資源簡介

人教B版必修四 11．4.1　直線與平面垂直 導學案
課程標準
1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面垂直的關系，歸納出以下性質定理，并加以證明．
◆如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行．
2．從上述定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中直線與平面垂直的關系，歸納出以下判定定理．
◆如果一條直線與一個平面內的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直．
3．能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題．
4．重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　直線與直線所成角
(1) 兩條相交直線所成的角
兩條相交直線所成的角的大小指的是它們相交所得到的不大于直角的角的大小．
(2)異面直線所成角的定義
一般地，如果a，b是空間中的兩條異面直線，過空間中任意一點，分別作與a，b____________的直線a′，b′，則a′與b′所成角的大小，稱為異面直線a與b所成角的大小．
(3)兩條直線垂直
空間中兩條直線____________________時，稱這兩條直線垂直．
知識點二　直線與平面垂直的定義
文字語言 圖形語言 符號語言
如果直線l與平面α內的______直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點P叫做垂足 ________
知識點三　直線與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
如果一條直線與一個平面內的__________垂直，則這條直線與這個平面垂直
知識點四　直線與平面垂直的性質定理
文字語言 如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線________
符號語言 ________
圖形語言
文字語言 如果兩條平行直線中，有一條垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面
符號語言 ________
知識點五　直線與平面垂直的應用
1．斜線段、斜足的定義：如果A是平面α外一點，C是平面α內一點，且AC與α不垂直，則稱AC是平面α的________(相應地，直線AC稱為平面α的斜線)，稱C為斜足．
2．直線在平面內的射影、直線與平面所成的角：設AB是平面α的垂線段，B是垂足；AC是平面α的斜線段，C是斜足，則直線BC稱為直線AC在平面α內的射影．特別地，∠ACB稱為直線AC與平面α所成的角．
基 礎 自 測
1．在正方體ABCD-A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的平面的個數是(　　)
A．1　　 　B．2 C．3　　 　D．6
2．直線l⊥平面α，直線m α，則l與m不可能(　　)
A．平行 B．相交
C．異面 D．垂直
3．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　)
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
4．直線n⊥平面α，n∥l，直線m α，則l，m的位置關系是________．
課堂探究·素養提升——強化創新性
題型1　線線角、線面角的求解、線面垂直的定義及判定定理的理解(數學運算、直觀想象)
例1　(1)下列說法中正確的個數是(　　)
①如果直線l與平面α內的兩條相交直線都垂直，則l⊥α；
②如果直線l與平面α內的任意一條直線垂直，則l⊥α；
③如果直線l不垂直于α，則α內沒有與l垂直的直線；
④如果直線l不垂直于α，則α內也可以有無數條直線與l垂直．
A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3
(2)若正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，則B1D與CC1所成角的正切值為________；
(3)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線BC1與平面A1B1C1D1所成的角為(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．135°
方法歸納
1．對于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內的所有直線”說法與“直線垂直于平面內無數條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交、平行或直線在平面內．
2．判定定理中要注意必須是平面內兩相交直線．
3．求異面直線所成角的步驟
(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法，遇題設中有中點，常考慮中位線；若異面直線依附于某幾何體，且對異面直線平移有困難時，可利用該幾何體的特殊點，使異面直線轉化為相交直線．
(2)求——轉化為求一個三角形的內角，通過解三角形，求出所找的角．
(3)結論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°，則θ為所求；若90°<θ<180°，則180°－θ為所求．
4．求斜線與平面所成角的步驟
(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內的射影，作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，才能便于計算．
(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．
(3)計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．
跟蹤訓練1　(1)下列說法中錯誤的個數是(　　)
①若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l⊥α；
②若直線l和平面α內的無數條直線垂直，則直線l與平面α必相交；
③過平面α外一點有且只有一條直線和平面α垂直；
④過直線a外一點有且只有一個平面和直線a垂直．
A．0　 B．1　　　　
C．2　　　 D．3
(2)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱BC，CC1的中點，則異面直線EF與B1D1所成的角為________.
(3)如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，則直線PB與平面ABC所成的角等于________.
題型2　線面垂直判定定理的應用
例2　如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
(1)求證：PC⊥平面AEF；
(2)設平面AEF交PD于G，求證：AG⊥PD.
方法歸納
證線面垂直的方法
(1)線線垂直證明線面垂直
①定義法(不常用)；
②判定定理最常用(有時作輔助線)．
(2)平行轉化法(利用推論)
①a∥b，a⊥α b⊥α；
②α∥β，a⊥α a⊥β.
跟蹤訓練2　(1)若本例中，底面ABCD是菱形，H是線段AC上任意一點，其他條件不變，求證：BD⊥FH.
(2)若本例中PA＝AD，G是PD的中點，其他條件不變，求證：PC⊥平面AFG.
題型3　線面垂直性質定理的應用
【思考探究】　
將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸). 觀察折痕AD與桌面的位置關系．
1．折痕AD與桌面一定垂直嗎？
[提示]　不一定．
2．當折痕AD滿足什么條件時，AD與桌面垂直？
[提示]　當AD⊥BD且AD⊥CD時，折痕AD與桌面垂直．
例3　如圖所示，在正方體AB-CD-A1B1C1D1中，M是AB上一點，N是A1C的中點，MN⊥平面A1DC，求證：MN∥AD1.
跟蹤訓練3　本例中條件不變，求證：M是AB中點．
題型4　直線與平面垂直的判定與性質的綜合應用(邏輯推理、直觀想象)
例4　(1)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D，F分別是A1B1，BB1的中點．
①求證：C1D⊥AB1；
②求證：AB1⊥平面C1DF.
(2)如圖，在四面體ABCD中，AB，BC，BD兩兩垂直，BC＝BD＝2，點E是CD的中點，若直線AB與平面ACD所成角的正弦值為，則點B到平面ACD的距離為(　　)
A． B．
C． D．
方法歸納
線線、線面垂直問題的解題策略
(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經過另一條直線的平面，為此分析題設，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經過哪條直線的平面．
(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內的兩條相交直線，這一點在解題時一定要體現出來．
(3)距離問題一直是高考的重點與熱點問題，本題考查了各種距離，其中求點到平面的距離關鍵是作出點到平面的垂線，線到面的距離關鍵是轉化為點到面的距離，各種距離的基礎是點與點的距離．
跟蹤訓練4　(1)如圖，在三棱錐P-ABC中，CD⊥AB，垂足為D，PO⊥底面ABC，垂足為O，且O在CD上，求證：AB⊥PC.
(2)已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形， PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝1，設點C到平面PAB的距離為d1，點D到平面PAC的距離為d2，BC到平面PAD的距離為d3，則d1，d2，d3三者之間的大小關系是________.
方法歸納
平行關系與垂直關系之間的相互轉化
教材反思
1．本節課的重點是理解并掌握直線與平面垂直的定義，明確定義中“任意”兩字的重要性；掌握直線與平面垂直的判定定理與性質定理，并能解決有關線面垂直的問題．難點是直線與平面垂直關系的判定與證明．
2．本節課要重點掌握的規律方法
(1)線面垂直的定義及應用．
(2)線面垂直的判定定理及應用．
(3)線面垂直的性質定理及應用．
3．本節課的易錯點是用線面垂直的判定定理時易漏掉兩條直線相交這一條件．
參考答案
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
(2)平行或重合　(3)所成角的大小為90°
知識點二
任意一條　l⊥α
知識點三
兩條相交直線　
知識點四
平行　a∥b　b⊥α
知識點五
1．斜線段
[基礎自測]
1．解析：正方體ABCD - A1B1C1D1的六個面中與AA1垂直的平面是平面ABCD與平面A1B1C1D1.
答案：B
2．解析：由直線與平面垂直的定義可知，l⊥m，l與m可能相交或異面，但不可能平行．
答案：A
3．解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
答案：C
4．解析：由題意可知l⊥α，所以l⊥m.
答案：l⊥m
課堂探究·素養提升
例1　【解析】　(1)由直線和平面垂直的判定定理知①正確；由直線與平面垂直的定義知，②正確；當l與α不垂直時，l可能與α內的無數條直線垂直，故③不對；④正確．
(2)如圖，B1D與CC1所成的角為∠BB1D.
因為△DBB1為直角三角形，所以tan ∠BB1D＝＝.
(3)在正方體ABCD - A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影為B1C1，所以∠BC1B1即為直線BC1與平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中，∠BC1B1＝45°.
【答案】　(1)D　(2)　(3)B
跟蹤訓練1　解析：(1)①錯誤．若直線m∥平面α，直線l⊥m，則l與α平行、相交或l在α內都有可能；②錯誤．若直線l和平面α內的無數條直線垂直，則直線l與平面α平行、相交或l在α內都有可能；③④正確．
(2)連接BC1，AD1，AB1，可知EF為△BCC1的中位線，
所以EF∥BC1.
又因為AB∥CD∥C1D1，
所以四邊形ABC1D1為平行四邊形．
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
所以∠AD1B1為異面直線EF和B1D1所成的角或其補角．
在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，
所以△AB1D1為正三角形，所以∠AD1B1＝60°.
所以EF與B1D1所成的角為60°.
(3)因為PA⊥平面ABC，
所以∠PBA為PB與平面ABC所成的角，又PA＝AB，
所以∠PBA＝45°.
答案：(1)C　(2)60°　(3)45°
例2　【證明】　(1)因為PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA＝A，
所以BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，
所以AE⊥BC.
又AE⊥PB，PB＝B，
所以AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
所以AE⊥PC.
又因為PC⊥AF，AE＝A，
所以PC⊥平面AEF.
(2)由(1)知PC⊥平面AEF，
所以PC⊥AG，
因為PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
所以PA⊥CD，
又底面ABCD為矩形，
所以AD⊥CD，
又PA＝A，
所以CD⊥平面PAD，AG 平面PAD，
所以CD⊥AG，PC＝C，
所以AG⊥平面PCD，PD 平面PCD，所以AG⊥PD.
跟蹤訓練2　證明：(1)因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以BD⊥PA，
因為PA 平面PAC，AC 平面PAC，且PA＝A，
所以BD⊥平面PAC，FH 平面PAC，
所以BD⊥FH.
(2)因為PA⊥平面ABCD，DC 平面ABCD，
所以DC⊥PA,
又因為ABCD是矩形，所以DC⊥AD，又PA＝A，
所以DC⊥平面PAD，又AG 平面PAD，
所以AG⊥DC，
因為PA＝AD，G是PD的中點，
所以AG⊥PD，又DC＝D，
所以AG⊥平面PCD，所以PC⊥AG，
又因為PC⊥AF，AG＝A，
所以PC⊥平面AFG.
例3　【證明】　因為四邊形ADD1A1為正方形，所以AD1⊥A1D.又因為CD⊥平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.
因為A1D＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
跟蹤訓練3　
證明：連接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.
所以ON綊CD綊AB，所以ON∥AM.
又因為由本例可知MN∥OA，
所以四邊形AMNO為平行四邊形，
所以ON＝AM.因為ON＝AB，
所以AM＝AB，
所以M是AB的中點．
例4　【解析】　(1)證明：①因為ABC - A1B1C1是直三棱柱，
所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又 D是A1B1的中點，所以C1D⊥A1B1，
因為AA1⊥平面A1B1C1，C1D 平面A1B1C1，
所以AA1⊥C1D，又因為AA1＝A1，
所以C1D⊥平面AA1B1B，又因為AB1 平面AA1B1B，
所以C1D⊥AB1.
②連接A1B，
因為D，F分別是A1B1，BB1的中點，
所以DF∥A1B.
又直角三角形A1B1C1中，
，
所以A1B1＝，所以A1B1＝AA1，即四邊形AA1B1B為正方形，所以AB1⊥A1B，即AB1⊥DF，
又①已證C1D⊥AB1，又DF＝D，
所以AB1⊥平面C1DF.
(2)因為AB⊥BC，AB⊥BD，
所以AB⊥平面BCD，故AB⊥CD，
因為CD⊥BE，CD⊥AB，可得CD⊥平面ABE，
則AB在平面ADC上的射影與AE在一條直線上，
故直線AB與平面ACD所成角即為∠BAE.
在Rt△ABE中，BE＝，sin ∠BAE＝，故可得AE＝3，AB＝4，故VA - BCD＝VB - ACD，設點B到平面ACD的距離為x，則S△BCD×AB＝S△ACD×x，
整理得2AB＝6h，解得h＝.
【答案】　(1)見解析　(2)B
跟蹤訓練4　解析：(1)證明：∵PO⊥底面ABC，AB 底面ABC，∴PO⊥AB.
∵O在CD上，∴PO＝O.
又CD⊥AB，
∴AB⊥平面POC.
∵PC 平面POC，∴AB⊥PC.
(2)如圖，點C到平面PAB的距離就是點D到平面PAB的距離，
過點D作DE⊥PA，則DE⊥平面PAB，
所以DE的長就是點D到平面PAB的距離，
故d1＝DE＝；
令AC＝M，在平面PDB內作DF⊥PM，
則DF⊥平面PAC，所以點D到平面PAC的距離d2＝DF＝；BC到平面PAD的距離，即C到平面PAD的距離，所以d3＝1，故有d2答案：(1)見解析　(2)d2

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