資源簡介

1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題【第一練】
1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.運用空間向量研究點到線、點到面、線與線、線與面、面與面的距離，培養直觀想象和數學運算素養，如第1題、第6題、第8題、第10題；
2.運用空間向量求異面直線所成的角，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，如第2題、第7題、第9題、第10題；
3.運用空間向量求線面角，培養邏輯推理和數學運算能力，如第4題、第5題、第7題、第9題；
4.運用空間向量求二面角，發展直觀想象，邏輯推理和數學運素養，第3題、第8題；
一、填空題
（2023·甘肅武威高二期中）
1．在棱長為1的正方體中，E為的中點，則點到直線CE的距離為 .
2．已知兩平面的法向量分別為，，則兩平面的夾角為 .
（2023·寧夏石嘴山高二期中）
3．已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(－5，－4,8)，則點D到平面ABC的距離為 .
4．如圖，在棱長為1的正方體中，點M為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值是 .
（2023·湖北黃石高二期中）
5．已知正三棱柱的所有棱長都相等，則與平面所成角的余弦值為 .
（2023·安徽霍邱高二期中）
6．在三棱錐中，平面平面ACD，O是AD的中點，若棱長，且，則點D到平面ABC的距離為 ，點O到平面ABC的距離為 .
二、解答題
（2023·甘肅白銀高二期中）
7．如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.
8．如圖，在邊長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F是DD1的中點，
（1）求證：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．
（2023·四川南充高二期中）
9．如圖，平面ABDE⊥平面ABC，是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分別為CE，AB的中點.
(1)求異面直線AB與CE所成角的大小；
(2)求直線CD與平面ODM所成角的正弦值.
（2023·河北邯鄲高二期中）
10．如圖，已知菱形和矩形所在的平面互相垂直，，
.
(1)求直線與平面的夾角；
(2)求點到平面的距離.
【易錯題目】第6題、第8題 、第10題
【復盤要點】 立體幾何中的距離問題主要包括：點到直線的距離、點到面的距離、兩條平行線的距離、異面直線間的距離、直線到平面的距離及兩個平行平面的距離.解決距離問題，可以借助空間向量，利用相關公式計算，注意理解計算公式的推導過程.體會距離間的轉化關系，即本質都是點到平面的距離.
（2023·山東泰安高二期中）
【典例】
11．如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求點A到平面MBC的距離．
【歸納總結】點P到平面α的距離的三個步驟
(1)在平面α內取一點A，確定向量的坐標表示；
(2)確定平面α的法向量n；
(3)代入公式d＝求解.
【復盤訓練】
12．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（ ）
A． B．
C． D．4
（2023·福建三明高二期中）
13．已知平面的法向量為，點在平面內，點到平面的距離為，則（ ）
A．-1 B．-11 C．-1或-11 D．-21
（2023·江蘇昆山高二期中）
14．如圖①，在中，，，，、分別是、上的點，且，，將沿折起到的位置，使平面，如圖②.若點是線段的靠近點的三等分點，點是線段上的點，直線過點且垂直于平面，則點到直線的距離的最小值為 .
（2023·甘肅武威高二期中）
15．已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點.
（1）求點D到平面PEF的距離；
（2）求直線AC到平面PEF的距離.
【易錯題目】第3題、第4題 、第7題、第8題
【復盤要點】 立體幾何中的空間角主要包括：異面直線所成的角、線面角及二面角.解決空間角問題，可以借助空間向量，思路較為簡單，但對學生計算能力要求較高，容易出錯.
【典例】
（2023·遼寧阜新高二期中）
16．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，點M在線段上，平面，，.
(1)求證：M為的中點；
(2)求平面與平面的夾角；
(3)求直線與平面所成角的正弦值.
【歸納總結】運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟
(1)建立恰當的空間直角坐標系；
(2)求出相關點的坐標；
(3)寫出向量坐標；
(4)結合公式進行論證、計算；
(5)轉化為幾何結論.
【復盤訓練】
17．設四邊形ABCD，ABEF都是邊長為1的正方形，FA⊥平面ABCD，則異面直線AC與BF的夾角等于(　　)
A．45° B．30°
C．90° D．60°
（2023·山西師大附中高二期中）
18．正方體中，E，F分別是的中點，則與截面所成角的正切值為 .
（2023·江西贛州高二期中）
19．已知四邊形為矩形，平面，設，則平面與平面夾角的余弦值為 .
（2023·福建莆田高二期中）
20．在長方體中，，，，在線段AB上是否存在一點E，使平面CDE與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出AE的長；若不存在，說明理由.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】由正方體性質，先證，通過等面積法求點線距離即可
【詳解】正方體中，平面，平面，，
又，，則到直線CE的距離為.
故答案為：
2．
【分析】利用面面角的向量求法，直接求解即得.
【詳解】兩平面的法向量分別為，，
則兩個平面的夾角，有，
而，則，所以兩平面的夾角為.
故答案為：
3．
【分析】利用點到平面的距離的向量求法計算得解.
【詳解】設平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，
則,
∴可取n＝，又＝(－7，－7,7)．
∴點D到平面ABC的距離d＝＝.
故答案為
【點睛】本題主要考查點面距的向量求法，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.
4．##0.4
【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量線面角的正弦公式求出答案.
【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
，
設平面的法向量為，
則，
解得，令，則，故
設直線與平面所成的角為，
則.
故答案為：
5．
【分析】取BC的中點E，連接，AE，證明面，可得就是與平面所成的角，解直角三角形即可．
【詳解】
如上圖，取BC的中點E，連接，AE，則，
∵正三棱柱中，面面，面面，
∴面，
∴就是與平面所成的角，
不妨設正三棱柱的所有棱長都為2，則，，
在中，.
故答案為：.
【點睛】本題考查直線與平面所成的角，考查空間想象能力和計算能力，屬于常考題.
6．
【分析】根據題意，建立空間直角坐標系，利用點到面距離的空間向量方法求解即可.
【詳解】
如圖所示，以AD的中點O為原點，以OD，OC所在直線為x軸、y軸，過O作平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系Oxyz，
則，，，，
∴，，.
設為平面ABC的法向量，
則,
∴，，取，則，
∴，設D到平面ABC的距離為，
代入，得，
即點D到平面ABC的距離是.
因為O是AD的中點，所以點O到平面ABC的距離是.
故答案為：；.
7．
【分析】以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
利用向量法求異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
所以.
設所求的角為,
則,
即異面直線與所成角的余弦值為.
【點睛】(1)本題主要考查求兩異面直線所成的角，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 異面直線所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.
8．（1）見解析；（2）
【分析】（1）以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值．
【詳解】證明：（1）以D為原點，分別以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
則，
設平面A1DE的法向量是
則，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE與平面A1DA夾角的余弦值為．
【點睛】本題考查線面平行的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查運算求解能力，考查數形結合思想，是中檔題．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根據DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，利用面面垂直的性質定理得到DB⊥平面ABC，再由BD∥AE，得到EA⊥平面ABC.然后分別以CA，CB所在直線為x軸、y軸，以過點C且與EA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，由求解；
（2）求得平面ODM的一個法向量為，設直線CD與平面ODM所成的角為θ，由求解.
【詳解】（1）解：∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，
平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB平面ABDE，
∴DB⊥平面ABC，
∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC.
如圖所示，以C為坐標原點，分別以CA，CB所在直線為x軸、y軸，以過點C且與EA平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
∵AC＝BC＝4，
∴，
所以，
∴，
∴異面直線AB與CE所成角的大小為.
（2）由(1)知，
則，.
設平面ODM的一個法向量為，
則，即，
令，得x＝2，所以.
設直線CD與平面ODM所成的角為θ，
則，
∴直線CD與平面ODM所成角的正弦值為.
10．(1)
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標系，分別寫出，點的坐標和平面的法向量，利用空間向量在立體幾何中的應用，即可求得直線與平面的夾角.
（2）根據空間直角坐標系寫出，的坐標，求出平面的法向量，利用空間向量求解點到平面的距離公式即可求出結果.
【詳解】（1）設，因為菱形和矩形所在的平面互相垂直，所以易得平面，
以點為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點且平行于的方向為軸正方向，建立空間直角坐標系，

由已知得，，
因為軸垂直于平面，因此可令平面的一個法向量為，
又，設直線與平面的夾角為，
則有，即，
所以直線與平面的夾角為.
（2）由（1）空間直角坐標系，得，，所以，，
可設平面的法向量為，則，得，
令，得，，即，
又因為，
所以點到平面的距離為.
11．.
【分析】如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，求出平面MBC的一個法向量為，再利用點到平面的距離公式求解.
【詳解】如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，因為BCD與MCD均為正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM 平面MCD，所以MO⊥平面BCD.
以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz.
因為BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，
所以OB＝OM＝，
則O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)．＝(0，，)．
設平面MBC的法向量為＝(x，y，z)，
由得,
即,
取x＝，可得平面MBC的一個法向量為=(，－1，1)．
又＝(0，0，2)，
所以所求距離為d＝＝.
【點睛】方法點睛：求點到平面的距離公式常用的方法有：（1）向量法；（2）幾何法；（3）等體積法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.
12．A
【分析】利用空間距離的向量求法，建立坐標系寫出向量代入公式計算可得結果.
【詳解】如圖，以為坐標原點，射線分別為x軸、y軸、z軸的非負半軸，建立空間直角坐標系，
則，
故，
故點到直線的距離為.
故選：A.
13．C
【分析】根據點到平面距離的向量法公式求解即可.
【詳解】，而，
即，
解得或－11.
故選：C
14．##
【分析】以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，設點、，設，將點的坐標用表示，可得出點在直線上的射影為的坐標，求出，利用二次函數的基本性質可求出的最小值.
【詳解】翻折前，在圖①中，，，則，
翻折后，在圖②中，因為平面，，
且平面，則，則，
以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，
則、、、，
設點，則，，
因為點是線段的靠近點的三等分點，則，
所以，，解得，即點，
設，則，則，
設，即，
所以，，，，
即，
設點在直線上的射影為，則，
點到直線的距離的平方，
由題意，故當時，點到直線的距離最小，最小值為.
故答案為：.
15．（1）；（2）.
【分析】（1）建立如圖坐標系，求出平面的法向量，即可求出點到平面的距離；
（2）利用，可得直線到平面的距離也即是點到平面的距離．
【詳解】解：（1）建立如圖坐標系，則， ， ， ，
，，
設平面的法向量為，，，
則
故，2，，
點到平面的距離；
（2）
直線到平面的距離也即是點到平面的距離
又，
點到平面的距離為．
所以直線到平面的距離為.
【點睛】本題考查點到平面的距離、直線到平面的距離，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
16．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用線面平行證明線線平行，再證明M為的中點.
（2）利用空間向量法求平面與平面的夾角.
（3）利用空間向量法求線面角即可.
【詳解】（1）如圖，設，的交點為E，連接.
平面，平面，平面平面，
.
四邊形是正方形，為的中點，為的中點.
（2）取的中點，連接，.
，.
又平面平面，平面平面，在平面內，
平面，在平面內，.
∵底面是正方形，.
以O為原點，分別以，，為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
又，則，
，
設平面的一個法向量為，則，即，
令，得，，于是，
又平面的一個法向量為，
所以，
所以平面與平面的夾角為.
（3）由（1）（2）得，，則，
設直線與平面所成的角為，
則，
∴直線與平面所成角的正弦值為.
17．D
【分析】以B為原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BE所在直線為z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求異面直線AC與BF的夾角.
【詳解】以B為原點，BA所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，BE所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖

則A(1,0,0)，C(0,1,0)，F(1,0,1)，所以＝(－1，1,0)，＝(1,0,1)．
所以cos〈，〉＝=－.所以〈，〉＝120°.所以AC與BF的夾角為60°.
故答案為：D
【點睛】(1)本題主要考查利用向量法求異面直線所成的角的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 異面直線所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.
18．
【分析】建立適當的空間直角坐標系，先求出的方向向量、截面的法向量，然后再求出線面角的正弦即可進一步求解.
【詳解】建立以為原點，為x軸，y軸，z軸的空間直角坐標系，
設棱長為2，且注意到E，F分別是的中點，
從而，
不妨設平面的一個法向量為，
則，即，
令，解得，則取平面的一個法向量為，
設與截面所成角為，
則，
又是銳角，從而.
故答案為：.
19．
【分析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解.
【詳解】由題意，兩兩垂直，
分別以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，
所以，.
設平面、平面的法向量分別為，
則有和
取，可得，
則.
即平面與平面的夾角的余弦值為.
故答案為：
20．存在，
【分析】利用長方體建立空間直角坐標系，假設出長度后，用向量方法表示出二面角的余弦值即可
【詳解】假設存在點，設
如圖，以為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則有
設平面的法向量為
又，故
所以，即
令，得，即
又易知平面的一個法向量為
所以
解得
所以在線段上存在點，使平面與平面的夾角的余弦值為，此時
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題【第一課】
1.4.2 用空間向量研究距離、夾角問題
[課標要求]
1.能利用投影向量得到點到直線、點到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離公式，結合一些具體的距離問題的解決.
2. 能用向量方法解決線線、線面、面面夾角的問題.
3.了解向量方法在研究幾何問題中的作用.
[明確任務]
1.利用投影向量推導點到直線、點到平面、直線到直線、直線到平面、平面到平面的距離公式. (數學運算、直觀想象)
2.利用投影向量統一研究空間距離問題. (邏輯推理、數學運算)
3.用向量的方法求解空間角. (數學運算)
4.直線的方向向量與平面的法向量的夾角與線面角的關系，兩個平面的法向量的夾角與二面角、兩個平面的夾角的關系. (邏輯推理、數學運算)
1.平面向量坐標運算判斷平行與垂直；
2.平面向量坐標運算求夾角與模長
核心知識點1 用向量法求距離
考向1：用向量法求點到直線的距離
設直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點. 設＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u. 則點P到直線l的距離d＝.
例1
1．在棱長為1的正方體中， 求點B到直線的距離.
歸納總結
利用向量法求點到直線的距離的兩種思路
（1）將求點到直線的距離問題轉化為求向量模的問題. 過已知點作直線的垂線段，建立適當的空間直角坐標系，利用待定系數法求出垂足的坐標，然后求出向量的模，這是求各種距離的通法.
（2）直接套用點線距公式求解，其步驟：
直線的方向向量a，所求點到直線上一點的向量及其在直線的方向向量a上的投影→代入公式.
注意平行直線間的距離與點到直線的距離之間的轉化.
【舉一反三】
2．在長方體中，，，，求到直線的距離．
（2023·云南大理一中高二月考）
3．如圖，為矩形所在平面外一點，平面，若已知 ，求點到的距離.
考向2：用向量法求點到平面的距離
設平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點. 過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度. 則點 P到平面α的距離為|＝.
例2 （2023·山東泰安一中高二月考）
4．如圖，BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2，求點A到平面MBC的距離．
歸納總結
利用向量法求點到直線的距離的兩種思路
求點到平面的距離的四步驟：
【舉一反三】
5．已知在正三棱柱中，D是BC的中點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
考向3：用向量法求線線距、線面距和面面距
（1）兩條平行線之間的距離可以轉化為其中一條直線上的任意一點到另一條直線的距離. 所以兩平行線間的距離可以繼續用點到直線的距離公式解決.
（2）直線到平面的距離前提：直線與平面平行，則直線上任意一點到平面的距離都相等，所以直線到平面的距離可以轉化為直線上任意一點到平面的距離. 故直線到平面的距離實質上是點到平面的距離，可以繼續用點到平面的距離公式來解決.
（3）平面到平面的距離前提：平面與平面平行，則平面上任意一點到另一平面的距離都相等，所以平面到平面的距離可以轉化為平面上任意一點到另一平面的距離. 故平面到平面的距離實質上就是點到平面的距離，可以繼續用點到平面的距離公式來解決.
例3
6．在棱長為的正方體中，、分別是、的中點.
(1)求證：平面；
(2)求直線到平面的距離.
歸納總結
利用向路
（1）利用向量法求直線到直線的距離轉化為點到直線的距離，利用點到直線距離公式求解.
（2）求線面距離可以轉化為求直線上任意一點到平面的距離，利用求點到平面的距離的方法求解即可.
（3）求兩個平行平面間的距離可以轉化為求點到平面的距離，利用求點到平面的距離的方法求解即可.
【舉一反三】
7．已知正方體的棱長為，平面到平面的距離為
A． B． C． D．
8．在棱長為2的正方體中，直線與直線間的距離為 .
核心知識點2 用向量法求夾角
考向1：異面直線所成的角
兩條異面直線所成的角：設異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝＝.
提示：兩異面直線所成角的范圍是(0，]，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系.
例4. （2023·福建三明一中高二月考）
9．在三棱錐中，和均為等邊三角形，且二面角的大小為，則異面直線和所成角的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
歸納總結
用坐標法求異面直線所成的角的一般步驟：
（1）建立空間直角坐標系；
（2）分別求出兩條異面直線的方向向量的坐標；
（3）利用向量的夾角公式計算兩條直線的方向向量的夾角；
（4）結合異面直線所成的角的范圍求出異面直線所成的角.
【舉一反三】
10．如圖,在正方體中,M是的中點,O是底面ABCD的中心,P是上的任意點,則直線BM與OP所成的角為 .
11．如圖,三棱柱中,平面平面,且,,求異面直線與所成角的余弦值.
考向2：直線與平面所成的角
直線與平面所成的角：直線AB與平面α相交于B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
提示：（1）求直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決.
（2）線面角的范圍為[0，].
（3）直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.
例5
12．如圖，在四棱臺中，底面為矩形，平面，，，求直線與平面所成角的正弦值.
歸納總結
用坐標法求直線與平面所成角的基本步驟
（1）建立空間直角坐標系；
（2）分別求出直線的方向向量u和平面的法向量n的坐標；
（3）設線面角為θ，則sin θ＝；
（4）由θ∈[0，]，求θ.
【舉一反三】
13．如圖，在棱長為1的正方體中，為的中點，則直線與平面的夾角為（ ）
A． B． C． D．
14．如圖，正四棱錐中，為頂點在底面內的投影，為側棱的中點，且，則直線與平面的夾角是（ ）
A．45° B．90° C．30° D．60°
考向3：平面與平面所成的角
1.兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面 β的夾角.
2.兩平面夾角的計算：設平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.
提示：（1）求兩平面的夾角問題可轉化為兩平面法向量的夾角問題.
（2）兩平面的夾角的范圍是[0，]，二面角的范圍是[0，π].
（3）二面角與兩平面的夾角不是相同的概念.
例6
15．如圖，在正方體ABEF-DCE'F'中，M，N分別為AC，BF的中點，求平面MNA與平面MNB所成銳二面角的余弦值.
歸納總結
利用坐標法求兩個平面夾角的步驟
（1）建立空間直角坐標系；
（2）分別求出兩個面所在平面的法向量的坐標；
（3）求兩個法向量的夾角；
（4）確定兩平面夾角的大小.
【舉一反三】
16．在正方體中，平面與平面夾角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
17．如圖所示，在三棱錐S－ABC中，O為BC的中點，SO⊥平面ABC，側面SAB與SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，求平面ASC與平面BSC夾角的余弦值.
18．直線l1，l2的方向向量分別是，，若與所成的角為θ，直線l1，l2所成的角為α，則（ ）
A．α＝θ B．α＝π－θ C．cos θ＝|cos α| D．cos α＝|cos θ|
19．長方體中，，，則點到直線的距離為
A． B． C． D．
20．設直線l與平面α相交，且l的方向向量為，α的法向量為，若，則l與α所成的角為（ ）
A． B． C． D．
21．如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是（ ）
A．5 B．8 C． D．
22．在一個銳二面角的兩個半平面內，與二面角的棱垂直的兩個向量分別為，則這個銳二面角的平面角的余弦值為（ ）
A． B．
C． D．
23．在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點，為棱上的一點，且，設點為的中點，則點到平面的距離為（ ）
A． B． C． D．
24．Rt△ABC的兩條直角邊BC=3，AC=4，PC⊥平面ABC，PC=，則點P到斜邊AB的距離是 .
25．在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0,a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝ .
26．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，點P，Q分別為A1B1，BC的中點。
（1）求異面直線BP與AC1所成角的余弦值；
（2）求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值
27．如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，．
（1）證明：點在平面內；
（2）若，，，求二面角的正弦值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】建立空間直角坐標系，利用點到直線距離的向量求法求解即得.
【詳解】以為原點，所在直線分別為軸軸建立空間直角坐標系，如圖，
則，，，
所以點B到直線的距離.
2．
【分析】方法一： 建立空間直角坐標系，過作于點，由，，求出點坐標，求解即可；
方法二： 連接，建立空間直角坐標系，利用點到直線的距離的向量公式求解.
【詳解】方法一： 建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
過作于點，設，則，．
∵，，，
∴解得∴，
∴．
即到直線的距離為．
方法二： 連接，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，．
∴，，
∴，∴，
∴到直線的距離．
3．
【分析】過作于，連接，面，得出OP到直線BD的高，然后計算即可.
【詳解】
過作于，連接，
直線PA⊥平面ABCD,,又，面PAE，則面
，為所求的距離，
在中， ,
在中，,
4．.
【分析】如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz，求出平面MBC的一個法向量為，再利用點到平面的距離公式求解.
【詳解】如圖，取CD的中點O，連接OB，OM，因為BCD與MCD均為正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，平面MCD∩平面BCD＝CD，OM 平面MCD，所以MO⊥平面BCD.
以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Oxyz.
因為BCD與MCD都是邊長為2的正三角形，
所以OB＝OM＝，
則O(0，0，0)，C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，
所以＝(1，，0)．＝(0，，)．
設平面MBC的法向量為＝(x，y，z)，
由得,
即,
取x＝，可得平面MBC的一個法向量為=(，－1，1)．
又＝(0，0，2)，
所以所求距離為d＝＝.
【點睛】方法點睛：求點到平面的距離公式常用的方法有：（1）向量法；（2）幾何法；（3）等體積法.要根據已知條件靈活選擇方法求解.
5．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以D為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸，過點D且與平行的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出、平面的一個法向量，再由，可得答案；
（2）由（1）知平面的一個法向量為，求出，再由點到平面的距離的向量求法可得答案.
【詳解】（1）如圖，以D為坐標原點，分別以所在直線為x軸、y軸，過點D且與平行的直線為z軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，
∴，，,
設平面的一個法向量為，
則，即，令，則，
∴，
∵，∴，
∵平面，平面AB1D；
（2）由（1）知平面的一個法向量為，
且，
∴點到平面的距離.
6．(1)證明見解析
(2)a
【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，證明出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；
（2）利用空間向量法可求得直線到平面的距離.
【詳解】（1）證明：如圖，以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸，
建立空間直角坐標系，則、、、，

所以，，所以，
又因為、不共線，則，
因為平面，平面，所以，平面.
（2）解：由（1）得、，
所以，.
設平面的法向量為，
則，取，可得，
所以點到平面的法向量為.
所以直線到平面的距離是.
7．C
【解析】利用體積相等將原問題轉化為求解點面之間距離的問題即可.
【詳解】由題意可得，原問題等價于求解點到平面的距離，由等體積法可得：
，即：，
解得：，即平面到平面的距離為.
故選C.
【點睛】本題主要考查點面距離的計算，等體積法的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
8．
【分析】利用空間距離的向量求法運算即可得解.
【詳解】解：
如上圖，以D為坐標原點，、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
∴，，，
∴，
∴直線與直線間的距離即為點到的距離，
設，，則，，
∴點到的距離為.
∴直線與直線間的距離為.
故答案為：.
9．A
【分析】根據題意建立空間直角坐標系，設，先求出點的坐標并求出與的坐標，然后由向量數量積的公式計算的值即可得出異面直線和所成角的余弦值.
【詳解】如圖，取的中點，連接，，因為和均為等邊三角形，所以，，所以平面，即平面⊥平面.且就是二面角的平面角，即，
建立空間直角坐標系如圖所示.
設，則，，，,
所以，，
，所以異面直線和所成角的余弦值為.
故選：A.
【點睛】本題主要考查利用空間向量的數量積求異面直線所成角的問題，關鍵是建立適當的空間直角坐標系并求出有關點和向量的坐標，屬常規考題.
10．
【分析】本題考查異面直線所成的角,涉及線面垂直的判定與性質,關鍵是找到OP所在的某個平面,利用正方體的結構特征和線面垂直的判定定理證明直線BM與此平面垂直.
【詳解】如圖,取AD,BC的中點分別為E,F,連接EF,FB1,EA1,
易得,∴BM⊥B1F,
又∵AB‖EF,AB⊥平面BCC1B1,∴EF⊥平面BCC1B1,
∵BM 平面BCC1B1,∴EF⊥BM,
又∵EF∩B1F=F,∴BM⊥平面A1B1FE,
又∵OP 平面A1B1FE,
∴BM⊥OP,
∴BM與OP所成的角為90°,
故答案為：90°.
11．
【分析】以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
利用向量法求異面直線與所成角的余弦值.
【詳解】以為坐標原點,所在直線分別為軸、軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,
則,
所以.
設所求的角為,
則,
即異面直線與所成角的余弦值為.
【點睛】(1)本題主要考查求兩異面直線所成的角，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2) 異面直線所成的角的求法方法一：（幾何法）找作（平移法、補形法）證（定義）指求（解三角形）,方法二：（向量法），其中是異面直線所成的角，分別是直線的方向向量.
12．.
【分析】建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量和平面的法向量計算出直線與平面所成角的正弦值.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
設為平面的一個法向量，
則所以
可取，則，，所以，
設直線與平面所成角為，
則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
13．B
【分析】以點為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，求出以及平面的一個法向量，即可根據向量關系求出.
【詳解】以點為原點，，，分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
則，，，，，
∴，，，
設平面的一個法向量，
則，即，
令，則，
所以平面的一個法向量，
∵，
∴，
∴，
∴直線與平面的夾角為.
故選：B.
【點睛】本題考查直線與平面夾角的求法，建立空間坐標系，利用向量法解決是常用方法.
14．C
【分析】以O為坐標原點，以為x軸，以為y軸，以OS為z軸，建立空間直角坐標系O﹣xyz，利用向量法求解．
【詳解】如圖，以O為坐標原點，以為x軸，以為y軸，以OS為z軸，
建立空間直角坐標系O﹣xyz．
設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，
則A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），
S（0， 0 ，a） ，P（，0，），
則（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0），
設平面PAC的一個法向量為，
則，，
∴，可取（1，0，1），
設直線與平面的夾角為，
則，
由，，
故選：C
15．.
【分析】建立空間直角坐標系，直接求出兩個面的法向量，通過法向量的夾角求得二面角的大小.
【詳解】設正方體棱長為1.以B為坐標原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸，y軸，
z軸建立空間直角坐標系B-xyz，
則M，N，A(1，0，0)，B(0，0，0).
設平面AMN的法向量=(x，y，z).
由于，
則，即,令x=1，解得y=1，z=1，
于是=(1，1，1).
設平面BMN的一個法向量，
即,令x=1，解得
所以
所以cos<，>==，
故所求兩平面所成銳二面角的余弦值為.
【點睛】本題考查利用向量的方法求解二面角，將幾何問題代數化便于計算，屬基礎題.
16．C
【分析】設正方體的棱長為，連接交于點，連接，證明出，，可得出平面與平面的夾角的平面角為，計算出，進而可求得，即可得解.
【詳解】連接交于點，連接，則，
設正方體的棱長為，則，，
在正方體中，底面，底面，，
，平面，
平面，，
所以，平面與平面的夾角的平面角為，
易知，則，.
因此，平面與平面的夾角的正弦值為.
故選：C.
【點睛】本題考查定義法計算面面夾角的正弦值，考查計算能力，屬于中等題.
17．
【分析】建立空間直角坐標系，由空間向量法求解二面角余弦值即可.
【詳解】因為△SAB與△SAC均為等邊三角形，
所以AB＝AC. 連接OA，則OA⊥BC，且，
因為，故△SBC與△ABC是全等三角形，
故，且，故，故.
以O為坐標原點，OB，OA，OS所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.
設，則.
設SC的中點為M，連接OM，AM，則M，
故，，，
所以，
所以MO⊥SC，MA⊥SC，
故為二面角的平面角.
因為，
所以平面ASC與平面BSC夾角的余弦值為.
18．D
【分析】由直線夾角與直線方向向量夾角的關系可直接得答案.
【詳解】由題意可得α＝θ或α＝π－θ，且，因而cos α＝|cos θ|，
故選：D.
19．A
【分析】計算，，再計算距離得到答案.
【詳解】，
，
到直線的距離為.
故選：A.
【點睛】本題考查了利用空間向量計算距離，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.
20．C
【分析】把直線的法向量和平面的夾角轉換為線面角即可
【詳解】因為
所以l與法向量所在直線所成的角為，
故l與α所成的角為
故選：C
21．C
【分析】以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標系，設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量為＝(a，b，c)，先根據，即求出法向量，然后由向量法求點到面的距離公式可得點B1到平面A1BCD1的距離，又B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距離即為點B1到平面A1BCD1的距離.
【詳解】解：以D為坐標原點，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0)，平面A1BCD1的法向量為＝(a，b，c)，
則C(0，12，0)，D1(0，0，5),,，
由，得，
所以a＝0，b＝c，取＝(0，5，12)，
又＝(0，0，－5)，
所以點B1到平面A1BCD1的距離為，
因為B1C1∥BC，BC平面A1BCD1，B1C1平面A1BCD1，
所以B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距離即為點B1到平面A1BCD1的距離，
所以直線B1C1到平面A1BCD1的距離為，
故選：C.
22．A
【分析】利用空間向量求兩個向量的夾角的余弦公式求解即可.
【詳解】由＝＝,
這個銳二面角的平面角的余弦值為.
故選：A.
23．D
【分析】由幾何體為正方體，以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面D1EF的法向量，結合向量的點到平面距離公式求得點M到平面D1EF的距離，結合N為EM中點即可求解
【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，
則M（2，λ，2），D1（0，0，2），E（2，0，1），F（2，2，1），
＝（﹣2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，λ，1），
設平面D1EF的法向量＝（x，y，z），則 ，取x＝1，得＝（1，0，2），
∴點M到平面D1EF的距離為：d＝，N為EM中點，所以N到該面的距離為
故選：D．
【點睛】本題考查利用向量法求解點到平面距離，建系法與數形結合是解題關鍵，屬于中檔題
24．3
【分析】先建立空間直角坐標系，寫出坐標和的坐標，再利用空間中點到直線的距離公式計算即可.
【詳解】解：以點C為坐標原點，CA，CB，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則A(4，0，0)，B(0，3，0)，P，所以=(-4，3，0)，.
所以點到的距離.
故答案為：3.
【點睛】本題考查空間中點到直線的距離，關鍵是熟悉向量法表示距離，屬于基礎題.
25．
【分析】分別求出兩個平面的法向量，利用二面角的向量公式，即得解
【詳解】不妨設
取平面xOy的法向量，
設平面α的法向量為，
則
即3x＝4y＝az，取z＝1，則.
又∵a>0，∴
故答案為：
26．（1）
（2）
【詳解】分析：（1）先建立空間直角坐標系，設立各點坐標，根據向量數量積求得向量的夾角，再根據向量夾角與異面直線所成角的關系得結果；（2）利用平面的方向量的求法列方程組解得平面的一個法向量，再根據向量數量積得向量夾角，最后根據線面角與所求向量夾角之間的關系得結果.
詳解：如圖，在正三棱柱ABC A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，O1，則OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，以為基底，建立空間直角坐標系O xyz．
因為AB=AA1=2，
所以．
（1）因為P為A1B1的中點，所以，
從而，
故．
因此，異面直線BP與AC1所成角的余弦值為．
（2）因為Q為BC的中點，所以，
因此，．
設n=（x，y，z）為平面AQC1的一個法向量，
則即
不妨取，
設直線CC1與平面AQC1所成角為，
則，
所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為．
點睛：本題考查空間向量、異面直線所成角和線面角等基礎知識，考查運用空間向量解決問題的能力.利用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.
27．（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）方法一:連接、，證明出四邊形為平行四邊形，進而可證得點在平面內；
（2）方法一：以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值，進而可求得二面角的正弦值.
【詳解】（1）［方法一］【最優解】：利用平面基本事實的推論
在棱上取點，使得，連接、、、，如圖1所示.
在長方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，而，所以，所以四邊形為平行四邊形，即有，同理可證四邊形為平行四邊形，，，因此點在平面內.
［方法二］：空間向量共線定理
以分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖2所示．
設，則．
所以．故．所以，點在平面內．
［方法三］：平面向量基本定理
同方法二建系，并得，
所以．
故．所以點在平面內．
［方法四］：
根據題意，如圖3，設．
在平面內，因為，所以．
延長交于G，
平面，
平面．
，
所以平面平面①．
延長交于H，同理平面平面②．
由①②得，平面平面．
連接，根據相似三角形知識可得．
在中，．
同理，在中，．
如圖4，在中，．
所以，即G，，H三點共線．
因為平面，所以平面，得證．
［方法五］：
如圖5，連接，則四邊形為平行四邊形，設與相交于點O，則O為的中點．聯結，由長方體知識知，體對角線交于一點，且為它們的中點，即，則經過點O，故點在平面內．
（2）［方法一］【最優解】：坐標法
以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，如圖2.
則、、、，
，，，，
設平面的一個法向量為，
由，得取，得，則，
設平面的一個法向量為，
由，得，取，得，，則，
，
設二面角的平面角為，則，.
因此，二面角的正弦值為.
［方法二］：定義法
在中，，即，所以．在中，，如圖6，設的中點分別為M，N，連接，則，所以為二面角的平面角．
在中，．
所以，則．
［方法三］：向量法
由題意得，
由于，所以．
如圖7，在平面內作，垂足為G，
則與的夾角即為二面角的大小．
由，得．
其中，，解得，．
所以二面角的正弦值．
［方法四］：三面角公式
由題易得，．
所以．
．
．
設為二面角的平面角，由二面角的三個面角公式，得
，所以．
【整體點評】（1）方法一：通過證明直線，根據平面的基本事實二的推論即可證出，思路直接，簡單明了，是通性通法，也是最優解；方法二：利用空間向量基本定理證明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實三通過證明三點共線說明點在平面內；方法五：利用平面的基本事實以及平行四邊形的對角線和長方體的體對角線互相平分即可證出．
（2）方法一：利用建立空間直角坐標系，由兩個平面的法向量的夾角和二面角的關系求出；方法二：利用二面角的定義結合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的兩個向量夾角和二面角的關系即可求出，為最優解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出．
答案第1頁，共2頁
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