資源簡介

2.1等式性質與不等式性質【第二練】
2.1等式性質與不等式性質【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.利用差比較法比較大小，培養數學運算，如第2題；
2.能利用等式性質與不等式性質進行解題，鍛煉邏輯推理能力，如第1題.
3.能利用等式性質與不等式性質解決實際問題，培養建模能力，如第11題.
（2023秋·河北石家莊·高一石家莊市第二十四中學?？茧A段練習）
1．已知，下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
（2023秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級中學校?？茧A段練習）
2．設，，則（ ）
A． B． C． D．不確定
（2023秋·北京·高一北京市第六十六中學?？茧A段練習）
3．有以下四個條件：①；②；③；④．其中能使成立的條件個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
（2023秋·江蘇鎮江·高一江蘇省鎮江第一中學校聯考階段練習）
4．已知是實數，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件
（2023秋·上海浦東新·高一上海市建平中學?？茧A段練習）
5．已知a，b，，則“”的必要不充分條件可以是下列的選項（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·吉林長春·高一?？茧A段練習）
6．若，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·寧夏銀川·高一銀川唐徠回民中學?？茧A段練習）
7．已知，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·湖南長沙·高一?？茧A段練習）
8．已知a，b，c是實數，下列說法正確的有（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若且，則 D．若，則
（2023秋·浙江嘉興·高一浙江省海鹽高級中學?？茧A段練習）
9．已知，則按從小到大的順序排列是 .
（2023秋·河北石家莊·高一石家莊二中?？茧A段練習）
10．已知，則的取值范圍 ．
11．某學習小組，調查鮮花市場價格得知，購買2支玫瑰與1支康乃馨所需費用之和大于8元，而購買4支玫瑰與5支康乃馨所需費用之和小于22元.設購買2支玫瑰花所需費用為A元，購買3支康乃馨所需費用為B元，則A、B的大小關系是
（2023·上海·高一專題練習）
12．（1）已知，求證：；
（2）已知，求證：
（3）已知，求證：
（2023秋·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學?？茧A段練習）
13．（1）已知命題．若命題為假命題時，求實數的取值范圍；
（2）已知實數，試比較的大小．
【易錯題目】第9題，第11題.
【復盤要點】用錯不等式的性質
典例 （2022秋·山東棗莊·高一棗莊市第三中學?？计谥校┤簦瑒t下列命題中正確的是（ ）
A．若且，則 B．若且，則
C．若且，則 D．若，則
【答案】C
【分析】根據不等式的性質，以及作差法，比較大小.
【詳解】A.由條件且可知，，但是不確定的情況，當時，，故A錯誤；
B. ，因為，，所以，
即，則，故B錯誤；
C.若，則，，所以，故C正確；
D. 若，則，則，故D錯誤.
故選：C
【復盤訓練】
（2023秋·遼寧·高一校聯考階段練習）
14．對于任意實數，下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
（2023秋·云南·高一?？茧A段練習）
15．已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·四川雅安·高一四川省漢源縣第一中學校聯考階段練習）
16．(多選)十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“”作為等號使用，后來英國數學家哈利奧特首次使用“”和“”符號表示不等關系，并逐步被數學界接受，不等號的引入對不等式的發展影響深遠，下列命題為真命題的是（ ）.
A．若，則
B．若，則
C．如果，那么
D．，則
（2023秋·山東聊城·高一山東聊城一中?？茧A段練習）
17．下列命題正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，則
C．若命題：至少有一個實數，使，則是真命題
D．已知為實數，則“且”是“”的充分不必要條件
（2023秋·河北張家口·高二校聯考階段練習）
18．若且，則的最大值是 .
（2023秋·廣西南寧·高一南寧三中?？茧A段練習）
19．（1）當時，比較與的大??；
（2）當時，求證：．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】取特例或特殊情況可判斷ABD，根據不等式性質可判斷C.
【詳解】對于A，當時，，A錯誤；
對于B，當時，，B錯誤；
對于C，由，得，即成立，C正確；
對于D，當時，，D錯誤.
故選：C
2．A
【分析】運用作差法比較大小即可.
【詳解】因為，所以.
故選：A.
3．D
【分析】由不等式的性質判斷各條件是否有成立即可.
【詳解】①，則成立；
②，則成立；
③，則不成立；
④，則成立；
故選：D
4．C
【分析】利用充分、必要條件的定義即可判斷.
【詳解】由得不到，如，故充分性不成立，
反之，由可以得到，故必要性成立，
則“”是“”的必要不充分條件.
故選:C.
5．C
【分析】利用不等式性質進行推導，結合取值驗證可得.
【詳解】A選項：取，滿足，但，所以不是的必要條件，A錯誤；
B選項：若，，則，所以不是的必要條件，B錯誤；
C選項：若，，則，若，則，則有，所以，是的必要條件；
取，顯然滿足，但，所以不是的充分條件.
綜上，是的必要不充分條件，C正確；
D選項：取，顯然滿足，但，所以不是的充分條件，D錯誤.
故選：C
6．B
【分析】利用不等式的性質求解.
【詳解】∵，∴，，
又，∴，
故選：B.
7．CD
【分析】利用不等式的性質，計算各選項中的結果進行判斷.
【詳解】對于A，，
當時，；當，；
當，，，；
所以，A選項錯誤；
對于B， ，當時，，B選項錯誤；
對于C，當時，；當，；
當，，，；
所以，C選項正確；
對于D，，則，，則，
所以，D選項正確.
故選：CD
8．BD
【分析】根據不等式的基本性質，以及作差比較法，逐項判定，即可求解.
【詳解】A中，由，因為，可得，但的符號不確定，所以A錯誤；
B中，由，可得，因為，根據不等式的性質，可得，所以B正確；
C中，例如：當，且，此時，所以C錯誤；
D中，由，
因為，可得，所以，
即，所以，所以D正確.
故選：BD.
9．
【分析】根據不等性質直接比較大小.
【詳解】由，
得，且，
所以.
故答案為：
10．
【分析】將用表示，再利用不等式性質求解即得.
【詳解】依題意，，而，則，又，
因此，所以的取值范圍是.
故答案為：
11．A>B
【分析】設每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，則，
由題意可得：，代入可得：，根據不等式性質，聯立即可得解.
【詳解】設每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，
則，
由題意可得：，
代入可得：，
根據不等式性質可得：，
而，可得,
故，
故答案為：.
【點睛】本題考查了利用不等式解決實際問題，考查了不等式性質，同時考查了轉化思想和計算能力，屬于中檔題.
12．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【分析】根據不等式的基本性質，逐項推理、運算，即可求解.
【詳解】（1）因為，可得，所以，
又因為，可得.
（2）因為，所以，
又因為，所以，可得，
因為，根據不等式的性質，可得，即以.
（3）因為，要證，只需證明，
展開得，即，即，
又因為，所以.
13．（1）；（2）
【分析】（1）依題意，方程沒有實數根，利用判別式求解；
（2）作差法比較大小.
【詳解】（1）命題，
若命題為假命題時，則有，
即方程沒有實數根，，解得，
所以實數的取值范圍為.
（2）已知實數，
則，
所以.
14．D
【分析】根據不等式的性質即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A, 不能得到，比如，故錯誤，
對于B，若，不能得到，比如，故錯誤，
對于C，若，不能得到，比如，故錯誤，
對于D，因為，所以，故正確，
故選：D
15．A
【分析】運用不等式的性質即可求得結果.
【詳解】因為，所以，
又因為，
所以.即的取值范圍為.
故選：A.
16．BCD
【分析】根據不等性質及作差法分別判斷各選項.
【詳解】A選項：，，無法判斷正負，A選項錯誤；
B選項：，，所以，B選項正確；
C選項：，，即，C選項正確；
D選項：，，即，D選項正確；
故選：BCD.
17．ABD
【分析】根據作差法計算即可判斷A；由不等式的性質即可判斷B；寫出命題，舉例說明即可判斷C；根據不等式的性質和 、必要條件的概念即可判斷D.
【詳解】A：，
即，故A正確；
B：由，得，故B正確；
C：，而當時，，故C錯誤；
D：因為，所以.
又，所以兩邊同時乘，得，即.
若，則，也可能且，
所以“且”是“”的充分不必要條件，故D正確.
故選：ABD.
18．5
【分析】根據，結合不等式的性質求解即可.
【詳解】由題意，，故，
即時的最大值是5.
故答案為：5
19．（1）見解析；（2）見解析；
【分析】（1）由作差法比較大小；
（2）由作差法即可證明.
【詳解】（1），
若，，所以，
若，，所以，
綜上：若，；若，.
（2）由于，
因為，所以，，，
所以，所以.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁2.1等式性質與不等式性質【第二課】
2.1等式性質與不等式性質【第二課】
題型一: 比較代數式的大小
例1.（1）已知，，試比較與的大小．
（2）已知且，試比較與的大小．
（3）設，比較與的大?。?br/>（1）兩代數式作差得．
∵，，∴，
∴．
（2）兩代數式作差得．
①當時，，∴．
②當，且時，，∴．
③當時，，∴．
綜上，當時，；當，且時，；當時，．
（3）∵，∴，，∴，，
兩式作商得，∴．
【方法總結】比較大小的四種常用方法
（1）作差法：
①作差：對要比較大小的兩個代數式作差．
②變形：對差進行變形，常用變形手段有因式分解、配方、有理化、通分等．
③判斷差的符號：結合變形的結果及題設條件判斷差的符號．
④得出結論．
（2）作商法：直接作商與1比較大小，注意兩式的符號．
（3）不等式的性質法．
（4）特殊值排除法：可以多次取特殊值，根據特殊值比較大小，從而得出結論．
【變式訓練1-1】
1．已知，試比較與的大小.
【變式訓練1-2】
（2023秋·上海浦東新·高一上海市進才中學?？茧A段練習）
2．（1）已知，比較與的大小；
（2）設x，y是不全為零的實數，試比較與的大小，并說明理由．
【變式訓練1-3】
（2023秋·上海浦東新·高一上海南匯中學校考階段練習）
3．解決下列問題：
(1)已知，設，.比較與的大?。?br/>(2)已知，，，求證：.
題型2：利用不等式的性質求取值范圍
例2
（1）已知，，求與的取值范圍；
（2）已知，，求的取值范圍；
（3）已知，，求的取值范圍．
【解】（1）∵，，∴，，
∴．∵，∴．
又，∴，即．
∴的取值范圍是，的取值范圍是．
（2）∵，∴．
又，∴，即．
∴的取值范圍是．
（3）∵，∴．
①當時，；
②當時，．
由①②得，
即的取值范圍是．
【方法總結】（1）同向不等式具有可加性及同向同正不等可乘性，但是不能相減或相除，應用時，要充分利用所給條件進行適當變形來求范圍，注意變形的等價性．
（2）不等式兩邊同乘一個正數，不等號方向不變；不等式兩邊同乘一個負數，不等號方向改變，求解中，應明確所乘數的正負．
【變式訓練2-1】
[浙江寧波2023高一期中]
4．已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-2】
[湖南長沙市實驗中學2022高一期中]
5．已知-3【變式訓練2-3】
6．已知30＜x＜42，16＜y＜24，分別求下列范圍.
(1)x＋y
(2)x－3y
(3)．
題型3 利用待定系數法求取值范圍
例3[河南名校聯盟2023高一期中]已知實數x，y滿足，，則的取值范圍為______．
【答案】
設，則
解得所以．
因為，所以，
因為，所以，
所以．
故的取值范圍為．
【方法總結】已知兩個關于a，b線性關系的代數式的取值范圍，而求另一個關于a，b線性關系的代數式的取值范圍的方法：根據條件，確定（p，q，r，s，，，，，，均攤為實數）的取值范圍時，首先采用待定系數法，令，然后通過對應系數的關系建立方程組求得λ和μ的值，進而求出的取值范圍．
【變式訓練3-1】
7．已知實數，滿足，，則的最大值是 .
【變式訓練3-2】
[山東聊城2023高一期中]
8．若，，，則的取值范圍為 ．
題型四:不等式性質的綜合應用
例4. （2023秋·湖北·高一校聯考階段練習）（多選題）若，，，，下列不等式一定成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】對于A，可得為，，即可判定；對于B，利用作差法判定；對于C，可得，，即可判定；對于D，利用作差法判定．
對于A，因為，所以，所以，故A正確；
對于B，，因為，
所以，，故，所以，故B正確；
對于C，因為，所以，，
則，可得，
所以，故C正確；
對于D，，因為，所以，但分母符號不確定，故D錯誤；
故選:ABC．
【方法總結】利用不等式性質可以求某些代數式的取值范圍，應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值范圍，解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關系，最后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.
【變式訓練4-1】
（2023秋·廣西河池·高一校聯考階段練習）
9．下列命題中為真命題的是（ ）
A．若，則
B．集合與集合表示同一集合
C．若，則
D．
【變式訓練4-2】
（2023秋·浙江金華·高一浙江金華第一中學?？茧A段練習）
10．（1）已知，，試比較與的大小并證明；
（2）如果x，，比較與的大小并證明.
題型五: 利用不等式性質解決實際問題
例5.甲、乙兩人同時從A地出發沿同一路線走到B地，所用時間分別為，．甲有一半的時間以m m/s的速度行走，另一半的時間以n m/s的速度行走；乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，且．
（1）請用含m，n的代數式表示甲、乙兩人所用的時間和；
（2）比較與的大小，并判斷甲、乙兩人誰先到達B地．
【答案】（1）；.
（2），甲先到達B地．
【分析】（1）分別根據兩人的運動情況表述出所需時間；
（2）利用作差法比較大小即可得到結論.
（1）設A地到B地的路程為，
因為甲有一半的時間以m m/s的速度行走，另一半的時間以n m/s的速度行走，
所以，所以，
因為乙有一半的路程以m m/s的速度行走，另一半的路程以n m/s的速度行走，
所以，
（2）
因為，所以，因為
所以
所以，所以甲先到達B地．
【提醒】1.根據實際問題列不等式（組）的關鍵是通過分析找出問題中的不等關系，并確定不等號，然后寫出不等號兩邊的代數式.
2.根據實際問題列出不等式（組），應從是否符合實際意義出發，而不能拘于某一種形式.
【變式訓練5-1】
11．一個盒子中紅、白、黑三種球分別為x個、y個、z個，黑球個數至少是白球個數的一半，至多是紅球個數的 ，白球與黑球的個數之和至少為55，試用不等式（組）將題中的不等關系表示出來.
【變式訓練5-2】
12．為打造“書香校園”，某學校計劃用不超過1900本科技類書籍和1620本人文類書籍組建中、小型兩類圖書角共30個．已知組建一個中型圖書角需科技類書籍80本，人文類書籍50本；組建一個小型圖書角需科技類書籍30本，人文類書籍60本．設組建中型圖書角x個，用不等式組將題目中的不等關系表示出來，并求有哪些符合題意的組建方案．
易錯點: 求取值范圍時，盡量避免多次使用不具有可逆性的條件，要使用整體代換的思想解決問題．
例. 已知－≤α<β≤，求，的范圍．
∵－≤α<β≤，
∴－≤<，－<≤.兩式相加，得－<<.
∵－<≤，∴－≤－<，∴－≤<.
又∵α<β，∴<0.∴－≤<0.
易錯警示: 求取值范圍的問題要注意解題方法是否符合不等式的性質，是否使范圍擴大或縮?。?br/>針對訓練1-1:
（2023秋·河北石家莊·高一石家莊市第九中學校考階段練習）
13．已知，則的取值范圍 ．
針對訓練1-2:
（2023秋·四川成都·高一四川省成都列五中學?？茧A段練習）
14．若實數、滿足：，則下列敘述正確的是（ ）
A．的取值范圍是 B．的取值范圍是
C．的范圍是 D．的范圍是
針對訓練1-3:
[北京海淀區2023高一段考]
15．已知對于實數，，滿足，，則的最大值為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據題意，利用作差比較法，即可求解.
【詳解】由，
因為，，可得，
所以.
2．（1）；（2）
【分析】作差法比較大小.
【詳解】（1），所以
（2），
當時，，即，
當時，，即，
當時，，即，
故
3．(1)
(2)證明過程見解析
【分析】（1）利用作差法進行求解即可；
（2）利用作差法，結合不等式的性質進行證明即可
【詳解】（1）；
（2），
因為，所以，
因為，所以，
因為，所以.
4．B
【分析】由不等式得性質可得，再根據不等式的性質可得，從而得的取值范圍.
【詳解】因為，所以，則有，
將不等式的兩邊同時乘，可得，
所以.
故選：B．
5．-18<2a+3b<-5， 0【分析】利用不等式性質直接求解范圍即可
【詳解】∵-3∴-6+（-12）<2a+3b<4+（-9），∴-18<2a+3b<-5.
又∵-4∴0故2a+3b的取值范圍為-18<2a+3b<-5，a-b的取值范圍為06．(1)46＜x＋y＜66
(2)－42＜x－3y＜－6.
(3).
【分析】（1）直接根據不等式基本性質的同向可加性可求解.
（2）先求得的范圍，再根據同向可加性求解.
（3）根據第（2）小問的范圍結合反比例函數性質求得的范圍，再根據同向可乘性即可求解.
【詳解】（1）因為30＜x＜42，16＜y＜24，所以30＋16＜x＋y＜42＋24，故46＜x＋y＜66.
（2）因為30＜x＜42，－72＜－3y＜－48，所以30－72＜x－3y＜42－48，
故－42＜x－3y＜－6.
（3）因為30＜x＜42，－42＜x－3y＜－6，所以,
所以,所以,故.
7．
【解析】直接用，表示出，然后由不等式性質得出結論．
【詳解】解：令，
解得：，，
又，，
，
即的最大值是.
故答案為：.
8．
【分析】將用和表示，利用不等式的同向可加性，求出的范圍.
【詳解】設，則，
解得，所以，
因為，，所以，，
所以.
故答案為：.
9．ACD
【分析】根據不等式性質可判斷A；根據集合的描述法結合集合含義可判斷B；結合作差法可判斷C；根據全稱命題的真假判斷可判斷D.
【詳解】對于項，若，根據不等式的性質可知，所以選項正確；
對于項，由描述法的概念可知集合與集合分別表示點的集合與數的集合，
顯然不表示同一集合，故B錯誤；
對于選項，若，則，即，故C正確；
對于D項，，故D正確，
故應選：ACD.
10．（1），證明見解析；（2），證明見解析.
【分析】（1）（2）應用作差法比較代數式的大小關系即可.
【詳解】（1），證明如下：
，
若，則，故，即；
若，則；
若，則，故，即；
綜上，.
（2），證明如下：
，
當且僅當時等號成立，故.
11．
【分析】由題意根據題中給的不等關系直接轉換成相應的不等式組，注意球的個數應為自然數，由此即可得解.
【詳解】由題意黑球個數至少是白球個數的一半，且至多是紅球個數的 ，所以，
又因為白球與黑球的個數之和至少為55，所以，
而注意到球的個數應為自然數，
故滿足題意的不等關系為.
12．答案見解析
【分析】由題意得到不等式組，可求x，進而可求出滿足題意的方案．
【詳解】由題意得，
解得，
故，
所以有三組組建方案：
方案一：組建中型圖書角18個，小型圖書角12個；
方案二：組建中型圖書角19個，小型圖書角11個；
方案三：組建中型圖書角20個，小型圖書角10個．
13．
【分析】將用表示，再利用不等式性質求解即得.
【詳解】依題意，，而，則，又，
因此，所以的取值范圍是.
故答案為：
14．ABC
【分析】利用不等式的基本性質求出各選項中代數式的范圍，即可得出合適的選項.
【詳解】因為實數、滿足：，由不等式的可加性可得，解得，A對；
由題意可得，由不等式的可加性可得，解得，B對；
設，則，解得，
所以，，
因為，由不等式的可加性可得，C對D錯.
故選：ABC.
15．7
【分析】由題意可得，，且，利用不等式的性質即可求解
【詳解】由，可得，，
因為，，
所以，故，則的最大值為7，
故答案為：7
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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