資源簡介

3.1 等比數列7種常見考法歸類
課程標準 學習目標
1.通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義． 2．體會等比數列與指數函數的關系． 3．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題 1.理解等比數列、等比中項的概念．(數學抽象) 2．會求等比數列的通項公式，并能利用通項公式進行基本量的運算．(數學運算) 3．會利用等比數列的性質進行基本量的運算．(數學運算) 4．體會等比數列與指數函數的關系．(直觀想象) 5．能在具體的問題情景中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．(數學建模、數學運算)
知識點01等比數列的概念
文字語言 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值都是同一個常數，那么稱這樣的數列為等比數列，稱這個常數為等比數列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
符號語言 若＝q(n≥2，q是常數且q≠0)，則數列{an}為等比數列
注：(1)由等比數列的定義知，數列除末項外的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此公比也不為0，由此可知，若數列中有“0”項存在，則該數列不可能是等比數列．
(2)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”，同時注意公比是每一項與其前一項之比，前后次序不能顛倒．
(3)定義中的“同一個常數”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略．
【即學即練1】（2024·全國·高二課時練習）已知數列a，，，…是等比數列，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B．或 C． D．且
【解析】由等比數列的定義知，數列中不能出現為0的項，且公比不為0，所以且,
所以且.
故選：D.
知識點02等比數列的通項公式
若首項是a1，公比是q，則等比數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
注：(1)已知首項a1和公比q，可以確定一個等比數列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四個量，已知其中任意三個量，可以求得第四個量，其中a1，q為兩個基本量．
(3)對于等比數列{an}，若q<0，則{an}中正負項間隔出現，如數列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，則數列{an}各項同號．從而等比數列奇數項必同號；偶數項也同號．
【即學即練2】（2024·全國·高二課時練習）在等比數列中，公比為q．
(1)若，，求通項公式；
(2)若，，求q并寫出通項公式；
(3)若，，，求項數n．
【解析】（1）因為，，
所以
（2）由題知，，解得
所以
（3）由題可知，，即
所以，所以
【即學即練3】（2024·陜西·渭南市三賢中學高二階段練習（理））在各項均為負的等比數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)是否為該數列的項？若是，為第幾項？
【解析】（1）因為，所以,數列是公比為的等比數列,
又，所以,
由于各項均為負，故，.
（2）設，則，，，
所以是該數列的項,為第6項.
【即學即練4】（2024·四川·德陽五中高二開學考試（文））已知在遞減等比數列中，，，若，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】因為，，所以，
解得或，因為數列為遞減等比數列，
所以，所以，解得，
所以；
故選：A
知識點03　等比中項
如果在a與b之間插入一個數G，使得a，G，b成等比數列，那么稱G＝±為a，b的等比中項．
注：(1)若G是a與b的等比中項，則＝，所以G2＝ab，G＝±.
(2)等比中項與“任意兩個實數a，b都有唯一的等差中項A＝”不同，只有當a、b同號時a、b才有等比中項，并且有兩個等比中項，分別是與－；當a，b異號時沒有等比中項．
(3)在一個等比數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項．
【即學即練5】（2024·全國·高二課時練習）已知等比數列中的前三項為、、，則實數的值為______．
【解析】因為為與的等比中項，所以，解得.
故答案為：.
【即學即練6】（2024·北京平谷·高二期末）已知等比數列滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】根據題意，設等比數列的公比為，
若，，則有，解得，
故.
故選：D.
【即學即練7】（2024·全國·高二專題練習）在等比數列中，，則和的等比中項為________．
【解析】設與的等比中項為，
因為，所以，所以.
故答案為：
知識點04　等比數列的性質
在等比數列中，相隔等距離的項組成的數列是等比數列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列．
（2）在等比數列中，對任意，，；
（3）在等比數列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等比中項. 也就是：，如圖所示：.
注：(1)性質的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)該性質要求下標的和相等，且左右兩側項數相同；
(3)在有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比數列下標為奇數的項正負相同，下標為偶數的項正負相同；
（4）若{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數列．
（5）在等比數列{an}中按序號從小到大取出若干項：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數列，那么是等比數列.
（6）公比不為1的等比數列，其相鄰兩項的差也依次成等比數列，且公比不變，即，，，…成等比數列，且公比為.
（7）等比數列的單調性
當或時，為遞增數列，當或時，為遞減數列．
【即學即練8】（2024·廣東·高二階段練習）已知等比數列{an}中，a3 a13＝20，a6＝4，則a10的值是（　　）
A．16 B．14 C．6 D．5
【解析】∵是等比數列，∴， ∴．
故選D．
【即學即練9】（2024·廣西梧州·高二期末（理））在等比數列中，，，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【解析】由題意得，解得或，故或，
故，或
故選：C.
【即學即練10】（2024·四川·射洪中學高二開學考試）已知等比數列滿足，，則（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【解析】設的公比為，則，解得（負值舍去），
所以．
故選：C．
【即學即練11】（2024·四川·綿陽中學高二開學考試（理））已知等比數列，滿足，且，則數列的公比為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【解析】令公比為，
由，故且，
所以，則，
又，則，
所以，
綜上，.
故選：A
【即學即練12】（2024·四川·射洪中學高二開學考試）等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
【解析】是等比數列，則，，，
，
故選：B．
題型一：等比數列概念的理解
例1：（2024·全國·高二課時練習）將公比為q的等比數列依次取相鄰兩項的乘積組成的新數列，，，…．則此數列______（選填“是”或“不是”’）等比數列，若是，則公比為______．
【解析】由題意知：新數列為，
則，
故答案為：是，
變式1：（2024·全國·高二課時練習）已知數列的前n項的和．
(1)求數列的通項公式；
(2)討論a的值，說明數列是否為等比數列？若是，請證明；若不是，請說明理由．
【解析】（1）當時，．
因為，所以當時，適合，
故；
當時，不適合，故．
（2）由（1）可知，
當時，，，
所以數列是以2為首項，3為公比的等比數列；
當時，，不適合，
所以數列不是等比數列．
【方法技巧與總結】
判斷一個數列是否為等比數列的方法
定義法：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
題型二：等比數列的基本運算
例2：（2024上·新疆伊犁·高二校考期末）在等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設等比數列的公比為，根據已知條件求出的值，進而可得出，即可得解.
【詳解】設等比數列的公比為，則，可得，
故.
故選：C.
變式1：（2024·安徽省皖西中學高二期末）已知等比數列的公比，則（ ）
A． B． C． D．3
【解析】因為等比數列的公比，
所以.
故選：B.
變式2：（2024·福建省寧德第一中學高二階段練習）在正項等比數列中，，，則通項公式________．
【解析】由題意設等比數列的公比為（），，
因為，，
所以，
由，得，
所以，或（舍去），
所以將代入，得
，即，
解得或（舍去），
所以，
所以，
故答案為：
變式3：（2024上·云南臨滄·高二校考期末）已知正項等比數列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知求出等比數列的基本量，得通項公式，再由，得，將“1”代換，再利用基本不等式求最值即可.
【詳解】等比數列中，
，，.
，，，
∵正項等比數列，，則，.
，，，
，且，
，
當且僅當，即時等號成立.
故選：A.
例3：（2024·全國·高二課時練習）設四個數中前三個數依次成等比數列，其和為19，后三個數依次成等差數列，其和為12，求該數列．
【解析】根據后三個數成等差數列，和為可設后三個數為，
再根據前三個數成等比數列可得這四個數分別為：，
則由前三個數和為可列方程得，，
整理得，，解得或，
故該數列分別為：或
變式1：（2024·全國·高二課時練習）四個數中前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，若首末兩數之和為14，中間兩數之和為12，求這四個數．
【解析】設四個數依次為、、、．
則，解得或．
故所求的四個位數依次為2，4，8，12或，，，．
【方法技巧與總結】
等比數列通項公式的求法
(1)根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
題型三：等比數列與函數
例4：（2024·全國·高二課時練習）下列說法正確的是______．（填序號）
①數列圖像上的點都在函數的圖像上；
②數列的圖像與函數的圖像相同；
③函數圖像上存在滿足數列通項公式的點；
④數列圖像上可能存在不滿足函數關系式的點．
【解析】根據等比數列與指數型函數的關系知，
數列圖像上的點都在函數的圖像上，故①正確；
數列的圖像是一系列分散在函數的圖像上的點，
所以函數圖像上存在滿足數列通項公式的點，故③正確，②④錯誤.
故答案為：①③.
變式1：（2024·上海·華師大二附中高二開學考試）設是公比為的等比數列，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【解析】若且，則，所以，，則，
所以，“”“”；
另一方面，取，則，但，
即“”“”.
因此，“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
變式2：（2024·全國·高二專題練習）等比數列中，公比為q，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
【解析】由，
所以或，故不一定有，充分性不成立；
當時，，當則，當則，必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分又不必要條件.
故選：D
變式3：（2024上·福建龍巖·高二校考階段練習）在等比數列中， ，，且，則 .
【答案】64
【分析】根據等比數列性質結合題設求得，繼而求出，再利用，即可求得答案.
【詳解】等比數列中 ，，
故，結合，以及可得，
設等比數列公比為q，則，
故，
故答案為：64
變式4：（2024下·浙江·高一校聯考期中）等比數列{an}的公比為q，其前n項之積為Tn，若滿足條件：a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，當Tn取得最大時，n＝ .
【答案】99
【分析】由已知結合等比數列的性質可得a99＞1＞a100，進而可求.
【詳解】解：由a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，可得a99＞1＞a100，
所以當n＝99時，Tn最大.
故答案為：99
【點睛】此題考查等比數列的性質的簡單應用，屬于基礎題.
【方法技巧與總結】
等比數列的單調性
(1)當a1>0，q>1或a1<0，0(2)當a1>0，01時，等比數列{an}為遞減數列；
(3)當q＝1時，數列{an}是常數列；
(4)當q<0時，數列{an}是擺動數列．
題型四：等比數列的判定
例5：【多選】（2024·全國·高二課時練習）設數列為等比數列，則下列數列一定為等比數列的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】設數列的首項為，公比為q．
對于A，，所以數列是公比為q的等比數列；
對于B，，所以數列是公比為的等比數列；
對于C，，所以當時，，不是一個非零常數，所以數列不是等比數列；
對于D，當時，，,不是一個非零常數，所以數列不是等比數列．
故選：AB．
變式1：【多選】（2024·全國·高二課時練習）若是等比數列，則下列是等比數列的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】設的公比為q，則，
A. （常數），故A正確；
B. 若q＝－1，則．（等比數列的各項不能為0），故B錯誤；
C. （常數），故C正確；
D. （常數），故D正確.
故選：ACD
變式2：（2024·四川·雅安中學高二階段練習）數列滿足.
(1)若，求證：為等比數列；
(2)求的通項公式．
【解析】（1）由于，
所以，
即，
所以數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得，
所以.
變式3：（2024·全國·高二課時練習）已知數列滿足，，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若，求數列中的最小項.
【解析】（1）因為，,
所以是首項為1，公比為的等比數列；
（2）由（1）得，所以，則
當時，，；②當時，，，又，所以，
所以，即.
變式4：（2024·福建省福安市第一中學高二階段練習）已知數列中，，.
(1)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(2)若不等式對于恒成立，求實數的最小值.
【解析】（1）由，可得，即
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，所以
（2）不等式對于恒成立
即對于恒成立
即對于恒成立
設，
由
當時，，即
即
當時，，即
即
所以最大，
所以，故的最小值為
【方法技巧與總結】
(1)定義法．
①涉及an＋1，an，an－1的式子，將關系式代入后證明或(n≥2)為常數．
②涉及Sn與an的式子，則利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判斷an，an－1或an＋1，an的關系證明．
(2)通項公式法：an＝a1qn－1(a1，q為非零常數，n∈N＋) {an}為等比數列．
題型五：等比中項
例6：（2024上·河北石家莊·高二石家莊市第四中學校考期中）與的等比中項是 ．
【答案】或
【分析】由等比中項性質列方程求等比中項即可.
【詳解】令與的等比中項是，則，故.
故答案為：或
變式1：（2024·上海·華師大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中項”的（ ）條件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
【解析】當時，滿足，不滿足G是a、b的等比中項；當G是a、b的等比中項，如，但不滿足，故“”是“G是a、b的等比中項”的既不充分也不必要條件
故選：A
變式2：（2024·湖南·南縣第一中學高二期中）已知等比數列的各項均為正數，且，則數列的前5項積為______．
【解析】由題意得：
根據等比數列性質得
∴，
∴．
故答案為：
變式3：（2024·江蘇·高二課時練習）若、、成等比數列，則稱為和的等比中項．
(1)求和的等比中項；
(2)已知兩個數和的等比中項是，求．
【解析】(1)由題意可知，和的等比中項為.
(2)由題意可得，解得或.
變式4：（2024·全國·高二課時練習）若依次成等差數列的三個實數a，b，c之和為12，而a，b，又依次成等比數列，則a＝______．
【解析】由題意可得 ，整理得 ，
解得 或 ，
故答案為：2或8
變式5：（2024上·河北保定·高二保定一中校考階段練習）在等比數列中，，是方程的兩根，則的值為 ．
【答案】
【分析】根據給定條件，利用等比數列性質計算即得.
【詳解】由，是方程的兩根，得，顯然，
則，在等比數列中，同號，即，
又，，所以.
故答案為：
【方法技巧與總結】
應用等比中項解題策略
(1)如果出現等比數列兩項的乘積時，就要注意考慮是否能轉化為等比中項表示；
(2)等比中項一般不唯一，但是如果在等比數列中，還要考慮與項的關系，如a4是a2，a6的等比中項，而a4＝a2q2，因此a4與a2的符號相同．
題型六：等比數列的性質應用
例7：（2024下·高二課時練習）已知等比數列中，，，則的值是 ．
【答案】/
【分析】在等比數列中，若，則.利用該性質可解決這個問題.
【詳解】因為數列是等比數列，所以：，∴.
故答案為：
變式1：（2024·海南·瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知數列是等比數列，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】設等比數列的公比為，則，解得，
所以，，
因此，.
故選：B.
變式2：（2024·河南濮陽·高二開學考試（理））在等比數列中，，是的兩根，則等于（ ）
A． B． C．或 D．
【解析】，是的兩根，，，，
等比數列的偶數項為負數，，
，，，.
故選：B.
變式3：（2024·福建·廈門外國語學校高二期末）在正項等比數列中，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】在等比數列中，，
于是得，而，所以.
故選：C
變式4：（2024上·江西南昌·高三江西師大附中校考階段練習）已知數列為等比數列，且，則 ．
【答案】
【分析】根據等比數列下標和性質直接求解即可．
【詳解】由為等比數列，則，
又，則，即，
所以．
故答案為：．
變式5：（2024·全國·高三專題練習）在等比數列中，，則 .
【答案】
【分析】利用等比數列的性質即可得解.
【詳解】因為等比數列中，，而，
所以
．
故答案為：.
【方法技巧與總結】
運用等比數列性質計算的策略
運用等比數列的性質，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，則aman＝apaq；特別地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)則＝”，這樣大大的簡化了運算，因此在解決數列問題時，首先要有運用數列性質的意識，然后仔細觀察各項序號之間的關系，以尋求滿足數列性質的條件．
題型七：等比數列應用題
例8：（2024·重慶·巫山縣官渡中學高二期末）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規律繼續下去，第20天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
【解析】第一天一共有5只蜜蜂，第二天一共有只蜜蜂，……
按照這個規律每天的蜜蜂數構成以為5首項，公比為5的等比數列
則第天的蜜蜂數
第20天蜜蜂都歸巢后，蜂巢中共有蜜蜂數
故選：B．
變式1：（2024·遼寧·高二期中）某企業年初在一個項目上投資2000萬元，據市場調查，每年獲得的利潤為投資的50%，為了企業長遠發展，每年年底需要從利潤中取出500萬元進行科研、技術改造，其余繼續投入該項目．設經過年后，該項目的資金為萬元．
(1)求和的值；
(2)求證：數列為等比數列；
(3)若該項目的資金達到翻一番，至少經過幾年？（，）
【解析】(1)由題意知，
，
(2)證明：由題意知．
即，所以．
由
所以數列的首項為，
所以是首項為，公比為的等比數列．
(3)
由（2）知數列的首項為，公比為．
所以，所以．
當，得．
兩邊取常用對數得，所以，所以，
因為，所以．
即至少經過年，該項目的資金達到翻一番．
【方法技巧與總結】
(1)數學應用問題：解答數學應用題的核心是建立數學模型，如有關平均增長率、利率(復利)以及數值增減等實際問題，需利用數列知識建立數學模型．
(2)增長率問題：需要構建的是等比數列模型，利用等比數列的通項公式解決．
一、單選題
1．（2024上·江蘇南通·高三統考期末）設為等比數列，，則（ ）
A． B． C．3 D．9
【答案】B
【分析】根據等比數列通項和已知條件求出公比，然后代入即可.
【詳解】設等比數列的公比為，
，即，所以，所以，
由，
故選：B．
2．（2024上·河南·高二校聯考期末）已知是公比為2的等比數列，若，則（ ）
A．100 B．80 C．50 D．40
【答案】B
【分析】由題意，解得，然后由即可得解.
【詳解】設的公比為，則，
所以，所以.
故選：B.
3．（2024上·江蘇南京·高二南京師大附中校考期末）若等比數列的各項均為正數，且，，成等差數列，則（ ）
A． B．3 C．9 D．27
【答案】D
【分析】由等差中項的性質可得等比數列的公比，即可得解.
【詳解】設數列的公比為，
由，，成等差數列，故，
即有，化簡得，解得或（舍），
故.
故選：D.
4．（2024上·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各項均為正數的等比數列中，若，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
【答案】B
【分析】利用等比數列的性質及對數運算性質計算即可.
【詳解】在各項均為正數的等比數列中，，
因為，
所以
所以
，
故選：B.
5．（2024上·云南德宏·高三統考期末）已知正項等比數列中，，，成等差數列.若數列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】由已知條件求出等比數列公比，得到，利用基本不等式求的最小值.
【詳解】設正項等比數列公比為，由，，成等差數列，
有，即，得，由，解得，
若數列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，
則，即，得，則，
，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為3.
故選：B
6．（2023上·全國·高二期末）已知數列是等比數列，且，，則（ ）
A．28 B．63 C．189 D．289
【答案】C
【分析】設等比數列的公比為,求出值.
【詳解】設等比數列的公比為,由，
則 ，解得,
故.
故選：C
7．（2024上·山東威海·高二統考期末）已知等差數列的公差，且，，成等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據等差數列和等比數列的知識列方程，化簡求得正確答案.
【詳解】依題意，是等差數列，且，，成等比數列，
所以，
，
由于，所以.
故選：A
8．（2024上·浙江寧波·高三余姚中學校聯考期末）若數列為等比數列，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．既不充分也不必要條件
C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
【答案】C
【分析】利用等比數列性質，結合基本不等式及不等式性質，由充分、必要性定義判斷充分、必要性.
【詳解】若數列的公比為，
由，故，則，
所以，當且僅當，即時取等號，故充分性成立；
由，故，若，則，故必要性不成立；
故選：C
9．（2024上·湖北十堰·高二統考期末）若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【分析】由韋達定理求得之間的關系，然后由這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，分類討論求解即可.
【詳解】由題可知，，則，這三個數可適當排序后成等比數列，
則3必是等比中項，則，這三個數可適當排序后成等差數列，
則3必不是等差中項，若是等差中項，則，又，
解得，則，故，
若是等差中項，則，又，解得，
則．故．
故選：D.
10．（2024上·海南海口·高二海南中學校考期末）已知是等比數列，且．那么的值為（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】A
【分析】由等比數列的下標和性質求解即可.
【詳解】解：根據等比數列的性質，
得．
而．
故選：A
11．（2024上·廣東·高三統考期末）已知數列為公差不為0的等差數列，若，，成等比數列，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】設的公差為，，用表示，求出的關系，即可求出結果.
【詳解】設的公差為，因為，，成等比數列，
所以，即，
，化簡得，因為，可得，
所以，，所以.
故選：D.
12．（2024上·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）2023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個國家、92個國際組織的外賓參與論壇.從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進出口累計總額年均增長率為6.4%.現已知2013年進出口累計總額為10.9萬億美元，則2022年進出口累計總額（保留1位小數）約為（ ）參考數據：
A．17.9萬億 B．19.1萬億
C．20.3萬億 D．21.6萬億
【答案】B
【分析】確定從2013年到2022年，每年的進出口累計總額構成等比數列，確定首項和公比，根據等比數列的通項公式，即可求得答案.
【詳解】依題意可得從2013年到2022年，每年的進出口累計總額構成等比數列，
其中，公比，
故2022年進出口累計總額約為（萬億），
故選：B
二、多選題
13．（2024上·江蘇南京·高二統考期末）在數列中，，（），前n項和為．則下列結論正確的是（ ）
A． B．是等比數列
C．是等比數列 D．是遞增數列
【答案】ACD
【分析】根據題意利用構造法可知數列是以首項為4，公比為2的等比數列，進而可得，進而逐項分析判斷.
【詳解】因為，可得，且，
可知數列是以首項為4，公比為2的等比數列，
可得，即，
則，
且在上單調遞增，可知是遞增數列，故ACD正確；
因為，顯然，可知不是等比數列，故B錯誤；
故選：ACD.
14．（2024上·浙江溫州·高二統考期末）已知數列的前n項和為，且，，則下列命題正確的是（ ）
A．若為等差數列，則數列為遞增數列
B．若為等比數列，則數列為遞增數列
C．若為等差數列，則數列為遞增數列
D．若為等比數列，則數列為遞增數列
【答案】ACD
【分析】AC選項，得到公差，，結合等差數列求和公式得到對恒成立，A正確，推出得到C正確；BD選項，得到公比，舉出反例得到C錯誤，由，且，得到D正確.
【詳解】因為，，所以，且，
AC選項，若為等差數列，則公差，，
則，對恒成立，
則數列為遞增數列，A正確；
由于，故，又，故，
則，數列為遞增數列，C正確；
BD選項，若為等比數列，則公比，不妨設，，
則，故，
則數列不為遞增數列，B錯誤；
由于，故，又，故數列為遞增數列，D正確.
故選：ACD
15．（2024上·浙江寧波·高二統考期末）已知無窮數列的前3項分別為2，4，8，…，則下列敘述正確的是（ ）.
A．若是等比數列，則
B．若滿足，則
C．若滿足，則
D．若滿足，則
【答案】ACD
【分析】求得等比數列的通項公式判斷A，根據周期數列的定義判斷BC，利用累加法求通項判斷D．
【詳解】選項A，若是等比數列，則公比，，A正確；
選項BC，若滿足，則，B錯，C正確；
選項D，若滿足，則，
所以時，，
又適合上式，因此D正確．
故選：ACD．
16．（2024上·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）等比數列的各項均為正數，公比為，其前項的乘積記為．若，，則（ ）
A． B．
C． D．當且僅當時，
【答案】ABC
【分析】根據給定條件，確定數列，再結合數列性質即可求解作答.
【詳解】正項等比數列前n項之積，由得：，
于是得，解得，所以，因為，所以，，故A正確；
因為， ，即，因為等比數列的各項均為正數，所以，故B正確；
，因為，
當時，取得最大值，所以，故C正確；
由， 當時，即，解得或（舍），
所以時，，故D錯誤，
故選：ABC.
17．（2024上·山東威海·高二統考期末）記為數列的前項和，若，，則（ ）
A．為等比數列 B．為等差數列
C．為等比數列 D．為等差數列
【答案】AB
【分析】根據數列遞推式，可得時，，采用兩式相減的方法可推出，結合等比數列定義，可判斷A；繼而求出，可得，根據等差數列定義判斷B；繼而求出的表達式，可得，即可求出以及的通項公式，結合等比數列以及等差數列定義，即可判斷C，D.
【詳解】由題意知，，
故時，，則，即，
由，，得，，
故，故為等比數列，A正確；
由以上分析知，則，
故為以為首項，公差為的等差數列，B正確；
則，即，
則，
即，則，
則不為常數，故不為等比數列，C錯誤；
由于，
故不為常數，
故不為等差數列，D錯誤，
故選：AB
三、填空題
18．（2024上·廣東肇慶·高二統考期末）等差數列的公差為，前n項和為，且是與的等比中項，則 ．
【答案】
【分析】根據等比中項性質，列式求得等差數列的首項，根據等差數列的前n項和公式，即可得答案.
【詳解】由題意知等差數列的公差為，
由于是與的等比中項，故，
即，解得，
故，
故答案為：
19．（2024上·新疆·高二校聯考期末）在正項等比數列中，已知，且，，成等差數列，則的公比 ．
【答案】3
【分析】由等差中項得，結合等比數列的通項公式可解.
【詳解】由題意，，，成等差數列，所以，
又，
所以，解得或，負值舍去．
故答案為：3
20．（2024上·福建莆田·高二莆田第五中學校聯考期末）已知等比數列滿足，，則的值為 ．
【答案】
【分析】設等比數列的公比為，則，由已知條件求出的值，即可得出的值.
【詳解】設等比數列的公比為，則，
因為，，則，即，所以，，
因此，.
故答案為：.
21．（2024上·上海普陀·高三校考期末）公差不為零的等差數列，，如果成等比數列，求數列的通項 .
【答案】
【分析】根據給定條件，列出方程組求出數列的首項及公差，再求出通項即得.
【詳解】設數列的公差為，由，得，即，
由成等比數列，得，化簡整理得，
因此，所以數列的通項為.
故答案為：
22．（2024上·安徽合肥·高二合肥市第八中學校考期末）在正項等比數列 中，若 ， ．
【答案】5
【分析】根據正項等比數列的定義與通項公式，計算即可
【詳解】正項等比數列 中，，
，
解得，舍去負值，所以.
故答案為：5
四、解答題
23．（2024上·河南·高二校聯考期末）已知公比不為1的等比數列滿足，且是等差數列的前三項.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等比數列的通項公式結合等差中項列式求得，即可得結果；
（2）由（1）可知：等差數列的首項為，公差為，結合等差數列得通項公式和求和公式運算求解.
【詳解】（1）設的公比為，
因為成等差數列，則，
即，解得或1（舍去），
所以.
（2）由（1）可知的前三項為，
則等差數列的首項為，公差為，
所以，即.
所以.
24．（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校考期末）已知等差數列的首項為1，公差.數列為公比的等比數列，且成等差數列.
(1)求數列和數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）直接根據等差數列，等比數列基本量的運算即可得結果；
（2）分為奇數項和偶數項結合等差數列和等比數列的前項和即可得結果.
【詳解】（1）由于等差數列的首項為1，公差
所以，
由數列為公比是2的等比數列且成等差數列，
知，解得，
所以.
（2）由（1）知，，
.
25．（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）已知等差數列的首項，公差．記的前項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求公差的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列通項公式和求和公式直接代入計算即可；
（2）根據等比數列的性質得到，通過代入和整理，得到對于每個，存在實數使此式成立，則，結合不等式特征求解即可.
【詳解】（1）因為等差數列的首項，公差為，
所以，，，
因為，所以，
化簡得，因為，所以，
所以
（2）由題意得，，，
，
因為成等比數列，
所以，
則，
化簡整理得，對于每個，存在實數使此式成立，
則，即，
即，
當時，符合題意；
當時，則二次函數開口向上，
則，原不等式解為，
所以相差距離為，則之間一定有一個整數，
所以只能為，即，所以.
綜上所述，公差的取值范圍為
26．（2024上·湖北武漢·高二武漢市常青第一中學校聯考期末）已知等比數列的公比，若，且分別是等差數列的第1，3，5項．
(1)求數列和的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）先列出方程組求出數列的首項和公比，從而得到數列的通項公式，再求出數列的首項和公差，從而求出數列的通項公式；
（2）寫出數列的通項公式，利用錯位相減法求解.
【詳解】（1）由題意得，即，
則，
化簡得：，解得（舍去）
則，解得，所以．
則，
設等差數列的公差為，則，
所以．
（2）由（1）可得：
所以，
故，
兩式相減得：
，
化簡可得：
27．（2024上·山東泰安·高二統考期末）已知遞增等差數列滿足，且成等比數列，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等比數列性質，設出等差數列基本量列方程求解即可；
（2）利用裂項相消法數列求和.
【詳解】（1）設的公差為，
成等比數列，，
即，，
或，
單調遞增，，
（2）由（1）可知，，則，
則，
．
28．（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）某區域市場中智能終端產品的制造全部由甲 乙兩公司提供技術支持．據市場調研及預測，商用初期，該區域市場中采用的甲公司與乙公司技術的智能終端產品各占一半，假設兩家公司的技術更新周期一致，且隨著技術優勢的體現，每次技術更新后，上一周期采用乙公司技術的產品中有轉而采用甲公司技術，采用甲公司技術的產品中有轉而采用乙公司技術．設第次技術更新后，該區域市場中采用甲公司與乙公司技術的智能終端產品占比分別為和，不考慮其他因素的影響．
(1)用表示，并求使數列是等比數列的實數．
(2)經過若干次技術更新后，該區域市場采用甲公司技術的智能終端產品的占比能否達到以上？若能，則至少需要經過幾次技術更新；若不能，請說明理由．
【答案】(1)；；
(2)經過若干次技術更新后，該區域市場采用甲公司技術的智能終端產品的占比不會達到以上，理由見解析．
【分析】（1）根據條件得到數列的遞推關系，利用數列是等比數列，求的值；
（2）首先由（1）得數列的通項公式，再求出的范圍判斷不等式是否有解.
【詳解】（1）由題意知，經過次技術更新后，，
則，
即．
設，則，
令，解得．
又，
所以當時，是以為首項，為公比的等比數列．
（2）由（1）可知，則，．
所以經過次技術更新后，該區域市場采用甲公司技術的智能終端產品的占比為．
對于任意，所以，
即經過若干次技術更新后，該區域市場采用甲公司技術的智能終端產品的占比不會達到以上．
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是得到數列的遞推關系，根據題意有代入消去得到遞推關系.3.1 等比數列7種常見考法歸類
課程標準 學習目標
1.通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義． 2．體會等比數列與指數函數的關系． 3．能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題 1.理解等比數列、等比中項的概念．(數學抽象) 2．會求等比數列的通項公式，并能利用通項公式進行基本量的運算．(數學運算) 3．會利用等比數列的性質進行基本量的運算．(數學運算) 4．體會等比數列與指數函數的關系．(直觀想象) 5．能在具體的問題情景中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．(數學建模、數學運算)
知識點01等比數列的概念
文字語言 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值都是同一個常數，那么稱這樣的數列為等比數列，稱這個常數為等比數列的公比，通常用字母q表示(q≠0)
符號語言 若＝q(n≥2，q是常數且q≠0)，則數列{an}為等比數列
注：(1)由等比數列的定義知，數列除末項外的每一項都可能作分母，故每一項均不為0，因此公比也不為0，由此可知，若數列中有“0”項存在，則該數列不可能是等比數列．
(2)“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”，同時注意公比是每一項與其前一項之比，前后次序不能顛倒．
(3)定義中的“同一個常數”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略．
【即學即練1】（2024·全國·高二課時練習）已知數列a，，，…是等比數列，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B．或 C． D．且
知識點02等比數列的通項公式
若首項是a1，公比是q，則等比數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．
注：(1)已知首項a1和公比q，可以確定一個等比數列．
(2)在公式an＝a1qn－1中，有an，a1，q，n四個量，已知其中任意三個量，可以求得第四個量，其中a1，q為兩個基本量．
(3)對于等比數列{an}，若q<0，則{an}中正負項間隔出現，如數列1，－2，4，－8，16，…；若q>0，則數列{an}各項同號．從而等比數列奇數項必同號；偶數項也同號．
【即學即練2】（2024·全國·高二課時練習）在等比數列中，公比為q．
(1)若，，求通項公式；
(2)若，，求q并寫出通項公式；
(3)若，，，求項數n．
【即學即練3】（2024·陜西·渭南市三賢中學高二階段練習（理））在各項均為負的等比數列中，，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)是否為該數列的項？若是，為第幾項？
【即學即練4】（2024·四川·德陽五中高二開學考試（文））已知在遞減等比數列中，，，若，則（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
知識點03　等比中項
如果在a與b之間插入一個數G，使得a，G，b成等比數列，那么稱G＝±為a，b的等比中項．
注：(1)若G是a與b的等比中項，則＝，所以G2＝ab，G＝±.
(2)等比中項與“任意兩個實數a，b都有唯一的等差中項A＝”不同，只有當a、b同號時a、b才有等比中項，并且有兩個等比中項，分別是與－；當a，b異號時沒有等比中項．
(3)在一個等比數列中，從第2項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項．
【即學即練5】（2024·全國·高二課時練習）已知等比數列中的前三項為、、，則實數的值為______．
【即學即練6】（2024·北京平谷·高二期末）已知等比數列滿足，則等于（ ）
A． B． C． D．
【即學即練7】（2024·全國·高二專題練習）在等比數列中，，則和的等比中項為________．
知識點04　等比數列的性質
在等比數列中，相隔等距離的項組成的數列是等比數列， 如：，，，，……；，，，，……；
注：若m，p，n成等差數列，則am，ap，an成等比數列．
（2）在等比數列中，對任意，，；
（3）在等比數列中，若，，，且，則,特殊地，時，則，是的等比中項. 也就是：，如圖所示：.
注：(1)性質的推廣：若m＋n＋p＝x＋y＋z，有amanap＝axayaz；
(2)該性質要求下標的和相等，且左右兩側項數相同；
(3)在有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項之積都相等，即a1·an＝a2·an－1＝….
(4)等比數列下標為奇數的項正負相同，下標為偶數的項正負相同；
（4）若{an}，{bn}(項數相同)是等比數列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數列．
（5）在等比數列{an}中按序號從小到大取出若干項：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差數列，那么是等比數列.
（6）公比不為1的等比數列，其相鄰兩項的差也依次成等比數列，且公比不變，即，，，…成等比數列，且公比為.
（7）等比數列的單調性
當或時，為遞增數列，當或時，為遞減數列．
【即學即練8】（2024·廣東·高二階段練習）已知等比數列{an}中，a3 a13＝20，a6＝4，則a10的值是（　　）
A．16 B．14 C．6 D．5
【即學即練9】（2024·廣西梧州·高二期末（理））在等比數列中，，，則的值為（ ）
A． B． C．或 D．或
【即學即練10】（2024·四川·射洪中學高二開學考試）已知等比數列滿足，，則（ ）
A．18 B．24 C．30 D．42
【即學即練11】（2024·四川·綿陽中學高二開學考試（理））已知等比數列，滿足，且，則數列的公比為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【即學即練12】（2024·四川·射洪中學高二開學考試）等比數列的各項均為正數，且，則（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
題型一：等比數列概念的理解
例1：（2024·全國·高二課時練習）將公比為q的等比數列依次取相鄰兩項的乘積組成的新數列，，，…．則此數列______（選填“是”或“不是”’）等比數列，若是，則公比為______．
變式1：（2024·全國·高二課時練習）已知數列的前n項的和．
(1)求數列的通項公式；
(2)討論a的值，說明數列是否為等比數列？若是，請證明；若不是，請說明理由．
【方法技巧與總結】
判斷一個數列是否為等比數列的方法
定義法：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
題型二：等比數列的基本運算
例2：（2024上·新疆伊犁·高二校考期末）在等比數列中，，，則（ ）
A． B． C． D．
變式1：（2024·安徽省皖西中學高二期末）已知等比數列的公比，則（ ）
A． B． C． D．3
變式2：（2024·福建省寧德第一中學高二階段練習）在正項等比數列中，，，則通項公式________．
變式3：（2024上·云南臨滄·高二校考期末）已知正項等比數列滿足：，若存在兩項使得，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
例3：（2024·全國·高二課時練習）設四個數中前三個數依次成等比數列，其和為19，后三個數依次成等差數列，其和為12，求該數列．
變式1：（2024·全國·高二課時練習）四個數中前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，若首末兩數之和為14，中間兩數之和為12，求這四個數．
【方法技巧與總結】
等比數列通項公式的求法
(1)根據已知條件，建立關于a1，q的方程組，求出a1，q后再求an，這是常規方法．
(2)充分利用各項之間的關系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這種方法帶有一定的技巧性，能簡化運算．
題型三：等比數列與函數
例4：（2024·全國·高二課時練習）下列說法正確的是______．（填序號）
①數列圖像上的點都在函數的圖像上；
②數列的圖像與函數的圖像相同；
③函數圖像上存在滿足數列通項公式的點；
④數列圖像上可能存在不滿足函數關系式的點．
變式1：（2024·上海·華師大二附中高二開學考試）設是公比為的等比數列，則“”是“”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
變式2：（2024·全國·高二專題練習）等比數列中，公比為q，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
變式3：（2024上·福建龍巖·高二校考階段練習）在等比數列中， ，，且，則 .
變式4：（2024下·浙江·高一校聯考期中）等比數列{an}的公比為q，其前n項之積為Tn，若滿足條件：a1＞1，a99 a100﹣1＞0，，當Tn取得最大時，n＝ .
【方法技巧與總結】
等比數列的單調性
(1)當a1>0，q>1或a1<0，0(2)當a1>0，01時，等比數列{an}為遞減數列；
(3)當q＝1時，數列{an}是常數列；
(4)當q<0時，數列{an}是擺動數列．
題型四：等比數列的判定
例5：【多選】（2024·全國·高二課時練習）設數列為等比數列，則下列數列一定為等比數列的是（ ）
A． B． C． D．
變式1：【多選】（2024·全國·高二課時練習）若是等比數列，則下列是等比數列的是（ ）
A． B． C． D．
變式2：（2024·四川·雅安中學高二階段練習）數列滿足.
(1)若，求證：為等比數列；
(2)求的通項公式．
變式3：（2024·全國·高二課時練習）已知數列滿足，，.
(1)求證：數列是等比數列；
(2)若，求數列中的最小項.
變式4：（2024·福建省福安市第一中學高二階段練習）已知數列中，，.
(1)求證：是等比數列，并求的通項公式；
(2)若不等式對于恒成立，求實數的最小值.
【方法技巧與總結】
(1)定義法．
①涉及an＋1，an，an－1的式子，將關系式代入后證明或(n≥2)為常數．
②涉及Sn與an的式子，則利用an＝Sn－Sn－1，n≥2，消去Sn，判斷an，an－1或an＋1，an的關系證明．
(2)通項公式法：an＝a1qn－1(a1，q為非零常數，n∈N＋) {an}為等比數列．
題型五：等比中項
例6：（2024上·河北石家莊·高二石家莊市第四中學校考期中）與的等比中項是 ．
變式1：（2024·上海·華師大二附中高一期末）“”是“G是a、b的等比中項”的（ ）條件
A．既不充分也不必要 B．充分不必要
C．必要不充分 D．充要
變式2：（2024·湖南·南縣第一中學高二期中）已知等比數列的各項均為正數，且，則數列的前5項積為______．
變式3：（2024·江蘇·高二課時練習）若、、成等比數列，則稱為和的等比中項．
(1)求和的等比中項；
(2)已知兩個數和的等比中項是，求．
變式4：（2024·全國·高二課時練習）若依次成等差數列的三個實數a，b，c之和為12，而a，b，又依次成等比數列，則a＝______．
變式5：（2024上·河北保定·高二保定一中校考階段練習）在等比數列中，，是方程的兩根，則的值為 ．
【方法技巧與總結】
應用等比中項解題策略
(1)如果出現等比數列兩項的乘積時，就要注意考慮是否能轉化為等比中項表示；
(2)等比中項一般不唯一，但是如果在等比數列中，還要考慮與項的關系，如a4是a2，a6的等比中項，而a4＝a2q2，因此a4與a2的符號相同．
題型六：等比數列的性質應用
例7：（2024下·高二課時練習）已知等比數列中，，，則的值是 ．
變式1：（2024·海南·瓊海市嘉積第二中學高二期中）已知數列是等比數列，滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
變式2：（2024·河南濮陽·高二開學考試（理））在等比數列中，，是的兩根，則等于（ ）
A． B． C．或 D．
變式3：（2024·福建·廈門外國語學校高二期末）在正項等比數列中，，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
變式4：（2024上·江西南昌·高三江西師大附中校考階段練習）已知數列為等比數列，且，則 ．
變式5：（2024·全國·高三專題練習）在等比數列中，，則 .
【方法技巧與總結】
運用等比數列性質計算的策略
運用等比數列的性質，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，則aman＝apaq；特別地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)則＝”，這樣大大的簡化了運算，因此在解決數列問題時，首先要有運用數列性質的意識，然后仔細觀察各項序號之間的關系，以尋求滿足數列性質的條件．
題型七：等比數列應用題
例8：（2024·重慶·巫山縣官渡中學高二期末）已知一個蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飛出去找回了4個伙伴；第2天，5只蜜蜂飛出去，各自找回了4個伙伴，……按照這個規律繼續下去，第20天所有的蜜蜂都歸巢后，蜂巢中一共有蜜蜂（ ）
A．420只 B．520只 C． 只 D． 只
變式1：（2024·遼寧·高二期中）某企業年初在一個項目上投資2000萬元，據市場調查，每年獲得的利潤為投資的50%，為了企業長遠發展，每年年底需要從利潤中取出500萬元進行科研、技術改造，其余繼續投入該項目．設經過年后，該項目的資金為萬元．
(1)求和的值；
(2)求證：數列為等比數列；
(3)若該項目的資金達到翻一番，至少經過幾年？（，）
【方法技巧與總結】
(1)數學應用問題：解答數學應用題的核心是建立數學模型，如有關平均增長率、利率(復利)以及數值增減等實際問題，需利用數列知識建立數學模型．
(2)增長率問題：需要構建的是等比數列模型，利用等比數列的通項公式解決．
一、單選題
1．（2024上·江蘇南通·高三統考期末）設為等比數列，，則（ ）
A． B． C．3 D．9
2．（2024上·河南·高二校聯考期末）已知是公比為2的等比數列，若，則（ ）
A．100 B．80 C．50 D．40
3．（2024上·江蘇南京·高二南京師大附中校考期末）若等比數列的各項均為正數，且，，成等差數列，則（ ）
A． B．3 C．9 D．27
4．（2024上·湖南常德·高二常德市一中校考期末）各項均為正數的等比數列中，若，則（ ）
A．9 B．10 C．11 D．
5．（2024上·云南德宏·高三統考期末）已知正項等比數列中，，，成等差數列.若數列中存在兩項，，使得為它們的等比中項，則的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
6．（2023上·全國·高二期末）已知數列是等比數列，且，，則（ ）
A．28 B．63 C．189 D．289
7．（2024上·山東威海·高二統考期末）已知等差數列的公差，且，，成等比數列，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024上·浙江寧波·高三余姚中學校聯考期末）若數列為等比數列，則“”是“”的（ ）
A．充要條件 B．既不充分也不必要條件
C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
9．（2024上·湖北十堰·高二統考期末）若是函數的兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
10．（2024上·海南海口·高二海南中學校考期末）已知是等比數列，且．那么的值為（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
11．（2024上·廣東·高三統考期末）已知數列為公差不為0的等差數列，若，，成等比數列，則（ ）
A．1 B． C．2 D．
12．（2024上·黑龍江哈爾濱·高二哈九中校考期末）2023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個國家、92個國際組織的外賓參與論壇.從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進出口累計總額年均增長率為6.4%.現已知2013年進出口累計總額為10.9萬億美元，則2022年進出口累計總額（保留1位小數）約為（ ）參考數據：
A．17.9萬億 B．19.1萬億
C．20.3萬億 D．21.6萬億
二、多選題
13．（2024上·江蘇南京·高二統考期末）在數列中，，（），前n項和為．則下列結論正確的是（ ）
A． B．是等比數列
C．是等比數列 D．是遞增數列
14．（2024上·浙江溫州·高二統考期末）已知數列的前n項和為，且，，則下列命題正確的是（ ）
A．若為等差數列，則數列為遞增數列
B．若為等比數列，則數列為遞增數列
C．若為等差數列，則數列為遞增數列
D．若為等比數列，則數列為遞增數列
15．（2024上·浙江寧波·高二統考期末）已知無窮數列的前3項分別為2，4，8，…，則下列敘述正確的是（ ）.
A．若是等比數列，則
B．若滿足，則
C．若滿足，則
D．若滿足，則
16．（2024上·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）等比數列的各項均為正數，公比為，其前項的乘積記為．若，，則（ ）
A． B．
C． D．當且僅當時，
17．（2024上·山東威海·高二統考期末）記為數列的前項和，若，，則（ ）
A．為等比數列 B．為等差數列
C．為等比數列 D．為等差數列
三、填空題
18．（2024上·廣東肇慶·高二統考期末）等差數列的公差為，前n項和為，且是與的等比中項，則 ．
19．（2024上·新疆·高二校聯考期末）在正項等比數列中，已知，且，，成等差數列，則的公比 ．
20．（2024上·福建莆田·高二莆田第五中學校聯考期末）已知等比數列滿足，，則的值為 ．
21．（2024上·上海普陀·高三校考期末）公差不為零的等差數列，，如果成等比數列，求數列的通項 .
22．（2024上·安徽合肥·高二合肥市第八中學校考期末）在正項等比數列 中，若 ， ．
四、解答題
23．（2024上·河南·高二校聯考期末）已知公比不為1的等比數列滿足，且是等差數列的前三項.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和.
24．（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學校考期末）已知等差數列的首項為1，公差.數列為公比的等比數列，且成等差數列.
(1)求數列和數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
25．（2024上·重慶·高二重慶八中校考期末）已知等差數列的首項，公差．記的前項和為．
(1)若，求；
(2)若對于每個，存在實數，使成等比數列，求公差的取值范圍．
26．（2024上·湖北武漢·高二武漢市常青第一中學校聯考期末）已知等比數列的公比，若，且分別是等差數列的第1，3，5項．
(1)求數列和的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和．
27．（2024上·山東泰安·高二統考期末）已知遞增等差數列滿足，且成等比數列，．
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和．
28．（2024上·甘肅白銀·高二校考期末）某區域市場中智能終端產品的制造全部由甲 乙兩公司提供技術支持．據市場調研及預測，商用初期，該區域市場中采用的甲公司與乙公司技術的智能終端產品各占一半，假設兩家公司的技術更新周期一致，且隨著技術優勢的體現，每次技術更新后，上一周期采用乙公司技術的產品中有轉而采用甲公司技術，采用甲公司技術的產品中有轉而采用乙公司技術．設第次技術更新后，該區域市場中采用甲公司與乙公司技術的智能終端產品占比分別為和，不考慮其他因素的影響．
(1)用表示，并求使數列是等比數列的實數．
(2)經過若干次技術更新后，該區域市場采用甲公司技術的智能終端產品的占比能否達到以上？若能，則至少需要經過幾次技術更新；若不能，請說明理由．

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