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《導數及其應用》
一、選擇題
1．【嘉興市·理】8．（文科7）己知函數，其導數f'(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的極小值是 ( ▲D )
A．a+b+c B．8a+4b+c C．3a+2b D．c
2．【寧波市·理】8．函數的定義域為（a,b），其導函數內的圖象如圖所示，則函數在區間（a,b）內極小值點的個數是 A
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
3．【溫州十校聯合·理】4、如圖所示的曲線是函數的大致圖象，則等于（ C ）學科網
A． B．學科網
C． D．學科網
二、填空題
1．【嘉興市·理】14．設函數(a≠0)，若，x0>0，則x0= ▲ ．
2．【溫州中學·理】14．已知函數，對任意的恒成立，則的取值范圍為_____（-2，）______．
三、計算題
1．【杭州市·文】(19)（本題14分）設是定義在上的奇函數，且當時，．
(Ⅰ) 求時，的表達式；
(Ⅱ) 令，問是否存在，使得在x = x0處的切線互相平行？若存在，請求出值；若不存在，請說明理由．
【解】(Ⅰ) 當時，，
; --- 6分
(Ⅱ)若在處的切線互相平行，則, --- 4分
，解得,
∵x > 0 , 得． --- 4分
2．【杭州市·文】(22) (本題15分）已知函數．
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的零點；
（Ⅱ）求函數y＝f (x)在區間 [ 1,2 ] 上的最小值．
【解】(Ⅰ) 由題意,
由，解得 或; --- 4分
(Ⅱ) 設此最小值為，而
（1）當時，
則是區間[1,2]上的增函數, 所以; --- 3分
（2）當時，
在時，
在時， --- 3分
① 當，即時，;
② 當，即時，
③ 當時，.
綜上所述，所求函數的最小值. --- 5分
3．【嘉興市·理】20．(本小題滿分14分)
已知函數 (a∈R)
（Ⅰ）若函數f(x)的圖象在x=2處的切線方程為，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數f(x)在(1，+∞)為增函數，求a的取值范圍．
【解】 (1)因為：f'(x)=x-(x>0)，又f(x)在x=2處的切線方程為y=x+b
所以 2分
解得：a=2， 4分
b=-2In2 6分
(2)若函數f(x)在(1，+∞)上恒成立．則f'(x)=x-≥0在(1，+∞)上恒成立
即：a≤x2在(1，+∞)上恒成立。所以有a≤l 14分
4．【寧波市·理】22．（本題14分）已知函數和點，過點作曲線的兩條切線、，切點分別為、．
（1）求證：為關于的方程的兩根；
（2）設，求函數的表達式；
（3）在（2）的條件下，若在區間內總存在個實數（可以相同），使得不等式成立，求的最大值．
【解】（1）由題意可知：
∵ ， ……2分
∴切線的方程為：，
又切線過點， 有，
即， ① 　
同理，由切線也過點，得．②
由①、②，可得是方程（ * ）的兩根……5分
（2）由（ * ）知.
，
∴ ．……………………9分
（3）易知在區間上為增函數，
，
則．…11分
即，即，
所以，由于為正整數，所以.
又當時，存在，滿足條件，所以的最大值為. ……………14分
5．【寧波市·文】20．（本題滿分14分）已知函數，，設.
(Ⅰ)當時，求函數的單調區間；
（Ⅱ)若以函數圖象上任意一點為切點的切線斜率
恒成立，求實數的最小值.
【解】 (Ⅰ)由已知可得，函數的定義域為
則　　　　　　　　　　　　
由可得在區間上單調遞增,
得在上單調遞減 ……6分
(Ⅱ)由題意可知對任意恒成立　
即有對任意恒成立，即　　
令　　　
則，即實數的最小值為；　　　　　　　　　　　　　……14分
6．【嘉興市】21、已知函數（1）判斷函數的對稱性和奇偶性；（2）當時，求使成立的的集合；（3）若，記，且在有最大值，求的取值范圍.
【解】（1）由函數可知，函數的圖象關于直線對稱；
當時，函數是一個偶函數；當時，取特值：，故函數是非奇非偶函數.
（2）由題意得，得或；因此得或或，故所求的集合為.
（3）對于，
若，在區間上遞增，無最大值；
若，有最大值1
若，在區間上遞增，在上遞減，有最大值；
綜上所述得，當時，有最大值.
7．【臺州市·理】22. （本題滿分14分）已知= ,數列滿足:
（1）求在上的最大值和最小值;
（2）證明：;
（3）判斷與的大小，并說明理由.
【解】 (1)
當時，
在上是增函數 ………………6分

（2）（數學歸納法證明）
①當時，由已知成立；
②假設當時命題成立，即成立，
那么當時，由①得

，這就是說時命題成立.
由①、②知，命題對于都成立 …………9分
（3） 由
記得 ……10分
當時，故
所以 <0 得g(x)在是減函數，
∴g(x)>g(0)=f(0)-2=0 ∴>0,即>0
得>
8．【臺州市·文】22．（本小題滿分15分）已知定義在上的函數，其中為常數.
（1）若，求證：函數在區間上是增函數；
（2）若函數，在處取得最大值，求正數的取值范圍.
【解】（1）當時，在區間上是增函數，
當時，，，
函數在區間上是增函數，
綜上得，函數在區間上是增函數. ………………7分
(2)

令 ………………10分
設方程（*）的兩個根為（*）式得，不妨設.
當時，為極小值，所以在[0，1]上的最大值只能為或；
………………10分
當時，由于在[0，1]上是單調遞減函數，所以最大值為，
所以在[0，1]上的最大值只能為或， ………………12分
又已知在處取得最大值，所以
即. ………………15分
9．【溫州十校聯合·理】22、（本小題滿分14分） 已知函數
上是增函數.學科網
（I）求實數a的取值范圍；學科網
（II）在（I）的結論下，設，求函數的最小值．學科網
【解】（I） …………………………………………… 2分

所以 ……………………………………………………………………7分
（II）設 ……8分
10．【溫州十校聯合·文】21．（15分）設函數為奇函數，其圖象在點處的切線與直線垂直，且在x＝－1處取得極值．學科網
(Ⅰ)求a，，的值；學科網
（Ⅱ）求函數在上的最大值和最小值。學科網
【解】
11．【溫州中學·理】22．（本題14分）已知函數（其中為常數，為自然對數的底數）．
（Ⅰ）任取兩個不等的正數，恒成立，求：的取值范圍；
（Ⅱ）當時，求證：沒有實數解．
12．【溫州中學·文】20．（本小題滿分14分）已知，直線與函數的圖象都相切于點
（1）求直線的方程及的解析式；
（2）若（其中是的導函數），求函數的值域.
【解】（1）直線是函數在點處的切線，故其斜率，
所以直線的方程為 (2分)
又因為直線與的圖象相切，所以在點的導函數值為1. 所以 （6分）
（2）因為 （7分）
所以 （9分）
當時，；當時， （11分）
因此，當時，取得最大值 （13分）
所以函數的值域是. （14分）

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