資源簡介

2.5 簡單復合函數的求導法則4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
能求簡單的復合函數(限于形如f(ax＋b))的導數． 1.了解復合函數的概念．(數學抽象) 2．利用復合函數的求導法則會求簡單復合函數的導數．(數學運算) 3．利用復合函數的求導法則會解決與曲線的切線有關的問題．(數學運算)
知識點01復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，那么y可以表示成x的函數，稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝φ(x)的復合函數，記作y＝f(φ(x))，其中u為中間變量．
【即學即練1】【多選】（2024高二課堂練習）下列所給函數為復合函數的是(　　)
A．y＝ln (x－2)　　　　　B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x
【即學即練2】【多選】（2024高二課堂練習）下列哪些函數是復合函數(　　)
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
知識點02復合函數的求導法則
復合函數y＝f(φ(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝φ(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′．即y對x的導數是y對u的導數與u對x的導數的乘積．
注：　(1)復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數．
(2)中學階段不涉及較復雜的復合函數的求導問題，只研究y＝f(ax＋b)型復合函數的求導，不難得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．
【即學即練3】（2024高二課堂練習）求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
題型一：求復合函數的導數
例1.（2024高二課堂練習）求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
變式1.（2024高二課堂練習）求下列函數的導數：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
變式2.（2024高二課堂練習）設函數，則函數的導函數等于 （ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
復合函數求導的步驟
題型二：利用復合函數求導法則求值
例2.（2024上·重慶·高二重慶一中校考期末）若函數，則（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2023下·遼寧阜新·高二校考期末）已知函數，則= .
變式2.（2024高二課堂練習）已知函數在上可導，函數，則等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
變式3.（2024高二課堂練習）設函數f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數，則φ＝________.
題型三：復合函數的導數與曲線的切線問題
例3.（2024上·山西陽泉·高三統考期末）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
變式1.（2024上·黑龍江大慶·高三校考階段練習）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值（ ）
A．1 B． C．2 D．
變式2.（2024高二課堂練習）曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　)
A. B.
C. D．1
變式3.（2024高二課堂練習）曲線y＝esin x在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程．
變式4.（山西省運城市2023-2024學年高二上學期期末調研測試數學試題）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A． B．
C． D．
變式5.（2024上·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）已知分別是曲線和上的點，其中是自然對數的底數，則的最小值為 ．
變式6.（2024·山西臨汾·統考一模）設函數，，曲線有兩條斜率為的切線，則實數的取值范圍是 .
【方法技巧與總結】
準確利用復合函數求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確．
題型四：復合函數的導數在實際問題中的應用
例4.（2024高二課堂練習）某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．
變式1.（2023上·海南·高三校聯考階段練習）燒水時，水溫隨著時間的推移而變化.假設水的初始溫度為，加熱后的溫度函數（是常數，表示加熱的時間，單位：min），加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是 .
變式2.（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校聯考期末）鹽城沿海灘涂濕地現已發現高等植物559種、動物1665種，經研究發現其中某生物種群數量的增長規律可以用邏輯斯諦模型刻畫，其中是該種群的內稟增長率，若，則時，的瞬時變化率為 .
變式3.（2024上·江蘇揚州·高二統考期末）曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標定義：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率．已知，則曲線在點處的曲率為 ．
【方法技巧與總結】
將復合函數的求導與導數的實際意義結合，旨在鞏固函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體某時刻的變化狀況．
一、單選題
1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學校考期末）下列求導運算錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·湖北·高二期末）已知函數，則在處的導數為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·河南洛陽·高三孟津縣第一高級中學校考階段練習）函數的圖象在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山東·高三校聯考階段練習）設函數（）的導函數的最大值為2，則在上的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·江蘇蘇州·高三校考階段練習）已知是奇函數，則在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
6．（2024上·江蘇連云港·高二統考期末）下列求導正確的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024上·浙江寧波·高二統考期末）下列函數的導數計算正確的是（ ）
A．若函數，則
B．若函數（且），則
C．若函數，則（e是自然對數的底數）
D．若函數，則
8．（2024上·廣東揭陽·高三統考期末）已知函數及其導函數的定義域均為R，若是不恒為0的奇函數，則（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．為偶函數
9．（2023上·浙江·高三校聯考階段練習）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
10．（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學校考階段練習）曲線在點處的切線方程為 ．
11．（2022上·陜西西安·高二校考期末）函數的圖象在處的切線方程為 .
12．（2024上·湖北黃石·高二校聯考期末）已知函數，，請寫出函數和的圖象的一條公共切線的方程為 .
13．（2023·河南·校聯考模擬預測）若直線與曲線相切，則 ．
14．（2023·海南·統考模擬預測）曲線在點處的切線與軸平行，則 ．
15．（2024·全國·模擬預測）已知函數（，），且，，是的導函數，則的最大值為 ．
16．（2020上·天津北辰·高三統考期中）若曲線的一條切線為，其中為正實數，則的取值范圍是 .
四、解答題
17．（2023下·高二課時練習）指出下列函數由哪些函數復合而成．
(1)；
(2)；
(3)．
18．（2023上·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區紅橋高級中學校考階段練習）求下列函數的導數：
(1)
(2)
19．（2023上·高二課前預習）求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
20．（2023上·高二課前預習）求下列函數的導數：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)；
(5) ；
(6)
21．（2023上·江蘇·高二專題練習）設函數，，分別為的導函數，解不等式.2.5 簡單復合函數的求導法則4種常見考法歸類
課程標準 學習目標
能求簡單的復合函數(限于形如f(ax＋b))的導數． 1.了解復合函數的概念．(數學抽象) 2．利用復合函數的求導法則會求簡單復合函數的導數．(數學運算) 3．利用復合函數的求導法則會解決與曲線的切線有關的問題．(數學運算)
知識點01復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，如果給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，那么y可以表示成x的函數，稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝φ(x)的復合函數，記作y＝f(φ(x))，其中u為中間變量．
【即學即練1】【多選】（2024高二課堂練習）下列所給函數為復合函數的是(　　)
A．y＝ln (x－2)　　　　　B．y＝ln x＋x－2 C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x
【解析】函數y＝ln (x－2)是由函數y＝ln u和u＝g(x)＝x－2復合而成的，A符合；函數y＝ln 2x是由函數y＝ln u和u＝2x復合而成的，D符合，B與C不符合復合函數的定義．故選AD.
答案：AD
【即學即練2】【多選】（2024高二課堂練習）下列哪些函數是復合函數(　　)
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
【解析】A不是復合函數；BCD都是復合函數．故選BCD
知識點02復合函數的求導法則
復合函數y＝f(φ(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝φ(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′．即y對x的導數是y對u的導數與u對x的導數的乘積．
注：　(1)復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數乘以中間變量對自變量的導數．
(2)中學階段不涉及較復雜的復合函數的求導問題，只研究y＝f(ax＋b)型復合函數的求導，不難得到y ′＝(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．
【即學即練3】（2024高二課堂練習）求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
【解析】(1)令u＝1－3x，則y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，則y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)設y＝log2u，u＝2x＋1，
則y′x＝y′uu′x＝＝.
(4)設y＝eu，u＝3x＋2，
則y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
題型一：求復合函數的導數
例1.（2024高二課堂練習）求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
【解析】(1)y＝，
設y＝，u＝1－2x，
則y′x＝
＝·(－2)
＝.
(2)函數y＝5log2(1－x)可看作函數y＝5log2u和u＝1－x的復合函數，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(3)設y＝sin u，u＝2x＋，
則y′x＝(sin u)′′＝cos u·2＝2cos.
變式1.（2024高二課堂練習）求下列函數的導數：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】（1）因為，所以
（2）因為，所以
（3）因為，所以
（4）因為，所以
（5）因為，所以
（6）因為，所以
變式2.（2024高二課堂練習）設函數，則函數的導函數等于 （ ）
A． B． C． D．
【解析】y＝f（a﹣bx）＝（a﹣bx）3，
∴y′＝3（a﹣bx）2×（﹣b）＝﹣3b（a﹣bx）2．
故選C．
【方法技巧與總結】
復合函數求導的步驟
題型二：利用復合函數求導法則求值
例2.（2024上·重慶·高二重慶一中校考期末）若函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由導數運算法則計算即可得.
【詳解】，則.
故選：B.
變式1.（2023下·遼寧阜新·高二校考期末）已知函數，則= .
【答案】
【分析】首先求函數的導數，并求，再根據函數的解析式，即可求解.
【詳解】，
則，得，
所以，
故.
故答案為：
變式2.（2024高二課堂練習）已知函數在上可導，函數，則等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】∵，∴，
∴.
故選：B.
變式3.（2024高二課堂練習）設函數f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函數，則φ＝________.
【解析】∵f′(x)＝－sin(x＋φ)，
∴f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
令g(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)，
∵其為奇函數，∴g(0)＝0，即cos φ－sin φ＝0，
∴tan φ＝，又0<φ<π，∴φ＝.
題型三：復合函數的導數與曲線的切線問題
例3.（2024上·山西陽泉·高三統考期末）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用導數的幾何意義即可求得函數在某點處的切線方程.
【詳解】因為，
所以，
所以在點處的切線斜率為.
所以切線方程為，即，
故選：D.
變式1.（2024上·黑龍江大慶·高三校考階段練習）已知曲線在點處的切線與直線垂直，則的值（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根據導數的幾何意義結合條件求解即可.
【詳解】由題意得斜率為，
，所以，
解得，
故選：C.
變式2.（2024高二課堂練習）曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線與直線y＝0和y＝x圍成的三角形的面積為(　　)
A. B.
C. D．1
【解析】依題意得
y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，
y′|x＝0＝－2e－2×0＝－2.
所以曲線y＝e－2x＋1在點(0,2)處的切線方程是y－2＝－2x，
即y＝－2x＋2.在平面直角坐標系中作出直線y＝－2x＋2，y＝0與y＝x的圖象，如圖所示．
因為直線y＝－2x＋2與y＝x的交點坐標是，
直線y＝－2x＋2與x軸的交點坐標是(1,0)，
所以結合圖象可得，
這三條直線所圍成的三角形的面積為×1×＝.故選A
變式3.（2024高二課堂練習）曲線y＝esin x在點(0,1)處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程．
【解析】∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲線y＝esin x在點(0,1)處的切線方程為
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直線l與x－y＋1＝0平行，
故直線l可設為x－y＋m＝0(m≠1)．
由＝得m＝－1或3.
∴直線l的方程為x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
變式4.（山西省運城市2023-2024學年高二上學期期末調研測試數學試題）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】借助導數的幾何意義計算即可得.
【詳解】令，則，
令，有，則，
即有，即，故，
令，則，
令，有，則，
即有，即，
故有，即.
故選：BD.
變式5.（2024上·陜西西安·高二陜西師大附中校考期末）已知分別是曲線和上的點，其中是自然對數的底數，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】確定兩函數是互為反函數，它們圖象關于直線對稱，因此只要求得曲線上與直線平行的切線的切點坐標，由切點到直線的距離即可得結論．
【詳解】由得，即，
所以函數的反函數是，因此它們的圖象關于直線對稱，
取得最小值時，兩點一定關于直線對稱，
由得，令，則，此時，
因此曲線上斜率為1的切線的切點坐標為，它到直線的距離為，
由對稱性知的最小值是．
故答案為：．
變式6.（2024·山西臨汾·統考一模）設函數，，曲線有兩條斜率為的切線，則實數的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由可得出，令，則，分析可知，函數在上有兩個不等的零點，利用二次函數的零點分布可得出關于實數的不等式組，解之即可.
【詳解】因為，
則，
令，可得，
可得，
因為，令，則，且函數在上單調遞增，
令，其中，
因為曲線有兩條斜率為的切線，則函數在上有兩個不等的零點，
所以，，解得.
因此，實數的取值范圍是.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
準確利用復合函數求導法則求出導函數是解決此類問題的第一步，也是解題的關鍵，務必做到準確．
題型四：復合函數的導數在實際問題中的應用
例4.（2024高二課堂練習）某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．
【解析】設f(x)＝3sin x，x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·
＝cos，
將t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos ＝(m/h)．
s′(18)表示當t＝18 h時，潮水的高度上升的速度為 m/h.
變式1.（2023上·海南·高三校聯考階段練習）燒水時，水溫隨著時間的推移而變化.假設水的初始溫度為，加熱后的溫度函數（是常數，表示加熱的時間，單位：min），加熱到第10min時，水溫的瞬時變化率是 .
【答案】
【分析】根據公式和已知條件直接求解即可
【詳解】因為水的初始溫度為，所以，解得，所以，
則，所以加熱到第時，水溫的瞬時變化率是.
故答案為：
變式2.（2024上·江蘇鹽城·高二江蘇省射陽中學校聯考期末）鹽城沿海灘涂濕地現已發現高等植物559種、動物1665種，經研究發現其中某生物種群數量的增長規律可以用邏輯斯諦模型刻畫，其中是該種群的內稟增長率，若，則時，的瞬時變化率為 .
【答案】/
【分析】求時的瞬時變化率，即求在處導數值，求導，代入計算即可.
【詳解】當時，，則，
則時，的瞬時變化率為.
故答案為：.
變式3.（2024上·江蘇揚州·高二統考期末）曲率是衡量曲線彎曲程度的重要指標定義：若是的導函數，是的導函數，則曲線在點處的曲率．已知，則曲線在點處的曲率為 ．
【答案】2
【分析】計算出及后代入計算即可得.
【詳解】，，
故，，
則.
故答案為：.
【方法技巧與總結】
將復合函數的求導與導數的實際意義結合，旨在鞏固函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體某時刻的變化狀況．
一、單選題
1．（2024上·云南昆明·高二昆明市第三中學校考期末）下列求導運算錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據導數的運算法則依次得出答案.
【詳解】因為，所以A選項正確；
因為，所以B選項正確；
因為，所以C選項錯誤；
因為，所以D選項正確.
故選：C.
2．（2023上·湖北·高二期末）已知函數，則在處的導數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】對求導，將代入求即可.
【詳解】由已知可得，
所以，所以
故選：A.
3．（2023上·河南洛陽·高三孟津縣第一高級中學校考階段練習）函數的圖象在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數的幾何意義即可得解.
【詳解】因為，所以，
所以，，
則所求切線方程為，即，
故選：A.
4．（2023上·山東·高三校聯考階段練習）設函數（）的導函數的最大值為2，則在上的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函數的導數，依題意可得，利用余弦函數性質可求出的最小值.
【詳解】∵的最大值為2，∴．
∴，，∴，
∴，即，的最小值為．
故選：D.
5．（2023上·江蘇蘇州·高三校考階段練習）已知是奇函數，則在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據奇函數定義求出，再由導數的幾何意義求出切線斜率，即可得解.
【詳解】因為為奇函數，則，
可得，
注意到，可知不恒成立，
則，即，可得，
所以，
則，故，
可知切點坐標為，切線斜率為2，
所以切線方程為.
故選：C.
二、多選題
6．（2024上·江蘇連云港·高二統考期末）下列求導正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由基本初等函數的導數與導數的運算法則計算即可.
【詳解】，，
，.
故選：BC.
7．（2024上·浙江寧波·高二統考期末）下列函數的導數計算正確的是（ ）
A．若函數，則
B．若函數（且），則
C．若函數，則（e是自然對數的底數）
D．若函數，則
【答案】BCD
【分析】根據復合函數的求導法則，結合基本初等函數求導公式以及求導法則即可逐一求解.
【詳解】對于A，，所以，A錯誤，
對于B，，故B正確，
對于C，，C正確，
對于D，，D正確，
故選：BCD
8．（2024上·廣東揭陽·高三統考期末）已知函數及其導函數的定義域均為R，若是不恒為0的奇函數，則（ ）
A． B．
C．為奇函數 D．為偶函數
【答案】ACD
【分析】根據奇函數的性質以及符合函數的導數判斷四個選項即可.
【詳解】因為函數及其導函數的定義域均為，是不恒為0的奇函數，
所以，所以，故B錯誤；
因為，則，所以，
所以為奇函數，故正確；
因為，所以，所以為偶函數，故D正確；
因為，所以，即，故A正確，
故選：ACD.
9．（2023上·浙江·高三校聯考階段練習）已知定義在上的函數，，其導函數分別為，，，，且為奇函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】先根據條件分析出的周期性對稱性，再得到的周期性的對稱性，最后由求導得到和的周期性和對稱性，代入求解即可.
【詳解】由題意得，所以，
兩式相減可得①，所以關于點中心對稱，
又因為為奇函數，所以②，
即，所以關于點中心對稱，
而定義域為，所以，A正確；
②式兩邊對求導可得，所以是偶函數，
以替換①中的可得，
所以，所以是最小正周期為4的周期函數，
因為，所以也是最小正周期為4的周期函數，
即，兩邊求導可得，
所以也是最小正周期為4的周期函數，所以不恒成立，B錯誤；
由①得，令，解得，
所以③，即關于直線對稱，
以替換③中的可得，
由②可知，所以④，
所以，所以C正確；
由上可知關于點中心對稱，所以
又因為是偶函數，所以
又因為是最小正周期為4的周期函數，所以，
由條件可得，
所以，
由④知，所以，D正確，
故選：ACD
【點睛】關鍵點睛：解決這類題的關鍵是熟練掌握對稱與周期的關系，若關于兩點（縱坐標相同）或者兩條直線（平行于軸）對稱，則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍，若關于一點和一直線（平行于軸）對稱，則周期為這點和這條直線的距離的四倍.
三、填空題
10．（2023上·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學校考階段練習）曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】借助導數的幾何意義計算即可得.
【詳解】令，
則，
有，，
故切線方程為，化簡得.
故答案為：.
11．（2022上·陜西西安·高二校考期末）函數的圖象在處的切線方程為 .
【答案】
【分析】由函數的解析式，求得，根據導數求得，結合直線的點斜式，即可求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，，
所以在處的切線方程為，即.
故答案為：.
12．（2024上·湖北黃石·高二校聯考期末）已知函數，，請寫出函數和的圖象的一條公共切線的方程為 .
【答案】（或）
【分析】設切點坐標分別為，，由切線斜率可得，結合公切線方程解得或，進而可得公切線方程.
【詳解】因為，，則，，
設函數上的切點坐標為，切線斜率為，
函數上的切點坐標為，切線斜率為，
由切線斜率可得，即，
可得公切線方程為，
代入點可得，
代入可得，
整理得，解得或，
所以切線方程為或.
故答案為：（或）.
13．（2023·河南·校聯考模擬預測）若直線與曲線相切，則 ．
【答案】
【分析】設出切點坐標，求出函數的導數，利用導數的幾何意義，結合已知切線列式求解即可.
【詳解】依題意，設切點為，則，
由，求導得，于是，解得，
從而，則.
故答案為：
14．（2023·海南·統考模擬預測）曲線在點處的切線與軸平行，則 ．
【答案】/
【分析】根據題意，求得，結合，即可求解.
【詳解】由函數，可得，
因為在點處的切線與軸平行，可得，解得.
故答案為：.
15．（2024·全國·模擬預測）已知函數（，），且，，是的導函數，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】根據條件先求解出的值，由此可得的解析式，然后根據導數運算以及輔助角公式求解出最大值.
【詳解】由，得，
又，所以，則，
由，得，
所以，或，，
所以，或，，
因為，所以，所以．
則，則，
其中，當且僅當時取等號，
故的最大值為，
故答案為：.
16．（2020上·天津北辰·高三統考期中）若曲線的一條切線為，其中為正實數，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】先根據已知求出，再利用基本不等式求解.
【詳解】設切點為，由
所以，且過切點的直線為，
所以有：，
因為，所以，
所以，
當且僅當時取等號，
故答案為：.
四、解答題
17．（2023下·高二課時練習）指出下列函數由哪些函數復合而成．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)，.
(2)，.
(3)，.
【分析】根據復合函數的概念得到答案.
【詳解】（1）由，復合而成；
（2）由，復合而成；
（3）由，復合而成.
18．（2023上·江蘇揚州·高二揚州市廣陵區紅橋高級中學校考階段練習）求下列函數的導數：
(1)
(2)
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）應用導數加減、乘法及簡單復合函數導數求法求函數的導函數；
（2）應用導數除法法則求函數的導函數.
【詳解】（1）
（2）
19．（2023上·高二課前預習）求下列函數的導數．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）利用復合函數求導運算求解即可；
（2）利用復合函數求導運算求解即可；
（3）利用復合函數求導運算求解即可；
（4）誘導公式和二倍角公式先化簡，再直接求導；
（5）利用復合函數求導運算求解即可；
（6）利用復合函數求導運算求解即可.
【詳解】（1）由，
則.
（2）由，
則.
（3）由，
則.
（4）由
，
則.
（5）由，
則.
（6）由，
則.
20．（2023上·高二課前預習）求下列函數的導數：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)；
(5) ；
(6)
【答案】(1)
(2)．
(3)．
(4)
(5)．
(6)
【分析】利用基本初等函數的導函數公式結合復合函數求導法則運算求解
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）,
（5）
（6）
21．（2023上·江蘇·高二專題練習）設函數，，分別為的導函數，解不等式.
【答案】
【分析】先求解出的導函數，然后列出不等式組并注意定義域，由此求解出不等式的解集.
【詳解】因為，
所以，
解得，所以不等式解集為.

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