資源簡介

4.1.1 n次方根與分數指數冪＋4.1.2無理數指數冪及其運算性質【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.體會指數冪的實際應用，鍛煉數學建模能力，如第4題；
2.能夠靈活基本不等式求最值，培養邏輯推理能力，如第3題.
3.能熟練利用指數冪的性質求解相關問題，培養運算求解能力，如第8，12，13題.
一、單選題
（2023上·江蘇無錫·高一江蘇省梅村高級中學校考期中）
1．下列四組函數，表示同一函數的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（2023·全國·高一專題練習）
2．若，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2022上·廣東廣州·高一廣州市第九十七中學校考階段練習）
3．已知正數，滿足，則的最小值為（ ）
A．10 B．12 C．18 D．24
4．果農采摘水果，采摘下來的水果會慢慢失去新鮮度．已知某種水果失去新鮮度h與其采摘后時間t（天）滿足的函數關系式為．若采摘后10天，這種水果失去的新鮮度為10%，采摘后20天，這種水果失去的新鮮度為20%．那么采摘下來的這種水果多長時間后失去40%新鮮度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天
（2023·湖北武漢·統考二模）
5．閱讀下段文字：“已知為無理數，若為有理數，則存在無理數，使得為有理數；若為無理數，則取無理數，，此時為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（ ）
A．是有理數 B．是無理數
C．存在無理數a，b，使得為有理數 D．對任意無理數a，b，都有為無理數
（2023上·浙江溫州·高一甌海中學校考階段練習）
6．已知實數滿足，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2023上·陜西榆林·高一校考期中）
7．下列各式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·江蘇南通·高一金沙中學校考階段練習）
8．下列運算（化簡）中正確的有（ ）．
A．
B．
C．
D．
（2023·全國·高一專題練習）
9．（多選）若存在實數a，b，c滿足等式，，則c的值可能為（　　）
A． B．﹣ C． D．
三、填空題
（2023上·河南·高一洛陽市第三中學校聯考階段練習）
10．已知且，則 .
（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）
11．關于的方程的解為 ．
四、解答題
（2023上·高一課時練習）
12．求下列各式的值.
(1)若，求；
(2)已知，求的值；
(3)若，求；
(4)若，求.
（2023上·湖南長沙·高一長郡中學校考期中）
13．（1）計算：；
（2）若，求的值.
【易錯題目】第2，3，6，12，13題.
【復盤要點】指數冪運算的一般原則
(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數運算．
(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．
(3)底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數．
(4)若是根式，應化為分數指數冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．
[提醒]　運算結果不能同時含有根號和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數，形式力求統一．　
典例:（2023上·四川涼山·高一統考期中）（1）計算；
（2）已知正實數x，y滿足，求的最小值．
【答案】（1）25；（2）4
【分析】（1）根據指數冪運算求解；
（2）利用基本不等式運算求解.
【詳解】（1）原式；
（2）因為x，y為正實數，由基本不等式知．
當且僅當且，即，時，等號成立，
所以的最小值為4．
【復盤訓練】
（2023·全國·高一專題練習）
14．已知，，給出下列4個式子：①；②；③；④，其中無意義的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．0個
15．化簡的結果等于
A． B． C． D．
（2023上·天津河東·高三校考階段練習）
16．設函數的最小值為，且，則 ．
（2023上·高一課時練習）
17．化簡： ．
（2023上·四川綿陽·高一統考期中）
18．（1）計算：；
（2）關于的不等式的解集為，求的值.
（2023上·安徽滁州·高一安徽省定遠中學校聯考期中）
19．（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據函數的三要素逐一判斷即可.
【詳解】的值域為，的值域為，A錯誤；
的定義域為，的定義域為，B錯誤；
的定義域為，的定義域為，C錯誤；
，定義域，值域，解析式都相同，是同一函數，D正確.
故選：D
2．D
【分析】把等式左邊變形為，結合，可得，則答案可求.
【詳解】解：由，
可得，即．實數的取值范圍是．
故選：．
3．D
【分析】將根式表示為分數指數冪，得，利用基本不等式求的最小值.
【詳解】，所以，
因為a，b為正數，
所以，
當且僅當時，即，時，等號成立，
所以的最小值為.
故選：D.
4．B
【分析】根據給定條件求出及的值，再利用給定公式計算失去40%新鮮度對應的時間作答.
【詳解】依題意，，解得，當時，，
即，解得，于是得，解得，
所以采摘下來的這種水果30天后失去40%新鮮度.
故選：B
5．C
【分析】根據給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.
【詳解】這段文字中，沒有證明是有理數條件，也沒有證明是無理數的條件，AB錯誤；
這段文字的兩句話中，都說明了結論“存在無理數a，b，使得為有理數”，因此這段文字可以證明此結論，C正確；
這段文字中只提及存在無理數a，b，不涉及對任意無理數a，b，都成立的問題，D錯誤.
故選：C
6．D
【分析】根據二次根式的運算求解.
【詳解】設，，
，，
，
.
.
又，，
，.
故選：D
7．ACD
【分析】根據根式的化簡，分數指數冪的運算性質，即可判斷選項.
【詳解】，，
，，其中只有B錯誤.
故選：ACD
8．ABD
【分析】根據指數冪的運算法則逐一驗證即可
【詳解】對于A：，故A正確；
對于B：，故B正確；
對于C：，故C錯誤；
對于D：，故D正確；
故選：ABD
9．ACD
【分析】由式，通過配方可得，已知，進而分別用a，b表示c，根據實數的性質即可得出c的范圍．
【詳解】由式，可得，
，則，，
所以，，
又，則，
，
，，
則c的值可能為．
故選：ACD．
10．##
【分析】由已知條件消去未知數即可.
【詳解】由于
所以
故答案為：.
11．
【分析】由可得出，結合可求得的值.
【詳解】由可得，即，
因為，可得，故.
所以，方程關于的方程的解為.
故答案為：.
12．(1)
(2)3
(3)
(4)4
【分析】（1）將可化成的形式，代入數據即可求得結果為；
（2）原式可表示為，代入即可求出答案為3；
（3）將化簡為，代入的值可計算出結果為；
（4）化簡后可得原式，將的值可得結果是4.
【詳解】（1）利用指數運算法則可知，
將代入可得.
（2）易知，又，
所以
（3）化簡得，
將代入可得
（4）易知
又，所以
13．（1）；（2）23
【分析】（1）進行指數式運算可得；（2）將兩邊同時平方可得到的值，再將平方可求出的值，再用立方和公式將分解，代入、的值，即可求出的值.
【詳解】（1）原式.
（2）因為，所以，得.
所以，得.
所以，
所以.
14．A
【分析】根據題意，由根式的定義，對選項逐一判斷，即可得到結果.
【詳解】①中，所以有意義；
②中5為奇數，所以有意義；
③中，因此無意義；
④9為奇數，所以有意義．
故選：A．
15．C
【詳解】試題分析：因為，而，所以．
考點：根式化分數指數冪．
16．
【分析】依題意利用基本不等式求得當時，最小值為，再由對數運算計算即可得.
【詳解】根據題意可得，
當且僅當，即時，等號成立，此時最小值為；
因此，可得，即；
可得
故答案為：
17．
【分析】分析式子可以發現，若在結尾乘以一個，則可以從后到前逐步使用平方差公式進行計算，為保證恒等計算，在原式末尾乘以即可﹒
【詳解】原式
故答案為：﹒
18．（1）1；（2）16.
【分析】（1）利用指數運算法則計算即得.
（2）利用給定解集求出，再利用指數運算法則計算即得.
【詳解】（1）
（2）不等式化為，
依題意，是方程的兩個實根，則，解得，
所以.
19．（1）；（2）
【分析】（1）利用指數冪運算法則進行運算即可；（2）把兩邊平方得，化簡表達式，代入即可求值.
【詳解】（1）因為，
所以.
（2）由題可知，故，
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁4.1.1 n次方根與分數指數冪＋4.1.2無理數指數冪及其運算性質【第三課】
擴展1： 指數運算的實際應用
例1．（2023·河北張家口·統考二模）2021年5月15日，中國首次火星探測任務天問一號探測器在火星成功著陸．截至目前，祝融號火星車在火星上留下1900多米的“中國腳印”，期待在2050年實現載人登陸火星．已知所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的二次方的比值都相等．若火星與地球的公轉周期之比約為，則地球運行軌道的半長軸與火星運行軌道的半長軸的比值約為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知先設周期再應用分數指數冪與根式的互化得出比值．
【詳解】設地球的公轉周期為，則火星的公轉周期為．
設地球 火星運行軌道的半長軸分別為，，
則，
于是．
故選： A．
【方法總結】解決指數實際應用問題的步驟
（1）理解題意、弄清楚題目條件與所求之間的關系；
（2）運用指數的運算公式、性質等進行運算，把題目條件轉化為所求．
【舉一反三1-1】
1．某滅活疫苗的有效保存時間T（單位：小時）與儲藏的溫度t（單位：℃）滿足的函數關系為（k，b為常數，其中，是一個和類似的無理數，叫自然對數的底數），超過有效保存時間，疫苗將不能使用.若在0℃時的有效保存時間是1080，在10℃時的有效保存時間是120，則該疫苗在15℃時的有效保存時間為（ ）
A．15h B．30h C．40h D．60h
【舉一反三1-2】（2023上·江蘇南京·高一南京市人民中學校考階段練習）
2．當生物死亡后，它機體內原有的碳14會按確定的規律衰減．按照慣例，人們將每克組織的碳14含量作為一個單位，大約每經過5730年一個單位的碳14衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．當死亡生物組織內的碳14的含量不足死亡前的千分之一時，用一般的放射性探測器就測不到碳14了．如果用一般的放射性探測器不能測到碳14，那么死亡生物組織內的碳14至少經過了（ ）個“半衰期”．【提示：】
A．10 B．9 C．11 D．8
擴展2： 與指數冪有關的證明問題
例2．（2023上·上海嘉定·高一上海市育才中學校考期中） 已知，求證：．
證明：因為，所以，
所以，即，①
又因為，所以，
所以，即，②
由①②可得，，所以．
【方法總結】1．指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加．②運算的先后順序．
2．當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數．
3．運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數．
【舉一反三2-1】（2021·高一課時練習）
3．設，且x，y，a均為正數，求證：.
擴展3： 與指數冪有關的最值問題
例3．（2023上·福建廈門·高一廈門外國語學校校考期中）（多選題）已知，且，下列結論中正確的是（ ）
A．的最大值是 B．的最小值是
C．的最小值是9 D．的最小值是
【答案】BCD
【分析】根據題意，利用題設條件，結合基本不等式，逐項判定，即可求解．
【詳解】，且，
對于A，由，解得，當且僅當時等號成立，
則的最大值為，所以A錯誤；
對于B，由，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為，所以B正確；
對于C，，
當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是9，所以C正確；
對于D，由，
得，當且僅當時等號成立，
則的最小值是，所以D正確．
故選：BCD．
【方法總結】基本不等式是求最值常用的方法，應注意等符號成立的條件．
【舉一反三3-1】（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學校考期中）
4．已知，則的最小值為
【舉一反三3-2】（2023上·重慶·高一重慶十八中校考期中）（多選題）
5．已知為正實數，，則（ ）
A．
B．的最大值為
C．
D．的最大值為
（1984·全國·高考真題）
6．如果n是正整數，那么的值（ ）
A．一定是零 B．一定是偶數 C．是整數但不一定是偶數 D．不一定是整數
（2007·山東·高考真題）
7．設函數，則 ．
（1977·福建·高考真題）
8．計算：．
（1978·全國·高考真題）
9．化簡：．
（1986·全國·高考真題）
10．1.求方程的解．
（1982·全國·高考真題）
11．已知，求的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據已知的函數模型以及已知數據，待定系數即可求得結果.
【詳解】由題意知，，所以，
所以，所以，所以.
故選：C．
2．A
【分析】根據題意，結合指數不等式與參考數據，即可求解.
【詳解】由題意可設生物組織內原有的碳14含量為x，需要經過n個才能被測到碳14，
則，即，
由參考數據可知，，，
所以.
故選：A．
3．證明見解析
【分析】根據根式和分數指數冪的運算法則進行化簡，即可得到結論.
【詳解】
，設，
則，即，
故成立.
4．32
【分析】根據基本不等式結合指數的運算即可得解.
【詳解】因為，
所以.
故答案為：.
5．BCD
【分析】根據給定條件，利用基本不等式求解判斷AB；利用基本不等式，結合指數運算判斷C；利用基本不等式“1”的妙用判斷D.
【詳解】為正實數，則，當且僅當時取等號，因此，A錯誤；
，當且僅當時取等號，B正確；
，當且僅當時取等號，C正確；
，
當且僅當，即時取等號，由，得，
所以當時，取得最大值，D正確.
故選：BCD
6．B
【分析】分別討論為奇數、偶數即可
【詳解】當時，原式；
當時，原式為偶數.
故選：B
7．
【分析】利用指數的運算求解即可.
【詳解】因為，
所以，，
所以.
故答案為：.
8．7
【分析】根據指數冪的運算法則計算即可.
【詳解】原式
.
故答案為：7.
9．.
【分析】利用指數冪運算公式化簡即可.
【詳解】原式.
10．或
【分析】根據指數的運算化簡即可.
【詳解】由已知
所以
所以
解得或
11．
【分析】先通過條件求出，然后可求出，進而可得，則通過可得答案.
【詳解】由已知，即
得，
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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