資源簡介

1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系【第二練】
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題．
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展．
【目標分析】
1．運用直線的方向向量判定直線位置關系，培養直觀想象和數學運算素養，如第1題、第3題、第7題；
2．熟練掌握平面法向量的算法，鍛煉數學運算能力 ，如第2題、第3題、第9題；
3．運用空間向量解決直線、平面的平行問題，培養邏輯推理和數學運算能力，如第5題、第6題、第7題、第11題；
4．運用空間向量解決直線、平面的垂直問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，第4題、 第6題、第8題、第10題、第12題；
（2023·山東日照實驗高級中學高二月考）
1．兩條不同直線的方向向量分別為，則這兩條直線（ ）
A．平行 B．垂直 C．異面 D．相交或異面
（2023·海南?？诟叨谥校?br/>2．如圖所示，正三棱柱，各條棱長均為2，點，分別是棱，的中點，是的中點.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則以下不是平面法向量的有（ ）

①②
③④
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
（2023·貴州遵義高二期中）
3．已知向量為平面α的一個法向量，為一條直線，則是的（　?。?br/>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·江西九江一中高二期中）
4．已知平面的一個法向量是，平面的一個法向量是.若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西師大附中高二期末）
5．如圖所示，在正方體中，E是棱DD1的中點，點F在棱C1D1上，且，若∥平面，則（ ）

A． B． C． D．
（2023·湖北黃石高二期末）
6．如圖，在正方體中，分別為的中點，則（ ）

A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面
（2023·福建廈門集美區高二期中）
7．給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．若直線的方向向量，直線的方向向量，則與垂直
B．若直線的方向向量，平面的法向量，則
C．若平面、的法向量分別為、，則、相交
D．若平面經過三點、、，向量是平面的法向量，則
（2023·山東菏澤高二期中）
8．在正方體中，若為中點，則直線可能垂直于（ ）
A． B． C． D．
（2023·天津大港中學高二期中）
9．已知四邊形是直角梯形，，平面， ， ，則平面的一個法向量為
（2023·遼寧阜新高二期末）
10．在正方體中，點是棱的中點，點是棱上的動點，當 時，平面．
（2023·河北邯鄲高二期末）
11．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點為棱的中點．證明：

(1)平面；
(2)平面⊥平面．
（2023·江西景德鎮高二期末）
12．如圖所示的幾何體中，平面平面為等腰直角三角形，，四邊形為直角梯形，.

(1)求證：平面；
(2)線段上是否存在點滿足，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.
【易錯題目】第5題、第10題 、第12題
【復盤要點】（2023·吉林四平高二期中） 如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1． 問：在棱PD上是否存在一點E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E點的位置，若不存在，請說明理由．
【解析】分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
如圖．
則P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)．
假設在棱PD上存在符合題意的點E，設E(0，y，z)，
則＝(0，y，z－1)，＝(0，2，－1)．
∵，∴y×(－1)－2(z－1)＝0?、伲?br/>∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB，可得． ∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0．
∴y＝1，代入①式得z＝． ∴E是PD的中點，即存在點E為PD中點時，CE∥平面PAB．
【點睛】運用空間向量坐標解決存在性問題的基本思路；
（1）根據題目垂直條件建立空間直角坐標系，并將相關的點、向量用坐標表示；
（2）假設所成的點或參數存在，并用相關參數表示相關點的坐標，根據線、面滿足的位置關系、數量關系，構建方程組求解，若能求出參數的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在．
【復盤訓練】
（2023·廣東湛江雷州市高二期末）
13．《九章算術》是我國古代數學名著，書中將底面為矩形，且有一條側棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，在陽馬中，平面，底面是矩形，分別為的中點，，，若平面，則（ ）

A． B． C． D．
（2023·福州三中高二期末）
14．如圖，在棱長為1的正方體中，點E為BC的中點．
(1)在B1B上是否存在一點P，使平面？
(2)在平面上是否存在一點N，使平面？
（2023·遼寧大連二十四中高二期末）
15．在多面體中，正方形和矩形互相垂直， 分別是和的中點，.
（1）求證：平面.
（2）試問在邊所在的直線上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，請說明理由.
（2023·廣東汕尾陸豐高二期末）
16．如圖，在四棱錐中，平面，正方形的邊長為2，是的中點．
(1)求證：平面．
(2)若，線段上是否存在一點，使平面？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據方向向量的位置關系判斷直線的位置關系即可.
【詳解】因為，
，故直線不垂直，
又，故直線不平行，所以兩條直線相交或異面.
故選：D.
2．B
【分析】利用平面向量的法向量的定義求解.
【詳解】依題意，，
所以，
設平面的一個法向量為：，
則，即，
令，則，，所以，
令，則，，所以，
令，則，，所以，
令，則，，所以，
故選：B.
3．C
【分析】根據平面法向量與直線的關系，結合充分、必要性定義判斷條件間的充分、必要關系.
【詳解】向量為平面α的一個法向量，設為直線l的一個方向向量，
若，則，則，充分性成立；
若，則，則，必要性成立，
所以是的充要條件．
故選：C．
4．B
【分析】利用平面垂直，法向量垂直，數量積為即可得取值范圍.
【詳解】
，
即，
則，
，
則.
故選：B
【點睛】本題主要考查了向量垂直的條件，掌握利用向量數量積判斷向量垂直是解題的關鍵，屬于基礎題.
5．C
【分析】先求平面的法向量，根據線面平行可得，運算求解即可.
【詳解】如圖所示，以A為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，

則，
可得，
設是平面的法向量，則，
令，則，即，
由，且，可得，
又因為，則，
由∥平面，可得，解得.
故選：C.
6．C
【分析】以為正交基底建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，結合法向量對選項逐一判斷即可.
【詳解】
以為正交基底建立空間直角坐標系，設，
則.
所以，.
設平面的一個法向量為，則，
取，則，
因為，所以與不平行，所以與平面不垂直，錯誤；
因為，所以與不平行，所以與平面不垂直，B錯誤；
因為，且線在面外，所以平面，C正確；
因為，所以與平面不平行，D錯誤.
故選：C
7．ACD
【分析】計算可得，可判斷A選項；利用線面位置關系與空間向量的關系可判斷B選項；利用平面的位置關系與空間向量的關系可判斷C選項；利用平面法向量的定義可判斷D選項.
【詳解】對于A選項，若直線的方向向量，直線的方向向量，
則，即，所以，，A對；
對于B選項，若直線的方向向量，平面的法向量，
則，所以，，則或，B錯；
對于C選項，若平面、的法向量分別為、，則與不共線，
所以，、相交，C對；
對于D選項，，，
因為為平面的法向量，則，解得，
此時，，D對.
故選：ACD.
8．AC
【分析】以為原點建立空間直角坐標系，求出，由空間向量數量積的坐標運算即可判斷.
【詳解】設正方體棱長為，如圖，以為原點建立空間直角坐標系，
則，
所以，，
所以，
，，
所以，，即，，
而與不垂直，與不垂直，故AC正確，BD錯誤.
故選：AC.
9．（答案不唯一）
【分析】根據題設建空間直角坐標系，應用向量法求平面的一個法向量即可.
【詳解】由題設，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
所以，則，
設平面SCD的一個法向量為，則，
令，故是平面SCD的一個法向量．

故答案為：（答案不唯一）
10．##
【分析】如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，，由平面，則，由空間向量數量積的定義代入解方程即可得出答案.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，，
則，
，
若平面，則，
即，解得，所以．
故答案為：.
11．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可以點為原點，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出直線的方向向量和平面的法向量，由，即可證明；
（2）求出平面的一個法向量，由即可證明.
【詳解】（1）因為平面，且平面，所以，
又因為，且平面，所以平面，
依題意，以點為原點，以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，
由為棱的中點，得，則，
所以為平面的一個法向量，
又，所以，
又平面，所以平面．
（2）由（1）知平面的法向量，，，
設平面的一個法向量為，
則，即，令，可得，所以，
又，
所以，所以平面⊥平面．
12．(1)證明見解析；
(2)存在，.
【分析】（1）通過求證，由線面平行的判定定理即可求證；
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求解.
【詳解】（1）四邊形是平行四邊形，
.
平面平面
平面.
（2）取的中點為.
平面平面平面，平面平面,
平面.
以點為坐標原點，分別以直線為軸，軸建立空間直角坐標系，則軸在平面內,

，
，，
.
設平面的法向量為
即
令，則.
，
.
又平面的法向量為平面，
∴.
∴在線段上存在點，使平面，且的值是.
13．C
【分析】以為坐標原點建立空間直角坐標系，設，根據法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結果.
【詳解】以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，

設，則，，，，，
，，，，
設平面的法向量，
則，令，解得：，，；
，又平面，
，，解得：.
故選：C.
14．(1)不存在
(2)存在
【分析】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設點，由可得答案；
（2）設，由可得答案.
【詳解】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
則點A(1，0，0)，E，，
，＝．
假設存在點滿足題意，于是，
所以 ，所以，
解得與矛盾，
故在上不存在點使平面．
（2）假設在平面上存在點N，使平面．
設，
則，因為，
所以，解得，
故平面AA1B1B上存在點N，使平面．
15．（1）證明見解析；（2）存在，且.
【分析】（1）結合面面垂直的性質定理來證得平面.
（2）建立空間直角坐標系，設出點坐標，利用向量法，結合平面來求得點的坐標，進而求得的長.
【詳解】（1）由于正方形和矩形互相垂直，且交線為，
，根據面面垂直的性質定理可知平面.
（2）以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，
，設.
，
設平面的法向量為，
則，故可設,
若平面，則，
所以存在使平面，
所以，.
16．(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析.
【分析】（1）連結交于點，可知.然后根據線面平行的判定定理，即可得出平面；
（2）先證明平面．以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，設，求出點的坐標，然后得到.求出平面的法向量，根據得出的值，根據數乘向量的模，即可得出答案.
【詳解】（1）
如圖1，連結交于點.
因為是正方形，所以是的中點，
又是的中點，所以.
因為平面，平面，
所以平面.
（2）存在，理由如下：
因為平面，平面，所以．
因為為正方形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
以點為坐標原點，過點作的平行線為軸，分別以為軸，
建立空間直角坐標系，如圖2，
則，，，，，，
所以.
令，
則,
所以，所以.
因為，，
設是平面的一個法向量，
則，所以，
取，則是平面的一個法向量.
因為平面，所以，
所以有，解得，所以.
因為，
所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系【第二課】
1.4.1 用空間向量研究直線、平面的位置關系
題型一 直線方向向量與平面法向量的算法
例1（2023·山東菏澤三中高二月考）放置于空間直角坐標系中的棱長為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：
（1）直線BC的一個方向向量 ；
（2）點OD的一個方向向量 ；
（3）平面BHD的一個法向量 ；
（4）的重心坐標 ．
【答案】
【解析】由題意可得：，，．．
由圖示，可得：，，，，，，
（1）直線BC的一個方向向量為，
（2）點OD的一個方向向量為；
（3），．設為平面BHD的一個法向量，
則，不妨設，則．
故平面BHD的一個法向量為．
（4）因為，，，，
所以的重心坐標為．
故答案為：（1）；（2）；（3）（4）．
【方法總結】求解直線方向向量與平面法向量的關鍵點
1．對直線方向向量的三點說明
（1）方向向量的選?。涸谥本€上任取兩點P，Q，可得到直線的一個方向向量
（2）方向向量的不唯一性：直線的方向向量不是唯一的，可以分為方向相同和相反兩類，它們都是共線向量．解題時，可以選取坐標最簡的方向向量．
（3）非零性：直線的方向向量是非零向量．直線的方向向量和平面的法向量都不唯一，各有無數個，且直線的方向向量都是共線向量，平面的法向量也都是共線向量．
2．求平面法向量的三個注意點
（1）選向量：在選取平面內的向量時，要選取不共線的兩個向量．
（2）取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量．
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0．
【變式訓練1-1】（2023·江蘇鹽城高二期中）
1．若向量都是直線的方向向量，則 .
【變式訓練1-2】（2023·四川瀘州高二期末）
2．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若，則的值為 ．
【變式訓練1-3】（2023·湖北十堰高二期中）
3．四邊形是直角梯形，，，平面，，，求平面和平面的法向量．
題型二 運用空間向量坐標判斷直線、平面平行
例2（2023·河南安陽一中高二期中）如圖，四棱錐中，側面PAD為等邊三角形，線段AD的中點為O且底面，，，E是PD的中點．
證明：平面．
【答案】證明見解析
【解析】因為在底面 內，，所以，
連接，因為為的中點，，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為，所以，
因為底面，底面，所以，
所以以為原點，分別以為軸建立如圖空間直角坐標系，
因為側面PAD為等邊三角形，，
所以，，，，，
因為E是PD的中點，所以，
所以，，，
設平面的法向量為，則
，令，得，
因為，所以，
又因為平面，所以平面．
【方法總結】運用空間向量坐標判斷直線、平面平行的基本思路
線線平行 設兩條不重合的直線l1，l2的方向向量分別為u1＝(a1，b1，c1)，u2＝(a2，b2，c2)，則l1∥l2 u1∥u2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
線面平行 設l的方向向量為u＝(a1，b1，c1)，α的法向量為n＝(a2，b2，c2)， 則l∥α u·n＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
面面平行 設α，β的法向量分別為n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)， 則α∥β n1∥n2 (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)
【變式訓練2-1】（2023·山東菏澤高二期末）
4．設是平面的一個法向量，是直線l的一個方向向量，則直線l與平面的位置關系是（ ）
A．平行或直線在平面內 B．不能確定 C．相交但不垂直 D．垂直
【變式訓練2-2】（2023·海南?？诟叨摽计谀?br/>5．如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點，則下列說法正確的是（ ）

A． B．平面
C．平面平面 D．
【變式訓練2-3】（2023·湖南師大附中高二期末）
6．如圖，設P為長方形ABCD所在平面外一點，M在PD上，N在AC上，若，用向量法證明：直線MN∥平面PAB.

題型三 運用空間向量坐標判斷直線、平面垂直
例3 （2023·四川樂山高二期末）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點，為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖建立以A為原點的空間直角坐標系，設正方體邊長為．
A選項，，
則，則，故A錯誤；
B選項，，
，則，故B錯誤；
C選項，，
，則，即，故C正確；
D選項，
，則，故D錯誤．
故選：C
【方法技巧與總結】運用空間向量坐標判斷平行于垂直的基本思路
線線垂直 設直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)， 則l1⊥l2 u·v＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
線面垂直 設直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)， 則l⊥α u∥n u＝λn (a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)(λ∈R)
面面垂直 設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)， 則α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
【變式訓練3-1】（2023·福建三明高二期中）
7．四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，.
(1)求證：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的長.
【變式訓練3-2】（2023·江蘇淮安高二期末）
8．如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點.
(1)求證：.
(2)求證：平面.
【變式訓練3-3】（2023·遼寧阜新高二期末）
9．如圖，在四棱錐中，面，在四邊形中，，點在上，.求證：
(1)CM面；
(2)面面.
易錯點1 建系、找點、運算失誤、使法向量出錯
例1（2023·河北邯鄲高二期中）如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，PD＝AD＝DC，底面ABCD為正方形，E為PC的中點，點F在PB上，問點F在何位置時，為平面DEF的一個法向量？
【答案】F為線段PB的一個三等分點（靠近P點）．
【解析】以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，
設DA＝2，則，
∴，，
∵，∴，
設，，∴，∴
∴，∴
∵＝0，∴，∴，
∴F為線段PB的一個三等分點(靠近P點)．
易錯警示：求法向量的步驟及關鍵點
1．求平面法向量的步驟
（1）設法向量n＝(x，y，z)；
（2）在已知平面內找兩個不共線向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)；
（3）建立方程組
（4）解方程組：用一個未知量表示其他兩個未知量，然后對用來表示兩未知量的未知量賦以特殊值，從而得到平面的一個法向量．
（5）賦非零值：取其中一個為非零值(常取±1)．
（6）得結論：得到平面的一個法向量．
2．求平面法向量的三個注意點
（1）選向量：在選取平面內的向量時，要選取不共線的兩個向量．
（2）取特值：在求n的坐標時，可令x，y，z中一個為一特殊值得另兩個值，就是平面的一個法向量．
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某個坐標為某特定值時一定要注意這個坐標不為0．
針對訓練1-1
10．已知平面α內兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（　?。?br/>A．-1，2 B．1，-2
C．1，2 D．-1，-2
針對訓練1-2
11．如圖，長方體中，，，，，分別是，的中點，以為原點，分別以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，則平面的一個法向量是 .
針對訓練1-3（2023·福建莆田高二期末）
12．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且AB=BC=2AD=4，E，F分別為線段AB，CD的中點，沿EF把AEFD折起，使平面AEFD⊥平面EBCF，得到如圖2所示的立體圖形．在線段EC上存在點G，使得AG∥平面CDF．以E為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系E-xyz，則平面CDF的一個法向量 ．
易錯點2 已知平行垂直關系，求參數
例2．（2023·江蘇張家港高二期末）如圖，在多面體中，，，都是邊長為2的等邊三角形，平面平面，平面平面．
（1）判斷，，，四點是否共面，并說明理由；
（2）在中，試在邊的中線上確定一點，使得平面．
【答案】（1），，，四點共面，理由見解析
（2）為中點
【解析】（1）答案：四點共面．
證明：取的中點，連接，，取的中點，連接，
則在等邊三角形中，，
又因為平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，兩兩垂直，且，
以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立的空間直角坐標系，
如圖所示，
則，，，，，
設，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，因為為公共點，所以，，，四點共面．
（2）解：設，故，
若平面，則，即，解得，
所以為中點時，平面．
易錯警示： 向量法處理空間平行與垂直問題求參數的兩個角度
（1）求字母的值：通過線線、線面、面面平行（垂直）轉化為向量的共線、垂直的關系，再利用向量關系構造關于字母的等量關系，進而求出字母的值．
（2）求點的坐標：可設出對應點的坐標，再利用點與向量的關系，寫出對應向量，利用空間中點、線、面的位置關系，轉化為向量的位置關系，進而建立與所求點的坐標有關的等式．
針對訓練2-1 （2023·四川綿陽高二期中）
13．在直三棱柱中，，，平面的一個法向量為，則棱的長為 ．
針對訓練2-2（2023·河南南陽高二?？迹?br/>14．如圖，平面，底面是正方形，分別為，的中點，點在線段上，與交于點，，若平面，則 .
針對訓練2-3（2023秋·陜西西安·高二統考階段練習）
15．已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面圖形中，，．現將矩形CDEF沿CD進行如圖所示的翻折，滿足面ABCD垂直于面CDEF．設，，若面DBN，則實數的值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．##
【分析】根據題意可知，再根據空間向量共線定理即可得解.
【詳解】根據題意可知，
故存在唯一實數，使，即，
則，解得，
所以.
故答案為：.
2．
【分析】根據題意得到，再利用空間向量平行的坐標成比例得到關于的方程組，解之即可得解.
【詳解】由直線的方向向量為，平面的法向量為，
因為，可得，所以，
即，解得，
所以.
故答案為：.
3．答案見解析
【分析】根據空間直角坐標系的性質，利用線面垂直的性質建立合適的坐標系，再根平面法向量的性質求解即可.
【詳解】因為平面，平面，所以
又，，所以，
所以以為原點，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，
所以是平面的一個法向量．
因為，
設平面的一個法向量， 則
，取，得，
所以是平面的一個法向量．
4．A
【分析】判斷兩個向量的位置關系即可得解.
【詳解】因為，所以，
所以直線l與平面的位置關系是平行或直線在平面內.
故選：A.
5．ABC
【分析】根據已知條件建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，分別求出直線的方向向量和平面和平面的法向量，利用空間直線的方向向量與平面的法向量的關系即可求解.
【詳解】依題意，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示

不妨設正方體的棱長為，則
所以，
所以，即，亦即，故A正確；
所以，
設平面的一個法向量為，則
，即，令，則，
所以，
所以，即，
又平面，
所以平面，故B正確；
所以，
設平面的一個法向量為，則
，即，令，則，
所以，
所以，即，
所以平面平面，故C正確；
所以,
所以和不平行，故D錯誤.
故選：ABC.
6．證明見解析
【分析】建立空間坐標系，設A，C，P三點坐標，用此三點的坐標表示出，，，然后觀察能否用表示出即可判斷線面是否平行．
【詳解】建立如圖所示的空間坐標系，

設，則，
∴，
，
∵，∴，設λ，
則λ ，．
∴，
∴．
∵BP 平面PAB，BA 平面PAB，MN 平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
7．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據兩個向量的數量積為0，可以判斷出AP⊥AB且AP⊥AD，進而根據線面垂直的判定定理得到PA⊥底面ABCD；
（2）根據向量加法的三角形法則，可以求出向量PC的坐標，進而代入向量模的計算公式，得到答案．
【詳解】（1）∵，
∴，，
∴，，
即AP⊥AB且AP⊥AD，
又∵AB∩AD＝A，平面ABCD
∴AP⊥平面ABCD.
（2）∵，
∴，，
∴．
8．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用面面垂直性質定理證明平面，然后以點為坐標原點建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標法證明線線垂直；
（2）先求出平面的法向量，然后利用直線AM的方向向量與法向量共線即可證明線面垂直.
【詳解】（1）因為四邊形為矩形，則，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又四邊形為正方形，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，
建立空間直角坐標系，
由，，得，，，，
，，.
所以，，
所以，所以，
所以
（2）由（1）知，，，.
設是平面的法向量，則，，
所以，得，
取，得，，則.
因為，所以，即與共線.
所以平面.
9．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）建立空間直角坐標系，根據向量的坐標運算，由法向量與方向向量的關系即可證明線面平行，
（2）根據空間向量垂直可證明線面垂直，進而根據面面垂直的判斷定理即可求證.
【詳解】（1）以點為坐標原點，所在直線分別為軸 軸 軸建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.
設為平面的一個法向量，
由 得 令，得，
，則，又平面，
平面.
（2）如圖，取的中點，連接，
則.
.
又，
，又平面,
平面，又平面，
平面平面
10．A
【分析】求出向量的坐標后，利用向量是平面的法向量，得，利用坐標運算列出方程組，求解即可.
【詳解】
，
由為平面α的法向量，得,即
解得
故選：A.
11．，3，
【解析】根據條件可得，4，，，2，，設平面的一個法向量是，，，由，能求出平面的一個法向量.
【詳解】長方體中，，，，，分別是，的中點，
以為原點，分別以，，為坐標軸建立空間直角坐標系，
則，0，，，4，，，2，，
，4，，，2，，
設平面的一個法向量是，，，
則，取，得，3，，
則平面的一個法向量是，3，.
故答案為：，3，.
12．（答案不唯一）
【分析】以E為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法得出平面CDF的一個法向量.
【詳解】解：以E為坐標原點，的方向為x軸的正方向建立空間直角坐標系E-xyz，
由題意得A（0，0，2），C（2，4，0），D（0，2，2），F（0，3，0），
，
設平面CDF的一個法向量為，
則，取x=-1，得，
故答案為：（答案不唯一）
13．2
【分析】建立空間直角坐標系，設出，從而由結合得到答案.
【詳解】以為原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
設，由題意可知，，，
所以，，因為，
所以根據法向量的定義可得，，解得，
且，所以.
故答案為：.
14．
【分析】建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據求解即可.
【詳解】如圖所示，以A為坐標原點，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標系，
由題意可得，
則，
所以，
設平面的法向量為，
則，令，則得一個法向量為.
因為平面，則，
設，則，所以，
解得，所以，即.
故答案為：
15．3
【分析】建立空間直角坐標系，求出面DBN的法向量，表示出，由求出的值即可.
【詳解】
易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，則面CDEF，
又面CDEF，則，以為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，
又，
同理可得，設面DBN的法向量為，
則，令，則，又，
又面DBN，則，解得.
故答案為：3.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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