資源簡介

6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示3種常考題型歸類
高頻考點
題型1平面向量加法運算的坐標表示
題型2平面向量減法運算的坐標表示
題型3平面向量加、減法運算的坐標運算的綜合應用
解題策略
1、平面向量加、減運算的坐標表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
若點A坐標為(x1，y1)，點B坐標為(x2，y2)，O為坐標原點則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
2、平面向量坐標運算的技巧
(1)進行平面向量坐標運算前，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關系．
(2)在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的坐標運算法則進行計算．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2）．
在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結合思想的運用．
3、平面向量加、減法運算的坐標運算的綜合應用
1向量的坐標運算主要是利用加法、減法運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，要注意三角形法則及平行四邊形法則的應用.
2若是給出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.
考點精析
題型1平面向量加法運算的坐標表示
1．（2023下·陜西西安·高一階段練習）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高一專題練習）已知向量，，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）若，求
4．（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學校校聯(lián)考期中）已知P，Q分別為的邊，的中點，若，，則點C的坐標為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023下·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·山東日照·高一日照一中校考階段練習）已知點，，，則與向量同方向的單位向量為（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期中）已知一個物體在三個力，的作用下，處于靜止狀態(tài)，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·高一課時練習）設，，，若，則 ．
10．（2024上·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則 （ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考開學考試）已知向量．若，則實數(shù)（ ）
A．2 B．-2 C． D．
題型2平面向量減法運算的坐標表示
12．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·河南商丘·高一校考階段練習）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·全國·高一隨堂練習）已知向量、的坐標，求、的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
15．（2023·高一課前預習）設，，，，則與的坐標分別為
16．（2023下·全國·高一期中）已知點，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全國·高一隨堂練習）在中，AC為一條對角線．若，，則的坐標是多少？
18．（2023下·北京·高一北京市十一學校校考階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
題型3平面向量加、減法運算的坐標運算的綜合應用
19．（2023上·安徽安慶·高二安慶市第二中學校考階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，以，，為頂點構造平行四邊形，下列各點中不能作為平行四邊形頂點坐標的是（ ）
A． B． C． D．
20．【多選】（2023·高一課時練習）已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標為（　　）
A． B．
C． D．
21．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學校考期中）已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標及點C的坐標．

22．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知的三個頂點為，求頂點D的坐標．

23．【多選】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）在平面直角坐標系中，若點A(2，3)，B(-3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個單位向量分別為和，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023上·甘肅天水·高二天水市第一中學校考階段練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
25．（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xoy中，點A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為
26．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）某人向東偏北60°方向走50步，記為向量；向北偏西60°方向走100步，記為向量；向正北方向走200步，記為向量．假設每步的步長都相等，則向量可表示為（ ）
A． B． C． D．6.3.3 平面向量加、減運算的坐標表示3種常考題型歸類
高頻考點
題型1平面向量加法運算的坐標表示
題型2平面向量減法運算的坐標表示
題型3平面向量加、減法運算的坐標運算的綜合應用
解題策略
1、平面向量加、減運算的坐標表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和
向量減法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差
若點A坐標為(x1，y1)，點B坐標為(x2，y2)，O為坐標原點則＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
2、平面向量坐標運算的技巧
(1)進行平面向量坐標運算前，先要分清向量坐標與向量起點、終點的關系．
(2)在進行平面向量的坐標運算時，應先將平面向量用坐標的形式表示出來，再根據(jù)向量的坐標運算法則進行計算．
已知A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2–x1，y2–y1）．
已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2，y1+y2）．
在向量的運算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結合思想的運用．
3、平面向量加、減法運算的坐標運算的綜合應用
1向量的坐標運算主要是利用加法、減法運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，要注意三角形法則及平行四邊形法則的應用.
2若是給出向量的坐標，解題過程中要注意方程思想的運用及正確使用運算法則.
考點精析
題型1平面向量加法運算的坐標表示
1．（2023下·陜西西安·高一階段練習）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐標運算即可得解.
【詳解】因為，，
所以.
故選：D.
2．（2023·全國·高一專題練習）已知向量，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量的坐標運算即可求得結果.
【詳解】
故選：D.
3．（2023上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）若，求
【答案】
【分析】根據(jù)平面向量的坐標表示和加法法則計算出答案.
【詳解】，
.
4．（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量加法的坐標表示，求出的坐標
【詳解】.
故選：B.
5．（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學校校聯(lián)考期中）已知P，Q分別為的邊，的中點，若，，則點C的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量求出的坐標，進而求出點C的坐標.
【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點，，得，
點為坐標原點，，因此，
所以點C的坐標為.
故選：A
6．（2023下·浙江寧波·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，點，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設點，求出，再列出方程，即可得解.
【詳解】設點，
又因為，，
所以，
即，
所以，解得
所以點的坐標為.
故選：C.
7．（2023下·山東日照·高一日照一中校考階段練習）已知點，，，則與向量同方向的單位向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意寫出，則根據(jù)同方向單位向量的求法即可得到答案.
【詳解】由題得，，故，
故與其同方向的單位向量為，
故選：B.
8．（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期中）已知一個物體在三個力，的作用下，處于靜止狀態(tài)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意可知，設，代入求解即可.
【詳解】已知一個物體在三個力，的作用下，處于靜止狀態(tài)，
設，則，
即，解得，所以.
故選：A
9．（2023·高一課時練習）設，，，若，則 ．
【答案】
【分析】應用向量線性關系的坐標表示列方程組求參數(shù)x、y，即可得結果.
【詳解】由題設，
所以，即，故.
故答案為：
10．（2024上·北京西城·高一統(tǒng)考期末）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長均為1，則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，求出，，，四點坐標，利用坐標進行向量的坐標運算即可求解.
【詳解】
以點為坐標原點，水平方向為軸，豎直方向為軸建立平面直角坐標系，
在平面直角坐標系下，，,，，
所以,， ，．
故選：B
11．（2023下·河南洛陽·高三新安縣第一高級中學校考開學考試）已知向量．若，則實數(shù)（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐標運算和模的計算即可求解.
【詳解】解析：根據(jù)題意，向量，則，
則．
若，則有，
兩邊平方得到，再平方得到，
解得．
故選：．
題型2平面向量減法運算的坐標表示
12．（2024上·北京·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的坐標運算計算即可.
【詳解】,
.
故選：C.
13．（2023下·河南商丘·高一校考階段練習）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用向量坐標的減法公式，即可得到本題答案.
【詳解】因為，所以.
故選：D
14．（2023·全國·高一隨堂練習）已知向量、的坐標，求、的坐標．
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】（1）（2）（3）（4）利用平面向量加法與減法的坐標運算可得出向量、的坐標．
【詳解】（1）解：因為，，則，
.
（2）解：因為，，則，
.
（3）解：因為，，則，
.
（4）解：因為，，則，
.
15．（2023·高一課前預習）設，，，，則與的坐標分別為
【答案】(2，5)，(4，3)
【分析】先求出，，即可求出與.
【詳解】因為，，，，
所以，
所以=(2，5)，=(4，3).
故答案為：(2，5)，(4，3)
16．（2023下·全國·高一期中）已知點，向量，則向量＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計算出，進而得到.
【詳解】由已知，得到，
因為，所以
故選：A.
17．（2023·全國·高一隨堂練習）在中，AC為一條對角線．若，，則的坐標是多少？
【答案】
【分析】先求出，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出.
【詳解】
，，
，
.
18．（2023下·北京·高一北京市十一學校校考階段練習）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出向量的坐標，根據(jù)模的計算公式求得答案.
【詳解】因為，
所以,
因此，，
故選：.
題型3平面向量加、減法運算的坐標運算的綜合應用
19．（2023上·安徽安慶·高二安慶市第二中學校考階段練習）如圖所示，在平面直角坐標系中，以，，為頂點構造平行四邊形，下列各點中不能作為平行四邊形頂點坐標的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)平行四邊形的對稱性，利用中點坐標公式進行求解即可.
【詳解】設第四個頂點為，
當是對角線時，則有，
當是對角線時，則有，
當是對角線時，則有，
故選：A
20．【多選】（2023·高一課時練習）已知平面內(nèi)平行四邊形的三個頂點則第四個頂點的坐標為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】若構成的平行四邊形為，即為一條對角線，設，則由中點也是中點，利用線段的中點公式求得．
同理可求得，構成以為對角線的平行四邊形，和以為對角線的平行四邊形，對應的的坐標．
【詳解】若構成的平行四邊形為，即為一條對角線，
設，則由中點也是中點，可得，解得，
所以；
同理可得，若構成以為對角線的平行四邊形，則；
以為對角線的平行四邊形，則；
所以第四個頂點的坐標為可以為：或或．
故選：ABC．
21．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼和浩特市土默特中學校考期中）已知邊長為1的正方形ABCD中，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標及點C的坐標．

【答案】，，，．
【分析】根據(jù)題意，得，．由此結合三角函數(shù)的定義，算出點、兩點的坐標，進而可得到與的坐標．由向量相等即可求解.
【詳解】由題意，點在原點，與軸正半軸成,
可得，．
設，，，．
則，，，．
同理可得，，，．
，，，．
由于
22．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，已知的三個頂點為，求頂點D的坐標．

【答案】．
【分析】利用向量的線性運算的坐標表示求解．
【詳解】因為，
所以點D的坐標是．
23．【多選】（2023下·安徽合肥·高一合肥一中校考階段練習）在平面直角坐標系中，若點A(2，3)，B(-3，4)，如圖所示，x軸、y軸同方向上的兩個單位向量分別為和，則下列說法正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根據(jù)圖象，由平面向量的坐標運算求解.
【詳解】解：由圖知，，，故A正確，B不正確；
，，故C正確，D不正確．
故選：AC
24．（2023上·甘肅天水·高二天水市第一中學校考階段練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，向量，滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以為軸，為軸建立坐標系，求出各點坐標即可判斷選項．
【詳解】以為軸，為軸建立坐標系，則，．
，，，．
．
令．得到，，，．
解得，．所以．
故選：．
25．（2023下·江蘇南京·高一統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xoy中，點A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為
【答案】
【分析】根據(jù)A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，得到，然后利用向量的加法和減法運算法則求解.
【詳解】解：因為A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，
所以，
所以，
則，
所以 以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為，
故答案為：
26．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一統(tǒng)考期末）某人向東偏北60°方向走50步，記為向量；向北偏西60°方向走100步，記為向量；向正北方向走200步，記為向量．假設每步的步長都相等，則向量可表示為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算求解即可.
【詳解】如圖，由步為單位長度，建立平面直角坐標系，
則，，，
由可得，解得，
所以，
故選：A

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