資源簡介

4.1.1 n次方根與分數指數冪＋4.1.2無理數指數冪及其運算性質【第二練】
【試題來源】來自名校、重點市區的月考、期中、期末的優質試題．
【試題難度】難度中等，配合第二課的題型訓練，加強考點的理解和擴展．
【目標分析】
1．理解根式的意義，會化簡根式，培養運算求解能力，如第6題．
3．理解冪的運算性質，能夠靈活應用性質求解相關問題，培養運算求解能力，如第3，4，5，10，13題．
（2023上·四川雅安·高一統考期中）
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．若有意義，則的取值范圍是（ ）
A．； B．；
C．； D．．
（2023上·甘肅酒泉·高一敦煌中學校聯考期中）
3．（ ）
A． B． C． D．
（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中學?？计谥校?br/>4．設，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高一專題練習）
5．把代數式中的移到根號內，那么這個代數式等于（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川成都·高一成都七中?？计谥校?br/>6．以下運算結果等于2的是（ ）
A． B． C． D．
（2022上·江蘇南京·高一南京市第十三中學階段練習）
7．已知實數滿足，下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·北京順義·高一牛欄山一中?？奸_學考試）
8．設，，則化簡為 .
9．已知，，，且，則的值為 ．
（2023·全國·高一假期作業）
10．化簡： ．
（2023上·江西撫州·高一統考期中）
11．已知，，化簡：．
（2023上·云南昆明·高一云南師大附中校考期中）
12．（1）計算： ；
（2）已知：， 求 的值.
13．已知函數．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【易錯題目】第3，5，8，9，11，13題．
【復盤要點】混淆冪的運算性質，書寫不規范，出現計算錯誤．
典例 （2023上·河北滄州·高一校聯考階段練習）下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】結合指數的運算公式逐項計算即可判斷正誤．
【詳解】對于A，原式，A正確；
對于B，原式
，B正確；
對于C，原式，C錯誤；
對于D，原式，D正確．
故選：ABD．
【復盤訓練】
（2023·江蘇·高一專題練習）
14．等于（　?。?br/>A．4 B． C． D．
（2023上·湖北荊州·高一荊州中學?？计谥校?br/>15．（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學校考期中）
16．若，則實數的取值可以是（ ）
A． B． C． D．1
（2023上·湖北荊州·高一荊州中學?？计谥校?br/>17．已知，則的值為 .
（2023上·陜西西安·高一西安中學校考期中）
18．若，則的值為 .
（2023上·江蘇徐州·高一徐州市第七中學校考階段練習）
19．（1）求值：
（2）已知是方程的兩根，且，求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】由，得，則，
故“”是“”的充分不必要條件．
故選：A.
2．D
【分析】若使得式子有意義，則滿足，解出不等式組即可.
【詳解】若有意義，
需要滿足
故選：D.
3．A
【分析】利用指數冪的運算法則即可得解.
【詳解】.
故選：A.
4．C
【分析】利用指數運算公式直接計算.
【詳解】，
故選：C.
5．A
【分析】首先根據二次根式的性質得出 ，進而求出的取值范圍，然后確定的正負情況，再將移入根號內即可.
【詳解】 ，即 ， ，
.
故選：A .
6．BCD
【分析】根據根式運算化簡各項即可.
【詳解】對于A，，不合題意；
對于B，，符合題意；
對于C，，符合題意；
對于D，，符合題意.
故選：BCD
7．AC
【分析】根據指數冪的運算依次討論各選項即可得答案.
【詳解】解：，故選項A正確；
，故選項B錯誤；
，故選項C正確；
,,故選項D錯誤．
故選：AC．
8．
【分析】根據根式的性質即可求解.
【詳解】由于，，所以
故答案為：
9．4
【分析】確定，，變換，計算得到答案.
【詳解】， ，故，即，故，
故.
故答案為：.
10．
【詳解】原式
11．
【分析】根據指數運算可得.
【詳解】因為，所以，
．
因為，所以
所以
所以．
12．（1）；（2）2
【分析】根據指數冪的運算性質計算即可.
【詳解】（1）
；
（2）因為，，所以，，
所以.
13．(1)1；1
(2)1
【分析】（1）根據函數的解析式，代入求值，即得答案；
（2）根據函數的解析式，結合指數的運算，化簡求值，即得答案.
【詳解】（1）；
；
（2）
.
14．B
【分析】根據根式與分數指數冪的轉化求解.
【詳解】.
故選：B
15．C
【分析】由指數冪的運算規則化簡求值.
【詳解】.
故選：C
16．ABC
【分析】應用根式的運算即可.
【詳解】，則，解得．
故選：ABC
17．34
【分析】根據指數冪的運算，平方即可求解.
【詳解】由可得，
進而，
故答案為：34
18．14
【分析】兩邊平方求出答案.
【詳解】，兩邊平方得，
即，解得.
故答案為：14
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用冪的運算性質去化簡運算即可解決；
（2）利用根與系數的關系及根式的性質去求解即可解決.
【詳解】（1）
（2）已知是方程的兩根，則
由，
可得
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁4.1.1 n次方根與分數指數冪＋4.1.2無理數指數冪及其運算性質【第二課】
題型一： 由根式的意義求范圍
例1． 若，則實數a的取值范圍為 ．
【答案】[，＋∞)．
【解析】∵，
∴2a－1≥0，∴a≥．
即實數a的取值范圍是[，＋∞)．
【方法總結】對于，當n為偶數時，要注意兩點：（1）只有a≥0才有意義；
（2）只要有意義，必不為負．
【變式訓練1-1】
1．求使等式成立的實數a的取值范圍為 ．
題型二： 根式的運算
例2． （1）化簡：；
（2）已知，，，化簡．
【解】（1）∵，∴．
當n為偶數時，；當n為奇數時，．
綜上，
（2）∵，∴，．
當n是奇數時，原式；
當n是偶數時，原式．
綜上，
【關鍵點撥】（1）注意偶次算術根為非負數，因而當n為偶數時，；（2）由于，所以，．
【方法總結】（1）解決根式的化簡或求值問題首先要分清根式是奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質進行化簡或求值；
（2）注意對和進行區分；
（3）對于根式的運算還要注意變式，整體代換，以及平方差、立方差、立方和、完全平方及完全立方公式的運用，做到化繁為簡，必要時進行討論．
【變式訓練2-1】
2．若a是實數，則下列式子中可能沒有意義的是( )
A. B. C. D.
【變式訓練2-2】 （多選）[吉林白山2023高一月考]
3．已知，且，則以下結論錯誤的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【變式訓練2-3】 [江蘇連云港四校2023高一期中聯考]
4．若，，則的值為 .
題型三： 根式與分數指數冪的互化
例3．用分數指數冪的形式表示下列各式（式中字母都是正數）：
（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）．
（2）．
（3）．
【方法總結】（1）根式與分數指數冪互化的關鍵是準確把握兩種形式中相關數值的對應：①根指數分數指數的分母；②被開方數（式）的指數分數指數的分子．
（2）當根式為多重根式時，要清楚哪個是被開方數，一般由內向外用分數指數冪依次寫出．
【變式訓練3-1】 [北京人大附中2023高一月考]
5．等于（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練3-2】
6．化簡：= ．（用分數指數冪表示）.
題型四： 有理數指數冪的運算
例4．化簡或求值（式子中的字母均為正數）．
（1）；
（2）；
（3）．
【解】（1）原式．
（2）原式．
（3）．
【方法總結】指數冪運算的一般原則
（1）有括號的先算括號里的，無括號的先做指數運算；
（2）先乘除后加減，負指數冪化為正指數冪的倒數；
（3）底數是負數，先確定符號，底數是小數，先化成分數，底數是帶分數的，先化成假分數；
（4）若是根式，則化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來求解；
（5）運算結果可化為根式形式或者保留分數指數冪的形式，但不能既有根式又有分數指數冪，也不能同時含有分母和負指數．
【變式訓練4-1】 [廣東深圳2022高一月考]
7．化簡 (a>0，b>0)的結果是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】
8．計算 .
【變式訓練4-3】 [浙江浙北G2聯盟2022高一期中聯考]
9．已知，，化簡并計算：．
【變式訓練4-4】
10．計算：．
題型五： 指數冪相等問題
例5． 設a，b，c都是正數，且，求證：．
【思路分析】根據已知條件，設一個參數t，用含t的式子建立等式關系，從而找到a，b，c之間的關系．
【證明】令，則，，．
因為，所以，即，
所以．
【方法總結】對于指數冪等式的證明問題常常是將指數冪化為同底，利用指數冪相等的規律進行證明．解決此類問題的關鍵是通過指數運算進行等價代換，以及利用參數找到已知與結論的聯系，這樣才能使問題迅速得到解決．
【變式訓練5-1】 [四川宜賓四中2023高一期中]
11．設，，求的值．
【變式訓練5-2】
12．已知：，且，求證：．
題型六：指數冪運算中的條件求值
例6．（2023上·廣東汕頭·高一金山中學?？计谥校┤簦笙铝懈魇降闹担?br/>（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）將平方化簡得解；
（2）利用完全平方式結合已知得，然后利用立方差公式求解即可．
【詳解】（1）因為，所以，解得；
（2）因為，所以，
因為，所以．
所以．
【方法總結】條件求值是代數式求值中的常見題型，一般要結合已知條件先化簡再求值，另外要特別注意條件的應用，如條件中的隱含條件，整體代入等，可以簡化解題過程．解決此類問題的一般步驟是：①審題（從整體上把握已知條件和所求代數式的特點）；②化簡（化簡已知條件）；③求值（把條件代入求值）．
【變式訓練6-1】
13．已知，且，求.
【變式訓練6-2】
14．已知，則的值為 ．
易錯點： 忽視偶次算術根非負
例 計算的值為______．
【解析】原式．
【答案】
易錯警示 對于，其結果需要根據n的奇偶來作決定，若n為奇數，則；若n為偶數，則．
針對訓練
15．已知，化簡：．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】由成立，即可得出，解得即可.
【詳解】，
要使成立，
需解得，
即實數a的取值范圍是，
故答案為：.
2．D
【詳解】對于根式，當a為奇數時，，有意義；
當a為偶數時，，有意義；
因此，當時，無意義
故選：D
3．CD
【分析】由題意可得，即可得解.
【詳解】由，且知，
所以x，y異號，所以A，B正確，C，D錯誤．
故選：CD．
4．1
【分析】利用根式的性質進行求解.
【詳解】因為，
，
所以.
故答案為：1.
5．A
【分析】先由根式化為指數，再結合指數冪的運算性質可求出答案.
【詳解】由題意，可知，
∴·.
故選：A.
6．
【分析】先把根式轉化成指數冪的形式，再利用分數指數冪的運算法則，即可求出結果.
【詳解】因為
.
故答案為：.
7．B
【分析】直接利用根式與分數指數幕的互化及其化簡運算，求解即可.
【詳解】
故選：B
8．
【解析】根據分數指數冪的運算算出答案即可.
【詳解】
故答案為：
9．12
【分析】利用分數指數冪的運算法則計算
【詳解】
．
10．25
【分析】利用指數冪的運算法則計算即可.
【詳解】原式．
11．27
【分析】直接由指數冪的運算性質列出方程組即可求解.
【詳解】因為，所以，即．
又，所以，即，
由，解得，
故的值為27．
12．見解析
【詳解】試題分析：等式左邊=，根據題意，可得，代入上式，整理可得右邊
試題解析：由知：
則左邊=
右邊
考點：指數運算
13．
【分析】根據題中條件，得到，，進而可求出結果.
【詳解】，，
，
.
【點睛】本題主要考查指數冪的運算，屬于?？碱}型.
14．6
【分析】兩邊平方求出，再利用立方和公式求出，從而求出結果.
【詳解】因為，所以，
即，所以，
所以
，
所以．
15．．
【分析】首先根據判斷出，從而結合完全平方公式即可化簡原式.
【詳解】因為，所以，所以，
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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