資源簡介

【第一練】3.1.2函數的表示法
3.1.2函數的表示法【第一練】
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.會求函數的解析式，培養運算求解能力，如第5，6題；
2.會根據解析式判斷圖象，會用圖象法表示函數，培養數形結合能力，如第1題；
3.理解分段函數的概念，會用分段函數解決問題，培養運算求解能力，如第8，12題；
1．某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示該人離單位的距離，表示出發后的時間，那么下列圖象中符合此人走法的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數的對應關系如下表，函數的圖象為如圖所示的曲線，其中，，，則（ ）．
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
3．從甲市到乙市t min的電話費由函數g(t)＝1.06·(0.75[t]＋1)給出，其中t>0，[t]為不超過t的最大整數，則從甲市到乙市5.5 min的電話費為（ ）
A．5.04元 B．5.43元 C．5.83元 D．5.38元
4．函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函數y＝f(x)滿足，求函數y＝f(x)的解析式．
6．已知f(x)－2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．
7．如圖，矩形的面積為10.如果矩形的長為x，寬為y，對角線為d，周長為，那么你能獲得關于這些量的哪些函數？
8．畫出下列函數的圖象：
（1）
（2）.
9．給定函數，，.
(1)畫出函數，的圖象；
(2)，用表示，中的較小者，記為，請分別用圖象法和解析法表示函數．
10．如圖所示，一座小島距離海岸線上最近的點P的距離是2km，從點P沿海岸正東處有一個城鎮.
（1）假設一個人駕駛的小船的平均速度為，步行的速度是，t（單位：h）表示他從小島到城鎮的時間，x（單位：km）表示此人將船停在海岸處距點P的距離，請將t表示為x的函數.
（2）如果將船停在距點P 4km處，那么從小島到城鎮要多長時間（精確到1h）？
11．畫出定義域為，且，值域為的一個函數的圖象.
（1）將你的圖象和其他同學的相比較，有什么差別嗎？
（2）如果平面直角坐標系中點的坐標滿足，那么其中哪些點不能在圖象上？
12．函數的函數值表示不超過x的最大整數，例如，，.當時，寫出函數的解析式，并畫出函數的圖象.
【易錯題目】第5，6，8，9，12題
【復盤要點】這對具體問題，靈活應用函數的表述方法，對分段函數的概念理解不透，作圖應準確.
【復盤訓練】
（2023秋·湖南衡陽·高一校考期中）
13．函數滿足若，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·新疆烏魯木齊·高一新疆實驗校考期中）
14．已知，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（浙江省浙東北聯盟（ZDB）2022-2023學年高一上學期期中數學試題）
15．已知函數，則 ．
（2023秋·四川涼山·高一寧南中學校考期中）
16．已知函數．若，則
（2023秋·寧夏固原·高三校考階段練習）
17．已知函數．
(1)用分段函數的形式表示該函數；
(2)畫出該函數的圖象；
(3)寫出該函數的值域．
（2023·全國·高一專題練習）
18．已知函數
(1)求，，的值；
(2)若，求實數a的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據已知條件及排除法即可求解.
【詳解】當時，距離單位最遠，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，則隨的變化慢，排除B，
故選：D．
2．B
【分析】根據圖可知，繼而根據表格可知.
【詳解】由圖可知，，
由表格可知，
故選：B.
3．A
【分析】根據題意知，然后計算即可求出結果.
【詳解】依題意知g(5.5)＝1.06×(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04，
故選：A.
4．A
【分析】利用反比例函數平移得到函數的圖象．
【詳解】，將的圖象左移1個單位再上移1個單位.
故選：A
【點睛】本題考查函數的圖象，考查學生數形結合能力，屬于基礎題．
5．
【分析】利用配湊法求得的解析式.
【詳解】，其中，
所以.
6．f(x)＝－x2＋x
【分析】將f(x)－2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替換，利用方程組法即可求解.
【詳解】解：將f(x)－2f(－x)＝x2＋2x中的x用－x替換，
得f(－x)－2f(x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x.　
于是得到關于f(x)和f(－x)的方程組
　
消去f(－x)，可得f(x)＝－x2＋x.
因此，f(x)的解析式為f(x)＝－x2＋x.
7．見解析
【解析】根據矩形面積，可以知道長寬的關系，進而可以求出對角線、周長，利用可以求出函數解析式.
【詳解】解：答案不唯一.如：，這是y關于x的函數，其中，
這是關于x的函數，其中，，這是d關于x的函數，其中.
【點睛】本題考查了根據具體幾何背景求函數關系，屬于開放試題.
8．（1）圖像見解析；（2）圖像見解析
【分析】根據函數的類型直接畫圖即可.
【詳解】解：（1）函數是一個分段函數，函數圖象如圖（1）所示.
（2）函數的圖象是三個離散的點，如圖（2）所示.

【點睛】本題考查畫函數圖象的能力，屬于基礎題.
9．(1)圖象見解析
(2)圖象見解析；.
【分析】（1）根據一次函數與二次函數的圖象與性質，即可求解；
（2）根據題意，結合（1）中的函數的圖象，進而求得函數的解析式，畫出圖象.
【詳解】（1）解：由函數，
根據一次函數與二次函數的圖象與性質，可得函數和的圖象，如圖所示：

（2）解：聯立方程組，整理得，解得或，
結合（1）中的圖象，可得：
當時，；
當時，；
當時，，
所以函數的解析式為.
函數的圖象，如圖所示.

10．（1）（2）.
【解析】（1）利用勾股定理，結合速度、路程、時間的關系，根據題意可以求出t關于x的函數的解析式；.
（2）代入求值即可.
【詳解】解：（1）如圖，此人坐船所用時間為，步行所用時間為.
（2）當時，.
【點睛】本題考查了根據實際背景求函數的解析式，考查數學閱讀能力，考查了數學建模思想.
11．（1）答案為唯一，見解析；（2）在線段，和線段上的點不在圖象上.
【分析】（1）根據所給的定義域和值域的特征，可以畫出線性型函數即可.
（2）根據所給的定義域和值域的特征，結合本問已知可以知道不在圖象上的點.
【詳解】1）由題意可知：定義域為，且，值域為，圖象可以是如下圖所示：

（2）由題意可知中：線段，和線段上的點不在圖象上如下圖所示：

【點睛】本題考查了已知函數的定義域和值域畫圖象，屬于開放題.
12．解析式見解析，圖象見解析
【分析】根據所給函數的定義進行分類討論，畫圖函數的圖象.
【詳解】解：
函數圖象如圖所示：

【點睛】本題考查了數學閱讀能力，考查了畫函數圖象，屬于基礎題.
13．A
【分析】利用配湊法即可得解.
【詳解】因為，
所以，則.
故選：A.
14．ABC
【分析】根據已知代入特殊值可得的值，可判斷A，B；再根據換元法求解解析式即可得，從而判斷C，D.
【詳解】因為，所以時，可得，故A正確；
所以時，可得，故B正確；
令，則，所以，則，故C正確，D不正確.
故選：ABC.
15．6
【分析】直接代入計算即可.
【詳解】，
故答案為：6.
16．或
【分析】根據題意，由分段函數解析式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】當時，，解得或（舍）；
當時，，解得；
綜上所述，或.
故答案為：或
17．(1)答案見解析
(2)圖象見解析
(3)
【分析】（1）分和寫出分段函數；
（2）畫出函數圖象；
（3）數形結合得到函數值域.
【詳解】（1）
（2）畫出函數圖象如下：

（3）由圖象可看出，函數值域為.
18．(1)，，
(2)或
【分析】（1）根據自變量的范圍，代入相應的解析式，求函數值；
（2）分類討論，解方程即可.
【詳解】（1）因為，，，
所以，，
因為，
所以，
（2）由于，
當時，，
解得，又，所以不合題意，舍去．
當時，，
即化為，
解得或，
又，所以符合題意，
當時，，即符合題意．
綜上可得，當時，或．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第一課】3.1.2函數的表示法
3.1.2函數的表示法【第一課】
【課標要求】
1.掌握函數的三種表示法：解析法、列表法、圖象法以及各自的優缺點.
2.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法表示函數.
3.通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用.
4.會求函數的解析式.
【明確任務】
1.能根據具體問題表示函數（數學抽象）.
2.理解分段函數的概念，并能簡單應用.（數學運算）.
3.會作函數圖象（直觀想象）．
4.會求函數的解析式（數學運算）.
1.函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數
三要素 對應關系 y＝f（x），x∈A
定義域 x的取值范圍
值域 與x對應的y的值的集合{f（x）|x∈A}
2.同一個函數
（1）前提條件：①定義域相同；②對應關系相同.
（2）結論：這兩個函數為同一個函數.
核心知識點1: 函數的表示方法
函數的表示法
表示法 含義 定義域 值域 示例
解析法 用解析式表示兩個變量之間的對應關系 使解析式有意義的自變量的取值范圍 因變量的取值范圍 函數的定義域是，值域是
列表法 列出表格來表示兩個變量之間的對應關系 表格中自變量的取值集合 表格中相應的取值集合 12301
定義域是，值域是
圖像法 用圖象表示兩個變量之間的對應關系 圖象在軸上的射影 圖象在軸上的射影 定義域是，值域是
解讀：三種表示法的優缺點
例1.以下形式中，不能表示y是x的函數的是（　　）
A.
x 1 2 3 4
y 4 3 2 1
B.
C．y＝x2
D．（x＋y）（x－y）＝0
【答案】D
【解析】根據函數的定義及表示方法可知，只有選項D中可化為y＝x或y＝－x，不滿足函數的定義，故選D.
歸納總結: 用三種方法表示函數時的注意點
（1）解析法在定義域不是默認范圍時，必須注明函數的定義域；
（2）列表法必須羅列出所有自變量的值與函數值的對應關系；
（3）圖象法必須清楚函數圖象是“點”還是“線”.
【舉一反三】（22·23高一上·全國·課時練習）
1．某天0時，小鵬同學生病了，體溫上升，吃過藥后感覺好多了，中午時他的體溫基本正常（正常體溫為37 ℃），但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜才感覺身上不那么發燙了.下面能大致反映出小鵬這一天（0時至24時）體溫變化情況的圖像是（　　）
A． B．
C． D．
核心知識點2：分段函數
如果在函數的定義域內，對于自變量的不同取值，函數有著不同的對應關系，那么這樣的函數叫做分段函數．
拓展
幾種常見的分段函數
①取整函數
（表示不大于的最大整數），如圖①．
②含絕對值符號的函數如圖②．
③自定義函數，如圖③．
④點列函數，，如圖④．
⑤符號函數
圖① 圖② 圖③ 圖④
（1）定義域：各段自變量取值范圍的并集，注意各段自變量取值范圍的交集為空集，這是由函數定義中的唯一性決定的.
（2）值域：各段函數在相應區間上函數取值集合的并集.
（3）圖象：根據不同取值區間上的解析式分別作出，再將它們組合在一起得到整個分段函數的圖象.
解讀： 1．分段函數是一個函數而不是幾個函數.
2．分段函數在書寫時要用大括號把各段函數合并寫成一個函數的形式，并且必須指明各段函數自變量的取值范圍.
3．處理分段函數的問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪個區間段，再選取相應的對應關系.
4．畫分段函數的圖象時，要特別注意區間端點是否包含在內，若端點包含在內，則用實心點表示；若端點不包含在內，則用空心點表示.
例2.（2023秋·山西運城·高一校考階段練習）已知函數，則（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】B
【分析】根據分段函數的解析式先求出的值，在求出的值即可.
因為，
所以，
所以，
故選：B.
歸納總結 分段函數是一個函數，而不是幾個函數，分段函數的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．
【舉一反三】（2023·全國·高一專題練習）
2．已知函數，關于函數的結論正確的是（ ）
A． B．的值域為
C．的解集為 D．若，則x的值是1或
核心知識點3: 函數圖象
（1）函數圖象的特征：既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線或離散的點．
（2）描點法作函數圖象的三個步驟：
①列表：先找出一些有代表性的自變量的值，再計算出與這些自變量相對應的函數值，并用表格的形式表示出來；
②描點：把第（1）步表格中的點在平面直角坐標系中描出來；
③連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大的順序連接起來.
方法 畫函數圖象的方法
（1）直接法：若函數是正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等常見的基本初等函數，則依據各函數的圖象特點，直接畫出的圖象．
（2）描點法：若函數不是基本初等函數，則用描點法畫出的圖象，其步驟：列表、描點、連線．注意連線時，若是曲線，則曲線要光滑；若是孤立的點，則此時不要連接各點．
（3）圖象變換法：若函數不是基本初等函數，但是與基本初等函數有關，則可以由一個函數的圖象，通過某種或多種連續方式的變換，得到另一個與之相關的函數的圖象．常見的圖象變換有四種基本形式：平移變換、對稱變換、翻折變換和伸縮變換．本章節我們重點了解平移變換、對稱變換和翻折變換．
例3.已知，，設，則函數的大致圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】當時，即時，解得或或，
∴
故圖象為D，故選D．
【答案】D
【方法總結】解決函數圖象識別問題的方法
對于給定函數的圖象，要能從圖象的左右上下分布范圍、變化趨勢、對稱性、特殊點等方面來獲取圖中所提供的信息，解決這類問題的常用方法如下：
①定性分析法，也就是通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升（或下降）的趨勢，利用這一特征來分析解決問題；
②定量計算法，也就是通過定量的計算來分析解決問題；
③函數模型法，也就是由所提供的圖象特征，聯想相關函數模型，利用這一函數模型來分析解決問題．
【舉一反三】（22·23高一上·北京·期中）
3．函數的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·廣西南寧·高一校考期中）
4．設函數，則（ ）
A． B． C．10 D．
（2023秋·河北邢臺·高一校聯考期中）
5．函數，則（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023秋·重慶南岸·高一重慶市第十一中學校校考期中）
6．若函數，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·廣東汕頭·高一校考期中）
7．已知函數的對應關系如下表，函數的圖象為如圖所示的曲線，其中，，，則（ ）．
1 2 3
2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
（2023秋·北京豐臺·高一統考期中）
8．下列圖象中，表示定義域和值域均為的函數是（ ）
A． B．
C． D．
（2023秋·浙江杭州·高一校考階段練習）
9．已知，若，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據體溫變化過程結合圖像可得答案.
【詳解】選項A反映，體溫逐漸降低，不符合題意 ；選項B不能反映下午體溫又開始上升的過程；選項D不能反映下午他的體溫又開始上升，直到半夜才感覺身上不那么發燙這一過程.
故選：C
2．B
【分析】根據函數解析式，畫出函數圖象，結合圖象一一判斷即可；
【詳解】解：因為，函數圖象如下所示：
由圖可知，故A錯誤；
的值域為，故B正確；
由解得，故C錯誤；
，即，解得，故D錯誤；
故選：B
3．D
【分析】變形函數解析式，再逐項分析判斷得解.
【詳解】依題意，函數的定義域為，選項AC都不滿足；
而當時，，選項B不滿足；
函數的圖象是直線在的部分與直線在的部分組成，D滿足.
故選：D
4．A
【分析】代入分段函數的解析式，即可求解.
【詳解】函數，因為，所以.
故選：A
5．A
【分析】由解析式代入計算函數值即可.
【詳解】設，得，則.
故選：A.
6．D
【分析】直接利用換元法可得答案，解題過程一定要注意函數的定義域.
【詳解】令，則，，
因為，
所以，
則，
故選：D.
7．B
【分析】根據圖可知，繼而根據表格可知.
【詳解】由圖可知，，
由表格可知，
故選：B.
8．C
【分析】根據函數的定義以及定義域和值域的概念分析即可.
【詳解】選項A：定義域為，但是值域不是故錯誤；
選項B：定義域不是，值域為，故錯誤；
選項C：定義域和值域均為，故正確；
選項D：不滿足函數的定義，故錯誤；
故選：C.
9．##0.5
【分析】根據解析式計算即可.
【詳解】令.
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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