資源簡介

3.3冪函數 【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題.
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展.
【目標分析】
1.利用冪函數的定義判斷冪函數，培養數學抽象，如第1題.
2.利用冪函數的性質解題，鍛煉數學運算能力，邏輯推理能力，如第2，5，8，11，12題.
3.利用冪函數的性質判斷圖象，培養數學抽象，如第3題.
（2023上·陜西西安·高三西北工業大學附屬中學校考階段練習）
1．下列函數中，，，，是冪函數的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（2022上·重慶萬州·高一校考階段練習）
2．若， ，，則a，b，c的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
3．函數的圖象是
A． B． C． D．
（2023上·四川遂寧·高一射洪中學校考期中）
4．已知冪函數的圖象過點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
（2023上·陜西西安·高一陜西師大附中校考期中）
5．已知函數，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·重慶長壽·高一統考期末）
6．下列函數既是冪函數，又在上單調遞減的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·河北·高一校聯考階段練習）
7．已知冪函數的圖像經過中的三個點，則的值可能為（ ）
A． B． C．3 D．9
（2023·上海·高一專題練習）
8．已知冪函數，若，則的取值范圍是 ．
（2023上·河南商丘·高一校聯考期中）
9．已知冪函數的圖象經過原點，則的值是 .
（2023上·山東·高一統考期中）
10．已知冪函數的定義域為，則實數 .
（2023上·天津·高一統考期中）
11．已知函數，若正數滿足，則的最大值是 .
（2023上·湖北襄陽·高一宜城市第一中學校聯考期中）
12．已知函數為冪函數，且在上單調遞增.
(1)求的值，并寫出的解析式；
(2)解關于的不等式 ，其中.
（2023上·浙江·高一校聯考期中）
13．已知冪函數的圖像關于軸對稱.
(1)求實數的值；
(2)設函數，求的定義域和單調遞增區間.
【易錯題目】第2，5，6，8，11，12，13題
【復盤要點】冪函數的圖象
當指數時，的圖象是一條直線；當時，是一條不包含點的直線．除上述特例外，冪函數的圖象都是曲線，如下表（，為非零整數，且，互質）：
，都是奇數
是偶數，是奇數
是奇數，是偶數
典例 （2023上·四川成都·高一統考期末）
14．若冪函數的圖象經過點，則（ ）
A． B．
C．函數的定義域為 D．函數的值域為
【復盤訓練】
（2023上·遼寧丹東·高一統考期末）
15．已知冪函數的圖象經過點，則在定義域內（ ）
A．單調遞增 B．單調遞減 C．有最大值 D．有最小值
（2022上·貴州畢節·高一統考期末）
16．下列函數中，定義域和值域不相同的是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山東青島·高一校考期中）
17．下列關于冪函數的性質，描述不正確的有（ ）
A．當時，函數在其定義域上為減函數 B．當時，函數不是冪函數
C．當時，函數是偶函數 D．當時，函數與x軸有且只有一個交點
（2023上·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學校聯考期中）
18．冪函數在區間上單調遞減，則實數m的值為 ．
（2023上·吉林白山·高一撫松縣第一中學校考階段練習）
19．已知冪函數的圖象過點，則 .
（2023上·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學校考期中）
20．已知冪函數，且在上單調遞增．
(1)求實數的值；
(2)求函數，的值域．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據冪函數的定義判斷即可.
【詳解】一般地，函數叫做冪函數，其中是自變量，為常數，
故，為冪函數，，均不為冪函數.
故選：B
2．D
【分析】利用冪函數的單調性和值域，比較算式的大小.
【詳解】冪函數在上單調遞增，值域為，
由，則，又，
所以.
故選：D
3．B
【分析】先找出函數圖象上的特殊點（1，1），（8，2），，再判斷函數的走向，結合圖形，選出正確的答案．
【詳解】函數圖象上的特殊點（1，1），故排除A，D；
由特殊點（8，2），，可排除C．
故選B．
4．D
【分析】先由冪函數的定義用待定系數法設出其解析式，代入點的坐標，求出冪函數的解析式，再求的值
【詳解】由題意令，由于圖象過點，得，，所以，得
故選：D
5．A
【分析】由題意構造函數，首先得出的單調性與奇偶性，然后將條件表達式等價轉換即可得解.
【詳解】令，因為的定義域為關于原點對稱，且，
所以是上的奇函數，
注意到冪函數都是上的增函數，
所以是上的增函數，
而，
所以，解得，
綜上所述，的取值范圍是.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是構造函數，利用函數單調性與奇偶性解不等式.
6．CD
【分析】根據冪函數的性質，逐一判斷每個函數是否滿足題目中的條件即可.
【詳解】對于A，函數在上單調遞減但不是冪函數，故選項A錯誤；
對于B，函數是冪函數，在上單調遞增，故選項B錯誤；
對于C，函數是冪函數且在上單調遞減，故選項C正確；
對于D，函數是冪函數且在上單調遞減，故選項D正確，
故選：CD.
7．BC
【分析】設，利用冪函數的性質知，點一定在冪函數圖像上，再分別討論過三點，過三點，過三點，即可求出結果.
【詳解】設，因為，
由冪函數的性質可知的圖像必定經過點,
若的圖像經過三點，由，得為正奇數，
則的解析式可能為，有，此時；
若的圖像經過三點，由，得，
則，有，此時；
若的圖像經過三點，由，得到，，此時不在圖像上，即的圖像不同時經過三點，
故選：BC.
8．
【分析】根據冪函數的單調性和定義域求參數取值范圍
【詳解】解：冪函數，所以定義域為且在定義域上單調遞減，
所以需滿足，解得，
故答案為：．
9．3
【分析】根據冪函數的定義結合圖象經過原點求解參數即可.
【詳解】由題意可得，即，解得或.
當時，冪函數的圖象過原點；
當時，冪函數的定義域為，圖象不過原點，不滿足題意.
故的值是3.
故答案為：3
10．3
【分析】根據題意，由冪函數的定義以及性質，列出方程，代入計算，即可得到結果.
【詳解】由題意可得，，解得或，
當時，，定義域為；
當時，，定義域為，不滿足；
所以.
故答案為：3
11．##1.5
【分析】根據題意可得為奇函數，然后再利用基本不等式，從而求解.
【詳解】由題意得的定義域為R，且，
所以得：為奇函數，，且函數單調遞增，
因為，所以得：，化簡得：.
所以得，
當且僅當時取等號，故最大值為
故答案為：.
12．(1)3，
(2)答案見解析
【分析】（1）根據冪函數的定義和性質即可求解；
（2）由（1）可得原不等式變形為，分類討論含參一元二次不等式即可求解.
【詳解】（1）因為為冪函數，且在上單調遞增，
則，解得，所以；
（2）不等式0，即
當，，即不等式解集為，
當，或，即不等式解集為，
當，或，即不等式解集為.
所以，當，不等式解集為，
當，不等式解集為，
當，不等式解集為.
13．(1)
(2)定義域為，增區間為.
【分析】（1）由題知，進而解方程并根據圖像關于y軸對稱求解即可；
（2）由（1）可得，求出定義域結合單調性定義可得解.
【詳解】（1）由題，解得或，
又因為的圖像關于軸對稱，所以為偶函數，
則為偶數，從而；
（2）由（1）得，，
由，解得或，
所以函數的定義域為，
任取，且，
，
，，且，
所以當時，有，即成立，
所以函數在上單調遞增，
當時，有，即成立，
所以函數在上單調遞減，
故函數的增區間為.
14．BD
【分析】根據冪函數解析式求出,得出解析式,再分別求出定義域值域判斷即可.
【詳解】因為是冪函數,所以,解得,故B正確;
所以,又因的圖象經過點,所以,所以,解得,故A錯誤;
因為,則其定義域,值域均為,故C錯誤,D正確.
故選:BD.
15．B
【分析】現根據冪函數的定義，求得，進而求解.
【詳解】設，則，
所以，即，
則函數的定義域為，
且在定義域內單調遞減，沒有最大值和最小值.
故選：B.
16．D
【分析】根據一次函數、反比例函數、冪函數和分段函數的性質，逐個選項進行判斷即可得到答案.
【詳解】對于A：函數的定義域為，值域也為，不符合題意；
對于B：函數的定義域和值域都為，不符合題意；
對于C：的定義域和值域都為，不符合題意；
對于D：的定義域為；
當時，；當時，；
所以值域為，定義域和值域不相同，符合題意；
故選：D．
17．AB
【分析】根據冪函數的性質、定義判斷各項的正誤.
【詳解】A：由，在上遞減，但整個定義域上不單調，錯；
B：根據冪函數定義也是冪函數，錯；
C：由，顯然且定義域為R，故為偶函數，對；
D：由單調遞增，僅當時，故與x軸有且只有一個交點，對.
故選：AB
18．##
【分析】根據冪函數的結構特征求出m，再根據單調性即可得答案.
【詳解】因為函數是冪函數，
所以，解得或，
當時，在區間上單調遞增，不滿足題意，
當時，在上單調遞減，滿足題意.
故．
故答案為：
19．0
【分析】根據冪函數的性質得到，并代入點求出，得到答案.
【詳解】由題意得，解得，
故，將代入，，即，解得，
故.
故答案為：0
20．(1)
(2)
【分析】(1)直接利用冪函數的定義和在上單調遞增求出.
(2)先分離常數確定函數的單調性，再求值域.
【詳解】（1）因為是冪函數，
所以，
解得或，
又在上單調遞增，
所以；
（2）
由函數的單調性可知在上是單調遞增的，
所以
所以，值域為
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁3.3冪函數 【第二課】
題型一:冪函數的判定
例1.（2023·全國·高一專題練習）判斷下列函數是不是冪函數？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
【答案】（1）是
（2）不是
（3）不是
（4）是
（5）不是
（6）不是
【分析】根據冪函數的定義判斷．
（1）是冪函數，
（2）不是冪函數，
（3）不是冪函數；
（4）是冪函數，
（5）不是冪函數，
（6）不是冪函數，
【方法總結】判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα（α為常數）的形式，需滿足：①指數為常數，②底數為自變量，③xα系數為1.
【變式訓練1-1】（2023上·高一課時練習）
1．在函數，，，中，冪函數的個數為（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
題型二:冪函數的定義域、值域
例2. （1）函數的定義域是__________，值域是__________；
（2）函數的定義域是__________，值域是__________；
（3）函數的定義域是__________，值域是__________；
（4）函數的定義域是__________，值域是__________．
【解析】（1）函數的定義域是，值域是；
（2）函數的定義域是，值域是；
（3）函數的定義域是，值域是；
（4）函數的定義域是，值域是．
【答案】（1） （2）
（3） （4）
【方法總結】求冪函數的定義域和值域的方法
冪函數的定義域和值域要根據解析式來確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內求解．
冪函數的定義域由冪指數確定：
（1）當冪指數取正整數時，定義域為，當為正偶數時，值域為；當為正奇數時，值域為．
（2）當冪指數取零或負整數時，定義域為，當時，值域為；當為負偶數時，值域為；當為負奇數時，值域為．
（3）當冪指數取分數時，可以先化成根式，再利用根式有意義求定義域和值域．
【變式訓練2-1】[甘肅永昌一中2023高一期中]
2．冪函數與冪函數（ ）
A．定義域相同 B．值域相同 C．單調性相同 D．是同一函數
【變式訓練2-2】
3．寫一個定義域為，值域為的冪函數 ．
【變式訓練2-3】
4．已知冪函數，求此冪函數的解析式，并指出其定義域.
【變式訓練2-4】（2023上·湖北襄陽·高一統考期末）
5．下列函數中，值域為的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三: 求冪函數的解析式
例3.（2023上·四川成都·高一成都七中校考期中）冪函數的圖象過點，則此函數的解析式為（ ）
A．（） B．
C． D．
【答案】A
【分析】設出冪函數解析式，將點的坐標代入即可求解.
設冪函數，將點代入得，所以.
所以冪函數的解析式為，要使函數有意義，則，
故函數的解析式為（）.
故選：A.
【方法總結】設冪函數，將點的坐標代入求.
【變式訓練3-1】（2023上·浙江·高一校聯考期中）
6．已知點在冪函數的圖象上，則 .
【變式訓練3-2】（2023上·河南·高一校聯考期中）
7．已知函數為冪函數，則m的值為 ．
【變式訓練3-3】（2023上·上海嘉定·高三校考期中）
8．若冪函數的圖像經過點，則= .
題型四: 根據冪函數的值域求參數
例5.（2023上·高一課時練習）已知，則使函數的值域為R，且為奇函數的所有α的值為 .
【答案】1，3
【分析】根據冪函數的性質分析可得.
當時，，為奇函數，但值域為，不滿足條件；
當時，為奇函數，值域為R，滿足條件；
當時，為偶函數，值域為，不滿足條件；
當時，為奇函數，值域為R，滿足條件.
故答案為：1，3
【方法總結】對于冪函數y＝xα（α為實數）有以下結論：
（1）當α>0時，y＝xα在（0，＋∞）上單調遞增；
（2）當α<0時，y＝xα在（0，＋∞）上單調遞減；
（3）當α為正偶數時，冪函數y＝xα是R上的偶函數，其值域為.
（4）當α為正奇數時，冪函數y＝xα是R上的奇函數，其值域為R.
【變式訓練5-1】（2023下·上海嘉定·高三上海市嘉定區第一中學校考階段練習）
9．已知函數，若函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【變式訓練5-2】（2023·高一單元測試）
10．已知冪函數，且在區間內函數圖象是上升的．
（1）求實數k的值；
（2）若存在實數a，b使得函數f（x）在區間[a，b]上的值域為[a，b]，求實數a，b的值．
題型五: 冪函數的圖象判斷
例5.（2023上·浙江·高一校聯考期中）函數的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】判斷出的奇偶性，結合冪函數的圖象得到答案.
的定義域為R，又，
故為偶函數，
當時，，結合冪函數的圖象可知，C正確.
故選：C
【方法總結】關于圖象辨識問題，關鍵是熟悉各類冪函數的圖象特征，如過特殊點、凹凸性等．
【變式訓練5-1】（2023上·浙江·高一校聯考期中）
11．冪函數（）的大致圖像是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練5-2】
12．下列關于函數與的圖象正確的是（　　）
A． B． C． D．
題型六: 冪函數的單調性
例6. （2023上·海南省直轄縣級單位·高一校考期中）已知冪函數的圖象過點，且是函數圖象上的任意不同的兩點，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出冪函數的解析式，再根據冪函數的單調性逐一判斷即可.
設，則，解得，
所以，則在定義域上單調遞增，
因為，所以，故選項A錯誤；
在定義域上單調遞增，
因為，所以，故選項B錯誤；
在定義域上單調遞減，
因為，所以，
即，選項C正確；
在定義域上單調遞增，
因為，所以，故選項D錯誤.
故選：C.
【方法總結】對于冪函數y＝xα（α為實數）有以下結論：
（1）當α>0時，y＝xα在（0，＋∞）上單調遞增；
（2）當α<0時，y＝xα在（0，＋∞）上單調遞減；
【變式訓練6-1】（2023上·廣西玉林·高一校聯考期中）
13．下列函數中，既是偶函數，又在區間上單調遞減的函數是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練6-2】（2023上·湖南常德·高一湖南省桃源縣第一中學校考期中）
14．函數的單調遞減區間為（ ）
A． B． C． D．
題型七: 利用冪函數的單調性比較大小
例7. （2023上·天津·高一統考期中）若，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據對應的冪函數單調性進行求解.
由題意得函數在上單調遞增，
因為，所以得：，故A項正確.
故選：A.
【方法總結】1.注意利用冪函數的性質比較冪值大小的方法步驟．
第一步，據指數分清正負；
第二步，正數區分大于1與小于1，a>1，α>0時，aα>1；00時01，α<0時01；
第三步，構造冪函數應用冪函數單調性，特別注意含字母時，要注意底數不在同一單調區間內的情形．
【變式訓練7-1】（2023上·廣東佛山·高一佛山市南海區第一中學校考階段練習）
15．若，，，則a、b、c的大小關系是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】（2023上·云南昆明·高一云南師大附中校考期中）
16．已知冪函數且，則下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法總結】利用冪函數的單調性解不等式的步驟
利用冪函數解不等式，實質是已知兩個函數值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數的單調性、奇偶性等綜合命題，求解步驟如下：
（1）確定可以利用的冪函數；
（2）借助相應冪函數的單調性，將不等式的大小關系轉化為自變量的大小關系；
（3）解不等式（組）求參數的取值范圍，注意冪函數的定義域及分類討論思想的應用．
【變式訓練8-1】（2023上·新疆·高一新疆實驗校考期中）
17．已知冪函數的圖象經過點，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型八: 利用冪函數的單調性解不等式
例8. （2023上·上海浦東新·高一華師大二附中校考期中）不等式的解集為 ．
【答案】
【分析】根據冪函數的單調性求解即可.
函數的定義域為且在上單調遞減，
則由，
得，解得，
所以不等式的解集為.
故答案為：.
【變式訓練8-2】（2023上·湖南長沙·高一長沙一中校考期中）
18．已知冪函數在定義域內單調遞增．
(1)求的解析式；
(2)求關于x的不等式的解集．
易錯點: 忽略對底數的分類討論而致錯
例1 若，試求實數的取值范圍．
【解析】，或或
解得或．故實數的取值范圍為．
易錯警示 利用冪函數解有關不等式時，需要依據冪函數的性質進行分類討論．分類的依據是冪函數的定義域和單調性，且應把各種情況考慮周全，不能遺漏任何一種情況．
針對訓練1-1: [湖南郴州2023高一月考]
19．若，則的取值范圍是 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】利用冪函數定義直接判斷作答.
【詳解】函數是冪函數，
函數，都是二次函數，函數是一次函數，它們都不是冪函數，
所以所給函數中冪函數的個數是1.
故選：B
2．B
【分析】求出函數定義域，根據冪函數性質性即可解決.
【詳解】由題知
，定義域為，單調性遞增，值域為，
，定義域為,為偶函數，單調性先減后增，值域為，
所以與值域相同，
故選：B
3．（答案不唯一）
【分析】根據已知條件寫出一個符合題意的冪函數的解析式即可.
【詳解】因為的定義域為，值域為，
所以冪函數符合題意，
故答案為：（答案不唯一）.
4．或，.
【解析】由冪函數的概念求解．
【詳解】為函數，，解得或.
當時，，則，且有；
當時，，則，且有.
故所求冪函數的解析式為或，它們的定義域都是.
【點睛】本題考查冪函數的概念與性質，屬于基礎題．
5．C
【分析】根據函數的定義域、冪函數的性質、以及基本不等式可直接求得選項中各函數的值域進行判斷即可.
【詳解】由已知值域為，故A錯誤；
時，等號成立，所以的值域是，B錯誤；
因為定義域為， ，函數值域為，故C正確；
，，，所以，故D錯誤.
故選：C.
6．
【分析】將點的坐標代入計算即可求解.
【詳解】因為點在冪函數的圖象上，所以，解得，所以.
故答案為：.
7．1
【分析】根據冪函數定義求解.
【詳解】因為函數為冪函數，
所以，解得，
故答案為：1
8．##
【分析】設冪函數的解析式，將點坐標代入，得函數解析式即可求.
【詳解】設，則，所以，
則，所以.
故答案為：.
9．
【分析】判斷單調遞增，討論或，根據分段函數的值域可得且，解不等式即可求解.
【詳解】由函數單調遞增，
①當時，若，有，
而，此時函數的值域不是；
②當時，若，有，而，
若函數的值域為，必有，可得．
則實數的取值范圍為．
故答案為：
10．（1）2；（2）a＝0，b＝1．
【分析】（1）根據冪函數的定義先求出的可能值，再根據冪函數的單調性判斷正確的值；
（2）根據函數的單調性即可判斷的取值情況，列出式子即可求解.
【詳解】（1）為冪函數，
∴，解得或，
又在區間內的函數圖象是上升的，
，
∴k＝2；
（2）∵存在實數a，b使得函數在區間上的值域為，且，
∴，即，
，∴a＝0，b＝1．
【點睛】本題考查冪函數的定義和單調性的運用，考查函數最值的求法，是一道基礎題.
11．B
【分析】由冪函數的定義域和單調性判斷圖像形狀.
【詳解】∵時，為偶數且大于0，∴的定義域為，且在定義域上單調遞增．
只有B選項符合條件.
答案：B．
12．C
【分析】根據圖像確定函數解析式，然后逐一判斷即可.
【詳解】函數是冪函數，而是一次函數，
選項A，直線對應函數，曲線對應函數為；
選項B，直線對應函數為，曲線對應函數為；
選項C，直線對應函數為，曲線對應函數為；
選項D，直線對應函數為，曲線對應函數，故C正確.
故選：C.
13．A
【分析】根據冪函數的性質判斷各項對應函數是否符合題設.
【詳解】由冪函數性質知：、為偶函數，為奇函數，為非奇非偶函數，
在上遞減，遞增，
綜上，是偶函數，在區間上單調遞減.
故選：A
14．C
【分析】令，，利用復合函數的單調性求解.
【詳解】解：由，得，即，
解得，所以 的定義域為，
令，在上遞增，在上遞減，又，在上遞減，
所以在上遞減，
所以函數的單調遞減區間為，
故選：C
15．D
【分析】利用冪函數在第一象限內是增函數，即可判斷的大小.
【詳解】因為，，，
又在第一象限內是增函數，，
所以，即.
故選：D.
16．C
【分析】根據函數單調性及，比較出大小關系.
【詳解】因為，所以在上單調遞增，
又因為，
所以，
所以.
故選：C.
17．D
【分析】先將點代入，解得，再利用冪函數的性質即可求解.
【詳解】由題意可知，，解得，，
故，其定義域為，
所以在上單調遞減，
因為，
所以為偶函數，
所以，
所以由，得，
所以，所以或，解得，或．
故的取值范圍為．
故選：D．
18．(1)
(2)
【分析】（1）取，再驗證單調性得到答案.
（2）根據函數的單調性和定義域得到不等式，解得答案.
【詳解】（1）冪函數在定義域內單調遞增，
故，解得或，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，不滿足；
當時，在上單調遞增，滿足；
故.
（2）在上單調遞增，，
故，解得或，即.
19．
【分析】根據題意，由冪函數的性質列出不等式，求解即可得到結果.
【詳解】函數為偶函數，且當時，單調遞增，
則可得，
解得或
即的取值范圍是
故答案為:
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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