資源簡介

6.4.3正弦定理
學習目標
1、掌握正弦定理及其變形；
2、了解正弦定理的證明方法；
3、掌握三角形正弦面積公式及其應用；
4、能應用正弦定理解決相關問題，并能綜合運用正弦定理和余弦定理解決問題。
常考題型
知識梳理
一、正弦定理
1、公式表示：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.
【注意】正弦定理的特點
(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．
(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式．
(3)刻畫規律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數量關系，可以實現三角形中邊角關系的互化．
2、正弦定理推論：在中，內角，，所對的邊分別為，，，外接圓半徑為
①，
②，
③，，，
④，
⑤，，（實現邊和角的互相轉化）
3、正弦定理的推導示例：
當△ABC是銳角三角形時，設邊AB的高是CD．根據三角函數的定義，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到＝.
同理，在△ABC中＝.
從以上的討論和探究可得：＝＝.
二、三角形面積公式
在中，內角，，所對的邊分別為，，，邊，，邊上的高分別記作，，，為內切圓半徑，為外接圓半徑，為內切圓心。
（1）
（2）
證明：當為銳角三角形時，作于點，
設的面積為，則；
當為鈍角三角形時，作邊長的高，
則，
∴；
當為直角三角形時，上述結論依然成立。
（3）
證明：
（4）
證明：
四、正弦定理解決的兩類問題
1、類型1：已知兩角及一邊解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；
（2）如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；
（3）如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論
2、類型2：已知兩邊及一邊對角，解三角形（三角形多解問題）
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
當為銳角時：
當為鈍角時
五、利用正弦定理判斷三角形的形狀
法一化角為邊：將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據多項式的有關知識(分解因式、配方等)得到邊的關系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：sin A＝，sin B＝，sin C＝
法二化邊為角：將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據三角函數的有關知識得到三個內角的關系，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
題型精析
題型一 正弦定理解三角形
【例1】（2023·北京·高一校考期中）在中，若，，，則等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【答案】A
【解析】在中，，，，
由正弦定理得，
而，則為銳角，所以.故選：A
【變式1-1】（2023·浙江溫州·高一統考期末）在中，內角所對的邊分別是，已知，，，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】A
【解析】因為，，，
由正弦定理可得，，則，故選：A.
【變式1-2】（2023·河北承德·高一統考期末）已知的內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理，得，故選：A.
【變式1-3】（2023·廣東佛山·高一大瀝高中校考階段練習）在中，若，，，則（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
【答案】B
【解析】在中，，由，得，
由正弦定理得，故選：B
題型二 三角形解的個數判斷
【例2】（2023·江蘇鹽城·高一校聯考期中）已知在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，要使三角形有兩解，
就是要使以為圓心，半徑為的圓與有兩個交點，
過作，則，
要使以為圓心，半徑為的圓與有兩個交點，
則需要，
解得的取值范圍是．故選：B．
【變式2-1】（2023·重慶·高一統考期末）在中，，若存在兩個滿足條件，則的長可以為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】C
【解析】如下圖所示：
過點作,因為，
可求得 則時，存在兩個，
故又所以正確，故選：
【變式2-2】（2023·遼寧朝陽·高一校聯考階段練習）（多選）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則滿足下列條件的三角形，有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】ABC
【解析】對于A，若，，，
則由正弦定理得，，得，
由勾股定理可得，所以三角形有唯一解，所以A正確，
對于B，若，，，則由正弦定理得，，
得，所以或，
當時，，所以舍去，所以，
所以三角形有唯 一解，所以B正確，
對于C，若，，，
則由正弦定理得，，得，
因為，所以，所以三角形有唯一解，所以C正確，
對于D，若，，，
則由正弦定理得，，得，
所以或，兩種情況下，三角形都存在，
所以三角形有兩個解，所以D錯誤，故選：ABC
【變式2-3】（2023·陜西榆林·高一校考期中）（多選）下列條件判斷三角形解的情況，正確的的是（ ）．
A．，，，有兩解； B．，，，有一解；
C．，，，有一解； D．，，，有一解．
【答案】CD
【解析】對于A，由正弦定理得，
由于B是三角形內角，故，故三角形有一解，A錯誤；
對于B，，
因為，故，即三角形有兩解，B錯誤；
對于C，，
因為，故，即三角形有一解，C正確；
對于D，，，且，
而，故B必為銳角，三角形有一解，D正確，故選：CD
題型三 三角形的面積公式
【例3】（2023·湖北黃岡·高一黃岡中學校聯考期中）在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，
則，故選：D
【變式3-1】（2023·江蘇淮安·高一統考期中）在中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意得，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
又因為
所以的面積為.故選：B
【變式3-2】（2023·江蘇徐州·高一統考期中）在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．21
【答案】A
【解析】，，，則，
，，
的面積為． 故選：．
【變式3-3】（2023·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）在中，，且的面積為，則（ ）
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【解析】因為，
所以，解得，即，故選：A.
題型四 正弦定理邊角互化應用
【例4】（2023·福建福州·高一校考期末）在中，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，角所對的邊分別為，，
由正弦定理得，令，
由余弦定理得：，故選：C.
【變式4-1】（2023·江西·高一校聯考期末）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因為，所以
由正弦定理可得：，
所以，
即，即，
則，所以，故選：D.
【變式4-2】（2023·遼寧葫蘆島·高一校聯考階段練習）已知的內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以，由正弦定理得，即，
由余弦定理得．
因為，所以，故選：B.
【變式4-3】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中學校考期末）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則角（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，由正弦定理可得，
即，
所以，即，
即，又，所以，
因為，所以，故選：A
題型五三角形的外接圓問題
【例5】（2023·貴州黔東南·高一統考期末）在中，，則外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，
由余弦定理得，
，
設外接圓的半徑為，
由正弦定理得，
外接圓的面積為，故選：C.
【變式5-1】（2023·吉林長春·高一長春外國語學校校考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則外接圓的直徑是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，由余弦定理得，則，
又，由正弦定理有（為外接圓半徑），
∴，故外接圓的直徑為.故選：D
【變式5-2】（2023·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若， 則的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意及正弦定理得
(R為的外接圓半徑)，即，
又及，知，
，解得，
所以外接圓面積，故選：C
【變式5-3】（2023·山西運城·高一統考期中）如圖，四邊形四點共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，則，故，，
中，中，
又，故，
所以，即，
所以外接圓直徑，
則，故選：B
題型六 正弦定理判斷三角形形狀
【例6】（2023·四川內江·統考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因為，所以，整理得到，
又由正弦定理，得到，
所以，得到，
又，所以，得到，
又，所以，故選：B.
【變式6-1】（2023·黑龍江綏化·高一校考階段練習）設的內角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．三邊比為1：2：3的三角形
【答案】B
【解析】因為，由正弦定理可得，即，
因為，為三角形的內角，所以或，即或，
同理可得或；
當時，不可能成立（三內角和不等于），
當時，也不可能成立，
所以只有，即為等邊三角形，故選：B
【變式6-2】（2023·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學校考階段練習）中，分別是角的對邊，且，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．直角或鈍角三角形 D．銳角三角形
【答案】B
【解析】由得，即，
因為，所以，
則，，
，，，
又，所以，，
所以角為鈍角，為鈍角三角形.故選：B.
【變式6-3】（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）在，其內角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因為，
根據正弦定理邊角互化得，
所以，
所以，
所以，即，
所以或，
所以或，即的形狀是等腰或直角三角形．故選：D6.4.3正弦定理
學習目標
1、掌握正弦定理及其變形；
2、了解正弦定理的證明方法；
3、掌握三角形正弦面積公式及其應用；
4、能應用正弦定理解決相關問題，并能綜合運用正弦定理和余弦定理解決問題。
常考題型
知識梳理
一、正弦定理
1、公式表示：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.
【注意】正弦定理的特點
(1)適用范圍：正弦定理對任意的三角形都成立．
(2)結構形式：分子為三角形的邊長，分母為相應邊所對角的正弦的連等式．
(3)刻畫規律：正弦定理刻畫了三角形中邊與角的一種數量關系，可以實現三角形中邊角關系的互化．
2、正弦定理推論：在中，內角，，所對的邊分別為，，，外接圓半徑為
①，
②，
③，，，
④，
⑤，，（實現邊和角的互相轉化）
3、正弦定理的推導示例：
當△ABC是銳角三角形時，設邊AB的高是CD．根據三角函數的定義，
CD＝asinB，CD＝bsinA，
所以asinB＝bsinA，得到＝.
同理，在△ABC中＝.
從以上的討論和探究可得：＝＝.
二、三角形面積公式
在中，內角，，所對的邊分別為，，，邊，，邊上的高分別記作，，，為內切圓半徑，為外接圓半徑，為內切圓心。
（1）
（2）
證明：當為銳角三角形時，作于點，
設的面積為，則；
當為鈍角三角形時，作邊長的高，
則，
∴；
當為直角三角形時，上述結論依然成立。
（3）
證明：
（4）
證明：
四、正弦定理解決的兩類問題
1、類型1：已知兩角及一邊解三角形
方法概要：（1）首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；
（2）如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角、大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；
（3）如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論
2、類型2：已知兩邊及一邊對角，解三角形（三角形多解問題）
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
當為銳角時：
當為鈍角時
五、利用正弦定理判斷三角形的形狀
法一化角為邊：將題目中的所有條件，利用正弦定理化角為邊，再根據多項式的有關知識(分解因式、配方等)得到邊的關系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：sin A＝，sin B＝，sin C＝
法二化邊為角：將題目中所有的條件，利用正弦定理化邊為角，再根據三角函數的有關知識得到三個內角的關系，進而確定三角形的形狀．利用的公式為：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2RsinC
題型精析
題型一 正弦定理解三角形
【例1】（2023·北京·高一校考期中）在中，若，，，則等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．150°
【變式1-1】（2023·浙江溫州·高一統考期末）在中，內角所對的邊分別是，已知，，，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式1-2】（2023·河北承德·高一統考期末）已知的內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·廣東佛山·高一大瀝高中校考階段練習）在中，若，，，則（ ）
A．8 B．6 C．5 D．3
題型二 三角形解的個數判斷
【例2】（2023·江蘇鹽城·高一校聯考期中）已知在中，，，，若三角形有兩解，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·重慶·高一統考期末）在中，，若存在兩個滿足條件，則的長可以為（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【變式2-2】（2023·遼寧朝陽·高一校聯考階段練習）（多選）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則滿足下列條件的三角形，有唯一解的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【變式2-3】（2023·陜西榆林·高一校考期中）（多選）下列條件判斷三角形解的情況，正確的的是（ ）．
A．，，，有兩解； B．，，，有一解；
C．，，，有一解； D．，，，有一解．
題型三 三角形的面積公式
【例3】（2023·湖北黃岡·高一黃岡中學校聯考期中）在中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·江蘇淮安·高一統考期中）在中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2023·江蘇徐州·高一統考期中）在中，三個內角，，所對的邊分別為，，，若，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．21
【變式3-3】（2023·廣東東莞·高一東莞實驗中學校考期中）在中，，且的面積為，則（ ）
A． B．3 C．2 D．
題型四 正弦定理邊角互化應用
【例4】（2023·福建福州·高一校考期末）在中，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·江西·高一校聯考期末）的內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式4-2】（2023·遼寧葫蘆島·高一校聯考階段練習）已知的內角的對邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·安徽淮南·高一淮南第三中學校考期末）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，則角（ ）
A． B． C． D．
題型五三角形的外接圓問題
【例5】（2023·貴州黔東南·高一統考期末）在中，，則外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·吉林長春·高一長春外國語學校校考期中）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則外接圓的直徑是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2023·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）在中，角所對的邊分別為，若， 則的外接圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2023·山西運城·高一統考期中）如圖，四邊形四點共圓，其中為直徑，，，，則的長度為（ ）
A． B． C． D．
題型六 正弦定理判斷三角形形狀
【例6】（2023·四川內江·統考一模）在中，、、分別為角、、的對邊，若，則的形狀為（ ）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式6-1】（2023·黑龍江綏化·高一校考階段練習）設的內角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．三邊比為1：2：3的三角形
【變式6-2】（2023·遼寧錦州·高一渤海大學附屬高級中學校考階段練習）中，分別是角的對邊，且，則的形狀為（ ）
A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．直角或鈍角三角形 D．銳角三角形
【變式6-3】（2023·安徽亳州·高一亳州二中校考期末）在，其內角，，的對邊分別為，，，若，則的形狀是（ ）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

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