資源簡介

4.2.1指數函數的概念＋4.2.2指數函數的圖象和性質【第三練】
【試題來源】來自各地期中期末的聯考試題，進行整理和改編；
【試題難度】本次訓練試題難度較大，適合學完第三課后，起到提升解題能力和素養的目的.
【目標分析】
1.指數型復合函數的性質，培養邏輯推理，如第5題.
2.能利用新定義求解相關問題，鍛煉轉化與劃歸能力，如第8題.
3.能夠靈活應用指數函數與其他函數的性質求解恒成立問題 ，培養分類討論思想能力，如第12題.
一、單選題
（2023上·新疆伊犁·高一校聯考期中）
1．已知，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023上·貴州黔東南·高三校聯考階段練習）
2．已知函數，若，都有成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山西臨汾·高一統考期中）
3．已知函數有最大值，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·河南·高一濟源高中校聯考期中）
4．已知函數（且）是奇函數，則（ ）
A．2 B． C． D．
（2023上·云南大理·高三云南省下關第一中學校考期中）
5．若對，使得（且）恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江蘇南通·高一江蘇省南通中學校考期中）
6．已知函數的值域為，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2023上·河南·高一濟源高中校聯考期中）
7．已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A．的圖象關于原點對稱 B．的最大值為0
C．在上單調遞減 D．
（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高三統考階段練習）
8．高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，，則下列敘述中錯誤的是（ ）
A．在上是增函數 B．是奇函數
C．的值域是 D．的值域是
（2023上·重慶·高一西南大學附中校考期中）
9．下列說法正確的是（ ）
A．函數的圖象關于成中心對稱
B．函數（且）的圖象一定經過點
C．函數的圖象不過第四象限，則的取值范圍是
D．函數（且），，則的單調遞減區間是
三、填空題
（2023上·廣東東莞·高一東莞市東華高級中學校聯考期中）
10．函數（且）圖象過定點，且滿足方程，則最小值為 ．
（2023上·河南·高一濟源高中校聯考期中）
11．若函數的單調遞增開區間為，對，，則實數a的取值范圍是 ．
四、解答題
（2023上·河北滄州·高一校聯考階段練習）
12．已知是R上的奇函數．
(1)求b的值；
(2)若不等式對恒成立，求m的取值范圍．
（2023上·江蘇蘇州·高一蘇州中學校考期中）
13．函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為y關于x的奇函數，給定函數．
(1)求的對稱中心；
(2)已知函數，若對任意的，總存在，使得，求實數的取值范圍．
【易錯題目】第2，4，5，7，8，12，13題.
【復盤要點】指數函數是高考考查的重點內容之一，應當熟練掌握指數函數的概念、圖象、單調性和奇偶性等常考知識點，解含參指數不等式或者求等式中參數的取值范圍，通常需要分離參數，轉化為求有關函數的最值問題．注意數形結合思想和分類討論思想的使用．
典例:（2023上·重慶·高一西南大學附中校考期中）已知函數是奇函數，下列選項正確的是（ ）
A．
B．，且，恒有
C．函數在上的值域為
D．對，恒有成立的充分不必要條件是
【答案】ABD
【分析】根據函數的奇偶性的概念即可得的值，從而可判斷A；根據指數函數與反比例函數的性質可判斷函數在上的單調性，從而可判斷B；由函數的單調性求函數值即可得函數在上的值域，從而可判斷C；由函數單調性解不等式，結合含參一元不等式恒成立即可求的取值范圍，從而可判斷D.
函數的定義域為，又是奇函數，所以，故，故A正確；
，由于函數在上遞增，函數在上遞增，
所以函數上遞增，則，且，恒有，故B正確；
因為在上單調遞增，，又，所以函數在上的值域為，故C錯誤；
若對，恒有成立，則，即整理得的解集為，
當時，不等式的解集為，不符合題意
當時，要使得解集為，則有，解得，
綜上，對，恒有可得，其成立的充分不必要條件是，故D正確.
故選：ABD.
【復盤訓練】
（2023上·河南周口·高三校聯考階段練習）
14．已知函數，若恒成立，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·四川資陽·高一四川省資陽中學校考期中）
15．定義在上的函數滿足：①；②函數對任意的都有．則（ ）
A．0 B． C． D．
（2023上·江蘇鎮江·高一統考期中）
16．設函數，則滿足的實數的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·廣東汕頭·高一金山中學校考期中）
17．已知函數的定義域為，若對任意，存在正數，使得成立，則稱函數是定義在上的“有界函數”.則下列函數是“有界函數”的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·遼寧·高一校聯考期中）
18．已知函數，為常數，若有最大值，則的取值范圍是 .
（2023上·山東棗莊·高一統考期中）
19．已知函數是奇函數.
(1)求實數的值；
(2)若時，關于x的不等式恒成立，求實數的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據充分條件、必要條件的定義及指數函數的性質判斷即可.
【詳解】由，且，得，即充分性成立.
因為，所以，由，得，則，即必要性成立，
故“”是“”的充要條件.
故選：C
2．C
【分析】首先分析出函數單調遞增，再根據函數單調性定義得到不等式組，解出即可.
【詳解】因為對于，都有成立，所以函數是增函數，
則函數和均為增函數，且有，
即，解得.
故選：C.
3．B
【分析】由有最大值結合指數函數的圖像，得出當時，可取最大值，且該最大值大于等于，列出不等式求解即可．
【詳解】當時，的取值范圍是，
故當時，可取最大值，且該最大值大于等于，
顯然不合題意，
則必有，此時，解得，
故選：B．
4．C
【分析】根據函數的奇偶性列方程來求得的值.
【詳解】的定義域為，是奇函數，
所以，
即，
兩邊乘以得，
兩邊乘以得
，
不恒為，則恒為，
由得恒成立，所以，
由于且，所以.
故選：C
5．A
【分析】分與兩種情況，對不等式變形后，結合函數單調性求出最值，從而得到實數的取值范圍.
【詳解】若（且）對任意的都成立．
①當時，，由變形得到，故，
因為指數函數在上單調遞增，故要使得對任意成立，
只需，即得；
②當時，變形為，即得，
因為指數函數在上單調遞減，要使得對任意成立，
只需，即，即得，
因此，結合題意可知要使得對，使得（且）恒成立，
取與的交集，可知，
故選：A．
6．D
【分析】由函數值域為，利用指數函數和一次函數函數單調性以及畫出函數圖像分析即可解決問題.
【詳解】當時，單調遞增，
所以
當時，單調遞增，
所以，
要使得函數值域為，
則恒成立，
令，
如圖所示：

由圖可知有兩個交點，且交點的橫坐標分別為，
所以若要，則，
也即函數的值域為時，
則實數的取值范圍為：，
故選：D.
7．BC
【分析】根據函數的奇偶性、最值、單調性等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】的定義域為，
，所以是偶函數，不是奇函數，
圖象關于原點軸對稱，不關于原點對稱，所以A選項錯誤，
，當時，，
單調遞減，C選項正確，，D選項錯誤.
所以當時，單調遞增，
所以的最大值為，所以B選項正確，
故選：BC
8．BC
【分析】根據復合函數的單調性判斷A，再由特殊值判斷B，根據函數求值域判斷CD.
【詳解】根據題意知，，在定義域上單調遞增，
且，在上單調遞增，∴在上是增函數，故A正確；
∵，，
∴，，∴函數既不是奇函數也不是偶函數，故B錯誤；
∵，∴，，，∴，
即，∴，故C錯誤，D正確.
故選：BC
9．AD
【分析】根據分式分離得，結合反比例函數的圖象性質即可得的對稱中心，從而判斷A；由指數函數的定點可得函數的定點，從而判斷B； 由指數函數的圖象平移可得函數的圖象不過第四象限時的取值范圍，從而判斷C；利用復合函數單調即可判斷D.
【詳解】函數，其圖象是由反比例函數的圖象向左平移一個單位，再向上平移兩個單位得到，
故函數的圖象關于成中心對稱，故A正確；
當時，，則函數（且）的圖象一定經過點，故B錯誤；
由指數函數的圖象可得函數的圖象不過第四象限，則，所以的取值范圍是，故C錯誤；
函數中，，又且，所以，則，
由于函數，單調減區間為上，單調增區間為，函數在上單調遞減，
則函數的單調遞減區間是，故D正確.
故選：AD.
10．
【分析】先求出定點，代入方程得到的等式，再根據基本不等式可求得答案.
【詳解】由，（且），令，得，所以定點的坐標為，
代入方程得，即，，
，當且僅當，即，時等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：.
11．
【分析】根據復合函數的單調性求得，根據指數函數的單調性、一元二次不等式等知識求得的取值范圍.
【詳解】函數的開口向下，對稱軸為直線，
函數在上單調遞減，
根據復合函數單調性同增異減可知的單調遞增開區間為.
依題意，對，，
所以對，，
函數的開口向上，對稱軸是直線，
當時，函數在上單調遞增，
所以，
解得或.
當時，函數在時取得最小值，
所以，
解得.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：
【點睛】求解復合函數的單調性，首先要求得復合函數的定義域，研究函數的單調性，必須在函數定義域的范圍內進行研究.復合函數單調性的判斷，主要根據的是“同增異減”.求解一元二次不等式在某區間上恒成立問題，可利用分類討論的數學思想方法來進行求解.
12．(1)
(2)
【分析】（1）根據奇函數性質，列方程即可求出答案.
（2）利用復合函數與指數函數的單調性判斷的單調性，從而得到二次不等式恒成立，由此得解.
【詳解】（1）∵，是R上的奇函數，
∴，可得，
經檢驗，此時為奇函數，滿足題意．
∴．
（2）∵，
∴在R上單調遞增，
又為R上的奇函數，
∴由，，
∴，即恒成立，
當時，不等式為不可能對恒成立，故不合題意；
當時，要滿足題意，需，解得．
實數m的取值范圍為．
13．(1)
(2)
【分析】（1）構造函數，由列方程組，從而求得對稱中心.
（2）先求得在區間上的值域，根據“任意”、“存在”以及絕對值不等式的知識列不等式，從而求得的取值范圍.
【詳解】（1）假設的圖象存在對稱中心，
則的圖象關于原點中心對稱，
因為的定義域為，所以恒成立，
即恒成立，
所以，解得，
所以的圖象存在對稱中心.
（2）函數在區間上單調遞減，在區間上值域為，
由題意可知：對恒成立，
因為開口向下，對稱軸為，
若，即時，則在上單調遞減，
則，解得，不合題意；
若，即時，則在上單調遞增，在上單調遞減，
則，解得；
若，即時，則在上單調遞增，
則，解得，不合題意；
綜上所述：的取值范圍為.
14．A
【分析】參變分離可得恒成立，結合基本不等式求出的最小值，即可求出參數的取值范圍.
【詳解】因為恒成立，即恒成立，
所以恒成立，又由（當且僅當時取等號），
所以．
故選：A．
15．C
【分析】確定函數單調遞增，設，代入計算得到，解得，計算得到答案.
【詳解】，故函數在上單調遞增，
，故存在唯一值滿足條件，
即，，
當時滿足，又函數在上單調遞增，故是唯一解，
，.
故選：C.
16．C
【分析】分、和三種情況討論，結合指數函數的性質求解即可.
【詳解】當時，，
所以恒成立，
則；
當時，，
所以恒成立，
則；
當時，，
所以，
解得，則.
綜上所述，滿足的實數的取值范圍是.
故選：C.
17．BC
【分析】分別求出各個選項的值域，結合有界函數的定義即可得出答案.
【詳解】對于A，因為，所以，所以，
不存在正數，使得成立，故函數不是“有界函數”.
對于B，，
因為，所以，
存在正數，使得成立，故函數是“有界函數”.
對于C，，因為，所以，
所以，所以，所以，即，
存在正數，使得成立，故函數是“有界函數”.
對于D，令，則，
當即時，等號成立，即，
所以，不存在正數，使得成立，
故函數不是“有界函數”.
故選：BC.
18．
【分析】畫出的圖象，對進行分類討論，根據有最大值求得的取值范圍.
【詳解】畫出的圖象，如下圖所示，
由解得或，
當時，；當時，.
①對于二次函數，函數的圖象開口向下，對稱軸，
當時，；
②對于指數型函數，當時，.
對于函數，
當時，，
當時，，
當時，沒有最大值.
綜上所述，的取值范圍是.
故答案為：

【點睛】求解含參數的分段函數的最值問題，主要是要用數形結合的數學思想以及分類討論的數學思想方法來進行求解.要注意參數的位置，可能參數在函數的解析式上，也可能參數在函數的自變量的范圍上，畫出函數的圖象后，通過對參數進行分類討論來求得參數的取值范圍.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據得到，再驗證即可；
（2）變換得到，設，根據均值不等式計算得到，即可得到m的范圍.
【詳解】（1）是奇函數，且定義域為，所以，即，解得.
，，所以是奇函數，
故.
（2），，恒成立，得，
因為，所以，則，所以，
設，
因為，當且僅當，即時，等號成立，
又，所以，故，
所以，即.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁4.2.1指數函數的概念＋4.2.2指數函數的圖象和性質【第三課】
擴展1: 指數型復合函數的性質
例1.已知函數，則（ ）
A．是偶函數，且在R上是增函數 B．是奇函數，且在R上是增函數
C．是偶函數，且在R上是減函數 D．是奇函數，且在R上是減函數
【解析】∵函數的定義域為R，且，∴函數是奇函數．
∵函數在R上是減函數，∴函數在R上是增函數．
又函數在R上是增函數，∴函數在R上是增函數．
【答案】B
【方法總結】判斷與指數函數有關的函數的奇偶性與判斷一般函數的奇偶性的步驟相同，先求函數的定義域，當定義域關于原點不對稱時，此函數既不是奇函數也不是偶函數．當定義域關于原點對稱時，判斷與或是否相等；若已知函數的奇偶性，也可利用奇偶性求函數的解析式或參數的值等．
【舉一反三1-1】
1．已知函數是奇函數，則 ．
【舉一反三1-2】[廣東深圳2022高一期末]
2．已知函數．
(1)判斷的奇偶性，并說明理由；
(2)判斷的單調性，并用定義法給予證明．
擴展2: 與指數函數有關的新定義問題
例2.（2023·安徽黃山期末）高斯是德國著名的數學家，近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，例如： ， ，已知函數，則函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化簡函數，根據表示不超過的最大整數，可得結果.
【詳解】函數，
當時，；
當時，；
當時，，
函數的值域是，故選D.
【方法總結】新定義題型的特點是：通過給出一個新概念，或約定一種新運算，或給出幾個新模型來創設全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗證、運算，使問題得以解決.
【舉一反三2-1】（2023·湖北荊州聯考）
3．設函數和，若兩函數在區間上的單調性相同，則把區間叫做的“穩定區間”，已知區間為函數的“穩定區間”，則實數的可能取值是（ ）
A． B． C．0 D．
擴展3: 與指數函數有關的恒成立問題
例3.（2023上·安徽合肥·高三校考階段練習）已知函數，.
(1)若存在，使得成立，求實數的取值范圍；
(2)若不等式，對任意的恒成立，求實數的取值范圍.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由題設，問題化為在有解，應用換元法及二次函數性質求參數范圍；
（2）由題設得，令，問題進一步化為對任意的恒成立，根據右側單調性求最值，即可得參數范圍.
【詳解】（1）∵，，
∴，即在有解，
令，所以,
當時；當趨向于0或時趨向于，即.
（2），即，
令，因為，所以為增函數，
所以，則，
所以，化為對任意的恒成立，
在上單調遞減，
當時，取得最大值為，
所以，實數的取值范圍為.
【方法總結】對于不等式恒成立或存在成立問題，常常分離參數，結合函數最值求解.
【舉一反三3-1】（2023上·廣東深圳·高一深圳市高級中學校考期中）
4．已知指數函數（且）在其定義域內單調遞增．設函數，當時，函數恒成立，則x的取值范圍是 ．
【舉一反三3-2】（2023上·廣西南寧·高一南寧二中校考期中）
5．已知函數，在區間上有最大值，最小值.
(1)求實數，的值；
(2)存在，使得成立，求實數的取值范圍；
(3)若，且，如果對任意都有，試求實數的取值范圍.
（2022·北京卷）
6．已知函數，則對任意實數x，有（ ）
A． B．
C． D．
（2020·山東卷）
7．已知函數是偶函數，當時，，則該函數在上的圖像大致是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·天津卷）
8．若，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·新高考卷）
9．設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國乙卷）
10．已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
（2023·全國甲卷）
11．已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
（2015·山東卷）
12．已知函數 的定義域和值域都是 ，則 .
（2008·上海卷）
13．已知函數.
(1)若，求的值；
(2)若對于恒成立，求實數的取值范圍.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【分析】根據對任意非零實數恒成立，可求出結果.
【詳解】的定義域為，
因為為奇函數，所以對任意非零實數恒成立，
所以，即.
故答案為：.
2．(1)奇函數，理由見解析
(2)是上的增函數.，證明見解析
【分析】（1）利用奇偶性的定義進行證明；
（2）結合指數函數單調性及復合函數單調性法則判斷，再利用單調性的定義進行證明.
【詳解】（1）因為的定義域是，
且當時，，
故是奇函數；
（2）變形得，
令，則，
因為在上是增函數，，
又在上是單調遞增，
所以是增函數，下面用定義法證明：
任取兩個實數，，且，
則，
因為，所以，所以，
又，
所以，即，
故是上的增函數.
3．AB
【分析】首先求函數，根據兩個函數同為增函數或同為減函數，確定絕對值里面的正負，根據恒成立求的取值范圍.
【詳解】解：因為，則，
由題意得與在區間上同增或同減．
若同增，則在區間上恒成立，即，所以．
若同減，則在區間上恒成立，即，無解，
綜上，實數的取值范圍是，所以A，B選項符合題意．
故選：AB．
4．
【分析】先求出的解析式，然后代入得到的解析式，應用主元法轉化為關于的一次函數，然后端點處都為非負求解即可.
【詳解】因為是指數函數，所以，解得或者，
又因為在定義域內單調遞增，所以，所以，所以，
所以，
令，要使得即恒成立，
則，
所以，解得，
故答案為：
【點睛】方法點睛：熟練應用主元法可以降低運算量和思維量.
5．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根據二次函數的單調性可得，進而求解即可；
（2）令，由題意轉為問題為成立，進而結合對勾函數的單調性求解即可；
（3）由題意轉為問題為恒成立，進而結合二次函數的性質求解即可.
【詳解】（1）由題意，函數的對稱軸為，開口向上，
所以函數在上單調遞增，
則，解得，.
（2）由（1）知，，
則存在，使得成立，
即存在，使得成立，
令，即成立，
即成立，則只需滿足.
因為函數在上單調遞增，
所以當上，，
所以，即，
所以實數的取值范圍為.
（3）由題意，，
因為對任意都有，
即恒成立，
當時，顯然成立；
當時，轉化為恒成立，
由，則，
對于，
所以當，即時，，即；
對于，
所以當，即時，，即.
綜上所述，實數的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：對于不等式恒成立或存在成立問題，常常分離參數，結合函數最值求解.
6．C
【分析】直接代入計算，注意通分不要計算錯誤．
【詳解】，故A錯誤，C正確；
，不是常數，故BD錯誤；
故選：C．
7．B
【分析】根據偶函數，指數函數的知識確定正確選項.
【詳解】當時，，所以在上遞減，
是偶函數，所以在上遞增.
注意到，
所以B選項符合.
故選：B
8．D
【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.
【詳解】由在R上遞增，則，
由在上遞增，則.
所以.
故選：D
9．D
【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.
【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區間上單調遞減，
則有函數在區間上單調遞減，因此，解得，
所以的取值范圍是.
故選：D
10．D
【分析】根據偶函數的定義運算求解.
【詳解】因為為偶函數，則，
又因為不恒為0，可得，即，
則，即，解得.
故選：D.
11．A
【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.
【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，
因為，而，
所以，即
由二次函數性質知，
因為，而，
即，所以，
綜上，，
又為增函數，故，即.
故選：A.
12．
【詳解】若 ，則 在上為增函數,所以 ，此方程組無解；
若 ，則在上為減函數,所以 ，解得 ，所以.
考點：指數函數的性質.
13．(1)；
(2)
【分析】（1）分別討論和去絕對值解方程即可求解；
（2）由題意可得：對于恒成立，分離轉化為最值問題即可求解.
【詳解】（1）當時，，舍去；
當時，，即，
令，則，解得：或（舍），
所以，可得：.
（2）當時，，即，
即.
當時，，所以對于恒成立，
所以，
當，，，所以
故的取值范圍是.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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