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2.2基本不等式【第一課】
2.2基本不等式【第一課】
【課標要求】
1.掌握基本不等式
2.能靈活應用基本不等式解決一些證明、比較大小問題.
3.進一步熟練掌握基本不等式，能夠通過拼湊、變形等利用基本不等式求最值.
4.能夠利用基本不等式解決實際問題.
【明確任務】
1.能靈活應用基本不等式解決一些證明、比較大小問題(邏輯推理).
2.進一步熟練掌握基本不等式，能夠通過拼湊、變形等利用基本不等式求最值(邏輯推理).
3.能夠利用基本不等式解決實際問題(數學建模).
1．實數大小順序與運算性質之間的關系
a－b>0 a>b；a－b＝0 a＝b；a－b<0 a2．不等式的基本性質
(1)對稱性：a＞b b＜a.
(2)傳遞性：a＞b，b＞c a＞c．
(3)可加性：a＞b a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d a＋c＞b＋d.
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac＞bc，
a＞b＞0，c＞d＞0 ac＞bd.
(5)可乘方：a＞b＞0 an＞bn(n∈N，n≥1)．
(6)可開方：a＞b＞0 ．
核心知識點1: 基本不等式
1．基本不等式
，，有，當且僅當時，等號成立．
特別地，如果，，我們用，分別代替中的a，b，可得，（1）當且僅當時，等號成立．
通常稱不等式（1）為基本不等式．其中，叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數．
基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．
基本不等式成立的條件是，．
解讀：（1）不等式與基本不等式的異同：
不等式
適用范圍 a， ，
文字敘述 兩數的平方和不小于它們積的2倍 兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數
等號成立的條件
（2）基本不等式的實質是實數平方的非負性．
（3）不等式中a，b的取值可以是具體的數，也可以是代數式．
（4）對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：
①成立的條件是a，b都是正數．
②“當且僅當”的含義：當時，等號成立：僅當時，等號成立．
例1.（2023秋·北京延慶·高三北京市延慶區第一中學校考階段練習）設，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，可得，A錯；利用作差法判斷B錯；利用基本不等式可得C正確；由，而，可得D錯．
【詳解】，，故A錯；
，，即，可得，，故B錯；
，，且，則，故C正確；
，，而，則，故D錯.
故選：C
歸納總結: 利用基本不等式比較實數大小的注意事項
(1)利用基本不等式比較大小，常常要注意觀察其形式(和與積).
(2)利用基本不等式時，一定要注意條件是否滿足a>0，b>0.
【舉一反三】
1．若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例2.（2023秋·四川成都·高一四川省成都列五中學校考階段練習）已知，則的最大值為（ ）
A．8 B．16 C．2 D．4
【答案】D
【分析】根據基本不等式得到最值.
【詳解】因為，所以，，
故，當且僅當，即時，等號成立，
故的最大值為4.
故選：D
歸納總結 在利用基本不等式求最值時要注意三點
一是各項均為正；二是尋求定值，求和式最小值時應使積為定值，求積式最大值時應使和為定值(恰當變形，合理拆分項或配湊因式是常用的解題技巧)；三是考慮等號成立的條件是否具備.
【舉一反三】
（2023秋·天津河東·高一校考階段練習）
2．已知（，），則的最小值是（ ）
A．1 B．30 C．60 D．15
核心知識點2：基本不等式的幾何意義
解讀：基本不等式的幾何意義
（1）將基本不等式兩邊平方得．若矩形的長和寬分別為a和b，則面積為ab．可以看成與矩形周長相等的正方形的面積，故幾何意義為所有周長一定的矩形中，正方形面積最大．
（2）如圖所示的半圓中，AB為直徑，點O為圓心．
已知，，D為半圓上一點，
且，
則，，
故幾何意義為一個圓的半弦不大于半徑．
例3.（2023秋·湖南長沙·高一長沙市實驗中學校考階段練習）我國明朝科學家徐光啟在他的《幾何原本》中，首創使用幾何方法研究代數問題，后來這一方法“幾何代數法”成了西方數學家處理問題的重要依據．運用這個方法，很多代數公式、定理都能夠通過圖形實現證明，數學上稱之為“無字證明”．設，，稱為a，b的調和平均數；為a，b的幾何平均數；為a，b的算術平均數；為a，b的平方平均數．如圖所示，AB是半圓O的直徑，點C是AB上一點，點D在半圓O上，且，于點E，過點O作AB的垂線，交半圓于F，連結CF，設，．
(1)求線段DE與CF長度；
(2)證明：．
【答案】(1)，；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定的幾何圖形，利用勾股定理及相似三角形性質計算即得.
（2）利用（1）的結論，結合圖形中線段在大小關系推理得解.
【詳解】（1）依題意，不妨令，
，，
由，得，即，
由，得，則，因此，
由，得，，
所以，.
（2）由（1）知，，，，，，
觀察圖形知，，當且僅當點與重合時取等號，
因此，當且僅當時取等號，
所以.
歸納總結設，，稱為a，b的調和平均數；為a，b的幾何平均數；為a，b的算術平均數；為a，b的平方平均數．熟記這個結論.
【舉一反三】
（2022·上海·高一專題練習）
3．三國時期趙爽在《勾股方圓圖注》中對勾股定理的證明可用現代數學表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為“（ ）”的幾何解釋.
A．如果，那么
B．如果，那么
C．對任意實數和，有，當且僅當時等號成立
D．對任意正實數和，有，當且僅當時等號成立
（2023秋·廣東惠州·高一校考階段練習）
4．已知，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．用一段長為cm的鐵絲圍成一個矩形模型，則這個模型的最大面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023春·甘肅白銀·高一統考開學考試）
6．若，則的最小值為（ ）
A．4 B．5 C．16 D．17
（2023秋·河南新鄉·高一統考階段練習）
7．若正數滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·山東淄博·高一校考階段練習）
8．下列選項中正確的是（ ）
A．若正實數x，y滿足，則
B．存在實數a，使得不等式成立
C．若a、b為正實數，則
D．不等式恒成立
（2023秋·全國·高一專題練習）
9．若，，，則的最小值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．ABD
【分析】利用基本不等式及不等式的性質即可得出選項A、B、D正確，選項C，取特殊值即可排除.
【詳解】對于選項A，因為，則，
所以，故選項A正確；
因為，所以，，又，得到
故，所以選項B和D正確，
對于選項C，取，滿足，但，所以選項C錯誤，
故選：ABD.
2．C
【分析】根據給定條件，利用基本不等式求解即得.
【詳解】由，，，得，則，
當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值60.
故選：C
3．C
【分析】可將直角三角形的兩直角邊長度取作，斜邊為，可得外圍的正方形的面積為，也就是，四個陰影面積之和剛好為，可得對任意正實數和，有，即可得出.
【詳解】可將直角三角形的兩直角邊長度取作，斜邊為，
則外圍的正方形的面積為，也就是，
四個陰影面積之和剛好為，對任意正實數和，有，
當且僅當時等號成立，故選C.
【點睛】該題考查的是有關不等式的問題，結合勾股定理，利用直角三角形的面積公式，得到其對應的關系，從而可以得到在什么情況下取得等號.
4．C
【分析】利用基本不等式求出最小值即得.
【詳解】由，得，當且僅當，即時取等號，
所以當時，取得最小值4.
故選：C
5．C
【分析】設矩形的長為，寬為，則有，再利用基本不等式即可得解.
【詳解】設矩形的長為，寬為，，
則，即，
所以這個模型的面積為，
當且僅當時取等號，
所以這個模型的最大面積為.
故選：C.
6．C
【分析】根據基本不等式即可求解.
【詳解】由于，所以，
，
當且僅當，即時，等號成立.故最小值為16
故選:C
7．A
【分析】由題意，利用基本不等式計算即可求解.
【詳解】由題意，，，
，得，
當且僅當即時，等號成立，
所以，即的最大值為.
故選：A.
8．ABC
【分析】A選項，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B選項，舉出例子即可；C選項，利用基本不等式求出答案；D選項，舉出反例.
【詳解】對于A：若正實數x，y滿足，
故，
當且僅當，即，時等號成立，故A正確；
對于B：當時，，故存在實數a，使得不等式成立，故B正確；
對于C：若a、b為正實數，則，
當且僅當，時，等號成立，故C正確；
對于D：當和時，不等式成立，
但當時，不成立，故D錯誤.
故選：ABC
9．9
【分析】運用代“1”法，結合基本不等式進行計算即可.
【詳解】由題意得，，
當且僅當，即時等號成立.
所以的最小值為9.
故答案為：9
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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