角，，所對的邊分別為，，
如圖，因為，
∴，
即
從而
同理，根據，，
可以得到，
二、解三角形
1、解三角形：一般地，三角形的三個角，，和她們的對邊，，叫做三角形的元素.
已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
2、余弦定理在解三角形中的應用
（1）類型1：已知兩邊及一角，解三角形
方法概要：先利用余弦定理求出第三邊，其余角的求解有兩種思路：
一是利用余弦定理的推論求出其余角；
二是利用正弦定理(已知兩邊和一邊的對角)求解；
（2）類型2：已知三邊解三角形
法一：已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負，角為鈍角，其思路清晰，結果唯一
法二：若已知三角形的三邊的關系或比例關系，常根據邊的關系直接代入化簡或利用比例性質，轉化為已知三邊求解
三、判斷三角形形狀時常用到的結論
1、為直角三角形或或
2、為銳角三角形，且，且
3、為鈍角三角形，且，且
4、若，則或
題型精析
題型一 已知兩邊及一角解三角形
【例1】（2023·新疆和田·高一校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若，則 .
【變式1-1】（2023·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）在中，角對應的邊分別為，則
【變式1-2】（2023·山西朔州·高一校考階段練習）（多選）在中，已知，且，則的值為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式1-3】（2023·廣東湛江·高一湛江市第二中學校考期中）（多選）已知中，角，，的對邊分別為，，，且，，，則（ ）
A． B． C．3 D．
題型二 已知三邊解三角形
【例2】（2023·江蘇鹽城·高一鹽城市大豐區南陽中學校考期中）在，內角，，的對邊分別為，，，且=1，=2，=2， 則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·高一校考單元測試）在中，內角、、所對的邊分別為、、，若、、，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·河北石家莊·高一石家莊二中校考階段練習）已知中角A、B、C對邊分別為a、b、c，若，則中最大角的余弦值為 ．
【變式2-3】（2023·湖北十堰·高一統考期末）已知，在鈍角中，，，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三 求邊或角的取值范圍
【例3】（2023·高一課時練習）在銳角三角形ABC中，，，則邊的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·四川廣元·高一廣元中學校考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·上海·高一開學考試）已知中，，，若為鈍角三角形，則的取值范圍是 ．
【變式3-3】（2023·上海楊浦·高一復旦附中校考期中）在△ABC中，邊a，b，c滿足，，則邊c的最小值為 .
題型四 判斷三角形的形狀
【例4】（2023·河北保定·高一保定一中校考階段練習）在中，其內角的對邊分別為，若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【變式4-1】（2023·浙江嘉興·高一校聯考期中）若，且，那么是（ ）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式4-2】（2023·陜西商洛·高二校考期末）在中，內角的對邊分別為.若，則的形狀為（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形
【變式4-3】（2023·遼寧沈陽·高一沈陽二中校考期中）在△ABC中，，則這個三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
題型五 余弦定理的實際應用
【例5】（2023·天津西青·高一天津市西青區楊柳青第一中學校考期中）《九章算術》是中國古代一部數學專著，其中的“邪田”為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為（注：）（ ）
A．6.6 B．3.3 C．4 D．7
【變式5-1】（2023·江蘇鹽城·高一校考階段練習）《墨經·經說下》中有這樣一段記載：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在遠近有端，與于光，故景庫內也.”這是中國古代對小孔成像現象的第一次描述.如圖為一次小孔成像實驗，若物距：像距，則像高為 .
【變式5-2】（2023·湖北·高一荊州中學校聯考期中）宜昌奧林匹克體育中心為了迎接4月12日湖北省第十六屆運動會開幕式，將中心內一塊平面四邊形區域設計燈帶．已知燈帶米，米， 米，且，則（ ）

A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·北京·高一清華附中校考期中）如圖，某公園有一個半徑為2公里的半圓形湖面，其圓心為O，現規劃在半圓弧岸邊取點C、D、E，且，在扇形區域內種植蘆葦，在扇形區域內修建水上項目，在四邊形區域內種植荷花，并在湖面修建棧道和作為觀光線路.當最大時，游客有更美好的觀賞感受，則的最大值為（ ）
A． B．4 C． D．6
題型六 余弦定理與平面圖形結合
【例6】（2023·廣東東莞·高一統考期末）如圖，在平行四邊形中，，，，將三角形沿翻折得三角形，使得交于，則（ ）

A． B． C． D．
【變式6-1】（2023·河北·高一校聯考階段練習）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則中線AD的長為 .
【變式6-2】（2023·黑龍江綏化·高一校考階段練習）如圖所示，點A是等邊外一點，且，，，則的周長為 ．
【變式6-3】（2023·云南昆明·高一昆明市第一中學西山學校校考階段練習）在中，內角所對的邊分別是，．
（1）求；
（2）若，且的平分線上的點滿足，求．

展開更多......

收起↑