資源簡介

【第一練】4.3.1對數的概念＋4.3.2對數的運算
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.利用對數的意義，培養數學抽象，如第1題.
2.理解對數與指數的轉化關系，鍛煉邏輯推理能力，如第3題.
3.能夠靈活應用對數的性質求解相關問題，培養運算求解能力，如第6，7，8題.
4.能利用對數的換底公式解題，鍛煉邏輯推理能力，如第9題.
1．使式子有意義的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．,且
2．已知與互為相反數，則（ ）
A． B． C． D．
3．(多選)下列指數式與對數式的互化中正確的是（ ）
A．100＝1與lg1＝0 B．＝與log27＝－3
C．log39＝2與32＝9 D．log55＝1與51＝5
4．已知，，，，則 ， ， ， ，一般地， .
5．將下列指數式改寫成對數式：
（1）； （2）；（3）； （4）.
6．將下列對數式改寫成指數式：
（1）； （2）；（3）.
7．求下列各式的值：
（1）； （2）.
8．求下列各式的值：
(1)
(2)
(3)
(4).
9．求的值．
10．如圖，2000年我國國內生產總值（GDP）為89442億元.如果我國GDP年均增長7.8%，那么按照這個增長速度，在2000年的基礎上，經過多少年以后，我國GDP就能實現比2000年翻兩番的目標？（參考數據：）
11．求下列各式中x的值：
（1）logx3＝；
（2）log64x＝－；
（3）－lne2＝x；
（4）；
（5）log5[log3(log2x)]＝0.
12．求滿足下列條件的各式的值：
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
13．我們可以把看作每天的"進步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用計算工具計算并回答下列問題：
（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？
（2）大約經過多少天后“進步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【易錯題目】第1，6，7，8，11，12題
【復盤要點】不能熟記對數的性質和對數的運算性質，計算出錯.
【復盤訓練】
14．下列指數式與對數式互化不正確的一組是（ ）
A．與 B．與
C．與 D．與
15．化簡的結果為（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
16．設，則（ ）
A． B． C． D．
（2023上·福建泉州·高一福建省泉州市泉港區第一中學校聯考期中）
17． （其中）
18．設，則實數 ．
19．（1）求值：；
（2）已知：，求的值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【解析】根據對數的定義得到不等式組解得.
【詳解】解：
解得，即且.
故選：
【點睛】本題考查對數的定義，屬于基礎題.
2．C
【分析】根據相反數的概念以及對數運算法則得出結果.
【詳解】由已知得，即，所以.
故選：C.
3．ACD
【分析】根據指數運算和對數運算的法則，相互轉化逐項判斷即可.
【詳解】B選項中，＝ log27＝－.
故選：ACD
4． 2 5 ##
【分析】根據求解即可.
【詳解】由題意可得：； ； ； ；.
故答案為：2；5；；；.
5．（1）. （2）. （3）. （4）.
【分析】根據指對數的互化逐個改寫即可
【詳解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
6．（1）； （2）. （3）.
【分析】根據指對數的互化逐個改寫即可
【詳解】（1）； （2）. （3）.
7．（1）13；（2）3.
【分析】（1）由，根據對數運算性質可得答案.
（2）由，根據對數運算性質可得答案.
【詳解】解：（1）因為.所以；
（2）因為，所以.
8．(1)5
(2)-32
(3)2
(4)-1
【分析】根據對數運算法則計算可得答案.
【詳解】（1）解：，故；
（2）解：，故；
（3）解：，故；
（4）解：，故．
9．．
【分析】運用對數的換底公式和對數的運算法則可求得答案.
【詳解】解法1：．
解法2：．
解法3：.
10．19年.
【分析】假設經過x年實現GDP比2000年翻兩番的目標，再根據題意列式計算即可
【詳解】假設經過x年實現GDP比2000年翻兩番的目標.
根據題意，得，，
故.
所以，約經過19年以后，我國GDP就能實現比2000年翻兩番的目標.
11．（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8.
【分析】利用對數的概念及指數式對數式互化即得.
【詳解】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9.
（2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝.
（3）因為－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2.
（4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2，
解得x＝1或x＝3，又因為x＝1時，x2－2＝－1<0，舍去；
x＝3時，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合題意．
綜上，x＝3.
（5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1，
所以log2x＝3，
故x＝23，即x＝8.
12．（1）；（2）
【解析】（1）首先解方程求出的值，再根據對數恒等式計算可得；
（2）根據對數恒等式計算可得.
【詳解】解：（1）
，
；
（2），.
【點睛】本題考查對數恒等式的應用（且），屬于基礎題.
13．（1）1480.7倍（2）115天、230天、345天
【解析】（1）根據所給條件，利用指數冪的性質變形，最后利用計算器計算可得.
（2）根據指數和對數的關系，將指數式化為對數式，分別利用計算器計算可得.
【詳解】解：（1）.
∴一年后“進步”的大約是“落后”的倍
（2）由得
∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍.
由得.
∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍.
由得解得
∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍.
【點睛】本題考查指數和對數的互化，計算器的應用，屬于基礎題.
14．C
【分析】結合指數式與對數式互化的知識確定正確答案.
【詳解】根據指數式與對數式互化可知：
對于選項A：等價于，故A正確；
對于選項B：等價于，故B正確；
對于選項C：等價于，故C錯誤；
對于選項D：等價于，故D正確；
故選：C.
15．A
【分析】本題運用對數的運算直接解題即可.
【詳解】解：，
故選：A.
【點睛】本題考查對數的運算，是基礎題.
16．B
【分析】根據已知等式，利用指數對數運算性質即可得解
【詳解】由可得，所以，
所以有，
故選：B.
【點睛】本題考查的是有關指對式的運算的問題，涉及到的知識點有對數的運算法則，指數的運算法則，屬于基礎題目.
17．故答案為：-10.
【分析】此題考查根式指數式運算,運用指數對數運算法則進行解析.
【詳解】
故答案為：-10.
18．4
【分析】結合換底公式和對數運算性質即可求解.
【詳解】左邊，所以，解得或（負值舍去），
故答案為：．
19．（1）2；（2）
【分析】（1）由對數運算性質可得答案；
（2）由指數冪的運算性質結合指對互化可得答案.
【詳解】（1）原式
．
（2）因為，所以
所以．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第一課】4.3.1對數的概念＋4.3.2對數的運算
【課標要求】
1.理解對數的概念.
2.知道自然對數和常用對數.
3.通過閱讀材料，了解對數的發現歷史以及對簡化運算的作用.
4.理解對數的運算性質，能進行簡單的對數運算.
5.知道對數的換底公式，能將一般對數轉化為自然對數和常用對數，并能進行簡單的化簡、計算.
【明確任務】
1.理解對數的概念.自然對數和常用對數.【數學抽象】
2.能熟練應用對數的運算性質進行運算.【數學運算】
3.能熟練應用對數的換底公式解題.【數學運算】
實數指數冪的運算性質:
① ；
② ；
③ .
指數冪運算的一般原則：①首先將根式、分數指數冪統一為分數指數冪，以便利用法則計算.②先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數.③底數是負數，先確定符號；底數是小數，先化成分數；底數是帶分數的，先化成假分數.④運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.
核心知識點1: 對數的概念
1．對數的概念
一般地，如果（，且），那么數x叫做以a為底N的對數，記作，其中a叫做對數的底數，N叫做真數．
例如，因為，所以就是以64為底16的對數，記作．
理解 是一個整體，一個實數，不是，不能拆開．
解讀：
1.規定底數，且，是因為：
當時，N取某些值時，x的值不存在，如是不存在的．
當時，
①若，則x的值不存在，如，即是不成立的；
②若，則x的值是任意正數，不是唯一的，即有無數個值．
當時，
①若，則x的值不存在，如，即是不成立的；
②若，則x的值是任意的，不是唯一的，即有無數個值．
2.規定真數，是因為：
由之前學習的指數（，且）可以知道真數．
注意 對數本身的限制條件是底數，且，解題時常因忽略此條件而出錯．
例1（2023·廣東省惠陽中山中學月考）在對數式中，實數的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
由題意得解得且，故實數的取值范圍為．
歸納總結: 要對數式有意義，底數必須大于零且不等于1，對數的真數恒為正.
【舉一反三】
1．在中，實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C． D．
核心知識點2：常用對數與自然對數
常用對數 以10為底的對數叫做常用對數 簡記為
自然對數 以e為底的對數叫做自然對數，其中e為無理數， 簡記為
解讀：常用對數也稱為十進對數，是由納皮爾與布里格斯提出的，開始他們共同編制十進對數表，最后在1624年由布里格斯完成，因此又稱為布里格斯對數．
自然對數在物理學、生物學等自然科學中有重要的意義．
例2（2023上·貴州貴陽·高二統考期中）若與互為相反數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由對數的運算性質可得.
【詳解】與互為相反數，
，則，
故選：C.
提醒 注意常用對數與自然對數的書寫形式.
【舉一反三】
2．化簡：
(1)；
(2).
核心知識點3: 指數式與對數式的互化
根據對數的定義，可以得到對數與指數間的關系：當，時，．
解讀：在與中，x，a，N是同一個代表符號，只是有不同的名稱，例如，與是等價式，兩式是可以互相轉化的．
表達形式 a x N 對應運算
底數 指數 冪 乘方，由a，x求N
方根 根指數 被開方數 開方，由N，x求a
底數 對數 真數 對數，由N，a求x
例3.（1）將下列指數式改寫成對數式：，．
（2）將下列對數式改寫成指數式：，．
【解析】
（1），．
（2），．
歸納總結: 對數式與指數式的關系如圖：
【舉一反三】
3．將下列指數式、對數式互化.
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
核心知識點4:對數的性質
（1）負數和0沒有對數．
（2）1的對數等于0，即．
因為，所以．
（3）底數的對數等于1，即．
因為，所以．
（4）對數恒等式．
因為，所以，將代入，
即得．
（5）．
因為，所以，將代入，
即得．
解讀： 對數的性質不僅僅在于簡化運算，更重要的是利用對數的性質可以將任意一個實數轉化為對數，如．
例4.（1）已知，那么________.
（2）的值為________.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，
∴log2x＝3，∴x＝23，∴x－＝(23)－＝＝.
（2）原式＝3·3log36－24·2log23＋(10lg3)3＋(3log34)－2
＝3×6－16×3＋33＋4－2＝18－48＋27＋＝－.
歸納總結:
(1)對數運算時的常用性質：logaa＝1，loga1＝0.使用對數的性質時，有時需要將底數或真數進行變形后才能運用；對于多重對數符號的，可以先把內層視為整體，逐層使用對數的性質．
(2)對于對數恒等式alogaN＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為對數的真數．
【舉一反三】
（2023上·江蘇鹽城·高一統考期中）
4．下列式子中正確的是（ ）
A． B．若，則
C．若，則 D．
核心知識點5: 對數的運算性質
如果，且，，，那么
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解讀：由對數的運算性質（1）得，積的對數等于對數的和，
逆向理解：同底數相加，底數不變，真數相乘．
由（2）得，商的對數等于對數的差，
逆向理解：同底數相減，底數不變，真數相除．
由（3）得，冪的對數等于對數的倍數，
逆向理解：對數的倍數可以作為真數的指數．
注意 對數的運算性質必須在同底數時才能使用，而且必須保證每個對數都有意義．若M，N同號，則以及還成立嗎？事實上是不成立的，但是是成立的．
對數運算中的常用結論：
已知，且，
（1）；
（2）；
（3）推廣：（，，，…，均大于0）．
例5.（2023上·廣東佛山·高一校考階段練習）計算 .
【答案】
【分析】利用分數指數冪和對數運算法則計算即可.
【詳解】
.
故答案為：
歸納總結: 靈活運用對數運算法則進行對數運算，要注意法則的正用和逆用．在化簡變形的過程中，要善于觀察、比較和分析，從而選擇快捷、有效的運算方案進行對數運算．
【舉一反三】
（2023上·福建福州·高一福州四中校考期中）
5．求值：
(1)；
(2).
核心知識點6:對數的換底公式
對數的運算，必須同底對數才能直接運算，而實際問題中往往有不同底對數的運算問題，所以引入換底公式．
換底公式：（，且；；，且）．
例如，．
解讀：換底公式的本質是改變對數的底數，將不同的底數轉化為相同的底數，進行化簡、計算以及證明．
（1）換底公式的證明（對數的定義和指數、對數的互化）：
已知，且；；，且．
設，可化為指數式，兩邊同時取以c為底的對數，得．
把代入上式得．
因為，所以，則．
例6.（1）（2023·江蘇省常州市期末）的值為______．
（2）（2023·江西省撫州市期末）若，且，則______．
【答案】（1） （2）1
【解析】
【詳解】
（1）．
（2）設（，且），
則，，，則．
歸納總結: 利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧
常用的對數換底公式，其中，且，且，且，m，．
①；
②；
③．
【舉一反三】
6．設，那么m等于（ ）
A． B．9 C．18 D．27
（2023·全國·高一專題練習）
7．在中，實數的取值范圍是（ ）
A．或 B．或
C． D．
8．有以下四個結論：① ；② ；③若 ，則 ；④若 ，則 ．其中正確的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
（2023·四川省瀘縣一中月考）
9．已知lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的兩個根，則的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
（2023 遼寧省沈陽市重點高中聯合體月考）
10．下列式子中正確的是（ ）
A． B．
C．若,則 D．若,則
（2023上·黑龍江·高二統考學業考試）
11． .
（2023上·貴州貴陽·高一貴陽一中校考階段練習）
12．（1）若，，求的值；
（2）求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據對數的概念即得.
【詳解】要使式子有意義，則，
解得或.
故選：B.
2．(1)4
(2)
【分析】由對數的運算法則化簡求值.
【詳解】（1）．
（2）．
3．(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
【分析】根據指數與對數互化的公式即可得到答案.
【詳解】（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得；
（4）由，得.
4．AD
【分析】根據指對數互化以及指對數的運算性質判斷四個選項即可.
【詳解】對于A，，，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，則，故C錯誤；
對于D，，故D正確，
故選：AD.
5．(1)
(2)
【分析】（1）利用指數冪的運算性質求解即可；
（2）利用對數運算的性質求解即可.
【詳解】（1），
（2）.
6．B
【分析】利用換底公式化簡得到對數方程，求出即可.
【詳解】,
，，
故選：B.
7．B
【分析】由對數的定義，真數大于，底數大于且不等于，得到關于的不等式組，求解不等式即可.
【詳解】由對數的定義可知，
解得，且，
故選：B．
8．C
【分析】根據對數的性質以及和指數式的互化，一一判斷各選項，可得答案.
【詳解】對于①，，正確；
對于②，，正確；
對于③，若 ，則，故錯誤；
對于④，若 ，則，故錯誤，
故選：C.
9．C
【分析】運用二次方程的韋達定理和對數的運算性質，結合配方法，計算即可得到所求值．
【詳解】 是方程的兩個根，由韋達定理可得，
可得 ，
則
故選C．
【點睛】本題考查對數的運算性質，以及二次方程根的韋達定理的運用，考查配方法，屬于基礎題．
10．AB
【分析】根據對數的定義和運算公式計算即可.
【詳解】因為,所以,故A正確;
因為,故B正確;
若,則,故C不正確;
若,則,故D不正確.
故選:AB.
11．0
【分析】根據對數的運算法則運算求解.
【詳解】.
故答案為：.
12．（1）；（2）
【分析】（1）根據指對互化得出，，進而根據指數冪的運算性質，化簡求值即可得出答案；
（2）根據指數冪的運算性質，以及對數的運算性質、對數恒等式，化簡求值即可得出答案.
【詳解】（1）由，，可得，，
所以，，
所以.
（2）
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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