資源簡介

11．2平面的基本事實與推論 導學案
（原卷+答案）
課程標準
1.借助長方體，了解以下基本事實和推論．
基本事實1：經過不在一條直線上的3個點，有且只有一個平面．
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
2．能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題．
3．重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點　平面的基本性質及推論
公理 內容 圖形 符號
基本性質1 經過____________的3點，有且只有一個平面 A，B，C三點不共線 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本性質2 如果一條直線上的________在一個平面內，那么這條直線上的所有點都在這個平面內 ______，______，且______，______ l α
基本性質3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條________________ ______，______ α＝l，且P∈l
推論1　經過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面(圖①)．
推論2　經過兩條相交直線，有且只有一個平面(圖②)．
推論3　經過兩條平行直線，有且只有一個平面(圖③)．
基 礎 自 測
1．如圖所示的平行四邊形MNPQ表示的平面不能記為(　　)
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
2．能確定一個平面的條件是(　　)
A．空間三個點 B．一個點和一條直線
C．無數個點 D．兩條相交直線
3．根據圖，填入相應的符號：A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________．
4．下列說法正確的是(　　)
A．兩個平面可以有且僅有一個公共點
B．梯形一定是平面圖形
C．平面α和β有不同在一條直線上的三個交點
D．一條直線和一個點確定一個平面
課堂探究·素養提升——強化創新性
題型1　文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉化
例1　(1)根據下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：
①A∈α，B α；
②l α，m α，m＝A，A l；
③P∈l，P α，Q∈l，Q∈α.
(2)
如圖所示，用符號語言可表達為(　　)
A．α＝m，n α，A m，A n
B．α＝m，n∈α，A∈m，A∈n
C．α＝m，n α，m＝A
D．α＝m，n∈α，m＝A
方法歸納
(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著用文字語言表示，再用符號語言表示．
(2)要注意符號語言的意義．如點與直線的位置關系只能用“∈”或“ ”表示，直線與平面的位置關系只能用“ ”或“ ”表示．
(3)由符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區別．
跟蹤訓練1　(1)如圖，根據圖形用符號表示下列點、直線、平面之間的關系．
①點P與直線AB；
②點C與直線AB；
③點M與平面AC；
④點A1與平面AC；
⑤直線AB與直線BC；
⑥直線AB與平面AC；
⑦平面A1B與平面AC.
(2)若點A在平面α內，直線a在平面α內，點A不在直線a上，用符號語言可表示為(　　)
A．A∈α，a α，A a
B．A∈α，a∈α，A a
C．A α，a α，A a
D．A∈α，a α，A a
題型2　點、線共面問題
例2　(1)已知四條直線兩兩相交，且不共點，求證：這四條直線在同一平面內；
(2)空間兩兩相交的三條直線，可以確定的平面數是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．1或3
方法歸納
證明點線共面常用的方法
(1)納入法：先由部分直線確定一個平面，再證明其他直線也在這個平面內．
(2)重合法：先說明一些直線在一個平面內，另一些直線在另一個平面內，再證明兩個平面重合．
跟蹤訓練2　(1)一條直線與三條平行直線都相交，求證：這四條直線共面．
(2)如圖所示，在正方體ABCD - A1B1C1D1中．
①AA1與CC1是否在同一平面內？
②點B，C1，D是否在同一平面內？
③畫出平面ACC1A1與平面BC1D及平面ACD1與平面BDC1的交線．
題型3　點共線與線共點問題
【思考探究】　1.如圖，在正方體ABCD - A1B1C1D1中，設A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判斷點E在平面內？
[提示]　如圖，連接BD1，
∵A1C∩平面ABC1D1＝E，
∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.
∵A1C 平面A1BCD1，
∴E∈平面A1BCD1.
2．上述問題中，你能證明B，E，D1三點共線嗎？
[提示]　由于平面A1BCD1與平面ABC1D1交于直線BD1，又E∈BD1，根據公理3可知B，E，D1三點共線．
例3　在正方體ABCD - A1B1C1D1中，E，F分別是AA1，AB的中點．
(1)證明：點E，F，C，D1共面；
(2)證明：D1E，DA，CF三線交于一點．
方法歸納
點共線與線共點的證明方法
(1)點共線：證明多點共線通常利用公理3，即兩相交平面交線的唯一性，通過證明點分別在兩個平面內，證明點在相交平面的交線上，也可選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其他點也在其上．
(2)三線共點：證明三線共點問題可把其中一條直線作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線，然后再證兩條直線的交點在此直線上，此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線，證明該交線與另兩條直線分別交于兩點，再證點重合，從而得三線共點．
跟蹤訓練3　
在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，E，F分別為邊AB，BC上的點，且＝＝.
求證：(1)點E，F，G，H四點共面；
(2)直線EH，BD，FG相交于同一點．
題型4　由平面的基本性質做截面圖形
例4　如圖所示，G是正方體ABCD - A1B1C1D1的棱DD1延長線上的一點，E，F是棱AB，BC的中點，試分別畫出過下列各點、直線的平面與正方體表面的交線．
(1)過點G及AC；
(2)過三點E，F，D1.
方法歸納
解決幾何體的截面問題的基本方法
(1)直接法
用直接法解決截面問題的關鍵是：截面上的點在幾何體的棱上，且兩兩在一個平面內，我們可以借助于基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內，直接解決這類問題．
(2)延長線法
用延長線法解決截面問題的關鍵是：截面上的點中至少有兩個點在一個幾何體的一個表面上，我們可以借助于基本事實2，如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內．直接解決這類問題．
跟蹤訓練4　(1)如圖，在正方體ABCD - A1B1C1D1中，試畫出平面AB1D1與平面ACC1A1的交線．
(2)如圖，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABCD所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線．
參考答案
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點
不在一條直線上　兩個點　A∈l　B∈l　A∈α　B∈α　過該點的公共直線　P∈α　P∈β
[基礎自測]
1．解析：MN是平行四邊形MNPQ的一條邊，不是對角線，所以不能記作平面MN.
答案：A
2．解析：不在同一條直線上的三個點可確定一個平面，A，B，C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點，故不正確．
答案：D
3．答案：∈　 　 　AC
4．解析：A選項，根據基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，故A錯．C選項，兩個平面有公共點，則有一條過該公共點的公共直線，如果沒有公共點，則兩平面平行，C錯．D選項，一條直線和直線外的一點可以確定一個平面，D錯．B選項，兩條平行直線，確定一個平面，梯形中有一組對邊平行，故B對．
答案：B
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)①點A在平面α內，點B不在平面α內．
②直線l在平面α內，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上．
③直線l經過平面α外一點P和平面α內一點Q.
圖形分別如圖(1)，(2)，(3)所示．
(2)結合圖形可以得出平面α，β相交于一條直線m，直線n在平面α內，直線m，n相交于點A，點A在直線m，n上，結合選項可得C正確．
【答案】　(1)見解析　(2)C
跟蹤訓練1　解析：(1)①點P∈直線AB；②點C 直線AB；
③點M∈平面AC；④點A1 平面AC；
⑤直線AB∩直線BC＝點B；⑥直線AB 平面AC；
⑦平面A1B∩平面AC＝直線AB.
(2)點與線、面的關系用∈、 ；線與面的關系用 、 .B項中，“a∈α”錯；C項中“A α”錯；D項中“A a”錯．
答案：(1)見解析　(2)A
例2　【解析】　(1)已知：a，b，c，d四條直線兩兩相交，且不共點，求證：a，b，c，d四線共面．
證明：①若a，b，c三線共點于O，如圖所示，∵O d，
∴經過d與點O有且只有一個平面α.
∵A，B，C分別是d與a，b，c的交點，
∴A，B，C三點在平面α內．
由公理1知a，b，c都在平面α內，
故a，b，c，d共面．
②若a，b，c，d無三線共點，如圖所示，
∵a＝A，
∴經過a，b有且僅有一個平面α，
∴B，C∈α.由公理1知c α.
同理，d α，從而有a，b，c，d共面．
綜上所述，四條直線兩兩相交，且不共點，這四條直線在同一平面內．
(2)若三條直線兩兩相交共有三個交點，則確定1個平面；若三條直線兩兩相交且交于同一點時，若三條直線共面，則能確定1個平面，若三條直線不共面，則能確定3個平面．
【答案】　(1)見解析　(2)D
跟蹤訓練2　解析：(1)已知：a∥b∥c，l＝A，l＝B，l＝C.
求證：直線a，b，c，l共面．
證明：證法一：∵a∥b，∴a，b確定一個平面α，
∵l＝A，l＝B，∴A∈α，B∈α，故l α.
又∵a∥c，∴a，c確定一個平面β.
同理可證l β，∴α＝a且α＝l.
∵過兩條相交直線a、l有且只有一個平面，
故α與β重合，即直線a，b，c，l共面．
證法二：由證法一得a、b、l共面α，也就是說b在a、l確定的平面α內．
同理可證c在a、l確定的平面α內．
∵過a和l只能確定一個平面，∴a，b，c，l共面．
(2)①在正方體ABCD - A1B1C1D1中，
因為AA1∥CC1，所以AA1與CC1可確定平面AC1，
所以AA1與CC1在同一平面內．
②因為點B，C1，D不共線，所以點B，C1，D可確定平面BC1D，所以點B，C1，D在同一平面內．
③如圖，因為AC＝O，D1C＝E，
所以O∈平面AC1，O∈平面BC1D.
又C1∈平面AC1，C1∈平面BC1D.
所以平面AC1∩平面BC1D＝OC1.
同理平面ACD1∩平面BDC1＝OE.
例3　【證明】　
(1)連接A1B，根據正方體的幾何性質可知A1B∥CD1.由于E，F分別是AA1，AB的中點，所以EF∥A1B，
所以EF∥CD1，所以E，F，C，D1四點共面．
(2)由于EF∥CD1，EF≠CD1，所以D1E與CF延長后必相交，設交點為P，由于P∈D1E，D1E 平面ADD1A1，P∈CF，CF 平面ABCD，根據基本事實3可知P在平面ADD1A1與平面ABCD的交線DA上，所以D1E，DA，CF三線交于一點．
跟蹤訓練3　證明：
(1)如圖所示，連接EF，HG，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點，
所以HG∥AC且HG＝AC.
又＝＝，所以EF∥AC且EF＝AC.
故EF∥HG，即E，F，G，H四點共面．
(2)由(1)知EF∥HG且EF≠HG，
所以設EH與FG交于點P，因為EH 平面ABD，所以P在平面ABD內，同理P在平面BCD內，且平面ABD∩平面BCD＝BD，
所以點P在直線BD上，
所以直線EH，BD，FG相交于一點．
例4　【解析】　(1)連接GA交A1D1于點M，連接GC交C1D1于點N，從而可以得到過點G及AC的平面．
畫法：連接GA交A1D1于點M，連接GC交C1D1于點N；
連接MN，AC，則MA，CN，MN，AC為所求平面與正方體表面的交線．如圖①所示．
(2)根據兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線，即可作出交線．
畫法：連接EF交DC的延長線于點P，交DA的延長線于點Q；
連接D1P交CC1于點M，連接D1Q交AA1于點N；
連接MF，NE，則D1M，MF，FE，EN，ND1為所求平面與正方體表面的交線．如圖②所示．
跟蹤訓練4　解析：(1)記B1D1與A1C1的交點為O，連接AO，則AO即為平面AB1D1與平面ACC1A1的交線，如圖：
(2)延長BD和AC交于點O，連接SO，SO即為平面SBD和平面SAC的交線，如圖：

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