資源簡介

1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系【第一練】
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.運用直線的方向向量判定直線位置關系，培養直觀想象和數學運算素養，如第1題、第2題；
2.熟練掌握平面法向量的算法，鍛煉數學運算能力 ，如第2題、第3題、第5題；
3.運用空間向量解決直線、平面的平行問題，培養邏輯推理和數學運算能力，如第4題、第6題、第7題、第9題；
4.運用空間向量解決直線、平面的垂直問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，第5題、第8題、第10題；
一、填空題
（2023·寧夏石嘴山高二期中）
1．已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，且，則 ， .
（2023·福建三明高二期中）
2．如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1為正方體，
①直線DD1的一個方向向量為；
②直線BC1的一個方向向量為；
③平面ABB1A1的一個法向量為；
④平面B1CD的一個法向量為；
則上述結論正確的是 （填序號）
（2023·江蘇鹽城高二期中）
3．兩平面的法向量分別為，若，則的值是 .
（2023·湖南邵陽高二期中）
4．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，則的值是 .
（2023·四川南充高二期中）
5．已知直線l與平面垂直，直線l的一個方向向量為，向量為平面的法向量，則z＝ .
（2023·山西師大附中高二期中）
6．在棱長為1的正方體中，為的中點，、是正方體表面上相異兩點，滿足，.若，均在平面內，則與的位置關系是 ，的最小值為 .
二、解答題
（2023·甘肅武威高二期中）
7．如圖，在四棱柱中，側棱底面，，，且點分別為和的中點， 求證：平面.
（2023·湖北十堰高二期中）　
8．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN= CC1.求證:AB1⊥MN.
（2023·江西贛州高二期中）
9．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F分別是BB1，DD1的中點，
求證：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
（2023·河北邯鄲高二期中）
10．如圖正方形ABCD的邊長為，四邊形BDEF是平行四邊形，BD與AC交于點G，O為GC的中點，FO＝，且FO⊥平面ABCD.
(1)求證：AE∥平面BCF；
(2)求證：CF⊥平面AEF.
【易錯題目】第2題、第3題 、第10題
【復盤要點】 平面法向量的求法
平面法向量的確定通常有兩種方法：
（1）直接尋找：幾何體中已經給出有向線段，只需證明線面垂直即可.
（2）待定系數法：當幾何體中沒有具體的直線可作為法向量時，根據已知平面內兩條相交直線的方向向量，可以運用待定系數法求解平面的法向量（此時一般需要建立空間直角坐標系）.
【典例】（2023·廣東佛山高二期中）如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，O是AC與BD的交點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過點G和AP作平面交平面BDM于GH.
（1）求證：是直線GH的方向向量.
（2）已知平面α經過三點A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，
－2，0），試求平面α的一個法向量.
　（1）證明：連接MO（圖略），
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O為AC的中點，又M是PC的中點，
∴MO∥PA.
∵MO 平面BDM，PA 平面BDM，∴PA∥平面BDM.
∵PA 平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH，∴PA∥GH，∴是直線GH的方向向量.
（2）∵A（1，2，3），B（2，0，－1），C（3，－2，0），
∴＝（1，－2，－4），＝（2，－4，－3）.
設平面α的一個法向量為n＝（x，y，z），依題意，
應有n·＝0且n·＝0，
即解得z＝0且x＝2y，令y＝1，則x＝2.
∴平面α的一個法向量為n＝（2，1，0）.
【歸納總結】
待定系數法求法向量具體步驟如下：
①選向量：求平面的法向量時，要選取平面內兩相交直線的方向向量；
②設坐標：設平面法向量的坐標為n＝（x，y，z）；
③解方程組：聯立方程并解方程組；
④定結論：求出的向量中三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定某個坐標為常數（非零常數）而得到其他坐標.
【復盤訓練】
（2023·山東泰安一中高二期中）
11．已知點，，，則下列向量是平面的法向量的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·湖南懷化高二期中）
12．若平面，且平面的一個法向量為，則平面的法向量可以是（ ）
A． B． C．，2， D．
（2023·湖北黃石高二期末）
13．已知向量，平面α的一個法向量，若，則（　　）
A． B．
C． D．
（2023·江西上饒高二期中）
14．《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，.若建立如圖所示的“空間直角坐標系，則平面的一個法向量為（ ）

A． B． C． D．
（2023·山東菏澤三中高二期末）
15．已知平面與平面平行，若是平面的一個法向量，則平面的法向量可能為（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣東湛江高二期中）
16．在平面中，點，若，且為平面的法向量，則 ， .
（2023·甘肅武威高二期中）
17．如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，是邊長為1的正三角形，是菱形，，E是的中點，F是的中點，試建立恰當的空間直角坐標系，求平面的一個法向量.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1． 6
【分析】由于，所以兩直線的方向向量共線，從而得，進而可求得結果
【詳解】解：因為直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，且，
所以，解得.
故答案為：，6
【點睛】此題考查由向量平行求參數，屬于基礎題
2．①②③
【分析】根據向量的平行、方向向量、法向量及坐標運算求解即可.
【詳解】設正方體的棱長為1.
因為，且，所以①正確；
因為，，所以②正確；
因為平面，，所以③正確；
因為正方體中平面，平面，
所以，又，，平面，
所以平面，而與相交，不平行，與平面不垂直，
故不是平面的法向量，所以④錯誤.
故答案為：①②③.
3．6
【分析】根據可得，由此可求結果.
【詳解】因為，所以，
所以，
故答案為：.
4．6
【分析】根據空間向量的平行列式求值即可得解.
【詳解】∵，∴的法向量與的法向量也互相平行.
∴，∴.
故答案為：6.
5．
【分析】利用空間位置的向量關系即可求解.
【詳解】平面的法向量為，依題意，，則，
因此，所以.
故答案為：
6． 平行
【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能判斷與的位置關系，設，，，推導出，由此能求出的最小值．
【詳解】
以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，
則，0，，，1，，，1，，
，均在平面內，設，，，，，，
則，1，，，，，，，，
，．
，
解得，所以可得
，即與的位置關系是平行．
，
當，即，，時，的最小值為．
故答案為：平行，．
7．證明見解析
【分析】以為原點，建立空間直角坐標系，求得平面的一個法向量和向量，結合，即可證得平面.
【詳解】以為原點，分別以所在直線為z軸建立空間直角坐標系，
如圖所示，可得，，
又因為分別為和的中點，可得，
又由向量為平面的一個法向量，且,
由此可得，又因為直線平面，所以平面.
8．證明見解析.
【分析】設AB中點為O，作OO1∥AA1，以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.，利用可證結論正確.
【詳解】證明：設AB中點為O，作OO1∥AA1，以O為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.，
由已知得A-，0，0，B，0，0，C0，，0，
N0，，B1，0，1，
∵M為BC中點，∴M，0.
∴=-，=(1，0，1)，
∴=-+0+=0，
∴，即AB1⊥MN..
【點睛】本題考查了利用空間向量證明異面垂直，屬于基礎題.
9．（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】（1）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，求得直線的方向向量以及平面的法向量，計算其數量積即可證明；
（2）計算兩個平面的法向量，根據法向量是否平行，即可證明.
【詳解】證明：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）設=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則⊥，⊥，
即得令z1=2，則y1=-1，
所以=(0，-1，2).因為·=-2+2=0，所以.
又因為FC1 平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
設=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一個法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，則y2=-1，所以=(0，-1，2).
因為=，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【點睛】本題考查用向量證明線面平行、以及面面平行，屬基礎題.
10．（1）詳見解析；（2）詳見解析.
【分析】(1)取BC中點H，連接OH，建立如圖所示的直角坐標系，求得平面BCF的法向量為，由 ，即可得到AE∥平面BCF.
(2)由 ， ，且AEAF＝A，解得CF平面AEF.
【詳解】(1)取BC中點H，連接OH，則OH∥BD，又四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴OH⊥AC，∴以O為原點，建立如圖所示的直角坐標系，
則A(3，0，0)，E(1，－2，)，C(－1，0，0)，D(1，－2，0)，F(0，0，)，B(1，2，0). ＝(－2，－2，0)，＝(1，0，)，＝(－1，－2, )．
設平面BCF的法向量為＝(x，y，z)，則.
取z＝1，得＝(－，，1)．
又四邊形BDEF為平行四邊形，∴＝＝(－1，－2，)，
∴＝＋＝＋＝(－2，－2，0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，∴·＝3－4＋＝0，
∴ ，又AE平面BCF，∴AE∥平面BCF.
(2)＝(－3，0，)，∴·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
∴ ， ，又AEAF＝A，∴CF平面AEF.
【點睛】本題主要考查了空間向量在立體幾何線面位置關系的判定中的應用，其中解答中建立適當的空間直角坐標系，合理利用平面法向量的性質和空間向量的共面定理是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎題.
11．A
【分析】表示出向量，根據法向量定義，依次驗證各選項中的向量與是否都垂直即可.
【詳解】由題意知：，，
對于A，，，
與均垂直，是平面的一個法向量，A正確；
對于B，，與不垂直，
不是平面的一個法向量，B錯誤；
對于C，，與不垂直，
不是平面的一個法向量，C錯誤；
對于D，，與不垂直，
不是平面的一個法向量，D錯誤.
故選：A.
12．C
【分析】利用向量垂直的坐標表示判斷出正確選項.
【詳解】A，，錯誤.
B，，錯誤.
C，，正確.
D，，錯誤.
故選：C
13．C
【分析】根據得到得到，從而得到關系式.
【詳解】由題意可知，故，
故選：C
14．B
【分析】根據題意，設，可得、、的坐標，由此可得向量、的坐標，由此可得關于、、的方程組，利用特殊值求出、、的值，即可得答案．
【詳解】根據題意，設，則，，，
則，，
設平面的一個法向量為，
則有，令，可得，則.
故選：B．
15．AD
【分析】由平行平面的法向量共線，可求解.
【詳解】設平面的法向量可能為，則由題意可得，
對于選項，，滿足題意；
對于選項，設，無解，所以不符合題意；
對于選項，設，無解，所以不符合題意；
對于選項，，滿足題意．
故選：AD．
16．
【分析】根據題意，結合，列出方程組，即可求解.
【詳解】由平面中，點，
可得，
因為為平面的一個法向量，則，
解得.
故答案為：；.
17．（答案不唯一）.
【分析】首先根據面面垂直的性質可得平面，進而結合等邊三角形的判定與性質可得，再建立空間直角坐標系，設平面的一個法向量為，從而利用，即可得到答案.
【詳解】連接，
因為是邊長為1的正三角形，，F為的中點，所以，
又因為平面平面⊥平面，平面平面，平面，所以平面.
連接AC，因為，，所以是等邊三角形，又
F為的中點，所以.
綜上可知，直線兩兩垂直，
所以建立以為原點，分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示：
由題意，在正和正中，，
則，
所以，
設平面的一個法向量為，則
，即，化簡得，
令，則x＝，即
所以平面的一個法向量為（答案不唯一）.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系【第一課】
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系
[課標要求]
1.能用向量語言表述直線和平面.
2.理解直線的方向向量與平面的法向量.
3.會求直線的方向向量與平面的法向量.
4.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行與垂直關系.
5.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行與垂直關系.
[明確任務]
1.利用向量的方法解決線線、線面、面面的平行（垂直）關系. （數學建模、數學運算）
2.利用直線的方向向量和平面的法向量證明直線與平面平行（垂直）. （數學建模、邏輯推理）
1.平面向量平行與垂直的坐標表示
2.運用平面向量的坐標運算解決直線平行、垂直問題
3.線線、線面、面面平行與垂直的判斷定理
核心知識點1 空間中點、直線的向量表示
1.點的位置向量：在空間，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量.
2.空間直線的向量表示式
（1）設a是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使，①
將代入①式，得，②
①和②都稱為空間直線的向量表示式.
（2）性質：空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.
溫馨提示　（1）空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合.
（2）與直線l平行的任意非零向量a都是直線的方向向量，且直線l的方向向量有無數個.
例1．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則（　　）
A.直線DD1的一個方向向量為（0，0，1） B.直線AB的一個方向向量為（0，0，1）
C.直線BC1的一個方向向量為（0，1，1） D.直線B1D的一個方向向量為（1，1，1）
【答案】AC
【解析】∵AA1∥DD1，且＝（0，0，1），∴A正確；
∵＝（1，0，0），∴直線AB的一個方向向量為（1，0，0），
又向量（0，0，1）垂直于向量（1，0，0），∴B不正確；
連接AD1，∵AD1∥BC1，＝（0，1，1），∴C正確；
∵＝（－1，1，－1），∴直線B1D的一個方向向量為（－1，1，－1），
又（－1，1，－1）與（1，1，1）不共線，∴D不正確.
歸納總結 理解直線方向向量的概念
（1）直線上任意兩個不同的點都可構成直線的方向向量.
（2）直線的方向向量不唯一.
【舉一反三】
（2023·山東菏澤三中高二月考）
1．（多選）設，是空間直線l上的兩點，則直線l的一個方向向量的坐標可以是（ ）
A．（2，1，3） B．（4，1，6）
C． D．
2．若直線的方向向量分別為，則（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．不能確定
核心知識點2 空間中平面的向量表示
1.空間平面的向量表示式：如圖，取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使
我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.
2.空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.
如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量.給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·＝0}.
溫馨提示　（1）平面α的一個法向量垂直于平面α內的所有向量.
（2）一個平面的法向量有無限多個，它們相互平行.
（2023·福建三明一中高二月考）
例2 . 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當的空間直角坐標系，求：
（1）平面ACE的一個法向量；
（2）直線PC的一個方向向量和平面PCD的一個法向量.
【解析】 （1）因為PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直.
如圖，以A為坐標原點，
AB所在直線為x軸建立空間直角坐標系Axyz，則A（0，0，0），D（0，，0），
，B（1，0，0），C（1，，0），
于是，＝（1，，0）.
設n＝（x，y，z）為平面ACE的法向量，
則，即，所以
令y＝－1，則x＝z＝
所以平面ACE的一個法向量為n＝（，－1，）.
（2）如圖，P（0，0，1），C（1，，0），
所以＝（1，，－1）即為直線PC的一個方向向量.
設平面PCD的法向量為n＝（x，y，z），
因為D（0，，0），所以＝（0，，－1），
則，即，所以
令y＝1，則z＝.
所以平面PCD的一個法向量為n＝（0，1，）.
歸納總結 表示空間利用待定系數法求平面法向量的步驟
（1）設向量：設平面的法向量為n＝（x，y，z）.
（2）選向量：在平面內選取兩個不共線向量
（3）列方程組：由列出方程組.
（4）解方程組：
（5）賦非零值：取x，y，z其中一個為非零值（常取±1）.
（6）得結論：得到平面的一個法向量.
【舉一反三】
3．已知，則平面的一個法向量的坐標為 .
4．已知直線，且的方向向量為，平面的法向量為，則 .
核心知識點3 空間中直線、平面的平行
1. 兩直線平行的判定方法：
設u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2 ，則 u1∥u2；或λ∈R，使得u1＝λu2.
溫馨提示　利用向量證明線線平行只需證明兩條直線的方向向量共線即可.
2.直線和平面平行的判定方法：
設u是直線l的方向向量，n是平面α的法向量，若 l∥α，則u⊥n即u·n＝0.
溫馨提示　（1）證明線面平行的關鍵看直線的方向向量與平面的法向量是否垂直.
（2）特別強調直線在平面外.
3.平面和平面平行的判定方法：
設n1，n2分別是平面α，β的法向量， 若α∥β，則n1∥n2 或λ∈R，使得n1＝λn2.
溫馨提示　證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合.
（2023·廣東佛山順德區容山中學高二期中）
例3 .在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點.證明：PA∥平面EDB.
證明　如圖所示，建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設PD＝DC＝a.
連接AC，交BD于點G，連接EG，
依題意得D（0，0，0），A（a，0，0），P（0，0，a），，B（a，a，0）.
法一　設平面BDE的法向量為n＝（x，y，z），
又，，
則有，即，即
令z＝1，則，所以n＝（1，－1，1），
又＝（a，0，－a），所以n·＝（1，－1，1）·（a，0，－a）＝a－a＝0.
所以n⊥，又PA在平面EDB外，所以PA∥平面EDB.
法二　因為四邊形ABCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，故點G的坐標為，
所以，又＝（a，0，－a），
所以，則PA∥EG.
而EG在平面EDB，且PA在平面EDB外，所以PA∥平面EDB.
法三　假設存在實數λ，μ使得，
即（a，0，－a）＝λ＋μ，
則有，解得
所以，所以共面.
又PA在平面EDB外，所以PA∥平面EDB.
歸納總結 運用空間向量判斷直線、平面的平行
1.利用空間向量證明線面平行一般有三種方法：
（1）證明直線的方向向量與平面內任意兩個不共線的向量共面，即可用平面內的一組基底表示；
（2）證明直線的方向向量與平面內某一向量共線，轉化為線線平行，利用線面平行判定定理得證；
（3）先求直線的方向向量，然后求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
2.證明面面平行問題可由以下方法：
（1）轉化為相應的線線平行或線面平行；
（2）分別求出這兩個平面的法向量，然后證明這兩個法向量平行.
【舉一反三】
5．如圖，在正三棱柱中，是的中點，求證：平面．
6．如圖，在直四棱柱中，底面為等腰梯形，，，，，是棱的中點．求證：平面平面.
核心知識點4 空間中直線、平面的垂直
1.兩直線垂直的判定方法
設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，若l1⊥l2，則u1⊥u2，即u1·u2＝0.
溫馨提示：（1）兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉化為兩直線的方向向量相互垂直.
（2）基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數量積為0.
2.直線和平面垂直的判定方法
設直線l的方向向量為u，平面α的法向量為n，若l⊥α，則u∥n，或λ∈R，使得u＝λn.
溫馨提示：證明直線與平面垂直時，直線l的方向向量必須與平面α內兩條相交直線的方向向量都垂直才可.
3.平面和平面垂直的判定方法
設平面α，β的法向量分別為n1，n2，若α⊥β，則n1⊥n2即n1·n2＝0.
溫馨提示：利用空間向量證明面面垂直通常有兩個途徑：
（1）利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉化為線面垂直進而轉化為線線垂直；（2）直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直.
（2023·福建莆田一中高二月考）
例4 . 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.
求證：EF⊥平面B1AC.
【解析】證明：　法一　設＝a，＝c，＝b，
則＝（－a＋b＋c）.
∵＝a＋b，
∴＝（－a＋b＋c）·（a＋b）＝（b2－a2＋c·a＋c·b）＝（|b|2－|a|2＋0＋0）＝0.
∴，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
法二　設正方體的棱長為2，以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（2，0，0），C（0，2，0），B1（2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）.
∴＝（－1，－1，1），＝（0，2，2），＝（－2，2，0）.
∴＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1）×2＋1×2＝0，
＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0，
∴，，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC＝A，AB1，AC平面B1AC，
∴EF⊥平面B1AC.
法三　由法二得＝（0，2，2），＝（－2，2，0），＝（－1，－1，1）.
設平面B1AC的法向量n＝（x，y，z），
則·n＝0，·n＝0，
即，取x＝1，則y＝1，z＝－1，
∴n＝（1，1，－1），∴＝－n，
∴∥n，∴EF⊥平面B1AC.
歸納總結 運用空間向量坐標判斷平行于垂直的基本思路
1.用向量法證明線面垂直的兩種思路
（1）證明直線的方向向量與平面內的兩條相交直線的方向向量垂直.
（2）證明直線的方向向量與平面的法向量平行.
2.向量法證明面面垂直的兩種思路
（1）證明兩個平面的法向量垂直.
（2）根據面面垂直的判定定理，證明一個平面內的向量垂直于另一個平面.
【舉一反三】
7．如圖，在四棱錐中，底面，，，，，E是PC的中點．證明：PD⊥平面ABE.

8．在正三棱錐中，三條側棱兩兩互相垂直，G是的重心，E，F分別為上的點，且．求證：平面平面.
9．若在直線l上，則直線的一個方向向量為（ ）
A． B． C． D．
10．已知平面內有一個點，的一個法向量為，則下列各點中，在平面內的是（　　）
A． B．
C． D．
11．若直線的方向向量分別為，則（ ）
A． B． C．相交但不垂直 D．不能確定
12．給出下列命題，其中是真命題的為（ ）
A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則l與m垂直
B．若直線的方向向量，平面的法向量，則
C．若平面的法向量分別為，則
D．若平面經過三點，向量是平面的法向量，則
13．平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為 ．
14．如圖，平面，四邊形為正方形，E為的中點，F是上一點，當時，＝ .
15．如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，底面分別為的中點．求證：平面．

16．如圖所示，在直角梯形中，，，，是的中點，分別為的中點，將沿折起，使得平面，試用向量方法證明平面.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．AC
【分析】利用，是空間直線l上的兩點，以及向量的坐標運算法則，即可求出空間直線l的方向向量..
【詳解】設點,，那么 ，即 為空間直線l的一個方向向量， 也是空間直線l的一個方向向量.
故選：AC
2．B
【分析】計算，根據其結果，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得，
∴，∴，
故選：B
3．（答案不唯一）
【分析】首先表示出，，設平面的法向量為，則，即可得到不定方程組，取值即可；
【詳解】解：因為，
所以，，
設平面的法向量為，
則，即，令，則，，
所以；
故答案為：（答案不唯一）
4．
【分析】根據得到向量與平面的法向量垂直，然后列方程求解即可.
【詳解】解：∵，且的方向向量為，平面的法向量為，
∴向量與平面的法向量垂直，
∴，
∴解得.
故答案為：.
5．證明見解析
【分析】構建空間直角坐標系，設正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，寫出相關點坐標，求面的法向量、的坐標，判斷、的位置關系，即可證結論.
【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，
設正三棱柱的底面邊長為，側棱長為，
則，，
所以．
設面法向量為，則，令，則．
由于，因此，平面，
所以．
6．證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法分別證明，，即，，再利用面面平行的判定定理即可得證.
【詳解】因為，是棱的中點，
所以，所以為正三角形.
因為為等腰梯形，，
所以.
取的中點，連接，
則，所以.
以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，
則，
所以，，，，
所以，，
又不重合，不重合，
所以，，
因為平面， 平面，
所以平面，平面，
又，平面，
所以平面平面
7．證明見解析
【分析】由題設構建空間直角坐標系，法一：求出平面ABE的法向量，坐標公式判斷，即可證結論；法二：向量垂直的坐標表示證，，根據線面垂直的判定證結論.
【詳解】由底面，，易知兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，連接AC，設，
則，

∵，∴為正三角形，則，
∴，
法一：設平面ABE的法向量為，則，
令，，而，顯然，則，
∴也是平面ABE的一個法向量，即平面ABE.
法二：，則，，
∴，，即，故平面ABE.
8．證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，由向量法證明直線平行，再結合線面垂直、面面垂直的判定定理進行證明．
【詳解】如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以所在直線分別作為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.令，
則
于是，，故，∴.
∵平面，
∴平面，∴平面.
又平面，
∴平面平面.
9．A
【分析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案．
【詳解】由題意可得：直線的一個方向向量，
又∵，
∴是直線的一個方向向量．
故選：A．
【點睛】本題主要考查直線的方向向量，以及平面向量共線（平行）的坐標表示，是基礎題．
10．B
【分析】若點在平面內，則該點與構成的向量與的數量積為0，由此依次判斷選項即可得到答案.
【詳解】對于A，，則，故A不正確；
對于B，，則，故B正確；
對于C，，則，故C不正確；
對于D，，則，故D不正確；
故選：B
11．B
【分析】計算，根據其結果，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得，
∴，∴，
故選：B
12．AD
【分析】對于A，計算，即可判斷；對于B，求出的值，即可判斷；對于C，計算的值，即可判斷；對于D，求出的坐標，根據法向量含義可得，即可判斷.
【詳解】對于A，，則，
所以直線與垂直，故A是真命題；
對于B，，則，
所以或，故B是假命題；
對于C，，即不垂直，
所以不成立，故C是假命題；
對于D，，
因為向量是平面的法向量，故，
即，故D是真命題，
故選：AD
13．5
【詳解】∵平面α與平面β垂直，
∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，
∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，
解得t＝
14．1
【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，用向量的數量積為0表示垂直可求得結論．
【詳解】建立如圖空間直角坐標系，設正方形的邊長為1，
，則，，.
設，則
因為， ，，
即是AD的中點，故，
故選：B.
15．證明見解析
【分析】以為坐標原點，的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系，由空間向量數量積可得，可證得，再由線面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】以為坐標原點，的長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．
設，其中，則，
所以．所以．
所以．又平面平面，
所以平面．

16．證明見解析
【分析】建立空間直角坐標系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解.
【詳解】由題意可知底面為正方形，
因為平面，平面，所以兩兩垂直，
如圖以為原點，以為方向向量建立空間直角坐標系，
則有關點及向量的坐標為：
，，，，，，
，，，
設平面的法向量為，
則，取可得平面的一個法向量為，
因為，又在平面外，
所以平面.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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