資源簡介

1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示【第一練】
1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進(jìn)行整理和組合；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題基礎(chǔ)，適合學(xué)完新知識后的訓(xùn)練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標(biāo)分析】
1.在空間直角坐標(biāo)系中求出點的坐標(biāo)及向量坐標(biāo)，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，如第1題、第4題、第7題；
2.熟練掌握空間向量的坐標(biāo)運算，鍛煉數(shù)學(xué)運算能力 ，如第2題、第5題；
3.運用空間向量的坐標(biāo)運算，判斷平行于垂直，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學(xué)運算能力，如第3題、第9題、第10題；
4.運用空間向量的坐標(biāo)運算，求解夾角和距離問題，發(fā)展直觀想象，邏輯推理和數(shù)學(xué)運素養(yǎng)，如第5題、第6題、第8題；
一、填空題
1．在空間直角坐標(biāo)系中，點在平面上的射影的坐標(biāo)為 .
（2023秋·江西南昌八一中學(xué)高二期中）
2．已知，，則等于 .
（2023·寧夏石嘴山高二期中）
3．已知，.當(dāng)時，實數(shù) .
（2023·江蘇南通金沙中學(xué)高二期中）
4．已知點關(guān)于點的對稱點分別為，若，，則點的坐標(biāo)為 .
（2023·福建三明一中高二期中）
5．已知空間向量，且，則n＝ ，向量與的夾角為 ．
（2023·湖南師大附中高二期中）
6．如圖，在正方體中，點P滿足，則直線與直線所成角的余弦值為 ．
二、解答題
（2023·重慶石柱高二期中）
7．已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱，的中點，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系.寫出向量，，的坐標(biāo).

（2023·江西贛州高二期中）
8．已知兩點與．
(1)求原點到點的距離；
(2)求點之間的距離；
(3)在軸上求一點，使．
（2023·河南南陽高二期中）
9．設(shè)，.
(1)若，求；
(2)若，求.
（2023·海南海口高二期中）
10．如圖，已知直三棱柱中，，為的中點，，求證： (1)；
(2)∥平面．
【易錯題目】第1題、第4題 、第7題
【復(fù)盤要點】
空間直角坐標(biāo)系建系找點的策略：.
1.構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系的策略：
抓住空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系（或在圖形中構(gòu)造垂直關(guān)系）是我們構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系時的重要依據(jù)．常見的建系策略有：
（1）利用共頂點的互相垂直的三條棱，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系；
（2）利用線面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系；
（3）利用面面垂直關(guān)系，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系．
2．求某點P的坐標(biāo)的方法
先找到點P在Oxy平面上的射影M，過點M向x軸作垂線，確定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即為點P坐標(biāo)的絕對值，再按O→N→M→P確定相應(yīng)坐標(biāo)的符號（與坐標(biāo)軸同向為正，反向為負(fù)），即可得到相應(yīng)的點P的坐標(biāo)．
提醒：（1）求某點的坐標(biāo)時，一般先找出這一點在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個坐標(biāo)，再找出它在另一軸上的射影（或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號），確定第三個坐標(biāo)．
【典例】（2023·福建福州三中高二期中）如圖，在長方體中，，，，點E在線段AO的延長線上，且，下列向量坐標(biāo)表示正確的是（　　）
A． B．
C． D．
BC
【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，，，，
，，
對于A，因為，，所以，故A不正確；
對于B，因為，，所以，故B正確；
對于C，因為，，所以，故C正確；
對于D，因為，，所以，故D不正確.
故選：BC.
【歸納總結(jié)】用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
【復(fù)盤訓(xùn)練】
（2023秋·廣東廣州一中高二期中）
11．下列關(guān)于空間直角坐標(biāo)系中的一點的說法正確的有（ ）
A．線段的中點的坐標(biāo)為
B．點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為
C．點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為
D．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為
12．如圖，在長方體中，，以直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則下列結(jié)論中正確的是（ ）

A．點的坐標(biāo)為
B．點關(guān)于點對稱的點為
C．點關(guān)于直線對稱的點為
D．點關(guān)于平面對稱的點為
（2023·山東濱州高二月考）
13．如圖所示，正方體的棱長為1，M是所在棱上的中點，N是所在棱上的四分之一分點（靠近y軸），則M、N之間的距離為 ．
（2023·廣東佛山榮山中學(xué)高二期中）
14．笛卡爾是世界著名的數(shù)學(xué)家，他因?qū)缀巫鴺?biāo)體系公式化而被認(rèn)為是解析幾何之父.據(jù)說在他生病臥床時，還在反復(fù)思考一個問題：通過什么樣的方法，才能把“點”和“數(shù)”聯(lián)系起來呢？突然，他看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網(wǎng)，受其啟發(fā)建立了笛卡爾坐標(biāo)系的雛形。在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)是 ；點C是點B(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影，則 .
（2023·甘肅武威高二期中）
15．如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，，，．求：
(1)向量，，的坐標(biāo)；
(2)，的坐標(biāo)．
（2023·河北邯鄲高二期中）
16．已知三棱錐中，平面ABC，，若，，，建立空間直角坐標(biāo)系.
(1)求各頂點的坐標(biāo)；
(2)若點Q是PC的中點，求點Q坐標(biāo)；
(3)若點M在線段PC上移動，寫出點M坐標(biāo).
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．
【分析】利用空間中點的坐標(biāo)表示與射影的定義即可得解.
【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，點，
過點作平面的垂線，垂足即為射影，
則點的坐標(biāo)為.
故答案為：.
2．
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求得正確答案.
【詳解】由于，
所以.
故答案為：
3．
【分析】運用空間向量垂直的坐標(biāo)公式計算即可.
【詳解】因為，，，
所以，即，解得.
故答案為：.
4．
【分析】由已知得，再利用空間向量相等的坐標(biāo)表示即可得解.
【詳解】由題意可知是線段和的中點，則，
設(shè)，則，
所以，解得.
則點的坐標(biāo)為.
故答案為：.
5． 2 ##
【分析】根據(jù)求得，利用夾角公式求得向量與的夾角.
【詳解】解：依題意，解得，
所以，
所以，
由于，所以向量與的夾角為.
故答案為：；.
6．##
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解異面直線的夾角.
【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸， 為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體棱長為3，又，
則 ，
則 ，
故 ，
故直線與直線所成角的余弦值為 .
故答案為：.
7．答案見解析
【分析】根據(jù)空間坐標(biāo)系分別寫出對應(yīng)點的坐標(biāo)，再利用向量的坐標(biāo)運算法則即可得出結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意可得，
又E，F(xiàn)分別為棱，的中點，可得，
利用向量坐標(biāo)運算法則可得，即；
，即；
，即；
所以可得，，.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中，兩點間的距離公式，準(zhǔn)確運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由原點到空間任一點的距離公式，可得.
（2）解：由空間兩點間的距離公式，可得.
（3）解：由于點在軸上，不妨設(shè)它的坐標(biāo)為，
則，
．
又，所以，解得，
所以點的坐標(biāo)為．
9．(1)
(2)
【分析】（1）求出向量、的坐標(biāo)，利用空間向量共線的坐標(biāo)表示可求得實數(shù)的值；
（2）分析可知，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可求得實數(shù)的值.
【詳解】（1）解：因為，，
則，
，
若，則，解得.
（2）解：若，
則，解得.
10．(1)見解析(2)見解析
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積證明線線垂直，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點坐標(biāo)，利用向量共線證明線線平行，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果.
【詳解】證明：如圖，以C1點為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，
則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)，D(1,1,2)．
(1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)，
所以＝0－4＋4＝0，
因此⊥，故BC1⊥AB1.
(2)連接A1C，取A1C的中點E，連接DE，由于E(1,0,1)，所以＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)，
所以＝－，又ED和BC1不共線，
所以ED∥BC1，又DE 平面CA1D，
BC1 平面CA1D，故BC1∥平面CA1D.
【點睛】本題考查利用空間直角坐標(biāo)系證明線線垂直與線面平行，考查基本分析求證能力. 屬于中檔題.
11．AD
【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)運算依次判斷選項即可.
【詳解】由題意可知線段的中點的坐標(biāo)為，所以A中說法正確；
點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為，所以B中說法錯誤；
點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點的坐標(biāo)為，所以C中說法錯誤；
點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)為，所以D中說法正確.
故選：AD.
12．BCD
【分析】對于A，根據(jù)圖示分析即可；對于B，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為，再根據(jù)為的中點列式求解即可；對于C，根據(jù)四邊形為正方形判斷即可；對于D，根據(jù)平面求解即可.
【詳解】對于A，由圖形及其已知可得：點的坐標(biāo)為，故A錯誤；
對于B，由圖，，，設(shè)點關(guān)于點對稱的點為，
則，解得，故，故B正確；
對于C，在長方體中，
所以四邊形為正方形，與垂直且平分，
即點關(guān)于直線對稱的點為，故C正確；
對于D，因為平面，故點關(guān)于平面對稱的點為，即，故D正確.
故選：BCD.
13．
【分析】根據(jù)給定的幾何圖形，求出點M，N的坐標(biāo)，再利用空間兩點間的距離公式計算作答.
【詳解】依題意，，所以M、N之間的距離.
故答案為：
14． 5
【分析】關(guān)于軸對稱的點是將橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標(biāo)不變；點B(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影將豎坐標(biāo)變?yōu)?，其它坐標(biāo)不變.
【詳解】關(guān)于軸對稱的點是將橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，為；
點B(3,4,5)在坐標(biāo)平面Oxy內(nèi)的射影將豎坐標(biāo)變?yōu)?，其它坐標(biāo)不變，故，故.
故答案為：；5.
15．(1)，，
(2)
【分析】（1）先寫出點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得向量的坐標(biāo)；
（2）利用向量的坐標(biāo)運算加法和減法即可.
【詳解】（1）由已知，
則，，
（2）,
.
16．(1)建系見解析，，，，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)給定三棱錐的特征建立空間直角坐標(biāo)系，寫出頂點坐標(biāo)作答.
（2）利用（1）的結(jié)論結(jié)合中點坐標(biāo)公式計算作答.
（3）設(shè)出點M的縱坐標(biāo)，直接寫出其坐標(biāo)作答.
【詳解】（1）在三棱錐中，平面ABC，，則射線兩兩垂直，
以點A為原點，射線分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
所以，，，.
（2）由（1）知，點Q是PC中點，則.
（3）由（1）知，點M在線段PC上移動，則點M的橫坐標(biāo)為0，設(shè)其縱坐標(biāo)為t，
其豎坐標(biāo)z，當(dāng)M與P不重合時，，當(dāng)M與P重合時，z=3滿足上式，因此，
所以點.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示【第一課】
1.3 空間向量及其運算的坐標(biāo)表示
[課標(biāo)要求]
1.會建立空間直角坐標(biāo)系（右手直角坐標(biāo)系），會由點的坐標(biāo)確定點的位置；
2.能在空間直角坐標(biāo)系中求出向量坐標(biāo).
3.掌握空間向量的線性運算及其坐標(biāo)表示.
4.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示.
5.利用空間向量的坐標(biāo)運算解決平行、垂直、夾角和距離問題.
[明確任務(wù)]
1.確定空間點的位置及求點的坐標(biāo). （數(shù)學(xué)建模）
2.對空間直角坐標(biāo)系的理解. （數(shù)學(xué)抽象）
3.立體幾何問題坐標(biāo)化、代數(shù)化. （直觀想象）
1.平面直角坐標(biāo)系，平面向量的坐標(biāo)表示
2.平面向量坐標(biāo)運算；
3.運用平面向量的坐標(biāo)運算解決平行、垂直、夾角和距離問題
核心知識點1 空間直角坐標(biāo)系
1.空間直角坐標(biāo)系
如圖所示，OABC－D'A'B'C'是單位正方體. 以O(shè)為原點，分別以射線OA，OC，OD'的方向為正方向，以線段OA，OC，OD'的長為單位長，建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸. 這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz，其中點O叫做坐標(biāo)原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸. 通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面.
2.建立空間直角坐標(biāo)系
（1）空間直角坐標(biāo)系的分類
就坐標(biāo)軸的方向而言，我們分右手系和左手系，一般我們采用右手系.
在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.
（2）空間直角坐標(biāo)系（右手系）的畫法
①x軸與y軸成135°，x軸與z軸成135°.
②y軸垂直于z軸，y軸和z軸的單位長度相等，x軸上的單位長度等于y軸單位長度的一半（斜二測畫法）.
③每兩條坐標(biāo)軸確定的平面Ozx，Oxy，Oyz兩兩垂直.
例1 在空間直角坐標(biāo)系中，作出點M（6，－2，4）.
【解析】方法一：如圖所示，從原點出發(fā)沿x軸正方向平移6個單位長度得到點M1，再將M1沿與y軸負(fù)方向平移2個單位長度得到點M2，然后將M2沿與z軸平行的方向向上平移4個單位長度即得點M.
方法二：先確定點M2（6，－2，0）在Oxy平面上的位置，因為點M在z軸上的坐標(biāo)為4，則|MM2|＝4，且MM2平行于z軸，點M和z軸的正半軸在Oxy平面的同側(cè)，這樣就可確定點M的位置了（圖略）.
方法三：以O(shè)為一個頂點，構(gòu)造三條棱長分別為6，2，4的長方體，使此長方體在點O處的三條棱分別在x軸正半軸，y軸負(fù)半軸，z軸正半軸上，則長方體上與頂點O相對的頂點為所求的點M（圖略）.
歸納總結(jié) 在空間直角坐標(biāo)系中確定點的方法
1.點在空間直角坐標(biāo)系中的位置有三種：點在坐標(biāo)軸上、點在坐標(biāo)平面上、點不在坐標(biāo)平面內(nèi). 對于前兩種情形，需要熟悉特殊點的坐標(biāo)特征；對于第三種情形，一般經(jīng)過該點作與坐標(biāo)軸垂直的平面，依據(jù)平面與坐標(biāo)軸的交點確定點的坐標(biāo).
2. 坐標(biāo)軸或某平面上點的坐標(biāo)
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標(biāo)的形式 （x，0，0） （0，y，0） （0，0，z）
點的位置 Oxy平面內(nèi) Oyz平面內(nèi) Ozx平面內(nèi)
坐標(biāo)的形式 （x，y，0） （0，y，z） （x，0，z）
【舉一反三】
（2023·福建三明一中高二月考）
1．在空間直角坐標(biāo)系中，記點在平面內(nèi)的正投影為點B，則（ ）
A． B． C． D．
2．一個棱長為的正方體，對稱中心在原點且每一個面都平行于坐標(biāo)平面，寫出這個正方體個頂點的坐標(biāo).
核心知識點2 空間向量的坐標(biāo)
1. 空間點的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使＝xi＋yj＋zk. 在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A（x，y，z），其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo).
2. 空間向量的坐標(biāo)
在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作＝a. 由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z），使a＝xi＋yj＋zk. 有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，上式可簡記作a＝（x，y，z）.
例2 .（2023·山東菏澤三中高二月考）已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點，并且PA＝AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求向量的坐標(biāo).
【解析】因為PA＝AD＝AB＝1，
所以可設(shè)＝i，＝j(luò)，＝k.
因為＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）
＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j(luò)＋k，
所以＝.
歸納總結(jié) 表示空間向量坐標(biāo)的基本方法
1.用坐標(biāo)表示空間向量的步驟
2.求某點的坐標(biāo)時，一般先找這一點在某一坐標(biāo)平面上的射影，確定其兩個坐標(biāo)，再找出它在另一坐標(biāo)軸上的射影（或者通過它到這個坐標(biāo)平面的距離加上正負(fù)號）進(jìn)而確定第三個坐標(biāo).
【舉一反三】
3．在直三棱柱中，，，D為的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，的坐標(biāo)分別為 .
4．如圖所示，已知點P為正方形ABCD所在平面外一點，且平面ABCD，M，N分別是AB，PC的中點，且，求向量的坐標(biāo).
核心知識點3 空間向量的坐標(biāo)運算
1. 空間向量的坐標(biāo)
一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo).
2. 設(shè)a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）. 則有
向量運算 坐標(biāo)表示
加法 a＋b＝（a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3）
減法 a－b＝（a1－b1，a2－b2，a3－b3）
數(shù)乘 λa＝（λa1，λa2，λa3）（λ∈R）
數(shù)量積 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
溫馨提示　（1）運用公式可以簡化運算：（a±b）2＝a2±2a·b＋b2；（a＋b）·（a－b）＝a2－b2.
（2）向量線性運算的結(jié)果仍是向量；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量.
例3 .（2023·廣東佛山順德區(qū)容山中學(xué)高二期中）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因為，，
所以，，，
.故正確的選項為ACD.
故選：ACD
歸納總結(jié) 空間向量坐標(biāo)運算的常見問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標(biāo)表示出來，然后準(zhǔn)確運用空間向量坐標(biāo)運算公式計算.
（2）由條件求向量或點的坐標(biāo)
首先把向量坐標(biāo)形式設(shè)出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標(biāo).
【舉一反三】
5．已知，則 .
6．若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,則實數(shù)x= .
核心知識點4 利用空間向量的坐標(biāo)運算解決立體幾何問題
考向1. 空間向量平行、垂直的坐標(biāo)表示
1.設(shè)a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），則有：
（1）平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時，a∥b則a＝λb，即a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R）.
（2）垂直關(guān)系：a⊥b則a·b＝0，即a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
溫馨提示　（1）要證明a⊥b，就是證明a·b＝0；要證明a∥b，就是證明a＝λb（b≠0）.
（2）當(dāng)b的坐標(biāo)中b1，b2，b3都不等于0時，a與b平行的條件還可以表示為＝＝.
例4 . （2023·福建莆田一中高二月考）已知空間三點A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），
設(shè)＝a，＝b.
（1）設(shè)向量c＝，試判斷2a－b與c是否平行？
（2）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k.
【解析】 （1）因為a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2），
所以2a－b＝（3，2，－2），
又c＝，
所以2a－b＝－2c，
所以（2a－b）∥c.
（2）因為a＝＝（1，1，0），b＝＝（－1，0，2），
所以ka＋b＝（k－1，k，2），
ka－2b＝（k＋2，k，－4）.
又因為（ka＋b）⊥（ka－2b），
所以（ka＋b）·（ka－2b）＝0，
即（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝2k2＋k－10＝0，
解得k＝2或－.
歸納總結(jié) 運用空間向量坐標(biāo)判斷平行于垂直的基本思路
（1）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數(shù)值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，列方程（組）求解.
（2）利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
【舉一反三】
7．已知.
(1)若，分別求λ與m的值；
(2)若，且與垂直，求.
考向2. 空間夾角、距離的計算
1.若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），
cos〈a，b〉＝＝.
2.空間兩點間距離公式
設(shè)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2），則P1P2＝||＝.
溫馨提示：　（1）空間兩直線夾角可轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角，設(shè)直線AB與CD所成的角為θ，cos θ＝|cos〈，〉|.
（2）求空間中線段的長度即對應(yīng)空間向量的模，因此空間兩點間的距離公式就是空間向量模的計算公式.
例5 . （2023·山東菏澤三中高二月考）棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點.
（1）求證：EF⊥CF；
（2）求異面直線EF與CG所成角的余弦值；
（3）求CE的長.
【解析】 （1）證明：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D（0，0，0），E，C（0，1，0），F(xiàn)，G.
所以，，
.
因為×0＝0，所以，即EF⊥CF.
（2）因為×1＋×0＋，
|，
|，
所以cos＜＞＝.
又因為異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為.
（3）|CE|＝||＝.
歸納總結(jié) 運用空間向量坐標(biāo)解決立體幾何問題的基本思路
通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使盡可能多的點在坐標(biāo)軸上，以便寫點的坐標(biāo)時便捷.建立坐標(biāo)系后，寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，然后再寫出相應(yīng)向量的坐標(biāo)表示，然后再利用向量的坐標(biāo)運算求解夾角和距離問題.
【舉一反三】
8．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面邊長，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
(1)求三棱柱的側(cè)棱長；
(2)設(shè)M為BC1的中點，試用基向量，，表示向量；
(3)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.
9．在空間直角坐標(biāo)系中，點到平面yOz的距離是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
10．已知向量，則等于（　　）
A． B．
C． D．
11．在空間直角坐標(biāo)系中，給出以下結(jié)論：其中正確的是（　　）
A．點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為；
B．點關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是；
C．點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是；
D．已知點與點，則AB的中點坐標(biāo)是.
12．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　)
A．1 B． C． D．
13．已知點，則＝ ，＝ .
14．如圖所示，在正方體中，是的中點，，則向量的坐標(biāo)為 .
15．如圖，在棱長為1的正方體ABCD- A1B1C1D1中，E、F、G分別DD1、BD、BB1是中點.
(1)證明：EFCF；
(2)求EF與CG所成角的余弦值；
(3)求CE的長.
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．B
【分析】求出點坐標(biāo)，然后計算．
【詳解】點在平面內(nèi)的正投影為點，則．
故選：B.
【點睛】本題考查空間點在坐標(biāo)平面上的投影，考查空間兩點間距離．屬于基礎(chǔ)題．
2．答案見解析
【分析】以棱長為的正方體的對稱中心為坐標(biāo)原點，過點且分別平行于、、的直線作、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合圖形可得出正方體各頂點的坐標(biāo).
【詳解】解：以棱長為的正方體的對稱中心為坐標(biāo)原點，
過點且分別平行于、、的直線作、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，.
3．，
【分析】設(shè)出同方向的單位向量，然后根據(jù)空間向量的線性運算表示出，由此可求對應(yīng)向量的坐標(biāo).
【詳解】設(shè)同方向的單位方向向量分別為，
因為
，
所以，
因為，
所以，
故答案為：，.
4．
【分析】方法一：根據(jù)空間向量的線性運算表示出，然后結(jié)合坐標(biāo)軸正向的單位向量可求向量的坐標(biāo)；方法二：先表示出坐標(biāo)，然后根據(jù)中點求解出的坐標(biāo)，結(jié)合的坐標(biāo)可求結(jié)果.
【詳解】設(shè)正方形的邊長為a，∵，且PA，AD，AB兩兩互相垂直，
故可設(shè)，
以為坐標(biāo)軸正向的單位向量，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
方法一：∵
，
∴.
方法二：∵，
∴N點的坐標(biāo)為，
∵M(jìn)點的坐標(biāo)為，
∴.
5．
【分析】先表示出的坐標(biāo)，然后根據(jù)坐標(biāo)形式下數(shù)量積的計算公式求解出結(jié)果.
【詳解】因為，
則，
故答案為：.
6．
【分析】由數(shù)量積的坐標(biāo)運算可解得x．
【詳解】由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.填-8.
【點睛】若，則.
7．(1)，
(2)
【分析】（1）利用向量平行的條件即可求解；
（2）利用向量的模公式及向量垂直的條件即可求解.
【詳解】（1）因為，
所以設(shè)，
所以，解得，
所以，.
（2）因為，且與垂直，
所以,化簡得,解得.
故.
8．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）設(shè)側(cè)棱長為，然后表示出對應(yīng)點坐標(biāo)，根據(jù)求得的值即可；
（2）根據(jù)為中點可得，然后結(jié)合可求結(jié)果；
（3）先表示出的坐標(biāo)，然后計算出，再結(jié)合空間向量夾角的余弦值計算公式求解出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)側(cè)棱長為，
則，
所以，
因為，
所以，
解得（負(fù)值舍去），故側(cè)棱長為.
（2）因為M為BC1的中點，
所以.
（3）由（1）知，
所以，，，
所以，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
9．A
【分析】利用點到平面yOz的距離是即可求出結(jié)果.
【詳解】點到平面yOz的距離是,
故選：A.
10．D
【分析】根據(jù)空間向量數(shù)乘以及加法運算的坐標(biāo)表示即可求得結(jié)果.
【詳解】易知由，
利用向量數(shù)乘以及加法的坐標(biāo)運算可得,
故選：D
11．CD
【分析】根據(jù)已知條件及對稱性，結(jié)合中點坐標(biāo)公式即可求解.
【詳解】A選項，點關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為，故A錯誤；
B選項，點關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是；故B錯誤；
C選項，點關(guān)于平面對稱的點的坐標(biāo)是，故C正確；
D選項，已知點與點，則AB的中點坐標(biāo)是，故D正確.
故選：CD.
12．D
【詳解】試題分析：由的坐標(biāo)可得，，兩向量互相垂直則，即，解得．
考點：兩向量垂直坐標(biāo)滿足的條件．
13．
【分析】空1：根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算求解；空2：根據(jù)空間向量的模長運算求解.
【詳解】∵，則有：
；
.
故答案為：；.
【點睛】在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，則.
14．
【分析】先求出，的坐標(biāo)，再利用減法的坐標(biāo)形式計算.
【詳解】因為在正方體中，是的中點，，
根據(jù)題中所建的空間直角坐標(biāo)系，可得，，所以.
故答案為：
15．(1)證明見解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，根據(jù)向量的數(shù)量積為0證明垂直即可；
（2）利用向量法求異面直線所成角的余弦值；
（3）根據(jù)向量的模計算兩點間的距離即可.
【詳解】（1）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則，
所以，,
因為,
所以，即EFCF.
（2）由（1）知，
所以，
所以與所成角的余弦值是；
（3）由（1）知，
所以，
即CE的長為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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