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17.1勾股定理(三)
[課時(shí)目標(biāo)]
1. 能利用勾股定理作長為(n為大于1 的整數(shù))的線段.能在數(shù)軸上表示任意一個無理數(shù).(重點(diǎn))
2. 能利用勾股定理解決展開圖中的最短距離問題.(難點(diǎn))
[知識梳理]
1. 在數(shù)軸上表示無理數(shù) (c>0)的步驟:(如圖①所示)
(1) 把c轉(zhuǎn)化為兩個正整數(shù)a、b的平方和，即、
(2) 以O(shè)為圓心，在數(shù)軸上截取OA=a;
(3) 過點(diǎn)A 作數(shù)軸的垂線AM,在AM上截取AB=b;
(4) 連接OB,根據(jù)勾股定理
(5) 以O(shè)為圓心，以O(shè)B的長為半徑畫弧，交數(shù)軸正半軸于一點(diǎn)，該點(diǎn)表示的數(shù)就是無理數(shù) .
注：以O(shè)為圓心，以O(shè)B的長為半徑畫弧，交數(shù)軸負(fù)半軸于一點(diǎn)，該點(diǎn)表示的數(shù)是無理數(shù)- .
2. 利用勾股定理解決“最短路徑”問題的基本思路：將原來的立體圖形展開成平面圖形(一個或者多個)，運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“勾股定理”在直角三角形中求出最短路徑.
3. 如圖②，在長、寬、高分別為a、b、c的長方體中，兩個最遠(yuǎn)頂點(diǎn)之間的距離為 ；如圖③，在棱長為a的正方體中，兩個最遠(yuǎn)頂點(diǎn)之間的距離為 ;如圖④,在直徑為 d，高為h的圓柱體中，兩個最遠(yuǎn)頂點(diǎn)之間的距離為
[例題設(shè)計(jì)]
例1 在數(shù)軸上作出表示 的點(diǎn).
提示:( 即以2、1為直角邊作直角三角形；( 即以 5、2為直角邊作直角三角形.
例2 如圖①,長方體的底面邊長分別為 1 c m 和 3cm,高為 6cm.如果用一根細(xì)線從點(diǎn) A 開始經(jīng)過4 個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cm；如果從點(diǎn)A 開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要 cm.
提示：把長方體的側(cè)面沿棱 AB剪開，然后展開得圖②，則從點(diǎn)A繞4個側(cè)面一圈到達(dá)點(diǎn)B的最短細(xì)線就是圖②中線段AB的長.同理，當(dāng)從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點(diǎn)B，AC的長度為8n，而BC的長不變，求出AB.
[當(dāng)堂反饋]
1. 如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，則網(wǎng)格上的△ABC中，邊長為無理數(shù)的邊數(shù)是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. 如圖，一只螞蟻沿棱長為 1 的正方體表面從頂點(diǎn) A 爬到頂點(diǎn)B，則它走過的最短路程為( )
A. C. 3 D.
3. 如圖是由 4 個邊長為 1 的正方形構(gòu)成的“田字格”.只用沒有刻度的直尺在這個“田字格”中最多可以作出長度為 的線段 條.
4. 在數(shù)軸上作出表示 的點(diǎn).
【課后鞏固】
1. 如圖,在△ABC中,a、b、c的大小關(guān)系是 ( )
A. aC. c2.如圖,△ABC和△DCE都是邊長為4 的等邊三角形，點(diǎn) B、C、E在同一條直線上，連接BD，則 BD的長為( )
A.
3.如圖,長方體的長為 15,寬為 10,高為 20,點(diǎn) B 離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻要沿著長方體的表面從點(diǎn) A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是( )
B. 25
D. 35
4.如圖，小正方形網(wǎng)格的邊長是 1，等腰△ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則腰AB上的高是 (精確到 0.01).
5.一天，小明買了一張底面是邊長為 260cm的正方形，厚30cm的床墊回家.到了家門口，發(fā)現(xiàn)門框的高為242cm,寬為 100 cm 你認(rèn)為小明能拿進(jìn)屋嗎
6.一個長為 12cm,寬為4cm,高為 3cm的長方體箱子里面放一根鐵條，那么鐵條最長可以是 .
7.如圖，將一根25cm長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為8cm、6cm、√ cm的長方體無蓋盒子中,則細(xì)木棒露在盒外面的最短長度是 cm.
8.如圖,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,則AE= .
9.如圖,圓柱體的高為 10cm,底面圓半徑為4cm,AA 、BB 為相對的兩條母線.在 AA 上有一只蜘蛛Q,QA=3cm;在BB 上有一只蒼蠅P, ，蜘蛛沿圓柱體側(cè)面爬到點(diǎn) P 吃蒼蠅，最短的路徑是 cm(用含π和根號的式子表示).
10.如圖,由四個邊長為 1 的小正方形構(gòu)成一個大正方形，連接小正方形的三個頂點(diǎn)，可得到△ABC,則△ABC中BC邊上的高是 .
11.在數(shù)軸上作出表示 的點(diǎn).
12.有一個長、寬、高分別為 2cm、1cm、3cm的長方體，如圖，有一只小螞蟻想從點(diǎn) A 爬到點(diǎn) C 處，請你幫它設(shè)計(jì)爬行的最短路線，并說明理由.17.1勾股定理(三)答案
[例題設(shè)計(jì)]
例1：如圖所示
點(diǎn)評：將被開方數(shù)寫成兩個正整數(shù)的平方和，然后以這兩個正整數(shù)的長為直角邊長作直角三角形，利用圓規(guī)把符合條件的線段轉(zhuǎn)移到數(shù)軸上.
例2:1(
點(diǎn)評：本題在立體圖形表面求最短路徑(折線段)的長，是把表面展開在平面上來求兩點(diǎn)間的距離，這里蘊(yùn)涵著數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化(立體轉(zhuǎn)化為平面)、化曲為直的思想.
[當(dāng)堂反饋]
1. D 2. D 3. 8 4. 略
【課后鞏固】
1. D 2. D 3. B 4. 3.58 5. 能 6. 13 cm7. 5 8. 2 11. 略
12. (1) 當(dāng)螞蟻在側(cè)面A ABB 和側(cè)面 B BCC 上爬行時(shí)，爬行的最短路線的長設(shè)為 d ，則
(2) 當(dāng)螞蟻在側(cè)面 A ABB 和上底面A B C D 上爬行時(shí),由 A 到 C 的最短路線的長設(shè)為 d ,則
(3) 同理可求得螞蟻在側(cè)面 A1ADD 和 D DCC 上爬行時(shí), ;(4) 當(dāng) 螞 蟻 在 底 面 ABCD, 側(cè) 面D DCC 上爬行時(shí), 螞蟻可沿 A—M—C 爬行,如圖①所示
或螞蟻沿 A—N—C 爬行,如圖②所示
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-5-4-3-2-1012
例1圖
D
D
A
A
B
M
M
C
A
B
C
A
B
第12題①
A
D
B
B
第12題②

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