資源簡介

11．1.1空間幾何體與斜二測畫法
導學案
課程標準
1.利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形．
2．能用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　幾何體
如果只考慮一個物體占有空間部分的________和________，而不考慮其他因素，則這個空間部分叫做一個幾何體．
知識點二　直觀圖的概念
定義：把空間圖形(平面圖形和立體圖形的統稱)畫在平面內，使得既富有立體感，又能表達出主要部分的位置關系和度量關系的圖形叫做直觀圖．
知識點三　用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
(1)畫軸：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O，畫直觀圖時，把它們畫成對應的x′軸和y′軸，兩軸交于點O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它們確定的平面表示________.
(2)畫線：已知圖形中平行于或在x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于或在________、________的線段．
(3)取長度：已知圖形中在x軸上或平行于x軸的線段，在直觀圖中長度________，在y軸上或平行于y軸的線段，長度為原來的一半．
知識點四　立體圖形直觀圖的畫法
畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要多畫一條與平面x′O′y′垂直的軸O′z′，且平行于O′z′的線段長度________．其他同平面圖形的畫法．
基 礎 自 測
1．利用斜二測畫法畫出邊長為3 cm的正方形的直觀圖，正確的是圖中的(　　)
2．如圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形
3．下列說法中錯誤的是(　　)
A．兩條平行線段在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行
B．平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變
C．平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸
D．斜二測坐標系取的角可能是135°
4．水平放置的△ABC，有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是正三角形A′B′C′，則△ABC是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．任意三角形
課堂探究·素養提升——強化創新性
題型1　畫平面圖形的直觀圖
例1　按圖的建系方法，畫水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖．
方法歸納
(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取恰當的坐標系是關鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，以便于畫點．
(2)畫平面圖形的直觀圖，首先畫與坐標軸平行的線段(平行性不變)，與坐標軸不平行的線段通過與坐標軸平行的線段確定它的兩個端點，然后連接成線段．
跟蹤訓練1　用斜二測畫法畫水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖，如圖所示．
題型2　畫空間幾何體的直觀圖
例2　畫出底面是正方形，側棱均相等的四棱錐的直觀圖．
方法歸納
(1)畫空間圖形的直觀圖，一般先用斜二測畫法畫出水平放置的平面圖形，再畫z軸，并確定豎直方向上的相關的點，最后連點成圖便可．
(2)直觀圖畫法口訣可以總結為：“橫長不變，縱長減半，豎長不變，平行關系不變．”
跟蹤訓練2　用斜二測畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形，側棱垂直于底面)的直觀圖．
題型3　直觀圖的還原和計算問題
【思考探究】　
1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，能否判斷△ABC的形狀？
[提示]　根據斜二測畫法規則知：∠ACB＝90°，故△ABC為直角三角形．
2．若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，則AB邊的實際長度是多少？
[提示]　由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10.
3．若已知一個三角形的面積為S，它的直觀圖面積是多少？
[提示]　原三角形面積為S＝a·h(a為三角形的底，h為三角形的高)，畫直觀圖后，a′＝a，h′＝h·sin 45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝a·h＝S.
例3　(1)如圖所示，△A′B′C′是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖，將其還原成平面圖形．
(2)利用斜二測畫法畫一個水平放置的平行四邊形的直觀圖，得到的直觀圖是一個邊長為1的正方形(如圖)，則原圖形的形狀是(　　)
(3)如圖，已知△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二測畫法下的直觀圖，A′B′在x′軸上，B′C′與x′軸垂直，且B′C′＝3，則△ABC的邊AB上的高為(　　)
A．3 B．6
C．3 D．6
方法歸納
(1)由原圖形求直觀圖的面積，關鍵是掌握斜二測畫法，明確原來實際圖形中的高，在直觀圖中變為與水平直線成45°角且長度為原來一半的線段，這樣可得出所求圖形相應的高．
(2)若一個平面多邊形的面積為S，它的直觀圖面積為S′，則S′＝S.
跟蹤訓練3　
(1)如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形的形狀是________．
(2)已知等腰直角△ABC的直角邊邊長為1，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為(　　)
A． B．
C． D．
(3)有一塊四邊形的菜地，它水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，∠ABC＝45°，AD∥BC，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．
教材反思
本節課掌握的規律方法
(1)判斷幾何體投影形狀及畫投影的方法．
(2)畫出空間幾何體的直觀圖．
(3)直觀圖的還原與計算．
參考答案
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
形狀　大小
知識點三
(1)45°　135°　水平面　(2)x′軸　y′軸　(3)不變
知識點四
不變
[基礎自測]
1．解析：正方形的直觀圖是平行四邊形，且平行于x軸的邊長為3 cm，平行于y軸的邊長為1.5 cm.
答案：C
2．解析：由斜二測畫法的規則可知△ABC為直角三角形，且直角邊的長度關系為AC＝2AB.
答案：B
3．解析：平行于y軸的線段在直觀圖中變為原來的一半，故B錯誤，由斜二測畫法的基本要求可知A、C、D正確．
答案：B
4．解析：如圖所示，斜二測直觀圖還原為平面圖形，故△ABC是鈍角三角形．
答案：C
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　畫法：
(1)在圖①中作AG⊥x軸于點G，作DH⊥x軸于點H.
(2)在圖②中畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.
(3)在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應的平行線上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
(4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③)．
跟蹤訓練1　解析：畫法：(1)如圖①所示，取AB所在直線為x軸，AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對應的坐標系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(如圖②)．
(2)以O′為中點在x′軸上取A′B′＝AB，在y′軸上取O′E′＝OE，以E′為中點畫C′D′∥x′軸，并使C′D′＝CD.
(3)連接B′C′，D′A′，所得的四邊形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖．
例2　【解析】　畫法：(1)畫軸：
畫Ox軸、Oy軸、Oz軸，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如圖①.
(2)畫底面：
以O為中心，在xOy平面內，畫出正方形水平放置的直觀圖ABCD.
(3)畫頂點：在Oz軸上截取OP，使OP的長度是原四棱錐的高．
(4)成圖：順次連接PA、PB、PC、PD，并擦去輔助線，將被遮擋的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖，如圖②.
跟蹤訓練2　解析：(1)畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.
(2)畫底面：在面x′O′y′內，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.
(3)畫側棱：過A、B、C、D、E、F分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于側棱長．
(4)成圖：順次連線A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理就得到正六棱柱的直觀圖，如圖所示．
例3　【解析】　(1)①畫出直角坐標系xOy，在x軸的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②過B′作B′D′∥y′軸，交x′軸于點D′，在OA上取OD＝O′D′，過D作DB∥y軸，且使DB＝2D′B′；
③連接AB，BC，得△ABC.
則△ABC即為△A′B′C′對應的平面圖形，如圖所示．
(2)因為直觀圖中正方形的對角線為，所以在平面圖形中平行四邊形的高為2，只有A項滿足條件．
(3)如圖，過點C′作C′M′∥y′軸，交x′軸于點M′，則C′M′就是△ABC的邊AB上的高CM的直觀圖．在△C′M′B′中，C′M′＝＝3，所以CM＝2C′M′＝6.
【答案】　(1)見解析　(2)A　(3)D
跟蹤訓練3　解析：(1)如圖所示，在原圖形OABC中，應有OA綊BC，OD＝2O′D′＝2×2＝4 (cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，
∴OC＝＝＝6 (cm)，
∴OA＝OC，故四邊形OABC是菱形．
(2)如下圖所示，設AB＝AC＝1，則A′C′＝AC＝，A′B′＝AB＝1，則S△A′B′C′＝A′B′·A′C′sin 45°＝×1×＝.
(3)在直觀圖中，因為∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，
所以BC＝1＋，
所以原來的平面圖形上底長為1，下底長為1＋，高為2，
所以平面圖形的面積為×(1＋1＋)×2＝2＋.
答案：(1)菱形　(2)D　(3)2＋

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