資源簡介

7.3萬有引力理論的成就
核心目標(biāo) 1. 理解“稱量地球質(zhì)量”的基本思路，了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用
2. 理解計算太陽質(zhì)量的基本思路，能將天體問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成相關(guān)模型后進(jìn)行求解。
【閱讀+理解】----提前學(xué)知識要點
問題 在初中，我們已經(jīng)知道物體的質(zhì)量可以用天平來測量，生活中物體的質(zhì)量常用電子秤或臺秤來稱量。對于地球，我們怎樣“稱量”它的質(zhì)量呢？
1. “稱量”地球的質(zhì)量 一個成功的理論不僅能夠解釋已知的事實，更重要的是能夠預(yù)言未知的現(xiàn)象。 有了萬有引力定律，我們就能“稱量”地球的質(zhì)量! “稱量”地球的質(zhì)量時，我們應(yīng)選擇哪個物體作為研究對象？運用哪些物理規(guī)律？需要忽略的次要因素是什么？ 若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為 m 的物體所受的重力 mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝G，式中 m地 是地球的質(zhì)量；R是地球的半徑，也就是物體到地心的距離。 由此解出 m地＝,地面的重力加速度 g 和地球半徑 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦測得引力常量 G，就可以算出地球的質(zhì)量 m 地。因此，卡文迪什把他自己的實驗說成是“稱量地球的重量”。 在實驗室里測量幾個鉛球之間的作用力，就可以“稱量”地球，這不能不說是一個科學(xué)奇跡。難怪一位外行人、著名文學(xué)家馬克·吐溫滿懷激情地說：“科學(xué)真是迷人。根據(jù)零星的事實，增添一點猜想，竟能贏得那么多收獲！”
2. 計算天體的質(zhì)量 能用“稱量”地球質(zhì)量的方法“稱量”太陽嗎？怎樣才能得到太陽的質(zhì)量？ 行星繞太陽做勻速圓周運動，向心力是由它們之間的萬有引力提供的，由此可以依據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列出方程，從中解出太陽的質(zhì)量。 設(shè)m太是太陽的質(zhì)量，m是某個行星的質(zhì)量，r是行星與太陽之間的距離，行星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，列出方程 G＝mω2r 行星運動的角速度ω不能直接測出，但可測出它的周期T。把ω和T的關(guān)系ω＝代入上式得到G＝m，由此式可得m太＝ 測出行星的公轉(zhuǎn)周期 T 和它與太陽的距離 r，就可以算出太陽的質(zhì)量。 思考與討論 已知太陽與地球間的平均距離約為 1.5×1011m，你能估算太陽的質(zhì)量嗎？換用其他行星的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，結(jié)果會相近嗎？為什么？ 雖然不同行星與太陽間的距離 r 和繞太陽公轉(zhuǎn)的周期 T 各不相同，但是根據(jù)開普勒第三定律，所有行星的 均相 同，所以無論選擇哪顆行星的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期進(jìn)行計算，所得的太陽質(zhì)量均相同。 如果已知衛(wèi)星繞行星運動的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，也可以算出行星的質(zhì)量。目前，觀測人造地球衛(wèi)星的運動，是測量地球質(zhì)量的重要方法之一。同樣的道理，要得到木星的質(zhì)量（如圖），可以選擇對木星的衛(wèi)星進(jìn)行測量，只要測得一顆衛(wèi)星的軌道半徑和周期，就可計算 木星的質(zhì)量。 月球雖然沒有天然的衛(wèi)星，但人類發(fā)射的航天器會環(huán)繞月球運行，只要測得航天器繞月運行的軌道半徑和周期，就可計算月球的質(zhì)量。
3.發(fā)現(xiàn)未知天體 到了18 世紀(jì)，人們已經(jīng)知道太陽系有 7 顆行星，其中 1781 年發(fā)現(xiàn)的第七顆行星——天王星的運動軌道有些“古 怪”：根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道與實際觀測的結(jié)果總有一些偏差。 是天文觀測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確？ 是萬有引力定律的準(zhǔn)確性有問題？ 是天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星？ …… 英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶相信未知行星的存在。他們根據(jù)天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846 年 9 月 23 日晚，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”。后來，這顆行星被命名為海王星（如圖）。 海王星的發(fā)現(xiàn)過程 充分顯示了理論對于實踐的巨大指導(dǎo)作用，所用的“計算、 預(yù)測和觀察”的方法指導(dǎo)人們尋找新的天體。 海王星的軌道之外殘存著太陽系形成初期遺留的物質(zhì)， 近 100 年來，人們在這里發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。但是因為距離遙遠(yuǎn)，太陽的光芒到達(dá)那里已經(jīng)十分微弱了，在地球附近很難看出究竟。盡管如此，黑暗寒冷的太陽系邊緣依然牽動著人們的心，探索工作從來沒有停止過。
4. 預(yù)言哈雷彗星回歸 在牛頓之前，彗星被看作是一種神秘的現(xiàn)象。英國天文學(xué)家哈雷從1337 年到1698 年的彗星記錄中挑選了 24 顆彗星，依據(jù)萬有引力定律，用一年時間計算了它們的軌道。發(fā)現(xiàn)1531 年、1607年和 1682 年出現(xiàn)的這三顆彗星軌道看起來如出一轍，他大膽預(yù)言，這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星（如圖），周期約為 76 年，并預(yù)言它將于 1758 年底 或 1759 年初再次回歸。1759 年 3 月這顆彗星如期通過了近日點，它最近一次回歸是 1986 年，它的下次回歸將在2061 年左右。 海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位，也成為科學(xué)史上的美談。諾貝爾獎獲得者物理學(xué)家勞厄說 ：“沒有任何東西像牛頓引力理論對行星軌道的計算那樣，如此有力地樹立起人們對年輕的物理學(xué)的尊敬。從此以后，這門自然科學(xué)成了巨大的精神王國……” 牛頓還用月球和太陽的萬有引力解釋了潮汐現(xiàn)象，用萬有引力定律和其他力學(xué)定律，推測地球呈赤道處略為隆起的扁平形狀。萬有引力定律可以用于分析地球表面重力 加速度微小差異的原因，以及指導(dǎo)重力探礦。除了上述成就外，萬有引力定律的另一重要應(yīng)用將在下節(jié)講述。
【理解+記憶】----常思考筆記重點
一、 “稱量”地球的質(zhì)量
1. 思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于 地球?qū)ξ矬w的萬有引力 ．
2. 關(guān)系式：mg＝ G .
3. 結(jié)果：m地＝ ，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量．這是卡文迪什“稱量地球”的依據(jù)。
推廣：若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，也可計算出該星球的質(zhì)量．
二、計算天體的質(zhì)量
1. 太陽質(zhì)量的計算
(1) 依據(jù)：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力，即G＝　.
(2) 結(jié)論：m太＝ ，若已知行星繞太陽運動的周期T和半徑r就能計算出太陽的質(zhì)量．
2. 行星質(zhì)量的計算：同理，若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，能計算行星的質(zhì)量M
三、發(fā)現(xiàn)未知天體及預(yù)言哈雷彗星回歸
1. 海王星的發(fā)現(xiàn)
亞當(dāng)斯　和　勒維耶　根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道．　伽勒 在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．
2. 其他天體的發(fā)現(xiàn)
近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了 冥王星 、鬩神星等幾個較大的天體．
3. 預(yù)言哈雷彗星回歸
哈雷依據(jù) 萬有引力定律　，計算了三顆彗星的軌道，并大膽預(yù)言這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆彗星，周期約為　76 年．
【例題+解析】----當(dāng)檢測深究錯題
1. (2020·菏澤高一檢測)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有(　　)
A. 月球的質(zhì)量　 B. 地球的質(zhì)量
C. 地球的半徑　 D. 地球的密度
1. B　解析：由天體運動規(guī)律知G＝mR，可得地球質(zhì)量M＝，由于不知地球的半徑，無法求地球的密度，故選項B正確．
2. （2022廣東省深圳外國語學(xué)校高一（下）學(xué)段（一））在萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)歷程中，下列敘述符合史實的是（　　）
A. 卡文迪許通過實驗推算出來引力常量G的值，被譽為第一個能“稱量地球質(zhì)量”的人
B. 丹麥天文學(xué)家第谷經(jīng)過多年的天文觀測和記錄，提出了“日心說”的觀點
C. 開普勒通過分析第谷的天文觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律
D. 伽利略利用“地—月系統(tǒng)”驗證了萬有引力定律正確性，使得萬有引力定律得到了推廣和更廣泛的應(yīng)用
2.A【解析】卡文迪許通過實驗推算出引力常量G的值，被譽為第一個能“稱量地球質(zhì)量”的人，A正確；哥白尼提出了“日心說”的觀點，B錯誤；開普勒通過分析第谷的天文觀測數(shù)據(jù)，總結(jié)出行星運動規(guī)律的三大定律，但萬有引力定律是牛頓發(fā)現(xiàn)的，C錯誤；牛頓利用“地—月系統(tǒng)”驗證了萬有引力定律的正確性，使得萬有引力定律得到了推廣和更廣泛的應(yīng)用，D錯誤。故選A。
3.　(多選)(2020·濰坊模擬)如圖所示，天文觀測中觀測到有三顆星位于邊長為l的等邊三角形三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運動．已知引力常量為G，不計其他星體對它們的影響，關(guān)于這個三星系統(tǒng)，下列說法中正確的是(　　)
A. 三顆星的質(zhì)量可能不相等
B. 某顆星的質(zhì)量為
C. 它們的線速度大小均為
D. 它們兩兩之間的萬有引力大小為
3.BD　解析：軌道半徑等于等邊三角形外接圓的半徑，r＝＝l，根據(jù)題意可知其中任意兩顆星對第三顆星的合力指向圓心，所以這兩顆星對第三顆星的萬有引力等大，由于這兩顆星到第三顆星的距離相同，故這兩顆星的質(zhì)量相同，所以三顆星的質(zhì)量一定相同，設(shè)為m，則有2Gcos30°＝m··l，解得m＝，它們兩兩之間的萬有引力F＝G＝G＝，故A錯誤，B、D正確；線速度大小為v＝＝·＝，C錯誤．
4. （2022廣東省深圳外國語學(xué)校高一（下）學(xué)段（一））2020年4月24日，國家航天局宣布，我國行星探測任務(wù)命名為“天問”，首次火星探測任務(wù)命名為“天問一號”。已知萬有引力常量G，為計算火星的質(zhì)量，需要測量的數(shù)據(jù)是（　　）
A. 火星表面重力加速度g和火星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑r
B. 火星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑r和火星的公轉(zhuǎn)周期T
C. 火星表面的重力加速度g和火星的公轉(zhuǎn)周期T
D. 某衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運動的軌道半徑r和環(huán)繞周期T
4.D【解析】根據(jù)可得，可知計算火星的質(zhì)量，還需要有火星的半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力有，可得，可知如果已知火星的公轉(zhuǎn)周期和半徑，可求太陽的質(zhì)量，不可求火星的質(zhì)量，ABC錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有，可得，可知，如果已知某衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運動的軌道半徑r和環(huán)繞周期T，可求火星質(zhì)量，D正確。故選D。
5.（2022江蘇省南通海安市實驗中學(xué)高一（下）第一次學(xué)情檢測） 2020年11月29日，“嫦娥五號”進(jìn)入繞月圓軌道，距月球表面高度為h，繞月球運行的周期為T，如圖所示，已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g。
5.（1）（2）
解析（1）由萬有引力提供向心力可得
月球的質(zhì)量
（2）由公式可得月球表面的重力加速度
6.（2022廣東省東莞市七校高一（下）期中聯(lián)考）2020年6月23日9時43分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第五十五顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星。假設(shè)該衛(wèi)星在距離地球表面高為h的軌道上繞地球做勻速圓周運動,地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，地球的體積為V=πR3，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。求:
(1)地球的平均密度ρ；
(2)該人造衛(wèi)星繞地球運動的周期T。
6. (1)； (2)
解析(1)在地球表面附近，有G=mg，解得M=
又ρ=，V=πR3，得
(2)根據(jù)萬有引力提供向心力，有G=m(R+h)，解得
又知GM=gR2，所以
【作業(yè)+練習(xí)】----強基礎(chǔ)提升能力
【作業(yè)】
1.已知月球的質(zhì)量是7.3×1022kg，半徑是1.7×103km，月球表面的自由落體加速度有多大？這對宇航員在月球表面的行走會產(chǎn)生什么影響？若宇航員在地面上最多能舉起質(zhì)量為m的物體，他在月球表面最多能舉起質(zhì)量是多少的物體？
2.根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律說明：為什么不同物體在地球表面的自由落體加速度都是相等的？為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的小？
3.某人造地球衛(wèi)星沿圓軌道運行，軌道半徑是6.8×103km，周期是5.6×103s。試從這些數(shù)據(jù)估算地球的質(zhì)量。
4.地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓（圖7.3-4）。天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，預(yù)測下次飛近地球?qū)⒃?061年。
（1）請你根據(jù)開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多少倍？
（2）若哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為r1，線速度大小為v1；在遠(yuǎn)日點與太陽中心的距離為r2，線速度大小為v2，請比較哪個速度大，并求得哈雷彗星在近日點和遠(yuǎn)日點的加速度大小之比。
【作業(yè)參考答案】
【練習(xí)】
1.重力是由萬有引力產(chǎn)生的，以下說法中正確的是(　　)
A. 同一物體在地球上任何地方其重力都一樣
B. 物體從地球表面移到高空中，其重力變大
C. 同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些
D. 繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態(tài)，不受地球的引力
2.設(shè)地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g，則為(　　)
A. 1 B. C. D.
3.一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要(　　)
A. 測定飛船的運行周期 B. 測定飛船的環(huán)繞半徑
C. 測定行星的體積 D. 測定飛船的運動速度
4.下列說法正確的是(　　)
A. 海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的
B. 天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的
C. 海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的
D. 天王星的運行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此，人們發(fā)現(xiàn)了海王星
5.設(shè)土星繞太陽的運動為勻速圓周運動，若測得土星到太陽的距離為r，土星繞太陽運動的周期為T，萬有引力常量G已知，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，不能求出的量有(　　)
A. 土星線速度的大小 B. 土星加速度的大小
C. 土星的質(zhì)量 D. 太陽的質(zhì)量
6.在討論地球潮汐成因時，地球繞太陽運行軌道與月球繞地球運行軌道可視為圓軌道．已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍，地球繞太陽運行的軌道半徑約為月球繞地球運行的軌道半徑的400倍．關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說法正確的是(　　)
A. 太陽引力小于月球引力
B. 太陽引力與月球引力相差不大
C. 月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等
D. 月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異
7. （多選）（2022廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一（下）4月）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為，空氣阻力不計。則（　　）
A. g′：g＝1：5 B. g′：g＝5：2
C. M星：M地＝1：20 D. M星：M地＝1：80
8.近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎(chǔ)．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個常數(shù))(　　)
A. ρ＝ B. ρ＝kT C. ρ＝kT2 D. ρ＝
9.一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為(　　)
A. B. C. D.
10.據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重量為600 N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60 N．由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為(　　)
A. 0.5 B. 2 C. 3.2 D. 4
11．（2021·遼寧高三月考）2020年7月23日，我國成功發(fā)射“天問一號”火星探測器。已知火星的質(zhì)量約為地球的，火星表面的重力加速度為地球表面重力加速度的，地球的半徑為R，則火星的半徑約為（　　）
A．0.5R B．0.4R
C．0.2R D．0.1R
12.有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的多少倍？
13．（多選）如圖所示，地球繞太陽運動的軌道形狀為橢圓，Р為近日點，到太陽的距離為，Q點為遠(yuǎn)日點，到太陽的距離為，公轉(zhuǎn)周期為T。已知月亮圍繞地球做圓周運動的軌道半徑為r，繞地公轉(zhuǎn)周期為t。月球、地球、太陽均可視為質(zhì)點。則（　　）
A．地球的質(zhì)量為
B．地球在點和點的速度之比
C．由開普勒第一定律可知，k為常數(shù)
D．相同時間內(nèi)，月球與地球的連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積
14.宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計)
(1) 求該星球表面附近的重力加速度g′；
(2) 已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星∶M地．
【練習(xí)參考答案】
水平達(dá)成
1. C　解析：由于地球自轉(zhuǎn)同一物體在不同緯度受到的重力不同，在赤道最小，兩極最大，C正確．
2. D　解析：地球表面處的重力加速度和在離地心高4R處的加速度均由地球?qū)ξ矬w的萬有引力產(chǎn)生，所以由地面上G＝mg0，離地心4R處G＝mg，聯(lián)立解得＝＝.
3. A　解析：取飛船為研究對象，由G＝mR及M＝πR3ρ，解得ρ＝，故A正確．
4. D　解析：由行星的發(fā)現(xiàn)歷史可知，天王星并不是根據(jù)萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的；海王星不是通過觀測發(fā)現(xiàn)，也不是直接由萬有引力定律計算出軌道而發(fā)現(xiàn)的，而是人們發(fā)現(xiàn)天王星的實際軌道與理論軌道存在偏差，然后運用萬有引力定律計算出“新”星的軌道而發(fā)現(xiàn)的，A、B、C錯誤，D正確．
5. C　解析：根據(jù)已知數(shù)據(jù)可求：土星的線速度大小v＝、土星的加速度a＝r、太陽的質(zhì)量M＝，無法求土星的質(zhì)量，所以選C.
6. D　解析：要研究太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，設(shè)其質(zhì)量為m，距太陽的距離為r1，距月球的距離為r2，太陽對它的引力F1＝，月球?qū)λ囊2＝，＝·＝2.7×107×≈169，故A、B錯誤；因為月球球心距不同區(qū)域海水的距離不同，所以吸引力大小有差異，故C錯誤，D正確．
7.AD【解析】設(shè)初速度為v0，由對稱性可知豎直上拋的小球在空中運動的時間t＝，因此得，A正確，B錯誤；由得，則，D正確，錯誤。故選AD。
8. D　解析：火星的近地衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即G＝mR，則火星的密度為ρ＝＝，令k＝，則ρ＝，故D正確．
9. B　解析：由物體靜止時的平衡條件N＝mg得g＝，根據(jù)G＝mg和G＝m得M＝，故B正確．
10. B　解析：在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，萬有引力等于物體的重力．即G地＝，同樣在行星表面有G行＝，以上兩式相比可得＝×＝×，＝＝2.故該行星的半徑與地球的半徑之比約為2，故B正確．
11.A 解析：由于在星球表面萬有引力與重力相等，即則，代入數(shù)據(jù)解得R火=0.5R，A正確，BCD錯誤。故選A。
12. 由＝mg得M＝，
ρ＝＝＝，
R＝，＝·＝4，
＝·＝64.
素養(yǎng)提升
13.AB【解析】由于月亮圍繞地球做圓周運動的軌道半徑為r，繞地公轉(zhuǎn)周期為t，由萬有引力提供向心力可得，解得地球質(zhì)量為，A正確；由開普勒第二定律可知相同時間內(nèi)，地球在近日點和遠(yuǎn)日點與太陽的連線掃過的面積相等，有解得，B正確；由開普勒第三定律可知，所有行星的軌道半長軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，是針對同一中心天體而言的，而月球繞著地球轉(zhuǎn)，地球繞著太陽轉(zhuǎn)，中心天體不同，C錯誤；由開普勒第二定律可知，任意一個行星與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過的面積相等，是針對同一中心天體而言的，D錯誤。故選AB。
14. (1) 依據(jù)豎直上拋運動規(guī)律可知，地面上豎直上拋小球落回原地經(jīng)歷的時間為t＝.
在該星球表面上豎直上拋的小球落回原地所用時間為5t＝，所以g′＝g＝2 m/s2.
(2) 該星球表面物體所受重力等于其所受該星球的萬有引力，則有mg＝G，
所以M＝，可解得M星∶M地＝1∶80.7.3萬有引力理論的成就
核心目標(biāo) 1. 理解“稱量地球質(zhì)量”的基本思路，了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用
2. 理解計算太陽質(zhì)量的基本思路，能將天體問題中的對象和過程轉(zhuǎn)換成相關(guān)模型后進(jìn)行求解。
【閱讀+理解】----提前學(xué)知識要點
問題 在初中，我們已經(jīng)知道物體的質(zhì)量可以用天平來測量，生活中物體的質(zhì)量常用電子秤或臺秤來稱量。對于地球，我們怎樣“稱量”它的質(zhì)量呢？
1. “稱量”地球的質(zhì)量 一個成功的理論不僅能夠解釋已知的事實，更重要的是能夠預(yù)言未知的現(xiàn)象。 有了萬有引力定律，我們就能“稱量”地球的質(zhì)量! “稱量”地球的質(zhì)量時，我們應(yīng)選擇哪個物體作為研究對象？運用哪些物理規(guī)律？需要忽略的次要因素是什么？ 若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為 m 的物體所受的重力 mg等于地球?qū)ξ矬w的引力，即mg＝G，式中 m地 是地球的質(zhì)量；R是地球的半徑，也就是物體到地心的距離。 由此解出 m地＝,地面的重力加速度 g 和地球半徑 R 在卡文迪什之前就已知道，一旦測得引力常量 G，就可以算出地球的質(zhì)量 m 地。因此，卡文迪什把他自己的實驗說成是“稱量地球的重量”。 在實驗室里測量幾個鉛球之間的作用力，就可以“稱量”地球，這不能不說是一個科學(xué)奇跡。難怪一位外行人、著名文學(xué)家馬克·吐溫滿懷激情地說：“科學(xué)真是迷人。根據(jù)零星的事實，增添一點猜想，竟能贏得那么多收獲！”
2. 計算天體的質(zhì)量 能用“稱量”地球質(zhì)量的方法“稱量”太陽嗎？怎樣才能得到太陽的質(zhì)量？ 行星繞太陽做勻速圓周運動，向心力是由它們之間的萬有引力提供的，由此可以依據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律列出方程，從中解出太陽的質(zhì)量。 設(shè)m太是太陽的質(zhì)量，m是某個行星的質(zhì)量，r是行星與太陽之間的距離，行星做勻速圓周運動的向心力由它們之間的萬有引力提供，列出方程 G＝mω2r 行星運動的角速度ω不能直接測出，但可測出它的周期T。把ω和T的關(guān)系ω＝代入上式得到G＝m，由此式可得m太＝ 測出行星的公轉(zhuǎn)周期 T 和它與太陽的距離 r，就可以算出太陽的質(zhì)量。 思考與討論 已知太陽與地球間的平均距離約為 1.5×1011m，你能估算太陽的質(zhì)量嗎？換用其他行星的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，結(jié)果會相近嗎？為什么？ 雖然不同行星與太陽間的距離 r 和繞太陽公轉(zhuǎn)的周期 T 各不相同，但是根據(jù)開普勒第三定律，所有行星的 均相 同，所以無論選擇哪顆行星的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期進(jìn)行計算，所得的太陽質(zhì)量均相同。 如果已知衛(wèi)星繞行星運動的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，也可以算出行星的質(zhì)量。目前，觀測人造地球衛(wèi)星的運動，是測量地球質(zhì)量的重要方法之一。同樣的道理，要得到木星的質(zhì)量（如圖），可以選擇對木星的衛(wèi)星進(jìn)行測量，只要測得一顆衛(wèi)星的軌道半徑和周期，就可計算 木星的質(zhì)量。 月球雖然沒有天然的衛(wèi)星，但人類發(fā)射的航天器會環(huán)繞月球運行，只要測得航天器繞月運行的軌道半徑和周期，就可計算月球的質(zhì)量。
3.發(fā)現(xiàn)未知天體 到了18 世紀(jì)，人們已經(jīng)知道太陽系有 7 顆行星，其中 1781 年發(fā)現(xiàn)的第七顆行星——天王星的運動軌道有些“古 怪”：根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道與實際觀測的結(jié)果總有一些偏差。 是天文觀測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確？ 是萬有引力定律的準(zhǔn)確性有問題？ 是天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星？ …… 英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國年輕的天文學(xué)家勒維耶相信未知行星的存在。他們根據(jù)天王星的觀測資料，各自獨立地利用萬有引力定律計算出這顆“新”行星的軌道。1846 年 9 月 23 日晚，德國的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”。后來，這顆行星被命名為海王星（如圖）。 海王星的發(fā)現(xiàn)過程 充分顯示了理論對于實踐的巨大指導(dǎo)作用，所用的“計算、 預(yù)測和觀察”的方法指導(dǎo)人們尋找新的天體。 海王星的軌道之外殘存著太陽系形成初期遺留的物質(zhì)， 近 100 年來，人們在這里發(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個較大的天體。但是因為距離遙遠(yuǎn)，太陽的光芒到達(dá)那里已經(jīng)十分微弱了，在地球附近很難看出究竟。盡管如此，黑暗寒冷的太陽系邊緣依然牽動著人們的心，探索工作從來沒有停止過。
4. 預(yù)言哈雷彗星回歸 在牛頓之前，彗星被看作是一種神秘的現(xiàn)象。英國天文學(xué)家哈雷從1337 年到1698 年的彗星記錄中挑選了 24 顆彗星，依據(jù)萬有引力定律，用一年時間計算了它們的軌道。發(fā)現(xiàn)1531 年、1607年和 1682 年出現(xiàn)的這三顆彗星軌道看起來如出一轍，他大膽預(yù)言，這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星（如圖），周期約為 76 年，并預(yù)言它將于 1758 年底 或 1759 年初再次回歸。1759 年 3 月這顆彗星如期通過了近日點，它最近一次回歸是 1986 年，它的下次回歸將在2061 年左右。 海王星的發(fā)現(xiàn)和哈雷彗星的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位，也成為科學(xué)史上的美談。諾貝爾獎獲得者物理學(xué)家勞厄說 ：“沒有任何東西像牛頓引力理論對行星軌道的計算那樣，如此有力地樹立起人們對年輕的物理學(xué)的尊敬。從此以后，這門自然科學(xué)成了巨大的精神王國……” 牛頓還用月球和太陽的萬有引力解釋了潮汐現(xiàn)象，用萬有引力定律和其他力學(xué)定律，推測地球呈赤道處略為隆起的扁平形狀。萬有引力定律可以用于分析地球表面重力 加速度微小差異的原因，以及指導(dǎo)重力探礦。除了上述成就外，萬有引力定律的另一重要應(yīng)用將在下節(jié)講述。
【理解+記憶】----常思考筆記重點
一、 “稱量”地球的質(zhì)量
1. 思路：地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體的重力等于 ．
2. 關(guān)系式：mg＝ .
3. 結(jié)果：m地＝ ，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量．這是卡文迪什“稱量地球”的依據(jù)。
推廣：若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，也可計算出該星球的質(zhì)量．
二、計算天體的質(zhì)量
1. 太陽質(zhì)量的計算
(1) 依據(jù)：質(zhì)量為m的行星繞太陽做勻速圓周運動時，行星與太陽間的萬有引力充當(dāng)向心力，即G＝ 　.
(2) 結(jié)論：m太＝ ，若已知行星繞太陽運動的周期T和半徑r就能計算出太陽的質(zhì)量．
2. 行星質(zhì)量的計算：同理，若已知衛(wèi)星繞行星運動的周期T和衛(wèi)星與行星之間的距離r，能計算行星的質(zhì)量M
三、發(fā)現(xiàn)未知天體及預(yù)言哈雷彗星回歸
1. 海王星的發(fā)現(xiàn)
　和　 　根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星外“新”行星的軌道．　 在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星．
2. 其他天體的發(fā)現(xiàn)
近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了 、鬩神星等幾個較大的天體．
3. 預(yù)言哈雷彗星回歸
哈雷依據(jù) 　，計算了三顆彗星的軌道，并大膽預(yù)言這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆彗星，周期約為　 年．
【例題+解析】----當(dāng)檢測深究錯題
1. (2020·菏澤高一檢測)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距離R和月球繞地球運行的周期T，僅利用這三個數(shù)據(jù)，可以估算出的物理量有(　　)
A. 月球的質(zhì)量　 B. 地球的質(zhì)量
C. 地球的半徑　 D. 地球的密度
2. （2022廣東省深圳外國語學(xué)校高一（下）學(xué)段（一））在萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)歷程中，下列敘述符合史實的是（　　）
A. 卡文迪許通過實驗推算出來引力常量G的值，被譽為第一個能“稱量地球質(zhì)量”的人
B. 丹麥天文學(xué)家第谷經(jīng)過多年的天文觀測和記錄，提出了“日心說”的觀點
C. 開普勒通過分析第谷的天文觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律
D. 伽利略利用“地—月系統(tǒng)”驗證了萬有引力定律正確性，使得萬有引力定律得到了推廣和更廣泛的應(yīng)用
3.　(多選)(2020·濰坊模擬)如圖所示，天文觀測中觀測到有三顆星位于邊長為l的等邊三角形三個頂點上，并沿等邊三角形的外接圓做周期為T的勻速圓周運動．已知引力常量為G，不計其他星體對它們的影響，關(guān)于這個三星系統(tǒng)，下列說法中正確的是(　　)
A. 三顆星的質(zhì)量可能不相等
B. 某顆星的質(zhì)量為
C. 它們的線速度大小均為
D. 它們兩兩之間的萬有引力大小為
4. （2022廣東省深圳外國語學(xué)校高一（下）學(xué)段（一））2020年4月24日，國家航天局宣布，我國行星探測任務(wù)命名為“天問”，首次火星探測任務(wù)命名為“天問一號”。已知萬有引力常量G，為計算火星的質(zhì)量，需要測量的數(shù)據(jù)是（　　）
A. 火星表面重力加速度g和火星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑r
B. 火星繞太陽做勻速圓周運動的軌道半徑r和火星的公轉(zhuǎn)周期T
C. 火星表面的重力加速度g和火星的公轉(zhuǎn)周期T
D. 某衛(wèi)星繞火星做勻速圓周運動的軌道半徑r和環(huán)繞周期T
5.（2022江蘇省南通海安市實驗中學(xué)高一（下）第一次學(xué)情檢測） 2020年11月29日，“嫦娥五號”進(jìn)入繞月圓軌道，距月球表面高度為h，繞月球運行的周期為T，如圖所示，已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，求：
（1）月球的質(zhì)量M；
（2）月球表面的重力加速度g。
6.（2022廣東省東莞市七校高一（下）期中聯(lián)考）2020年6月23日9時43分,我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射了第五十五顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星。假設(shè)該衛(wèi)星在距離地球表面高為h的軌道上繞地球做勻速圓周運動,地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，引力常量為G，地球的體積為V=πR3，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響。求:
(1)地球的平均密度ρ；
(2)該人造衛(wèi)星繞地球運動的周期T。
【作業(yè)+練習(xí)】----強基礎(chǔ)提升能力
【作業(yè)】
1.已知月球的質(zhì)量是7.3×1022kg，半徑是1.7×103km，月球表面的自由落體加速度有多大？這對宇航員在月球表面的行走會產(chǎn)生什么影響？若宇航員在地面上最多能舉起質(zhì)量為m的物體，他在月球表面最多能舉起質(zhì)量是多少的物體？
2.根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律說明：為什么不同物體在地球表面的自由落體加速度都是相等的？為什么高山上的自由落體加速度比山下地面的小？
3.某人造地球衛(wèi)星沿圓軌道運行，軌道半徑是6.8×103km，周期是5.6×103s。試從這些數(shù)據(jù)估算地球的質(zhì)量。
4.地球的公轉(zhuǎn)軌道接近圓，但彗星的運動軌道則是一個非常扁的橢圓（圖7.3-4）。天文學(xué)家哈雷成功預(yù)言哈雷彗星的回歸，哈雷彗星最近出現(xiàn)的時間是1986年，預(yù)測下次飛近地球?qū)⒃?061年。
（1）請你根據(jù)開普勒行星運動定律估算哈雷彗星軌道的半長軸是地球公轉(zhuǎn)半徑的多少倍？
（2）若哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為r1，線速度大小為v1；在遠(yuǎn)日點與太陽中心的距離為r2，線速度大小為v2，請比較哪個速度大，并求得哈雷彗星在近日點和遠(yuǎn)日點的加速度大小之比。
【練習(xí)】
1.重力是由萬有引力產(chǎn)生的，以下說法中正確的是(　　)
A. 同一物體在地球上任何地方其重力都一樣
B. 物體從地球表面移到高空中，其重力變大
C. 同一物體在赤道上的重力比在兩極處小些
D. 繞地球做圓周運動的飛船中的物體處于失重狀態(tài)，不受地球的引力
2.設(shè)地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g，則為(　　)
A. 1 B. C. D.
3.一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要(　　)
A. 測定飛船的運行周期 B. 測定飛船的環(huán)繞半徑
C. 測定行星的體積 D. 測定飛船的運動速度
4.下列說法正確的是(　　)
A. 海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的
B. 天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計算的軌道而發(fā)現(xiàn)的
C. 海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的
D. 天王星的運行軌道與由萬有引力定律計算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此，人們發(fā)現(xiàn)了海王星
5.設(shè)土星繞太陽的運動為勻速圓周運動，若測得土星到太陽的距離為r，土星繞太陽運動的周期為T，萬有引力常量G已知，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，不能求出的量有(　　)
A. 土星線速度的大小 B. 土星加速度的大小
C. 土星的質(zhì)量 D. 太陽的質(zhì)量
6.在討論地球潮汐成因時，地球繞太陽運行軌道與月球繞地球運行軌道可視為圓軌道．已知太陽質(zhì)量約為月球質(zhì)量的2.7×107倍，地球繞太陽運行的軌道半徑約為月球繞地球運行的軌道半徑的400倍．關(guān)于太陽和月球?qū)Φ厍蛏舷嗤|(zhì)量海水的引力，以下說法正確的是(　　)
A. 太陽引力小于月球引力
B. 太陽引力與月球引力相差不大
C. 月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小相等
D. 月球?qū)Σ煌瑓^(qū)域海水的吸引力大小有差異
7. （多選）（2022廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)高一（下）4月）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為，地球表面重力加速度為g，設(shè)該星球表面附近的重力加速度為，空氣阻力不計。則（　　）
A. g′：g＝1：5 B. g′：g＝5：2
C. M星：M地＝1：20 D. M星：M地＝1：80
8.近年來，人類發(fā)射的多枚火星探測器已經(jīng)相繼在火星上著陸，正在進(jìn)行著激動人心的科學(xué)探究，為我們將來登上火星、開發(fā)和利用火星資源奠定了堅實的基礎(chǔ)．如果火星探測器環(huán)繞火星做“近地”勻速圓周運動，并測得該運動的周期為T，則火星的平均密度ρ的表達(dá)式為(k為某個常數(shù))(　　)
A. ρ＝ B. ρ＝kT C. ρ＝kT2 D. ρ＝
9.一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v.假設(shè)宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N.已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為(　　)
A. B. C. D.
10.據(jù)報道，最近在太陽系外發(fā)現(xiàn)了首顆“宜居”行星，其質(zhì)量約為地球質(zhì)量的6.4倍，一個在地球表面重量為600 N的人在這個行星表面的重量將變?yōu)?60 N．由此可推知，該行星的半徑與地球半徑之比約為(　　)
A. 0.5 B. 2 C. 3.2 D. 4
11．（2021·遼寧高三月考）2020年7月23日，我國成功發(fā)射“天問一號”火星探測器。已知火星的質(zhì)量約為地球的，火星表面的重力加速度為地球表面重力加速度的，地球的半徑為R，則火星的半徑約為（　　）
A．0.5R B．0.4R
C．0.2R D．0.1R
12.有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量將是地球質(zhì)量的多少倍？
13．（多選）如圖所示，地球繞太陽運動的軌道形狀為橢圓，Р為近日點，到太陽的距離為，Q點為遠(yuǎn)日點，到太陽的距離為，公轉(zhuǎn)周期為T。已知月亮圍繞地球做圓周運動的軌道半徑為r，繞地公轉(zhuǎn)周期為t。月球、地球、太陽均可視為質(zhì)點。則（　　）
A．地球的質(zhì)量為
B．地球在點和點的速度之比
C．由開普勒第一定律可知，k為常數(shù)
D．相同時間內(nèi)，月球與地球的連線掃過的面積等于地球與太陽連線掃過的面積
14.宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空氣阻力不計)
(1) 求該星球表面附近的重力加速度g′；
(2) 已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星∶M地．

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