資源簡介

1.3 空間向量及其運算的坐標表示【第二練】
1.3 空間向量及其運算的坐標表示【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.熟練掌握空間向量的坐標運算，鍛煉數學運算能力 ，如第2題、第4題、第7題；
2.運用空間向量的坐標運算，判斷平行于垂直，培養邏輯推理和數學運算能力，如第1題、 第7題、 第9題；
3.運用空間向量的坐標運算，求解夾角和距離問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運
素養，如第2題、 第5題、 第11題、第12題；
4.運用空間向量的坐標運算，求解最值問題，發展直觀想象，邏輯推理和數學運
素養，如第3題、 第6題、 第8題、第10題；
（2023·四川南充高二期中）
1．，，若，則實數值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東泰安高二期中）
2．已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖北黃石高二期中）
3．笛卡爾是世界上著名的數學家，他因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父．據說在他生病臥床時，突然看見屋頂角上有一只蜘蛛正在拉絲織網，受其啟發建立了笛卡爾坐標系的雛形．在如圖所示的空間直角坐標系中，為長方體，且，，點是軸上一動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南常德臨澧縣一中高二期末）
4．向量，則下列說法正確的是（ ）
A．，使得 B．若，則
C．若，則 D．，使得
（2023·陜西榆林高二期末聯考）
5．已知向量，的夾角為鈍角，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣東廣州八十九中高二期中）
6．如圖，在棱長為1的正方體中，點在上，點在上，則的最小值為（ ）

A．1 B． C． D．
（2023·福建師大二附中高二月考）
7．已知空間中三點，，，則（ ）
A．
B．與方向相反的單位向量的坐標是
C．
D．在上的投影向量的模為
（2023·廣東佛山高二期末）
8．長方體中，，，點分別在棱和上運動（不含端點），若，下列說法正確的是（ ）
A． B．的最大值為
C．面積的最大值為 D．三棱錐的體積不變
（2023·重慶第二外國語學校高二期中）
9．已知向量，，，且，，則＝ .
（2023·吉林長春吉大附中實驗學校高二期末）
10．如圖，已知正方體的棱長為，為棱上的動點，則在方向上的投影向量的模的取值范圍為 ．

（2023·福建三明高二期中）
11．在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并作答．
問題：如圖，在正方體，中，以為坐標原點，建立空間直角坐標系．已知點的坐標為，為棱上的動點，為棱上的動點，______，則是否存在點，，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（2023·安徽省宣城中學高二期末）
12．如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，P為上的點.且求：
(1)λ的值；
(2)異面直線PC與所成角的余弦值．
【易錯題目】第6題、第8題 、第10題
【復盤要點】（2023·山西呂梁高二期末統考）在棱長為4的正方體中，點，分別為棱，的中點，，分別為線段，上的動點（不包括端點），且，則線段的長度的最小值為 .
【答案】
【解析】以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.
因為點，分別為棱，的中點，所以，，
設，，其中，，
則，.
因為，則，解得，
又因為，，則，
可得，
所以，此時，即線段的長度的最小值為.故答案為：.
【點睛】通過建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算，建立所求的目標函數，轉化為函數的最值問題求解，體現將幾何問題轉化為代數問題處理的思想.
【復盤訓練】
（2023·安徽宿州泗縣二中期中）
13．已知點，，，，點Q在直線上運動，則的最小值為 .
（2023秋·河南鄭州外國語學校高二月考）
14．已知三點點在直線上運動，則當取得最小值時，點的坐標 ．
（2023·山東煙臺高二期中）
15．已知， ，則最大值為
（2023·吉林省吉林實驗學校期中）
16．已知P是棱長為1的正方體內（含正方體表面）一動點．
（1）當點P運動到中點時，的值為 ；
（2）當點P運動時，的最大值為 ．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．A
【分析】根據空間向量垂直的坐標表示求解．
【詳解】，又，，解得．
故選：A．
2．A
【分析】根據條件，得到，再利用，即可求出結果.
【詳解】由，
得到，
所以，
故選：A.
3．C
【分析】點A關于x軸對稱的點到D的距離即的最小值.
【詳解】因為，，由圖可知，，，
A關于軸對稱的點為，
所以.
故選：C.
4．C
【分析】根據向量平行垂直和模的計算公式得到AB錯誤，C正確，舉反例得到D錯誤，得到答案.
【詳解】對選項A：若，則，，則，無解，錯誤；
對選項B：若，則，，錯誤；
對選項C：若，則，解得，正確；
對選項D：當時，，錯誤.
故選：C.
5．D
【分析】向量的夾角為鈍角，則，排除的情況即可.
【詳解】由，得，
當時，，即，得，解得，
∴當向量的夾角為鈍角時，的取值范圍為．
故選：D.
6．C
【分析】以為坐標原點建立合適的空間直角坐標系，設，，，，根據異面直線距離定義利用空間兩點距離公式即可得到答案.
【詳解】以為坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，
則可設，其中，，其中，
根據圖中可知直線和直線為異面直線，
若能取到兩異面直線間的距離，則此時距離最小，
根據異面直線公垂線的定義知，，
，，，，則，
則，，
解得，滿足范圍，
則此時，
則.
故選：C.

7．AB
【分析】A選項，驗證是否等于0即可；B選項，與方向相反的單位向量為，即可判斷選項正誤；C選項，驗證是否存在非零實數，使即可；D選項，在上的投影向量的模為，據此可判斷選項正誤.
【詳解】由題， .
A選項，，則，故A正確；
B選項，，則，故B正確；
C選項，設，則，即不存在，故C錯誤；
D選項，，則，故D錯誤.
故選：AB
8．ACD
【分析】建立空間直角坐標系，設坐標，由空間向量的坐標運算得參數關系，
繼而判斷A，B，C，由等體積法轉化后判斷D．
【詳解】如圖，

以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，設（），（），
則，，，，，，，由得.
選項，由，所以，所以，選項正確；
選項B，，因為，所以，即沒有最大值，選項B錯誤；
選項C，由得，所以當時，取得最大值，所以面積，選項C正確；
選項，面積是定值，到平面的距離為定值，所以三棱錐的體積為定值，又因為，所以三棱錐的體積不變，選項D正確.
故選：ACD
9．
【分析】由已知利用向量平行的條件列式求解，再由向量垂直的坐標運算求得，可得答案．
【詳解】，且，
存在實數，使得，即，
，解得，，
又，且，
，即，．
故答案為：．
10．
【分析】以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，設點，其中，利用空間向量數量積的坐標運算可求得在方向上的投影向量的模的取值范圍.
【詳解】在正方體中，以點為原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、，設點，其中，
所以，，，
所以，在方向上的投影向量的模為
.
故答案為：.
11．答案見解析
【分析】根據空間直角坐標系中點的坐標可得向量的坐標，由向量的坐標運算可計算模長以及數量積，進而可求解.
【詳解】方案一：選條件①．
假設存在滿足題意的點，．由題意，知正方體的棱長為2，則，，，，，所以．設，，則，，，所以，．
因為，所以，即．
因為，，所以，所以．又，
所以，故存在點，，滿足，此時．
方案二：選條件②．
假設存在滿足題意的點，．由題意，知正方體的棱長為2，則，，，，，所以．
設，，則，，，
所以，．因為，且，
所以，解得．又，所以，
故存在點，，滿足，此時．
方案三：選條件③．假設存在滿足題意的點，．由題意，知正方體的棱長為2，
則，，，，所以，．
設，，則．因為，
所以與不共線，所以，即，
則，
故不存在點，滿足．
12．(1)
(2).
【分析】（1）建立空間直角坐標系，求得相關點坐標，表示出的坐標，根據，可得，即可求得答案；
（2）根據空間角的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）設正三棱柱的棱長為2，設AC的中點為O，連接，
因為為正三角形，故，
以AC的中點O為原點，為軸，以過點O和平行的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
于是，，，
因為，故，則，
故，
因為，所以，
即.
（2）由（1）知，所以，，
所以，，
所以，
由于異面直線所成角的范圍為，
所以異面直線PC與所成角的余弦值是.
13．
【分析】設，利用向量線性運算的坐標表示和數量積的坐標表示，結合配方法求最小值.
【詳解】點Q在直線上運動，設，
則，.
.
當時，取得最小值.
故答案為：
14．
【分析】設，由點在直線上求出，表示出和，，利用二次函數求出最小值，得到點的坐標.
【詳解】設，∵，
則由點在直線OP上可得存在實數λ使得 ，
所以，則，
所以，，
所以，
根據二次函數的性質可得當時，取得最小值，此時點的坐標為：.
故答案為：
15．
【分析】根據數量積的夾角公式，即可結合基本不等式求解最值.
【詳解】，
當
時，，
由，所以，當且僅當，即時等號成立，
故，
當時，，
故的最大值為，
故答案為：
16． ##1.5 2
【分析】空1：以為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出相關點坐標，得到，計算即可.
空2：利用向量點乘的幾何意義，轉化為投影最值問題，即可得到答案.
【詳解】空1：以為坐標原點，所在直線為軸建立如圖所示空間直角坐標系，為中點，,
所以，，所以，
空2：因為，
是向量在上的投影，
所以當在位置時，投影最大，的最大值為:
故答案為：；
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁1.3 空間向量及其運算的坐標表示【第二課】
1.3 空間向量及其運算的坐標表示
題型一 空間向量的坐標運算
例1（2023·山東菏澤三中高二月考）在△ABC中，A（2，－5，3），＝（4，1，2），＝（3，－2，5）.
（1）求頂點B，C的坐標；
（2）求·；
（3）若點P在AC上，且＝，求點P的坐標.
【解析】 （1）設B（x，y，z），C（x1，y1，z1），
所以＝（x－2，y＋5，z－3），
＝（x1－x，y1－y，z1－z）.
因為＝（4，1，2），
所以解得所以點B的坐標為（6，－4，5）.
因為＝（3，－2，5），所以解得
所以點C的坐標為（9，－6，10）.
（2）因為＝（－7，1，－7），所以·＝－21－2－35＝－58.
（3）設P（x2，y2，z2），
則＝（x2－2，y2＋5，z2－3），
＝（9－x2，－6－y2，10－z2），
于是有（x2－2，y2＋5，z2－3）＝（9－x2，－6－y2，10－z2），
所以解得
故點P的坐標為.
【方法總結】空間向量坐標運算中的基本問題
（1）直接計算問題
首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算.
（2）由條件求向量或點的坐標
首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標.
【變式訓練1-1】
（2023·廣東深圳三中高二期中）
1．已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-2】
（2023·福建三明一中高二期中）
2．在空間直角坐標系中，已知，，，則（ ）.
A．點關于平面對稱的點是
B．點關于軸對稱的點是
C．
D．
題型二 運用空間向量坐標解決共線與共面問題
例2（2023·河南安陽一中高二期中）在空間直角坐標系中，已知點，若四點共面，則 .
【答案】1
【解析】∵，
∴，，，
又∵四點共面，
∴由平面向量基本定理可知存在實數使成立，
∴，
∴，解得，故答案為：1
【方法總結】運用空間向量坐標解決共線與共面問題的基本思路
（1）在空間直角坐標系下，兩向量的共線，可利用向量的共線定理，通過列方程組求解.要證三向量共面，即證存在，使得.
（2）在空間直角坐標系下，兩向量的共線，三向量的共面問題，均可靈活應用共線，共面的基本定理，利用向量坐標通過方程求解.
【變式訓練2-1】
（2023·江蘇鹽城高二期中）
3．已知向量，，，共線且方向相反，則 .
【變式訓練2-2】
（2023·江西贛州高二期末）
4．已知空間向量，，，若，，共面，則 ．
題型三 運用空間向量坐標判斷平行于垂直
例3 （2023·福建莆田華僑中學高二期末）已知，則下列向量中與平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】A選項，設，則，無解，A錯誤；
B選項，設，則，解得，B正確；
C選項，設，則，無解，C錯誤；
D選項，設，則，解得，D正確.
故選：BD
【方法技巧與總結】運用空間向量坐標判斷平行于垂直的基本思路
（1）判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程（組）求解.
（2）利用向量證明直線、平面平行或垂直，則要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
【變式訓練3-1】
（2023秋·廣東珠海斗門區一中高二期中）
5．已知向量，，且，則實數（ ）
A． B．2 C．3 D．
【變式訓練3-2】
（2023·山西呂梁高二統考）
6．已知，，，若，則（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【變式訓練3-3】
（（2023秋·山東泰安一中高二期中）
7．設，，，且∥，則（ ）
A． B． C．3 D．4
題型四 運用空間向量坐標求模長與夾角
例4 （2023·山西師大附中高二期中）已知，則的面積為 ．
【答案】
【解析】因為，故可得，
不妨設，的夾角為，故可得，
因為，所以，
則.
故答案為：.
【方法總結】 運用空間向量基本定理解決立體幾何問題的基本思路
1.已知向量坐標，根據向量坐標運算性質，直接求模長、夾角；
2.通過分析幾何體的結構特征，建立適當的坐標系，使盡可能多的點在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷.建立坐標系后，寫出相關點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題.
【變式訓練4-1】
（2023·福建三明一中高二期中）
8．若，，，則的形狀是 ．（選填：銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形）
【變式訓練4-2】
（2023·安徽合肥一六八中學高二期中）
9．已知向量，，若與夾角為，則的值為 ．
【變式訓練4-3】
（2023·河北邯鄲高二期中）
10．如圖，在直三棱柱中，，，，分別是，的中點．
(1)求的距離；
(2)求的值．
易錯點1 建系不合理，造成解題失誤
例1 如圖，在正四棱錐P ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，O是AC與BD的交點，PO＝1，M是PC的中點．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．
【解析】方法1：以點A為原點，AB，AD分別為x，y軸，
過點A 作底面的垂線為z軸建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），，O，P，．
方法2：以點O為原點，OA，OB，OP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則，，，，
，，．
易錯警示：建立直角坐標系的方法
（1）利用共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系
（2）利用線面垂直關系構建直角坐標系
（3）利用面面垂直關系構建直角坐標系
特殊地，遇到等腰三角形，利用三線合一；遇到菱形，利用對角線相互垂直.
針對訓練1-1
（2023·四川瀘州高二期中）
11．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面是正三角形，平面底面．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．
針對訓練1-2
（2023·甘肅武威高二期中）
12．如圖，在三棱柱中，側面，為棱上異于的一點，．已知，，．請建立適當空間直角坐標系，并求各個點的坐標．
易錯點2 異面直線所成角與向量夾角關系理解不清
例2．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝1，AA1＝2，則異面直線BD1和B1C所成角的余弦值為（　 ）
A. B．－ C．－ D.
【錯解】選B，以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（1，3，0），D1（0，0，2），B1（1，3，2），C（0，3，0），則＝（－1，－3，2），
＝（－1，0，－2），從而cos〈，〉＝＝＝－.
【正解】選A　以點D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B（1，3，0），D1（0，0，2），B1（1，3，2），C（0，3，0），
則＝（－1，－3，2），＝（－1，0，－2），從而cos〈，〉＝＝＝－.
又異面直線BD1和B1C所成的角不可能為鈍角，其余弦值非負，
所以，異面直線BD1和B1C所成角的余弦值為.
易錯警示：兩異面直線所成角的范圍，而兩向量夾角的范圍為，錯解中誤認為兩向量夾角就是兩異面直線所成角.
針對訓練2-1
（2023·新疆烏魯木齊已知一中高二期末）
13．已知，則向量與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
針對訓練2-2
（2023·湖南邵陽高二期中）
14．如圖，在正方體中，，，，分別是，，，的中點，則 ．
針對訓練2-3
（2023·福建廈門高二統考期末）
15．把正方形紙片沿對角線折成直二面角，，，分別為，，的中點，則折紙后的大小為 .
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】根據給定條件，利用空間向量坐標運算即得.
【詳解】由，，得.
故選：C
2．ACD
【分析】根據空間向量的坐標表示計算可得.
【詳解】點關于平面對稱的點是，故A正確.
點關于軸對稱的點是，故B不正確.
，，，
，，故C、D均正確.
故選：ACD
3．
【分析】根據空間向量共線的坐標表示即可求解.
【詳解】因為，共線且方向相反，所以設，
即可得解得或（舍），
所以,
故答案為: .
4．
【分析】由空間向量基本定理結合題意列方程求解即可.
【詳解】若，，共面，則存在實數，使，
即
所以，解得，，．
所以．
故答案為：
5．B
【分析】根據向量垂直的坐標表示，列出方程，即可求解.
【詳解】由向量，，
因為，可得，解得.
故選：B.
6．A
【分析】由題意可以先求出，再由它們平行可以得到比例關系從而求出參數，由此即可得解.
【詳解】由題意，，
因為，所以，
解得，，
所以.
故選：A.
7．C
【分析】根據，可得，；再根據∥，可得，進而得，最后根據向量的坐標求模即可.
【詳解】解：因為，，且，
所以，解得，
所以，
又因為，且∥，
所以，
所以，
所以，
所以.
故選：C.
8．銳角三角形
【分析】利用空間中兩點間的距離公式可知，中，邊最長，內角最大，求出，可判斷出為銳角，即可得出結論.
【詳解】因為，，，
則，，，
所以，，，，
所以，中，邊最長，內角最大，
所以，，
顯然、不共線，故為銳角，故為銳角三角形.
故答案為：銳角三角形.
9．
【分析】利用空間向量夾角余弦的坐標表示得到關于的方程，解之即可得解.
【詳解】因為，，且與夾角為，
則，，，
所以，
由題可知，解得.
故答案為：.
10．(1)；
(2).
【分析】（1）以點C作為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量的模長公式計算即可；
（2）利用向量夾角運算公式計算的值；
【詳解】（1）如圖，以為原點，分別以為軸，建立空間直角坐標系，依題意得，，，．
，∴
∴．
所以的距離為.
（2）依題意得，，，，
∴，，
，，，
∴．
11．答案見解析
【分析】取的中點，根據面面垂直性質可證得平面，以為坐標原點可建立空間直角坐標系，由長度關系可得各點坐標.
【詳解】取的中點，連接，
是正三角形，，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
以為坐標原點，正方向為軸，作軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，，．
12．答案見解析
【分析】側面 而與不垂直，原圖沒三條兩兩垂直直線，此時在平面上過點作垂直的直線，與相交于點，則三線兩兩垂直，可建立空間直角坐標系，利用三角函數和余弦定理求出各邊的長度，得各個點的坐標.
【詳解】在平面上過點作垂直的直線，與相交于點，如圖所示，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系．
，，，則，
所以，，，，，，
側面，側面，，又，
平面，，平面，平面，則，
設，則，
中，由余弦定理，，
中，由余弦定理，，
中，，，
解得或，為棱上異于的一點，所以，則有.
13．D
【分析】利用線線角的向量公式求解即可.
【詳解】由已知得，，
所以,
因為空間向量的夾角范圍是，
所以向量與的夾角為，
故選：D.
14．##
【分析】直接利用向量的坐標運算求出向量的夾角．
【詳解】利用正方體，建立空間直角坐標系，，
設正方體的棱長為2，
則，
所以，，
所以，
故，
故答案為：．
15．
【分析】由面面垂直的性質定理可得線面垂直，從而，，三直線兩兩垂直，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求角.
【詳解】折起后的圖形如下所示，連接，，
由正方形的性質可知，，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
，，三直線兩兩垂直，
分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標系，
設正方形的對角線長為2，則可確定以下點坐標：
，，，，
，，，
，，
，又，
，．
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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