資源簡(jiǎn)介

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念＋4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【第一練】
【試題來(lái)源】來(lái)自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進(jìn)行整理和組合；
【試題難度】本次訓(xùn)練試題基礎(chǔ)，適合學(xué)完新知識(shí)后的訓(xùn)練，起到鞏固和理解新知識(shí)的目的.
【目標(biāo)分析】
1.會(huì)判斷指數(shù)函數(shù)圖象，培養(yǎng)直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，如第1，2題.
2.會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題，鍛煉數(shù)學(xué)建模能力，如第5題.
3.會(huì)靈活應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解值域、不等式等問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等河西素養(yǎng)，如第6，8，9題.
1．下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.
3．設(shè)為實(shí)數(shù)，已知函數(shù)是奇函數(shù)，求的值.
4．已知函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性.
5．已知鐳經(jīng)過(guò)100年后剩留的質(zhì)量為原來(lái)的95.76%，設(shè)質(zhì)量為1g的鐳經(jīng)過(guò)x年后的剩留量為yg.
（1） 求100年、200年、300年后鐳的剩留量(精確到0.0001g)；
（2） 寫出函數(shù)y＝f(x)的解析式.
6．求函數(shù)y＝單調(diào)區(qū)間與值域.
7．設(shè)，求證：
（1）；
（2）.
8．求滿足下列條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
9．分別把下列各題中的3個(gè)數(shù)按從小到大的順序用不等號(hào)連接起來(lái)：
（1），，；
（2），，；
（3），，；
（4），，.
10．求下列函數(shù)可能的一個(gè)解析式：
（1）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表：
x 0 1 2
3.50 4.20 5.04
（2）函數(shù)的圖象如圖：
11．已知函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，且無(wú)限接近直線但又不與該直線相交.
（1）求該函數(shù)的解析式，并畫出圖象；
（2）判斷該函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.
12．已知f(x)=ax，g(x)=(a>0，且a≠1).
（1）討論函數(shù)f(x)和g(x)的單調(diào)性；
（2）如果f(x)【易錯(cuò)題目】第3，4，6，11，12題.
【復(fù)盤要點(diǎn)】熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)，需要弄清是由哪些函數(shù)復(fù)合而成.
【復(fù)盤訓(xùn)練】
13．下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，且＝，則f(－2)＝ .
（2023上·重慶·高一重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）
15．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
16．比較下列各題中兩個(gè)值的大小：
（1）；
（2）；
（3）.
17．已知函數(shù)，且，，求函數(shù)的一個(gè)解析式.
18．用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的.設(shè)漂洗前衣服上的污垢量為1，寫出衣服上存留的污垢量y與漂洗次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式.若要使存留的污垢不超過(guò)原有的1%，至少要漂洗幾次？
試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共1頁(yè)
參考答案：
1．C
【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)選擇．
【詳解】由于（，且），所以A，B，D都不正確，故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．如指數(shù)函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)，值域是．
2．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】由題意可得，解得.
3．
【分析】利用奇函數(shù)的定義得出，由此可求得實(shí)數(shù)的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，
即
，
解得.
4．是R上的增函數(shù).
【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義討論即可.
【詳解】因?yàn)椋琑，
設(shè)R，，則，
，所以，
故是R上的增函數(shù).
5．（1） 0.9576（g），0.9170（g），0.8781（g）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)條件算出即可；
（2）由題意可得.
【詳解】（1） 100年后鐳的剩留量為1×95.76%＝0.9576（g），200年后鐳的剩留量為1×(95.76%)2≈0.9170(g)，300年后鐳的剩留量為1×（95.76%）3≈0.8781(g).
（2） x年即個(gè)100年，所以經(jīng)過(guò)x年后鐳的剩留量為，
所以
6．增區(qū)間為，減區(qū)間為，值域?yàn)?
【分析】令t＝－x2＋2x，則y＝t，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解；利用換元法求函數(shù)的值域即可.
【詳解】令t＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，當(dāng)x∈時(shí)，t單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈時(shí)，t單調(diào)遞減.而函數(shù)y＝t是減函數(shù)，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)y＝在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)y＝的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
又因?yàn)閠≤1，所以t≥1，從而函數(shù)y＝的值域?yàn)?
7．（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可直接得結(jié)果；（2）直接利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果.
【詳解】（1）∵，
∴左邊，右邊，即左邊右邊，
所以原式得證.
（2）∵
∴左邊，右邊，即左邊右邊，
所以原式得證.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.
8．（1） （2） （3） （4）
【分析】（1）轉(zhuǎn)化原式為，利用指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即得解；
（2）轉(zhuǎn)化原式為，利用指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即得解；
（3）轉(zhuǎn)化原式為，利用指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，即得解；
（4）轉(zhuǎn)化原式為，利用指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減，即得解
【詳解】（1）由題意，
由于指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增
故
即滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍是
（2）由題意，
由于指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞增
故
即滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍是
（3）由題意，
由于指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減
故
即滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍是
（4）由題意，
由于指數(shù)函數(shù)在R上單調(diào)遞減
故
即滿足條件的實(shí)數(shù)x的取值范圍是
9．詳見(jiàn)解析.
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解,
【詳解】（1）因?yàn)椋?br/>又因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，
所以，
所以；
（2）因?yàn)椋?br/>所以；
（3）因?yàn)椋?br/>又因?yàn)樵赗上是減函數(shù)，
所以，
所以；
（4）因?yàn)椋?br/>又又因?yàn)樵赗上是增函數(shù)，
所以，
所以.
10．（1）；（2）．
【解析】（1）通過(guò)描點(diǎn)可以判斷函數(shù)可以近似看成一次函數(shù)，設(shè)，再代入其中兩點(diǎn)即可算出答案；
（2）由圖象可知函數(shù)模型為指數(shù)型，設(shè)，代入兩點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案．
【詳解】解：（1）設(shè).
把代入得，
，解得，
為可能的解析式；
（2）設(shè)，將代入，得
，解得，
∴為一個(gè)可能的解析式．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象建立合適的函數(shù)模型，屬于開(kāi)放性的基礎(chǔ)題．
11．（1），圖象見(jiàn)解析；（2）為偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù).
【分析】（1）由函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)可得，又由圖象無(wú)限接近直線可得，由此可求出函數(shù)的解析式，去掉絕對(duì)值再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象特征即可畫出函數(shù)圖象；
（2）利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性，去掉絕對(duì)值得，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)即可求得函數(shù)的單調(diào)性．
【詳解】解：（1）由題意知，，，
，
∴，圖象如圖：
（2）∵，
∴，
為偶函數(shù)，
又，
∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
12．（1）答案見(jiàn)解析；（2）當(dāng)a>1時(shí)，x的取值范圍是；當(dāng)0【分析】（1）由題意按照a>1、0（2）由題意轉(zhuǎn)化條件得，按照a>1、0【詳解】（1）當(dāng)a>1時(shí)，f (x)=ax是R上的增函數(shù)，
由于0<<1，所以g(x)=是R上的減函數(shù)；
當(dāng)0由于>1，所以g(x)=是R上的增函數(shù)；
（2），
當(dāng)a>1時(shí)，x<0；當(dāng)00.
∴當(dāng)a>1時(shí)，x的取值范圍是；
當(dāng)0【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.
13．D
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】指數(shù)函數(shù)定義為：形如且的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)；
對(duì)于A，不滿足指數(shù)函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，不滿足指數(shù)函數(shù)定義，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，不滿足指數(shù)函數(shù)定義，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，滿足指數(shù)函數(shù)定義，D正確.
故選：D.
14．
【解析】設(shè)出指數(shù)函數(shù)的解析式，根據(jù)＝，求出函數(shù)的解析式，代入求值即可.
【詳解】函數(shù)f(x)為指數(shù)函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax（且）， 由＝，
得 ，所以a＝3，即f(x)＝3x，f(－2)＝＝.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了代入法函數(shù)的解析式以及求函數(shù)值，關(guān)鍵是利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，屬于基礎(chǔ)題.
15．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)的判定方法，即可求解.
【詳解】設(shè)，即，
可得函數(shù)的圖象表示開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為的拋物線，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又由函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，
結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為.
故答案為：.
16．（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由函數(shù)的單調(diào)性比較；
（2）由函數(shù)的單調(diào)性比較；
（3）與中間值 1比較．
【詳解】（1）函數(shù)在上是增函數(shù)，
.
（2）函數(shù)在上為減函數(shù)，
.
（3）.
【點(diǎn)睛】本題考查比較冪的大小，同底數(shù)的冪可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，不同底數(shù)的冪可借助中間值為1比較大小．
17．
【解析】用連乘法求，然后用歸納法歸納一個(gè)結(jié)論．
【詳解】由已知得，，，
，
，又.
【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的解析式，由于只知道一些函數(shù)值，并不知道函數(shù)的形式，因此可用歸納法思想歸納一個(gè)結(jié)論．
18．；次
【分析】由題意列出指數(shù)函數(shù)表達(dá)式，從而得出不等式，解不等式即可求解.
【詳解】由條件可知，每次存留的污垢是上一次存留污垢的，
故存留污垢y與漂洗次數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式為，
若，則，
由 ，且可知，，
故至少要漂洗次.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念＋4.2.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【第一課】
【課標(biāo)要求】
1.了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念.
2.了解指數(shù)增長(zhǎng)型和指數(shù)衰減型在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用.
3.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象及簡(jiǎn)單性質(zhì).
4.會(huì)求指數(shù)形式的函數(shù)定義域、值域、最值，以及能判斷與證明單調(diào)性.
5.能夠利用指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)比較數(shù)的大小、解不等式.
【明確任務(wù)】
1.會(huì)判斷指數(shù)函數(shù).【數(shù)學(xué)抽象】
2.掌握指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì).【直觀想象】
3.能熟練應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題.【直觀想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算】
1.冪函數(shù)：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)．常見(jiàn)的五類冪函數(shù)為y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.
①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；
②當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；
③當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．
2.函數(shù)f(g(x))的單調(diào)性與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的單調(diào)性的關(guān)系是“同增異減”．
核心知識(shí)點(diǎn)1: 指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)（，且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．
解讀：對(duì)于指數(shù)函數(shù)的定義應(yīng)注意以下三個(gè)方面：
1．定義域?yàn)镽
指數(shù)冪的概念已經(jīng)由整數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，所以在，且的前提下，自變量x可以取任意實(shí)數(shù)．
2．規(guī)定，且，是因?yàn)?br/>若，則恒為1，沒(méi)有研究?jī)r(jià)值；
若，則時(shí)，恒為0，而當(dāng)時(shí)，無(wú)意義；
當(dāng)時(shí)，中m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)，無(wú)意義，例如，，當(dāng)x取，，…時(shí)，無(wú)意義；
當(dāng)或，即且時(shí)，x可以是任意實(shí)數(shù)．
3．函數(shù)解析式形式要求
指數(shù)函數(shù)表達(dá)式中，需滿足：①系數(shù)必須為1；②自變量出現(xiàn)在指數(shù)位置上；③底數(shù)為大于0，且不等于1的常數(shù)，不能是自變量；④整個(gè)式子僅有一項(xiàng)，例如就不是指數(shù)函數(shù)．
4.拓展 古代數(shù)學(xué)文化
例1. 給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧，其中為指數(shù)函數(shù)的有______．（填正確結(jié)果的序號(hào)）
【解析】由指數(shù)函數(shù)定義的特征知，②不符合自變量出現(xiàn)在指數(shù)上，③不符合的系數(shù)必須為1，④不符合且，⑥不符合指數(shù)部分只是自變量x，⑦不符合底數(shù)為常數(shù)，所以正確結(jié)果的序號(hào)為①⑤⑧．
【答案】①⑤⑧
歸納總結(jié): 在由定義判斷函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)時(shí)，一定要注意滿足指數(shù)函數(shù)解析式形式的四個(gè)要求，要思考全面，避免由于思維不縝密而出錯(cuò)．
【舉一反三1-1】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）
1．給出下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤．其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【舉一反三1-2】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）
2．若函數(shù)，且是指數(shù)函數(shù)，則 ， ．
核心知識(shí)點(diǎn)2：指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象與性質(zhì)
底數(shù)a的范圍
圖象
性質(zhì) 定義域 R
值域
定點(diǎn)
單調(diào)性 在R上單調(diào)遞增 在R上單調(diào)遞減
函數(shù)值的變化 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，
奇偶性 非奇非偶函數(shù)
解讀：（1）當(dāng)?shù)讛?shù)a大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情況討論．
（2）畫指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)特征點(diǎn)：，，．
注意 由于指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，因此我們討論與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)，只需令指數(shù)位置為0，則指數(shù)式為1，解出相應(yīng)的x，y，即可得定點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）函數(shù)（，且）與函數(shù)（，且）的關(guān)系
在同一平面直角坐標(biāo)系中作出（，且）與（，且）的圖象時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，兩函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．例如，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖所示．
（4）不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)圖象間的相對(duì)位置關(guān)系
對(duì)于不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的圖象，則．
指數(shù)函數(shù)（，且）與（，且）的圖象特點(diǎn)
（1）若，則當(dāng)時(shí)，總有；當(dāng)時(shí)，總有；當(dāng)時(shí)，總有．
（2）若，則當(dāng)時(shí)，總有；當(dāng)時(shí)，總有；當(dāng)時(shí)，總有．
例2.（2023上·山西·高一統(tǒng)考期中）函數(shù)（，且）的圖像恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：.
【方法總結(jié)】指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)(0，1)，求指數(shù)型函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)時(shí)，只要令指數(shù)為0，求出對(duì)應(yīng)的y的值，即可得函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn).
【舉一反三】（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）
3．函數(shù)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
核心知識(shí)點(diǎn)3: 指數(shù)函數(shù)的定義域與值域
1．定義域
（1）指數(shù)函數(shù)（，且）的定義域?yàn)镽．
（2）（，且）的定義域與函數(shù)的定義域相同．
（3）的定義域與函數(shù)的定義域不一定相同．函數(shù)的定義域?yàn)椋亩x域?yàn)镽，求的定義域時(shí)，應(yīng)通過(guò)復(fù)合函數(shù)的定義，由的定義域與的值域的等價(jià)性，建立關(guān)于x的不等式，利用指數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求解．
2．值域
（1）指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（2）求形如的函數(shù)的值域時(shí)，先求的值域，然后結(jié)合函數(shù)（，且）的性質(zhì)確定的值域．
（3）求形如的值域，轉(zhuǎn)化為求時(shí)，的值域．
（4）有關(guān)指數(shù)函數(shù)最值問(wèn)題往往結(jié)合函數(shù)單調(diào)性更易求解．
例3.（1）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
（2）函數(shù)f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是(　　)
A．(0，＋∞) B．(0，9)
C．(，9] D．(，27)
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）∵的定義域?yàn)椋啵矗?br/>∴，解得，
∴的定義域?yàn)椋蔬xA．
（2）因?yàn)?＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.
而函數(shù)f(x)＝3x是單調(diào)遞增的，于是有＜f(x)≤32＝9，
即所求函數(shù)的值域?yàn)?，9]，故選C.
歸納總結(jié): 函數(shù)y＝af(x)定義域、值域的求法
(1)定義域．函數(shù)y＝af(x)的定義域與y＝f(x)的定義域相同．
(2)值域．①換元，令t＝f(x)；②求t＝f(x)的定義域x∈D；③求t＝f(x)的值域t∈M；④利用y＝at的單調(diào)性求y＝at，t∈M的值域．
【舉一反三】
4．求下列函數(shù)的定義域與值域：
(1)；
(2).
核心知識(shí)點(diǎn)4: 指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減．
解讀：函數(shù)（，且）與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系如下表：
指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性 與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增；若在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞減 當(dāng)時(shí)，若在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減；若在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增
例4.函數(shù)f(x)＝的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_______．
【答案】(－∞，1]
【解析】設(shè)u＝－x2＋2x＋1，
因?yàn)閥＝在R上為減函數(shù)，
所以函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．
又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，
所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]．
歸納總結(jié):
討論形如的函數(shù)的單調(diào)性，首先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合底數(shù)中的a是滿足，還是滿足來(lái)確定函數(shù)的單調(diào)性，其核心：同增異減．
與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的不等式往往通過(guò)適當(dāng)化簡(jiǎn)可變形為，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將其轉(zhuǎn)化為（當(dāng)時(shí)）或（當(dāng)時(shí)）．
【舉一反三】
5．判斷函數(shù)的單調(diào)性．
核心知識(shí)點(diǎn)5: 指數(shù)函數(shù)的圖象變換
已知指數(shù)函數(shù)（，且）．
1．平移變換
；
；
．
規(guī)律總結(jié)：上加下減（針對(duì)函數(shù)值y），左加右減（針對(duì)自變量x）．
2．對(duì)稱變換
；
；
．
3．翻折變換
；
．
解讀： 畫與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象的策略
（1）找特殊點(diǎn)，選取圖象上的幾個(gè)特殊點(diǎn)，描點(diǎn)、連線、畫圖．指數(shù)函數(shù)的圖象過(guò)定點(diǎn)，所以畫與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象，一般會(huì)先選取函數(shù)圖象所過(guò)的定點(diǎn)．
（2）圖象變換．
（3）利用函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性等．
例5.利用函數(shù)的圖象，作出下列各函數(shù)的圖象：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
【解析】利用指數(shù)函數(shù)的圖象及變換作圖法可作出所要作的函數(shù)圖象．如圖4.2-2所示．
歸納總結(jié): 利用指數(shù)函數(shù)圖象作有關(guān)函數(shù)圖象的基本方法——變換作圖法
對(duì)于與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的作圖問(wèn)題，一般宜用變換作圖法作圖，這樣有利于從整體上把握函數(shù)的性質(zhì)．利用變換作圖法作圖要注意：（1）選擇哪個(gè)指數(shù)函數(shù)作為起始函數(shù)；（2）平移的方向及單位長(zhǎng)度．常用的變換作圖法主要有：
此外，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象保持在軸上及軸上方的部分不動(dòng)，把軸下方的部分翻折到軸上方得到．
【舉一反三】
6．已知函數(shù)y＝3x的圖象，怎樣變換得到的圖象？并畫出相應(yīng)圖象．
（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）
7．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（　　）
A．或 B．
C． D．且
（2023上·廣東茂名·高三校考階段練習(xí)）
8．若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，則（ ）
A． B． C．3 D．9
（2023·浙江省余姚市夢(mèng)麟中學(xué)月考）
9．函數(shù)（，且）的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知指數(shù)函數(shù)，且，則的取值范圍是 .
（2023·湖南岳陽(yáng)期中）
11．函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)? .
（2023上·山西·高一統(tǒng)考期中）
12．函數(shù)（，且）的圖像恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．
試卷第2頁(yè)，共2頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共1頁(yè)
參考答案：
1．B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的定義，對(duì)所給函數(shù)逐一判斷即可.
【詳解】①中，的系數(shù)是－1，故①不是指數(shù)函數(shù)；
②中，的指數(shù)是x＋1，不是自變量x，故②不是指數(shù)函數(shù)；
③中，的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有一項(xiàng)，故③是指數(shù)函數(shù)；
④中，的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù)．
⑤中，底數(shù)，不是指數(shù)函數(shù)．
綜上，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為1，
故選：B.
2．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，指數(shù)式的系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為0，即可求出參數(shù)的值．
【詳解】因?yàn)槭侵笖?shù)函數(shù)，
所以，解得，
故答案為：4，4．
3．A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過(guò)的定點(diǎn)．
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，，
所以函數(shù)且的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
故選：A.
4．(1)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)榍?br/>(2)定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?br/>【分析】根據(jù)具體函數(shù)定義域的求法得出定義域，在根據(jù)定義域結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域得出答案.
【詳解】（1）由，得，所以定義域?yàn)椋?br/>則，所以，
所以的值域?yàn)榍遥?br/>（2）由，得，所以定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，
又因?yàn)椋裕?br/>即的值域?yàn)椋?br/>5．答案見(jiàn)解析
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】由于函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
設(shè)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因而函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
因而函數(shù)在上單調(diào)遞減．
綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
6．答案見(jiàn)解析；作圖見(jiàn)解析．
【分析】根據(jù)“左加右減”，“上加下減”的規(guī)律，即可求解.
【詳解】解： ．作函數(shù)y＝3x關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得函數(shù)的圖象，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)的圖象，最后再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度就得到函數(shù)的圖象，如圖所示．
7．C
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，
所以，解得.
故選：C.
8．B
【分析】根據(jù)題意，由求得函數(shù)解析式求解.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)，
所以，解得 ，
所以，
則，
故選：B
9．D
【分析】分別討論或時(shí)，圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可得出答案.
【詳解】A，B選項(xiàng)中，，于是，所以圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在之間，
顯然A，B的圖象均不正確；
C，D選項(xiàng)中，，于是，圖象與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)應(yīng)在小于，所以D項(xiàng)符合.
故選：D
10．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】∵,∴指數(shù)為增函數(shù)，∴,
故答案為：
11．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析求解.
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?
故答案為：.
12．
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以恒過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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