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高2009級數學第二輪專題填空題突破
一、題型特點：
數學填空題是一種只要求寫出結果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是高考數學中的三種常考題型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填空題、條件與結論開放的填空題. 這說明了填空題是數學高考命題改革的試驗田，創新型的填空題將會不斷出現. 因此，我們在備考時，既要關注這一新動向，又要做好應試的技能準備.解題時，要有合理的分析和判斷，要求推理、運算的每一步驟都正確無誤，還要求將答案表達得準確、完整. 合情推理、優化思路、少算多思將是快速、準確地解答填空題的基本要求.
數學填空題，絕大多數是計算型(尤其是推理計算型)和概念(性質)判斷型的試題，應答時必須按規則進行切實的計算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準”、“巧”、“快”上下功夫。下面是一些常用的方法。
二、例題解析
（一）定義法
有些問題直接去解很難奏效，而利用定義去解可以大大地化繁為簡，速達目的。
例1. 的值是_________________。
解：從組合數定義有：
又
代入再求，得出466。
例2. 到橢圓右焦點的距離與到定直線x＝6距離相等的動點的軌跡方程是_______________。
解：據拋物線定義，結合圖1知：
圖1
軌跡是以（5，0）為頂點，焦參數P＝2且開口方向向左的拋物線，故其方程為：
（二）直接法
這是解填空題的基本方法，它是直接從題設條件出發、利用定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果。
例3設其中i，j為互相垂直的單位向量，又，則實數m = 。
解：∵，∴∴，而i，j為互相垂直的單位向量，故可得∴。
例4已知函數在區間上為增函數，則實數a的取值范圍是 。
解：，由復合函數的增減性可知，在上為增函數，∴，∴。
例5現時盛行的足球彩票，其規則如下：全部13場足球比賽，每場比賽有3種結果：勝、平、負，13長比賽全部猜中的為特等獎，僅猜中12場為一等獎，其它不設獎，則某人獲得特等獎的概率為 。
解：由題設，此人猜中某一場的概率為，且猜中每場比賽結果的事件為相互獨立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎的概率為。
（三）特殊化法
當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結果。
例6 在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數列，則 。
解：特殊化：令，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為。
例7 過拋物線的焦點F作一直線交拋物線交于P、Q兩點，若線段PF、FQ的長分別為p、q，則 。
分析：此拋物線開口向上，過焦點且斜率為k的直線與拋物線均有兩個交點P、Q，當k變化時PF、FQ的長均變化，但從題設可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數和應為定值，所以可以針對直線的某一特定位置進行求解，而不失一般性。
解：設k = 0，因拋物線焦點坐標為把直線方程代入拋物線方程得，∴，從而。
例8 求值 。
分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令，得結果為。
例9如果函數f(x)=x2+bx+c對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t)，那么f(1),f(2),f(4)的大小關系是 。
解： 由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2。可取特殊函數f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4。∴f(2)例10已知等差數列{an}的公差d≠0，且a1,a3,a9成等比數列，則的值是 --。
解： 考慮到a1,a3,a9的下標成等比數列，故可令an=n滿足題設條件，于是=。
例11橢圓+=1的焦點為F1、F2，點P為其上的動點，當∠F1PF2為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是 。
解： 設P(x,y)，則當∠F1PF2=90°時，點P的軌跡方程為x2+y2=5，由此可得點P的橫坐標x=±，又當點P在x軸上時，∠F1PF2=0；點P在y軸上時，∠F1PF2為鈍角，由此可得點P橫坐標的取值范圍是-（四）數形結合法
對于一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結果。
例12 如果不等式的解集為A，且，那么實數a的取值范圍是 。
解：根據不等式解集的幾何意義，作函數和
函數的圖象（如圖），從圖上容易得出實數a的取
值范圍是。
例13 已知實數x、y滿足，則的最大值是 。
解：可看作是過點P（x，y）與M（1，0）的直線的斜率，其中點P的圓上，如圖，當直線處于圖中切線位置時，斜率最大，最大值為。
（五）等價轉化法
通過“化復雜為簡單、化陌生為熟悉”，將問題等價地轉化成便于解決的問題，從而得出正確的結果。
例14 不等式的解集為（4，b），則a= ，b= 。
解：設，則原不等式可轉化為：∴a > 0，且2與是方程的兩根，由此可得：。
例15 不論k為何實數，直線與曲線恒有交點，則實數a的取值范圍是 。
解：題設條件等價于點（0，1）在圓內或圓上，或等價于點（0，1）到圓，∴。
例16 函數單調遞減區間為 。
解：易知∵y與y2有相同的單調區間，而，∴可得結果為。
總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準確地解數學填空題的關鍵。
（六） 淘汰法
當全部情況為有限種時，也可采用淘汰法。
例17. 已知，則與同時成立的充要條件是____________。
解：按實數b的正、負分類討論。
當b>0時，而等式不可能同時成立；
當b＝0時，無意義；
當b<0時，若a<0，則兩不等式不可能同時成立，以上三種情況均被淘汰，故只能為a>0，b<0，容易驗證，這確是所要求的充要條件。
三、練習
1已知函數，則
講解　由，得，應填4.
2． 集合的真子集的個數是
講解　，顯然集合M中有90個元素，其真子集的個數是，應填.
3．在四面體中，為的中點，為的中點，則 （用表示）．
4．在平面直角坐標系中，有一定點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則該拋物線的準線方程是 ．
5．設變量滿足約束條件則目標函數的最小值為 ．
6. 某地球儀上北緯緯線的長度為，則該地球儀的表面積是___________
答案： cm2
7.如果函數，那么　
講解　容易發現，這就是我們找出的有用的規律，于是
原式＝，應填
8．下面有五個命題：
①函數y=sin4x-cos4x的最小正周期是.
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|.
③在同一坐標系中，函數y=sinx的圖象和函數y=x的圖象有三個公共點.
④把函數
⑤函數
其中真命題的序號是 ① ④
9.　如果函數的圖象關于直線對稱，那么
講解　，其中.
是已知函數的對稱軸，
，
即　　　　，
于是　　　　　故應填 .
10.如圖，平面內有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，．若，則的值為
　　　6　　．
11．已知是公差不為零的等差數列，如果是的前n項和，那么
講解　特別取，有，于是有　　　　　　　 故應填2.
12.以下四個命題：
①
②
③凸n邊形內角和為
④凸n邊形對角線的條數是
其中滿足“假設時命題成立，則當n=k+1時命題也成立’’.但不滿足“當（是題中給定的n的初始值）時命題成立”的命題序號是　　　　　　　.
講解 ①當n=3時，，不等式成立；
2 當n=1時，，但假設n=k時等式成立，則
　　　；
③　，但假設成立，則
　　　　　　
④　，假設成立，則
　　　　
故應填②③.
　13．某商場開展促銷活動，設計一種對獎券，號碼從000000到999999. 若號碼的奇位數字是不同的奇數，偶位數字均為偶數時，為中獎號碼，則中獎面（即中獎號碼占全部號碼的百分比）為　　　　　　　.
講解 　中獎號碼的排列方法是：　奇位數字上排不同的奇數有種方法，偶位數字上排偶數的方法有，從而中獎號碼共有種，于是中獎面為
　　　　　　　　　　　　
故應填
14． 的展開式中的系數是
講解　由知，所求系數應為的x項的系數與項的系數的和，即有
　　　　　
故應填1008.
15． 過長方體一個頂點的三條棱長為3、4、5, 且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是________.
講解　長方體的對角線就是外接球的直徑,　即有
　　　　
從而　　　，故應填
16． 如右圖，E、F分別是正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是　　　　　.（要求：把可能的圖的序號都填上）
講解 因為正方體是對稱的幾何體，所以四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個方向的射影，也就是在面ABCD、面ABB1A1、面ADD1A1上的射影.
四邊形BFD1E在面ABCD和面ABB1A1上的射影相同，如圖所示；
四邊形BFD1E在該正方體對角面的ABC1D1內，它在面ADD1A1上的射影顯然是一條線段，如圖所示. 故應填.
17． 橢圓上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，則當m取最大值時，點P的坐標是_____________________.
講解 記橢圓的二焦點為，有
則知
顯然當，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.
故應填或
18． 一只酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的函數解析式是，在杯內放一個玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑r的取值范圍是___________.
講解 依拋物線的對稱性可知，大圓的圓心在y軸上，并且圓與拋物線切于拋物線的頂點，從而可設大圓的方程為
由
消去x，得 （*）
解出 或
要使（*）式有且只有一個實數根，只要且只需要即
再結合半徑，故應填
19． 已知a、b、c、d是四條互不重合的直線，且c、d分別為a、b在平面α上的射影，給出下面兩組四個論斷：
第一組：①a⊥b,②a∥b;
第二組：③c⊥d,④c∥d。
分別從兩組中各選一個論斷，使一個作條件，另一個作結論，寫出一個正確的命題： 。
. 答：a∥bc∥d
20．定義在（-∞，+∞）上的偶函數f(x)滿足：f(x+1)= -f(x)，且在[-1，0]上是增函數，下面是關于f(x)的判斷：
①f(x)是周期函數；
②f(x)的圖像關于直線x=1對稱；
③f(x)在[0，1]上是增函數；
④f(x)在[1，2]上是減函數；
⑤f(2)=f(0)。
其中正確的判斷是 （把你認為正確的判斷都填上）。
答：①②⑤
21．如圖14-10，已知正方體ABCD—A1B1C1D1，過點A作截面，使正方體的12條棱所在直線與截面所成的角皆相等，試寫出滿足這樣條件的一個截面 。
（注：只需任意寫出一個）
答：截面AB1D1，或截面ACD1，或截面AB1C
22．如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有　390　　　　種（用數字作答）．
23.隨機變量的分布列如下：
其中成等差數列，若，則的值是 ．
24. 已知數列，，且數列的前項和為，那么的值為__________答：99
25. ．有兩個向量，。今有動點，從開始沿著與向量+相同的方向作勻速直線運動，速度為|+|；另一動點，從開始沿著與向量相同的方向作勻速直線運動，速度為|3+2|．設、在時刻秒時分
別在、處，則當時， 2 秒．
A1
F
E
C
D
B
A
eq \o\ac(○,4)
eq \o\ac(○,3)
eq \o\ac(○,2)
eq \o\ac(○,1)
C
B
O
A
B1
C1
D1
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 1 頁 （共 11 頁）

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