資源簡介

圓錐曲線（拋物線、橢圓與雙曲線）
一、選擇題
1．【金麗衢聯考·理】7．若雙曲線的一條漸近線方程為．則此雙曲線的離心率為 B
A． B． C． D．
2．【金麗衢聯考·文】3．若雙曲線的一條漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為 B
A． B． C．2 D．
3．【寧波市·理】7．已知是雙曲線的兩個焦點，是經過且垂直于實軸的弦，若是等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為 B
（A） （B） （C） （D）
4．【臺州市·理】8．已知拋物線的焦點是坐標原點，則以拋物線與坐標軸的三個交點為頂點的三角形的面積為 B
A．1 B．2 C．3 D．4
5．【臺州市·文】8．雙曲線的一條漸近線與橢圓交于點、，則=
A. + 　 B. C. D.
6．【溫州十校聯合·理】8、已知定點A（3，4），點P為拋物線y2=4x上一動點，點P到直線x=－1的距離為d，則|PA|+d的最小值為（ A ）學科網
A． B．2 C． D． 學科網
7．【溫州十校聯合·文】6．若雙曲線的兩個頂點三等分焦距，則該雙曲線的漸近線方程是（ ▲D ）學科網
A．　　 B．　C．　　 D．學科網
8．【溫州中學·理】7．設橢圓的離心率為，右焦點，方程的兩個實數根分別為，則點 （ A ）
必在圓外. 必在圓上.
必在圓內. 與的位置關系與有關.
9．【溫州中學·文】7. 設橢圓的離心率為，焦點在軸上且長軸長為26.若曲線上的點到橢圓的兩個焦點的距離的差的絕對值等于，則曲線的標準方程為( A )
A． B． C． D．
二、填空題
1．【嘉興市·理】17．（文科17）已知等邊三角形的一個頂點位于拋物線的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為 ▲2-或2+ ．
2．【嘉興市·文】13．已知橢圓中心在原點，一個焦點為(，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 ▲ ．
3．【嘉興市·文】17．己知等邊三角形的一個頂點位于拋物線的焦點，另外兩個頂點在拋物線上，則這個等邊三角形的邊長為 ▲2-或2+ ．
4．【金麗衢聯考·理】1l．（文科11）拋物線的焦點坐標為 （1，0） ．
5．【金麗衢聯考·理】17．（文科17）我們可以運用下面的原理解決一些相關圖形的面積問題：如果與一固定直線平行的直線被、甲、乙兩個封閉圖形所截得線段的比為定值，那么甲的面積是乙的面積的倍，你可以從給出的簡單圖形①（甲：大矩形、乙：小矩形）、②（甲：大直角三角形乙：小直角三角形）中體會這個原理，現在圖③中的曲線分別是與，運用上而的原理，圖③中橢圓的而積為 ．
6．【寧波市·文】12．若拋物線的焦點與雙曲線的左焦點重合,則的值 ▲4 .
7．【臺州市·理】13. 已知雙曲線的離心率e=2，則其漸近線
的方程為 ▲ .
8．【溫州十校聯合·文】13. 以拋物線的頂點為圓心，焦點到準線的距離為半徑的圓的方程是_▲_。學科網
三、計算題
1．【嘉興市·理】22．(本小題滿分15分)
如圖，F是橢圓(a>b>0)的一個焦點，A,B是橢圓的兩個頂點，橢圓的離心率為．點C在x軸上，BC⊥BF，B，C，F三點確定的圓M恰好與直線l1：相切．
（Ⅰ）求橢圓的方程：
（Ⅱ）過點A的直線l2與圓M交于PQ兩點，且，求直線l2的方程．
【解】 (1)F(-c，0)，B(0,)，∵kBF=，kBC=-，C(3c，0)
且圓M的方程為(x-c)2+y2=4c2，圓M與直線l1：x+u+3=0相切，
∴ ，解得c=1，
∴所求的橢圓方程為 6分
(2) 點A的坐標為(-2，0)，圓M的方程為(x-1)2+y2=4，
過點A斜率不存在的直線與圓不相交，設直線l2的方程為y=k(x+2)，
∵，又，∴cos=
∴∠PMQ=120°，圓心M到直線l2的距離d=，所以，∴k=
所求直線的方程為x×2+2=0． 15分
2．【金麗衢聯考·理】22．（本題滿分16分）
已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過、、三點．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點D為橢圓上不同于、的任意一點，，當內切圓的面積最大時。求內切圓圓心的坐標；
（3）若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上．
【解】 （1）設橢圓方程為
將、、代入橢圓E的方程，得
解得.
∴橢圓的方程 （4分）
（2），設邊上的高為
當點在橢圓的上頂點時，最大為，所以的最大值為．
設的內切圓的半徑為，因為的周長為定值6．所以，
所以的最大值為．所以內切圓圓心的坐標為 （10分）
（3）法一：將直線代入橢圓的方程并整理．
得．
設直線與橢圓的交點，
由根系數的關系，得．
直線的方程為：，它與直線的交點坐標為
同理可求得直線與直線的交點坐標為．
下面證明、兩點重合，即證明、兩點的縱坐標相等：
，
因此結論成立．
綜上可知．直線與直線的交點住直線上． （16分）
法二：直線的方程為：
由直線的方程為：，即
由直線與直線的方程消去，得


∴直線與直線的交點在直線上．
3．【金麗衢聯考·文】20．（本題滿分14分）
如圖，直角三角形的頂點坐標，直角頂點，頂點在軸上，點為線段的中點．
（1）求邊所在直線方程；
（2）為直角三角形外接圓的圓心，求圓的方程；
（3）若動圓過點且與圓內切，求動圓的圓心的軌跡方程．
【解】（1）∵，，∴，∴ （4分）
（2）在上式中，令，得，∴圓心
又∵，∴外接圓的方程為 （9分）
（3）∵，
∵圓過點，∴是該圓的半徑
又∵動圓與圓內切，∴，即
∴點的軌跡是以、為焦點，長軸長為3的橢圓，
∴，，，∴軌跡方程為 （14分）
4．【寧波市·理】21．（文科22）（本題15分）如圖，橢圓長軸端點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為，直線交橢圓于兩點，問：是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程;若不存在，請說明理由.
【解】（1）如圖建系，設橢圓方程為,則
又∵即
∴
故橢圓方程為 …………6分
（2）假設存在直線交橢圓于兩點，且恰為的垂心，則
設，∵，故， ……8分
于是設直線為 ，由得
…………………………………10分
∵ 又
得 即
由韋達定理得

解得或（舍） 經檢驗符合條件………15分
5．【臺州市·理】21.（本題滿分15分）如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經過點. 直線交橢圓于兩不同的點.

【解】
………………5分
6．【臺州市·文】21．（本小題滿分15分）設，點在軸上，點在 軸上，且
（1）當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；
（2）設是曲線上的點，且成等差數列，當的垂直平分線與軸交于點時，求點坐標.
【解】 （1）設，則由得為中點，所以
又得，，
所以（）. ………………6分
（2）由（1）知為曲線的焦點，由拋物線定義知，拋物線上任一點到 的距離等于其到準線的距離，即，
所以，
根據成等差數列，得， ………………10分
直線的斜率為，
所以中垂線方程為， ………………12分
又中點在直線上，代入上式得，即，
所以點. ………………15分
7．【溫州十校聯合·理】21、（文科22）（本小題滿分15分）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(-1, 0)、B(1, 0), 動點C滿足學科網
條件：△ABC的周長為2＋2.記動點C的軌跡為曲線W.學科網
(Ⅰ) 求W的方程；學科網
(Ⅱ) 經過點（0, ）且斜率為k的直線l與曲線W 有兩個不同的交點P和Q，求k學科網
的取值范圍；學科網
(Ⅲ)已知點M（，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的條件下，是否存在常數k，使得向量 學科網
與共線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．學科網
學科網
【解】
交點。
∴ 由定義知，動點C的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為的橢圓除去與x軸的兩個交點。
∴ 。 ∴
∴W：…………………………………………….5分
(Ⅱ) 設直線的方程為，代入橢圓的方程，得
整理，得 ① …………………………7分
因為直線與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于
，解得或。
∴ 滿足條件的k的取值范圍為或。
（Ⅲ）設P（x1,y1）,Q(x2,y2),則＝（x1+x2，y1+y2),
由①得. ②
又 ③
因為，， 所以.……………………… 12分
所以與共線等價于.
將②③代入上式，解得.
所以不存在常數k，使得向量與共線. ……………………15分
8．【溫州中學·理】21、（本題15分）已知點，直線，動點到點的距離等于點到直線的距離，動直線與直線交于動點，過且平行于軸的直線與動直線交于動點．
（Ⅰ）求證：動點在同一條曲線上運動；
（Ⅱ）曲線在X軸上方的點處的切線與直線交于點，
為線段的中點．
（ⅰ）求證：直線//軸；
（ⅱ）若直線平分，求直線的方程．
【解】


9．【溫州中學·文】22．（本小題滿分15分）已知點是平面上一動點，且滿足
（1）求點的軌跡對應的方程；
（2）已知點在曲線上，過點作曲線的兩條弦和，且，判斷：直線是否過定點？試證明你的結論.
【解】（1）設 （5分）
（6分）
（9分）
（11分）
（13分）
） (15分)

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