資源簡介

2.1等式性質與不等式性質【第一課】
2.1等式性質與不等式性質【第一課】
【課標要求】
1.能用不等式（組）表示實際問題的不等關系.
2.初步學會作差法比較兩個實數的大小.
3.掌握不等式的基本性質.
4.運用不等式的性質解決有關問題.
【明確任務】
1.能用不等式（組）表示實際問題的不等關系.（數學建模）.
2.會用作差法比較兩個實數的大小（數學運算）．
3.運用不等式的性質解決有關問題（邏輯推理）.
1.含有等號的式子叫做等式.
2.等式的性質
等式的性質
性質1：．
性質2：，．
性質3：．
性質4：．
性質5：，．
3.一般地， a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立.
核心知識點1: “不等關系”與“不等式”的關系
不等式的概念
我們用數學符號“”“”“”“”或“”連接兩個數或兩個代數式，以表示它們之間的不等關系．含有這些不等號的式子叫做不等式．
文字語言與數學符號間的常見轉換如下：
文字語言 數學符號 文字語言 數學符號
大小 至多
小于 至少
大于或等于 不少于
小于或等于 不多于
解讀：
1.不等關系強調的是關系，可用符號“”“”“”“”“”表示，而不等式則表示的是兩者的不等關系，可用“”“”“”“”“”等式子表示．
2.用不等式表示不等關系時要注意以下兩點：
①要恰當地進行語言的轉換，即自然語言、符號語言、圖形語言之間的轉換．
②要準確地使用不等號，同時要注意實際情境對表示變量的字母的取值范圍的限制．
例1.某高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為120 km/h.行駛過程中，同一車道上的車間距d不得小于10 m，用不等式表示（　　）
A．v≤120（km/h）或d≥10 （m）
B.
C．v≤120（km/h）
D．d≥10（m）
【答案】B
最大限速與車距是同時的，故選B.
歸納總結:用不等式（組）表示不等關系的步驟：
①審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語：至多、至少、大于等．
②適當地設未知數表示變量．
③用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式．
【舉一反三】
1．某汽車公司因發展需要，需購進一批汽車，計劃使用不超過1 000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的型汽車和型汽車，根據需要，型汽車至少買5輛，型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關系的不等式（組）.
核心知識點2 實數a，b大小的比較
實數可以用數軸上的點表示，數軸上的每個點都表示一個實數，且右邊的點表示的實數總比左邊的點表示的實數大，所以實數可以比較大小，如下表所示：
文字語言 符號表示
如果，那么是正數；如果，那么等于零； 如果，那么是負數． 反之亦然 ；
應用
（1）比較兩個實數a，b的大小，一般用作差法，其實質是判定的值與0的大小關系．作差法是證明不等式的基本方法，0是正數與負數的分界點，它為實數比較大小提供了“標桿”．
（2）對同號的兩數比較大小可用作商法，其實質是判定的值與1的大小關系．
求甚解
“”是等價符號，右邊的式子反映了實數的運算性質，左邊的式子反映的是實數的大小順序，二者結合起來就是實數的運算性質與大小順序之間的關系．
例2.（2023秋·河北保定·高一保定市第三中學校考階段練習）設，，則有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作差法比較大小即可.
，
，
故選：A
歸納總結 作差法比較兩個實數（代數式）大小的步驟
第一步：作差并變形，其目標是應容易判斷差的符號.
變形有兩種情形：
①將差式進行因式分解轉化為幾個因式相乘.
②將差式通過配方轉化為幾個非負數之和，然后判斷.
第二步：判斷差值與零的大小關系.
第三步：得出結論.
【舉一反三】
2．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關系是 ．
核心知識點3 不等式的性質
性質1（對稱性）：．
性質2（傳遞性）：，．
性質3（可加性）：．
推論（移項法則）：．
性質4（可乘性）：；．
性質5（同向可加性）：．
性質6（同向同正可乘性）：．
性質7（正數乘方性）：．
推論（正數開方性）：．
解讀：
1.在使用不等式的性質時，一定要搞清它們成立的前提，不可強化或弱化成立的條件．例如：
①在應用傳遞性時，如果兩個不等式中有一個帶等號而另一個不帶等號，那么等號是傳遞不過去的，如，，．
②在乘法法則中，要特別注意“乘數c的符號”．如，當時，有；若無這個條件，則就是錯誤結論（因為當時，）．
2.性質3說明不等式的兩邊都加上同一個實數，所得的不等式與原不等式同向，性質3是不等式移項法則的基礎．不等式中任何一項改變符號后，可以把它從不等號的一邊移到另一邊．
3.性質4證明過程中的關鍵步驟是根據“同號相乘得正，異號相乘得負”的法則來完成的．一定要注意性質4中c的符號，因為c的符號不同，結論恰好相反．性質4中的a，b可以是實數，也可以是式子．
4.性質5中，同向不等式可相加，但不能相減，即由，，可以得出，但不能得出．
5.性質6是同向不等式相乘法則的依據，可以推廣到任意有限個同向不等式兩邊分別相乘，即若，，…，，，則．
6.不等式的性質中，對表達不等式性質的各不等式，要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，即符號“”表示等價關系，可以互相推出；而符號“”只能從左邊推右邊，即該性質不具備可逆性．尤其在證明不等式時，要注意是否可逆．
例3.（2023秋·江蘇徐州·高一徐州市第七中學校考階段練習）對于實數a，b，c，下列命題中正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【分析】根據不等式性質判斷A，C；舉反例判斷B；利用作差法判斷代數式大小關系，判斷D.
對于A，當時，，A錯誤；
對于B，取，則，B錯誤；
對于C，，則，
則，C錯誤；
對于D，，則，
故，即，D正確，
故選：D
歸納總結:
（1）直接利用不等式的性質逐個驗證，要特別注意前提條件；
（2）利用特殊值排除法.
【舉一反三】
（2023秋·湖南·高一衡陽縣第一中學校聯考階段練習）
3．若，則下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如果，那么下列不等式中正確的是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·福建三明·高一校考階段練習）
5．已知，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·遼寧大連·高一大連八中校考階段練習）
6．給出下列四個選項，其中能成為的充分條件是（ ）
A． B． C． D．
7．（多選）下面列出的幾種不等關系中，正確的為（ ）
A．x與2的和是非負數，可表示為“”
B．小明的身高為x，小華的身高為y，則小明比小華矮可表示為“”
C．的兩邊之和大于第三邊，記三邊分別為a，b，c，則可表示為“且且”
D．若某天的最低溫度為7℃，最高溫度為13℃，則這天的溫度t可表示為“”
（2023秋·河北石家莊·高一河北師范大學附屬中學校考階段練習）
8．比較大小： （用“>”或“<”符號填空）．
9．若，則與的大小關系為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】設購買型汽車和型汽車分別為輛，輛，再根據題意列出不等式組即可.
【詳解】設購買型汽車和型汽車分別為輛，輛，
根據題意可得.
2．x＜y
【分析】利用作差法即可容易比較出兩個代數式的大小關系.
【詳解】因為x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，
∴x＜y.
故答案為：.
【點睛】本題考查利用作差法比較代數式的大小關系，屬簡單題.
3．C
【分析】代入特殊值以及不等式的性質即可求解.
【詳解】當，，時，滿足，不滿足，故A錯誤；
當，，時，滿足，不滿足，故B錯誤；
因為，所以，因為，所以，
所以，故C正確；
當，，時，滿足，不滿足，故D錯誤.
故選：C.
4．A
【解析】根據不等式的性質判斷各選項．
【詳解】由于，B中無意義，B錯；
時，，C，D均錯．
只有正確，．
故選：A．
【點睛】本題考查不等式的性質，掌握不等式的性質是解題關鍵，在應用不等式性質時，一定要注意不等式成立的條件，否則易出錯．
5．D
【分析】由題意求出，，根據不等式性質即可求得答案.
【詳解】因為，所以，，
故，
故選：D
6．D
【分析】根據不等式的性質確定推出關系即可得到結果.
【詳解】對于A，若，則，，充分性不成立，A錯誤；
對于B，若，則當時，，充分性不成立，B錯誤；
對于C，取，滿足，但，則充分性不成立，C錯誤；
對于D，若，則，充分性成立，D正確.
故選：D.
7．CD
【分析】由不等關系求解.
【詳解】A.x與2的和是非負數，應表示為“”，故錯誤；
B.小明比小華矮，應表示為“”，故錯誤；
C.，D正確．
故選：CD．
8．
【分析】根據不等式的性質轉化為比較與的大小關系，即可求解.
【詳解】要比較與的大小關系，即比較與的大小關系，
，
即，
所以.
故答案為：
9．
【解析】利用“作差比較法”，結合不等式的基本性質，即可求解.
【詳解】因為，可得，所以，
所以.
故答案為：.
【點睛】本題主要考查了不等式的性質，以及作差比較法的應用，其中解答中利用“作差比較法”，結合不等式的基本性質求解是解答的關鍵，屬于基礎題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑