資源簡介

10．2.2復數的乘法與除法 導學案
（原卷+答案）
課程標準
掌握復數代數表示式的乘除運算
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　復數的乘法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________．
知識點二　復數的乘法運算律
　對任意z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1·z2＝____________
結合律 (z1·z2)·z3＝____________
乘法對加法的分配律 z1(z2＋z3)＝____________
知識點三　共軛復數的性質
(1)兩個共軛復數的對應點關于________對稱．
(2)實數的共軛復數是________，即z＝ z∈R.
利用這個性質，可以證明一個復數是實數．
(3)z·＝________＝||2∈R.
知識點四　復數的除法法則
設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，
＝＝________________．
知識點五　實系數一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R且a≠0)在復數范圍內一定有兩個根．
Δ＝b2－4ac.
(1)當Δ≥0時有兩個實根．
①Δ>0時有兩個不相等的實根：；
②Δ＝0時有兩個相等的實根：－.
(2)Δ<0時有兩個互為共軛的虛數根：.
(3)若x1，x2是其兩個根，總有
基 礎 自 測
1．設復數z滿足iz＝1，其中i為虛數單位，則z等于(　　)
A．－i　　　B．i　 　 　C．－1　　　D．1
2．i是虛數單位，復數＝________．
3．設z＝，則|z|＝(　　)
A．2 B． C． D．1
4．已知a，b∈R，i是虛數單位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，則a＋bi＝____________．
課堂探究·素養提升——強化創新性
題型1　復數代數形式的乘除運算
例1　計算下列各題．
(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i；
(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；
(4)；
(5)；
(6).
方法歸納
(1)復數的乘法可以把i看作字母，按多項式乘法的法則進行，注意要把i2化為－1，進行最后結果的化簡．復數的除法先寫成分式的形式，再把分母實數化(方法是分母與分子同時乘以分母的共軛復數，若分母是純虛數，則只需同時乘以i)．
(2)利用某些特殊復數的運算結果，如(1±i)2＝±2i，(－±i)3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的冪的周期性等，都可以簡化復數的運算過程．
跟蹤訓練1　計算：
(1)(－i)(i)(1＋i)；
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．
題型2　共軛復數及其應用
例2　(1)已知復數z＝是z的共軛復數，則z·＝(　　)
A．　　　B．　　　C．1　　　D．2
(2)已知復數z的共軛復數是，且z－＝－4i，z·＝13，試求.
方法歸納
(1)已知關于z和的方程，而復數z的代數形式未知，求z.解此類題的常規思路為：設z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，代入所給等式，利用復數相等的充要條件，轉化為方程(組)求解．
(2)關于共軛復數的常用結論
①z·＝|z|2＝||2是共軛復數的常用性質；
②實數的共軛復數是它本身，即z∈R z＝，利用此性質可以證明一個復數是實數；
③若z≠0且z＋＝0，則z為純虛數，利用此性質可證明一個復數是純虛數．
跟蹤訓練2　已知復數z滿足z·＋2i·z＝4＋2i，求復數z.
題型3　虛數單位i的冪的周期性及其應用
【思考探究】　1.i4n，i4n＋1，i4n＋2，i4n＋3(n∈N)的結果分別是什么？
[提示]　1，i，－1，－i.
2．in(n∈N)有幾種不同的結果？
[提示]　四種：1，i，－1，－i.
3．in＋in＋1＋in＋2＋in＋3(n∈N)結果是多少？
[提示]　0.
例3　(1)計算：＋()2 020；
(2)若復數z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 018的值．
方法歸納
(1)要熟記in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解題時要注意根據式子的特點創造條件使之與in聯系起來以便計算求值．
(2)記住以下結果，可提高運算速度
①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；
②＝－i，＝i；
③＝－i.
跟蹤訓練3　(1)若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 019的值．
(2)＋()2 020.
題型4　復數范圍內的一元二次方程(邏輯推理、數學運算)
例4　(1)若1＋i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則(　　)
A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
(2)已知關于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有實數根，則實數k的值為________.
方法歸納
解決復數范圍內的一元二次方程問題的注意點
(1)與在實數范圍內對比，在復數范圍內解決實系數一元二次方程問題，根與系數的關系和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發生改變了．
(2)解決復系數一元二次方程的基本方法是復數相等的充要條件．
跟蹤訓練4　已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虛數單位)是實系數一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩個根，求p，q的值．
參考答案
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
知識點二
z2·z1　z1·(z2·z3)　z1z2＋z1z3　
知識點三
(1)實軸　(2)它本身　(3)|z|2
知識點四
i
[基礎自測]
1．解析：z＝＝－i.
答案：A
2．解析：＝＝＝2－i.
答案：2－i
3．解析：由z＝，得|z|＝＝＝.
答案：C
4．解析：因為(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)
＝1－i2－1＋i＝1＋i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(3)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)
＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i.
(4)＝＝＝3－2i.
(5)＝＝＝＝－1－i.
(6)＝
＝＝
＝＝－2－2i.
跟蹤訓練1　解析：(1)(1＋i)
＝(1＋i)
＝(1＋i)
＝i
＝－i.
(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝
＝＝i.
例2　【解析】　(1)方法一　因為z＝＝＝＝＝＝－，所以＝，所以z·＝.
方法二　因為z＝，所以|z|＝＝＝＝，所以z·＝.
(2)設z＝x＋yi(x，y∈R)，則由條件可得
即
解得或
因此z＝3－2i或z＝－3－2i.
于是＝＝＝＝i，或＝＝＝＝i.
【答案】　(1)A　(2)見解析
跟蹤訓練2　解析：設z＝x＋yi(x，y∈R)，則＝x－yi，
由題意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i
＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，
∴解得或
∴z＝1＋3i或z＝1－i.
例3　【解析】　(1)原式＝
＝i＋＝i＋i1 010＝i＋i4×252i2＝－1＋i.
(2)1＋z＋z2＋…＋z2 018＝，
而z＝＝＝＝i，
所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝＝＝i.
跟蹤訓練3　解析：(1)∵z＝＝＝＝－i.
∴1＋z＋z2＋…＋z2 019＝＝＝＝＝0.
(2)原式＝＋()1 010
＝i(1＋i)＋(－i)1 010＝i＋i2＋(－1)1 010·i1 010
＝i－1＋i4×252＋2＝i－1－1＝i－2.
例4　【解析】　(1)實系數方程虛根成對，所以1－i也是一根，所以b＝－2，c＝1＋2＝3.
(2)設x0是方程的實數根，代入方程并整理得＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.
由復數相等的充要條件得
解得或
所以k的值為－2或2.
【答案】　(1)B　(2)±2
跟蹤訓練4　解析：由根與系數的關系可得
即
因為p，q均為實數，所以
解得從而有

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