資源簡介

【第一練】3.1.1函數的概念
3.1.1函數的概念【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用，培養數學抽象，如第1，2題；
2.會求給定函數的函數值，鍛煉運算求解能力，如第2題；
3.會求函數的定義域、值域，鍛煉運算求解能力，如第4，7題；
4.能利用函的數特性判斷相等函數，鍛煉邏輯推理能力，如第6題.
1．下圖中哪幾個圖象與下述三件事分別吻合得最好？請你為剩下的那個圖象寫出一件事.
（1）我離開家不久，發現自己把作業本忘在家里了，于是返回家里找到了作業本再上學；
（2）我騎著車離開家后一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；
（3）我從家出發后，心情輕松，一路緩緩加速行進.
A. B.
C. D.
2．集合與對應關系如圖所示：是否為從集合A到集合B的函數？如果是，那么定義域、值域與對應關系各是什么？
3．已知函數，
（1）求，，的值；（2）求，，的值.
4．求下列函數的定義域：
（1）；（2）.
5．判斷下列各組中的函數是否為同一個函數，并說明理由：
（1）表示炮彈飛行高度h與時間t關系的函數和二次函數；
（2）和.
6．下列哪一組中的函數與是同一個函數？
（1）；
（2）；
（3）.
7．畫出下列函數的圖象，并說出函數的定義域 值域：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
8．已知函數g(x)＝，
(1)點(3，14)在函數的圖像上嗎？
(2)當x＝4時，求g(x)的值；
(3)當g(x)＝2時，求x的值.
9．函數的圖象如圖所示，
(1)函數的定義域 值域各是什么？
(2)r取何值時，只有唯一的值與之對應？圖中，曲線l與直線m無限接近，但永不相交.
【易錯題目】第6題，第7，8題
【復盤要點】對函數的概念，相等函數的概念理解不透，作圖不規范，致使答案錯誤.
【復盤訓練】
（2023秋·吉林通化·高一校考階段練習）
10．函數定義在上，則函數圖象與直線的交點個數有( )
A．個 B．個 C．個 D．不能確定
（2023·全國·高一專題練習）
11．如圖圖形，其中能表示函數的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·貴州黔東南·高一凱里一中校考階段練習）
12．函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·河北邯鄲·高三校考階段練習）
13．已知兩個函數和的定義域和值域都是集合，其定義如下表：
1 2 3
2 3 1
1 2 3
1 3 2
填寫下列的表格，其三個數依次為（ ）
1 2 3
A．3，1，2 B．2，1，3 C．1，2，3 D．3，2，1
（2023秋·陜西渭南·高一渭南市瑞泉中學校考階段練習）
14．下列各組函數不是同一函數的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（2023秋·河南鄭州·高一鄭州十一中校考階段練習）
15．若函數，則 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．見解析.
【解析】根據時間和離開家距離的關系逐一進行判斷.
【詳解】解：（1）根據回家后，離家的距離又變為0，對應（D）；
（2）由途中遇到一次交通堵塞，可判斷中間有一段函數值沒有發生變化，對應（A）；
（3）由為了趕時間開始加速，可判斷函數的圖象上升速度越來越快，對應（B）.
剩下的圖象（C）為：我出發后越走越累，所以速度越來越慢.
【點睛】本題主要考查函數的圖象的識別和判斷，通過分析實際情況中離家距離隨時間變化的趨勢，找出關鍵的圖象特征，對3個圖象進行分析，即可得到答案.
2．見解析.
【解析】根據題目所示圖可以看出A中的任意一個數，B中都有唯一確定的數與之對應，所以是函數，定義域是，值域.
【詳解】由圖知，A中的任意一個數，B中都有唯一確定的數與之對應，
所以是從A到B的函數.
定義域是，值域.
【點睛】本題考查函數的定義，意在考查學生對于基礎概念的理解，屬于基礎題.
3．（1），，；（2），，.
【解析】（1）直接代入數值計算即可；
（2）直接代入計算可得.
【詳解】（1），，；
（2），，.
【點睛】本題考查函數的值，已知函數解析式，代入自變量計算求解，屬于基礎題.
4．（1）；（2）.
【解析】（1）根據分母不為0，求出函數的定義域即可；
（2）根據二次根式的性質得到關于x的不等式組，解出即可．
【詳解】（1）由，得，
∴函數的定義域.
（2）由，且，得，
∴函數的定義域為.
【點睛】本題考查函數的定義域及其求法，函數定義域等價于令函數有意義的自變量的取值范圍，因此可根據題目列關于自變量的不等式（組）求解即可，屬于基礎題.
5．（1）不相等，理由見解析；（2）不相等，理由見解析.
【解析】分別判斷函數定義域和對應法則是否相同，相同則為同一函數，不同則不是同一函數.
【詳解】（1）不相等，前者的定義域為，而后者的定義域為R.
（2）不相等，前者的定義域為R，而后者的定義域為.
【點睛】本題考查判斷兩個函數是否為同一函數，兩個函數當且僅當定義域和對應法則相同時，是相同函數，如果定義域、值域、對應法則有一個不同，函數就不同，注意中，屬于基礎題.
6．（1）不是；（2）不是；（3）是
【解析】根據同一函數的定義，從定義域、對應關系兩方面判斷即可.
【詳解】解：（1）定義域為R，定義域為，
∵定義域不同，與不是同一函數.
（2）定義域為R，定義域為，
∵定義域不同，
與不是同一函數.
（3），與定義域與對應關系都相同，與是同一函數.
【點睛】本題考查了同一函數的定義，屬于基礎題.
7．(1)答案見解析.
(2)答案見解析.
(3)答案見解析.
(4)答案見解析.
【分析】根據基本初等函數的圖像特征，直接畫出圖像，寫出定義域和值域.
【詳解】（1）一次函數的圖形如圖所示，定義域為R，值域為R.

（2）反比例函數的圖形如圖所示，定義域為，值域為.

（3）一次函數的圖形如圖所示，定義域為R，值域為R.

（4）二次函數的圖形如圖所示，定義域為R，值域為.

8．（1）不在；（2）；（3）.
【分析】將 分別代入即可得所求.
【詳解】(1) ，故點不在函數的圖像上.
(2) .
(3)
9．(1)，
(2)
【分析】（1）根據函數的圖象，分析出自變量和函數值的范圍，可得值域和定義域；
（2）根據函數的圖象，即可得到結果．
【詳解】（1）解：由函數的圖象可得，函數的定義域為：，值域為：；
（2）解：由已知中函數的圖象可得：當時，只有唯一的值與之對應．
10．B
【分析】將函數圖象與直線的交點個數轉化為方程解得個數，然后根據函數的定義判斷.
【詳解】函數圖象與直線的交點個數可以轉化為方程解得個數，根據函數的定義可得方程只有一個解，所以函數圖象與直線的交點個數為1個.
故選：B.
11．B
【分析】根據函數的定義即可得解.
【詳解】由函數的定義可知，對定義域內的任何一個變量有唯一的一個變量與對應，
由圖可知，ACD三個選項不符合函數的定義，B選項符合函數的定義.
故選：B.
12．D
【分析】根據，可得答案.
【詳解】，
，，
從而可知函數的值域為.
故選：D.
13．D
【分析】根據表中函數關系計算即可.
【詳解】，，
，，
，.
故選：D.
14．ABD
【分析】根據兩函數的定義域和對應關系完全相同是同一個函數逐個分析判斷即可.
【詳解】對于A，，，，
所以與不是同一函數；
對于B，，，，
所以與不是同一函數；
對于C，，，，，
所以與是同一函數；
對于D，，，
，，
所以與不是同一函數.
故選：ABD.
15．##49.5##
【分析】利用給定的函數求出，再配求值即得.
【詳解】函數，當且時，，
所以
.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第一課】3.1.1函數的概念
3.1.1函數的概念（第一課）
[課標要求]
1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念.
2.體會集合語言和對應關系在刻畫函數概念中的作用.
3.了解構成函數的要素，能求簡單函數的定義域.
4.會判斷兩個函數是否為同一函數.
5.能正確使用區間表示數集.
6.會求一些簡單函數的值域.
[明確任務]
1.能從教材實例中判斷函數(數學抽象).
2.會判斷復合函數(數學抽象).
3.會用區間表示函數的定義域、值域(數學抽象).
4.會判斷兩個函數相等(數學抽象)．
5.能用列舉法表示元素個數有限的集合(數學建模)
初中學習的函數的傳統定義（變量說）
設在一個變化過程中，有兩個變量和，如果給定了一個值，相應地就有唯一確定的一個值與之相對應，那么我們就稱是的函數，其中是自變量，是因變量．它們描述的是兩個變量之間的依賴關系．
核心知識點1: 函數的概念
一般地，設，是非空的實數，如果對于集合中得任意一個數，按照某種確定的對應關系，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱：為從集合到集合的一個函數，記作，．其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合的子集．
函數的四個特性：
（1）非空性：函數定義中的集合，必須是兩個非空的數集；
（2）任意性：定義域中的每一個元素都有函數值與之對應；
（3）單值性：每一個自變量有唯一的函數值與之對應；
（4）方向性：函數是一個從定義域到值域的對應關系，如果改變這個對應方向，那么新的對應所確定的關系就不一定是函數關系．
解讀： （1）集合一定是函數的定義域，但集合不一定是函數的值域，即中的元素可以沒有與之對應的元素，若將函數的值域記為，容易得到．
（2）函數與是常數）的區別與聯系：
①表示當時函數的值，是一個常量；
②是自變量的函數，在一般情況下，它是一個變量；
③是的所有取值中的一個．
（3）對應關系的理解
①不是表示“等于與的乘積”，而是表示“是的函數”，其中是自變量；
②是對應關系，它可以是一個或幾個解析式，也可以是圖象、表格；
③在研究兩個或多個函數時，除用符號外，還常用，，等來表示函數．
例1.（2023秋·高一課時練習）
1．判斷下列對應是不是從集合A到集合B的函數.
(1)，，對應法則f：對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應；
(2)，，對應法則，，；
(3)，，對應法則，，；
(4)三角形，，對應法則f：對A中元素求面積與B中元素對應.
歸納總結: 1.根據圖形判斷對應關系是否為函數的方法
(1)任取一條垂直于x軸的直線l；
(2)在定義域內平行移動直線l；
(3)若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數.
2.判斷一個對應關系是否為函數的方法

【舉一反三】（1）（2023秋·高一課時練習）
2．判斷正誤（正確的填“正確”，錯誤的填“錯誤”）
（1）某商場一天的銷售額與客流量之間是函數關系.( )
（2）家庭買衣服的支出與交手機費之間是依賴關系.( )
（3）高鐵運營里程與年份之間存在依賴關系，但不是函數關系.( )
（4）圓的面積與半徑之間是函數的關系.( )
（2023秋·安徽淮南·高一校考期中）
3．設，給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的是（　　）
A． B．
C． D．
核心知識點2: 區間的概念
區間的概念及幾何表示
定義 名稱 符號 數軸表示
閉區間
開區間
半開半閉區間
半開半閉區間
注意開區間與點在具體情境中的區別．
2．無窮大
實數集可以用區間表示為，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”“”讀作“正無窮大”．
3．含“”的區間的幾何表示
定義 符號 數軸表示
在數軸上，用實心點表示包括在區間內的端點，用空心點表示不包括在區間內的端點．
例2.（2023·山東·校聯考模擬預測）
4．不等式組的解集用區間表示為： ．
歸納總結: （1）區間的左端點必小于右端點，將稱為區間長度；
（2）區間符號里面的兩個字母（或數）之間用“，”隔開；
（3）用數軸表示區間時，要特別注意屬于這個區間的端點用實心點表示，不屬于這個區間的端點用空心點表示；
（4）無窮大（）是一個趨向符號，表示無限接近，卻永遠不能達到，不是一個數，因此它不具備數的性質和運算法則；
（5）包含端點用閉區間，不包含端點用開區間，以“”或“”為區間的一個端點時，這一端必須是小括號．
【舉一反三】
5．區間表示的集合是（ ）
A．或 B．
C． D．
【舉一反三】（2023·江蘇無錫期中）
6．設關于x的函數，其中a， b都是實數.
(1)若的解集為，求出a、b的值；
(2)若，求不等式的解集.
核心知識點3：相等函數
一個函數的構成要素為定義域、對應關系和值域．
（1）定義域：函數的定義域就是自變量的取值范圍．在函數關系式的表述中，函數的定義域有時可以省略不寫，這時就默認這個函數的定義域就是使得這個函數關系式有意義的實數組成的集合．在實際問題中，函數的定義域還要受到自變量實際意義的制約，如圓的面積與圓的半徑之間的函數關系為，其定義域為．
在求函數的定義域時，要把所有的限制條件都考慮到．
（2）對應關系：對應關系是函數的核心，它是對自變量實施“對應操作”的“程序”或者“方法”．按照這一“程序”，從定義域中任取一個，可得到值域中唯一的與之對應．同一“”可以“操作”于不同形式的變量，如是對實施“操作”，而是對實施“操作”，是對2實施“操作”． 拓展
與的區別與聯系：它們有同一個對應關系，但施加的對象不同，一個是，一個是．若以為自變量，則它們是不同的函數．
（3）值域：對于定義域是的函數，其值域就是指集合．
解讀：函數三要素的關注點
（1）習慣上用表示自變量，但也可以用其他單個字母來表示，如，，等均可以表示自變量．自變量是對應關系所施加的對象．
（2）在函數的三要素中，當定義域、對應關系確定后，值域也就隨之確定了．
（3）函數的三要素缺一不可．
如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，即相同的自變量對應的函數值也相同，那么這兩個函數是同一個函數．
當一個函數的對應關系和定義域確定后，其值域就隨之確定了，所以兩個函數當且僅當定義域和對應關系相同時，才為同一個函數．換言之，定義域不同，兩函數不同；定義域相同，而對應關系不同，兩函數不同；定義域相同且對應關系相同，兩函數相等．需要注意的是，兩函數不同，即使定義域和值域分別相同的兩個函數，也不一定是同一函數．如與，它們的定義域和值域都是實數集，但不是同一個函數，即兩個函數的三要素中任意一個不相同，則可判斷兩個函數不是同一個函數．
例3.（2023秋·山東·高一校考期中）
7．下列函數中與函數相等的函數是（ ）
A． B． C． D．
歸納總結: 兩個函數相等的判斷方法
（1）先判斷函數的定義域，若不同，則不是同一個函數；若相同，則進行第（2）步；
（2）再判斷函數的對應關系，若不同，則不是同一個函數；若相同，則是同一個函數；
（3）函數與自變量及因變量的表示符號無關，如，與，是同一個函數．
【舉一反三】（2023·全國·高一專題練習）
8．下列函數中，與函數是同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
核心知識點4: 復合函數
復合函數：如果是的函數，是的函數，即，，那么關于的函數叫做與的復合函數，其中是中間變量，自變量，函數值.是外層函數，是內層函數.
解讀：
（1）復合函數的定義域，就是復合函數中的取值范圍.
（2）內層函數的值域是外層函數的定義域.
（3）與表示兩個不同的復合函數.
（4）復合函數中的函數可以是兩個或兩個以上的函數.
（5），，，四個函數中的，，，在對應關系下的范圍相同．
（6）已知的定義域為，求的定義域，其實質是已知的取值范圍（值域）為，求的取值范圍．
（7）已知的定義域為，求的定義域，其實質是已知中的取值范圍為，求的取值范圍（值域），這個范圍就是的定義域．
例4.
9．下列函數中，是復合函數的是（ ）
A． B．
C．（為常數） D．
歸納總結: 由復合函數的定義可知，內層函數的值域是外層函數的定義域或定義域的子集，外層函數的定義域和內層函數的值域，共同確定了復合函數的定義域．
【舉一反三】
10．函數是由哪幾個函數復合而成.
（2023·山東·校聯考模擬預測）
11．下列圖象中，能表示函數圖象的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③
（2023秋·福建福州·高一福建省福州格致中學校考期中）
12．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
（2023秋·江蘇南京·高一南京市第十三中學校考階段練習）
13．給出函數如表，則的值域為（ ）
x 1 2 3 4
4 3 2 1
x 1 2 3 4
1 1 3 3
A． B． C． D．以上情況都有可能
（2023秋·江西宜春·高一江西省銅鼓中學校考階段練習）
14．下列各組函數中，兩個函數是同一函數的有（ ）
A．與
B．與
C．與
D．與
（遼寧省遼陽市2023-2024學年高一上學期期中數學試題）
15．已知函數的定義域為，則函數的定義域為 ．
（2023秋·陜西西安·高一西安中學校考階段練習）
16．已知函數.則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據函數的定義，可依次判斷得解.
【詳解】（1）對于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對應，所以不是函數.
（2）對于A中的元素，在f的作用下與B中的1對應，A中的元素，在f的作用下與B中的4對應，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應，是“多對一”的對應，故是函數.
（3）對于A中的任一元素，在對應關系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對應，如對應1，對應4，所以是函數.
（4）集合A不是數集，故不是函數.
2． 錯誤 錯誤 正確 正確
【分析】根據依賴關系和函數關系的概念，這個判定，即可求解.
【詳解】（1）某商場一天的銷售額與客流量之間關系是不確定的、隨機的，所以不是函數關系，所以（1）錯誤；
（2）家庭買衣服的支出與交手機費之間是依賴關系是不確定呢的、隨機的，所不是函數關系，所以（2）錯誤；
（3）高鐵運營里程與年份之間的關系式不確定的，所以存在依賴關系，但不是函數關系，所以（3）正確；
（4）圓的面積與半徑之間滿足，所以是函數的關系，所以（4）正確.
故答案為：（1）錯誤；（2）錯誤；（3）正確；（4）正確.
3．B
【分析】根據已知及函數定義，數形結合判斷各圖象是否符合給定條件的函數關系即可.
【詳解】由題意，為定義域，值域為N的子集
A：圖象中定義域范圍有誤，不符合；
B：滿足從集合M到集合N的函數關系，符合；
C：圖象中值域不為集合N的子集，不符合；
D：由函數定義域內任意自變量有且僅有唯一函數值與之對應，圖象存在一個x對應兩個y值情況，不符合.
故選：B
4．
【分析】先解不等式組，再將結果用區間表示.
【詳解】解：∵不等式組 ，
∴，∴不等式組的解集為．
故答案為：．
5．C
【分析】根據區間的定義判斷.
【詳解】區間表示的集合是.
故選：C．
6．(1)
(2)當時，解集為；時，解集為;時，解集為.
【分析】（1）判斷開口方向結合韋達定理進行求解；
（2）因式分解求出兩根，結合開口方向對兩根大小進行判斷即可.
【詳解】（1）的解集為，
則的開口向上，是對應方程的兩根，
則，即；
（2）若，則，
，
當時，，則的解集為
當時，若，即時，的解集為；
當時，，的解集為；
綜上：當時，解集為；
時，解集為
時，解集為.
7．B
【分析】根據相等函數的要求一一判定即可.
【詳解】兩函數若相等，則需其定義域與對應關系均相等，易知函數的定義域為R，
對于函數，其定義域為，對于函數，其定義域為，
顯然定義域不同，故A、D錯誤；
對于函數，定義域為R，符合相等函數的要求，即B正確；
對于函數，對應關系不同，即C錯誤.
故選：B
8．D
【分析】根據同一函數的定義和判定方法，逐項判定，即可求解.
【詳解】由函數的定義域為；
對于A中，函數定義域為，與定義域不同，所以不是同一函數；
對于B中，函數，與函數的對應關系不同，所以不是同一函數；
對于C中，函數定義域為，與定義域不同，所以不是同一函數；
對于D中，函數與的定義域都是，且對應關系都相同，所以是同一函數.
故選：D.
9．B
【分析】復合函數不是由基本初等函數通過加、減、乘、除運算得到的.函數是否為復合函數，需要通過尋找中間變量，根據復合函數定義來判斷.
【詳解】選項B中函數是由和兩個函數復合而成的，是復合函數．
另外三個函數都是基本初等函數或由基本初等函數通過加、減、乘、除運算得到的，不是復合函數．
故選：B.
10．，，
【分析】根據復合函數的定義求解.
【詳解】根據復合函數的定義可知：
函數由函數，，三個函數復合而成.
11．D
【分析】根據函數的定義判斷可得出結論.
【詳解】解：∵一個只能對應一個，∴①③符合題意，
對于②中，當時，一個對應兩個，不符合函數的定義；
對于④中，當時，一個對應兩個，不符合函數的定義.
故選：D．
12．A
【分析】使函數有意義解不等式即可.
【詳解】要使函數有意義，則，即，
即函數的定義域為.
故選:A．
13．A
【分析】根據表格數據即可求解.
【詳解】∵當或時，，
∴；
當或時，，
∴．
故的值域為．
故選：A．
14．AC
【分析】根據同一函數的定義，結合函數的三要素進行逐一判斷即可.
【詳解】對于選項A：函數，兩函數的定義域、值域和解析式都相同，所以它們是同一個函數；
對于選項B：函數的定義域為，函數的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數；
對于選項C：函數，兩函數的定義域、值域和解析式都相同，所以它們是同一個函數；
對于選項D：函數的定義域為或，函數的定義域為，它們的定義域不同，所以它們不是同一個函數，
故選：AC
15．
【分析】根據的定義域即可求出的定義域.
【詳解】由題意，
在函數中，定義域為，
∴在中，，
解得：，
故答案為：.
16．2
【分析】計算的值為常數即可得解.
【詳解】因為，
所以，
所以，
故答案為：2
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