資源簡介

人教B版必修四 9.1.2　余弦定理 導(dǎo)學(xué)案
（原卷+答案）
課程標(biāo)準(zhǔn)
1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理．
2．能用余弦定理解決簡單的實(shí)際問題．
新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性
教 材 要 點(diǎn)
知識點(diǎn)一　余弦定理
(1)三角形任何一邊的________等于其他兩邊的________減去這兩邊與它們________的余弦的積的________，即a2＝______________，b2＝____，c2＝______________．
(2)應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題．
①已知三邊，求________．
②已知________和它們的________，求第三邊和其他兩個角．
知識點(diǎn)二　余弦定理的變形
(1)余弦定理的變形：
cos A＝________________；
cos B＝________________；
cos C＝________________．
(2)利用余弦定理的變形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2 ∠C為________；c2>a2＋b2 ∠C為________；c2基 礎(chǔ) 自 測
1．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，則cos C的值為(　　)
A． B．－
C． D．－
2．在△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，則b為(　　)
A．5 B．8
C．5或－8 D．－5或8
3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，則∠B＝________．
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，則∠A＝________．
課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性
題型1　已知兩邊及一角解三角形
例1　已知△ABC，根據(jù)下列條件解三角形：
a＝，b＝，∠B＝45°.
方法歸納
已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：
(1)若已知角是其中一邊的對角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解．
(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角．
跟蹤訓(xùn)練1　在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，則邊c＝________．
題型2　已知三邊或三邊關(guān)系解三角形
例2　(1)已知△ABC的三邊長為a＝2，b＝2，c＝，求△ABC的各角度數(shù)；
(2)在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值．
方法歸納
(1)已知三角形三邊求角時，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解．
(2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，則∠A＝(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
(2)在鈍角△ABC中，∠B>90°，a＝2x－5，b＝x＋1，c＝4，則x的取值范圍是________．
題型3　利用余弦定理判斷三角形的形狀(邏輯推理)
【思考探究】　1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2，則sin2A＝sin2B＋sin2C成立嗎？反之，說法正確嗎？為什么？
[提示]　設(shè)△ABC的外接圓半徑為R.
由正弦定理的變形，將a＝2R sinA，b＝2R sin B，c＝2R sin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之，將sinA＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，這兩種說法均正確．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，則∠C＝成立嗎？反之，若∠C＝，則c2＝a2＋b2成立嗎？為什么？
[提示]　因為c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的變形cosC＝＝0，即cos C＝0，所以∠C＝，反之，若∠C＝，則cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a2＋b2A．等腰三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．鈍角三角形
(2)在△ABC中，若(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判斷△ABC的形狀．
方法歸納
1．用轉(zhuǎn)化思想解決利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形形狀的兩條思考路徑
利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，需要從“統(tǒng)一”入手，即使用轉(zhuǎn)化的思想解決這類問題，一般有兩條思考路線：
(1)化邊為角，再進(jìn)行三角恒等變換，求出角的大小或角的正、余弦值符號．
(2)化角為邊，再進(jìn)行代數(shù)恒等變換，求出三條邊之間的關(guān)系式．
2．用余弦定理判斷三角形形狀的常用結(jié)論
(1)△ABC為直角三角形 a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2或c2＝a2＋b2.
(2)△ABC為銳角三角形 a2＋b2>c2且b2＋c2>a2且c2＋a2>b2.
(3)△ABC為鈍角三角形 a2＋b2跟蹤訓(xùn)練3　(1)在△ABC中，若2∠B＝∠A＋∠C，b2＝ac，試判斷△ABC的形狀為________；
(2)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，試判斷△ABC的形狀．
題型4　正、余弦定理的綜合應(yīng)用
例4　(1)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋b cos A＝0.
①求B的大小；
②若b＝3，△ABC的周長為3＋2，求△ABC的面積．
(2)在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，且＝.
①求C的大小；
②如果a＋b＝6，·＝4，求c的值．
方法歸納
1．一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用．
2．正、余弦定理是解決三角形問題的兩個重要工具，這類題目往往結(jié)合基本的三角恒等變換，同時注意三角形中的一些重要性質(zhì)，如內(nèi)角和為180°、大邊對大角等．
跟蹤訓(xùn)練4　(1)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a cos B＋b sin A＝c.若a＝2，△ABC的面積為3(－1)，則b＋c＝(　　)
A．5 B．2
C．4 D．16
(2)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2＋c2－a2＝bc，· >0，a＝，則b＋c的取值范圍是________(用區(qū)間表示).
教材反思
1．本節(jié)課的重點(diǎn)是余弦定理及其推論，并能用它們解三角形，難點(diǎn)是在解三角形時，對兩個定理的選擇．
2．本節(jié)課要掌握的解題方法：
(1)已知三角形的兩邊與一角，解三角形．
(2)已知三邊解三角形．
(3)利用余弦定理判斷三角形的形狀．
3．本節(jié)課的易錯點(diǎn)有兩處：
(1)正弦定理和余弦定理的選擇：
已知兩邊及其中一邊的對角解三角形，一般情況下，利用正弦定理求出另一邊所對的角，再求其他的邊或角，要注意進(jìn)行討論．如果采用余弦定理來解，只需解一個一元二次方程，即可求出邊來．比較兩種方法，采用余弦定理較簡單．
(2)利用余弦定理求三角形的邊長時容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理的表達(dá)形式是邊長的平方，通常轉(zhuǎn)化為一元二次方程的形式求解根的問題．
參考答案
新知初探·自主學(xué)習(xí)
[教材要點(diǎn)]
知識點(diǎn)一
(1)平方　平方和　夾角　兩倍　b2＋c2－2bc cos A　a2＋c2－2ac cos B　a2＋b2－2ab cos C　(2)①三角　②兩邊　夾角
知識點(diǎn)二
(1)　(2)直角　鈍角　銳角
[基礎(chǔ)自測]
1．解析：根據(jù)正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，設(shè)a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．
則有cos C＝＝.
答案：A
2．解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，
即49＝9＋b2－3b，所以(b－8)(b＋5)＝0.
因為b>0，所以b＝8.
答案：B
3．解析：cos B＝＝＝，∠B＝60°.
答案：60°
4．解析：∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
又∵0°＜∠A＜180°，
∴∠A＝120°.
答案：120°
課堂探究·素養(yǎng)提升
例1　【解析】　由余弦定理知b2＝a2＋c2－2ac cos B.
∴2＝3＋c2－2·c.
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.
當(dāng)c＝時，由余弦定理，得
cos A＝＝＝.
∵0°<∠A<180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°.
當(dāng)c＝時，由余弦定理，得
cos A＝＝＝－.
∵0°<∠A<180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°.
故c＝，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝，∠A＝120°，∠C＝15°.
跟蹤訓(xùn)練1　解析：根據(jù)余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.
答案：2
例2　【解析】　(1)由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
cos B＝＝＝，
∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
(2)由余弦定理，得cos B＝，
有＝，得a2＋c2＝ac＋4，
由a＋c＝6，得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36，
所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9，
所以，解得a＝3，c＝3.
所以a＝3，c＝3.
跟蹤訓(xùn)練2　解析：(1)∵(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝，∴∠A＝60°.
(2)∵∠B>90°，
∴，
解得故答案為(，4)．
答案：(1)B　(2)(，4)
例3　【解析】　(1)因為a2＋b2(2)方法一　∵(a－c·cos B)sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC為直角三角形或等腰三角形．
方法二　根據(jù)正弦定理，原等式可化為：
(sin A－sin C cos B)sin B＝(sin B－sin C cos A)sin A，
即sin C cos B sin B＝sin C cos A sin A.
∵sin C≠0，∴sin B cos B＝sin A cos A，
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
【答案】　(1)D　(2)見解析
跟蹤訓(xùn)練3　解析：(1)∵2∠B＝∠A＋∠C，
又∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝60°.
又b2＝ac，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac cos 60°＝a2＋c2－ac，
∴a2＋c2－ac＝ac，從而(a－c)2＝0，
∴a＝c，可知△ABC為等邊三角形．
(2)方法一(化角為邊)　將已知等式變形為b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bc cosB cos C.
由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2()2－c2()2＝2bc×，
所以b2＋c2＝＝＝a2.
所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形．
方法二(化邊為角)　由正弦定理，已知條件可化為sin2C sin2B＋sin2C sin2B＝2sinB sin C cos B cos C.
又sin B sin C≠0，
所以sin B sin C＝cos B cos C，即cos (B＋C)＝0.
又因為0°所以△ABC是直角三角形．
答案：(1)等邊三角形　(2)見解析
例4　【解析】　(1)①由已知及正弦定理得(sin A＋2sin C)cos B＋sin B cos A＝0，
(sin A cos B＋sin B cos A)＋2sin C cos B＝0，
sin (A＋B)＋2sin C cos B＝0，
又sin (A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0，
所以cos B＝－，因為0②由余弦定理得9＝a2＋c2－2ac cos B.
所以a2＋c2＋ac＝9，則(a＋c)2－ac＝9.
因為a＋b＋c＝3＋2，b＝3，所以a＋c＝2，
所以ac＝3，所以S△ABC＝ac sin B＝×3×＝.
(2)①因為＝＝，
所以sin C＝cos C．所以tan C＝.
又因為C∈(0，π)，所以C＝.
②因為·＝||·||cos C＝ab，
又因為·＝4，所以ab＝8.又因為a＋b＝6，
由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝12，
所以c＝2.
跟蹤訓(xùn)練4　解析：(1)因為在△ABC中a cos B＋b sin A＝c，由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C，又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以sin B sin A＝cos A sin B，又sin B≠0，所以sin A＝cos A，所以tan A＝1，又A∈(0，π)，所以A＝.因為S△ABC＝bc sin A＝bc＝3(－1)，
所以bc＝6(2－)，因為a＝2，所以由余弦定理可得a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，
所以(b＋c)2＝4＋(2＋)bc＝4＋(2＋)×6(2－)＝16，可得b＋c＝4.
(2)由b2＋c2－a2＝bc得，cos A＝＝，因為00知，B為鈍角，又因為＝1，則b＝sin B，c＝sin C，b＋c＝sin B＋sin C＝sin B＋sin (－B)＝sin B＋cos B＝sin (B＋)，
因為所以答案：(1)C　(2)()

展開更多......

收起↑