資源簡介

【第一練】5.5.1課時1 兩角和與差的正弦、余弦公式
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.熟記弄清兩角和與差的正弦、余弦公式，培養運算，如第2題
2.能靈活應用兩角和與差的正弦、余弦公式求解相關問題，鍛煉與運算求解能力，如第5題.
3.能靈活應用求解相關問題，鍛煉與運算求解能力，如第7題.
1．利用公式求的值.
（2021上·高一課時練習）
2．利用公式證明：
（1）； （2）．
3．已知，，求的值．
4．已知，是第二象限角，求的值.
5．已知，，，，求的值.
6．利用和（差）角公式，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3).
7．化簡
(1)
(2)
(3)
(4)
8．已如，是第三象限角，求的值.
【易錯題目】第4，5，7，8題
【復盤要點】熟記兩角和與差的正弦、余弦公式，注意公式之間的聯系.
【復盤訓練】
（2023下·高一課時練習）
9．，則 （ ）
A． B． C． D．
（2023下·高一課時練習）
10．的值是（ ）
A． B． C． D．
（2023下·高一課時練習）
11．在中，已知，，則等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
（2023·高一課時練習）
12．已知，且，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·高一課時練習）
13．已知，，，，則 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．
【解析】將轉化為，再利用兩角差的余弦公式求解即可.
【詳解】
【點睛】本題主要考查了兩角差的余弦公式，屬于基礎題.
2．證明見解析；
【分析】直接利用兩角差的余弦公式計算可得；
【詳解】證明：根據，
所以（1）．
（2）
3．
【分析】首先利用平方關系求出，再利用兩角差的余弦公式計算可得；
【詳解】解：因為，，所以，因為，所以
所以
4．
【解析】由平方關系得出，再利用兩角差的余弦公式求解即可.
【詳解】由，是第二象限角，得
所以
【點睛】本題主要考查了平方關系以及兩角差的余弦公式，屬于基礎題.
5．
【解析】由平方關系得出，的值，再利用兩角差的余弦公式求解即可.
【詳解】由，，得
由，，得
所以
【點睛】本題主要考查了平方關系以及兩角差的余弦公式，屬于中檔題.
6．(1)
(2)
(3)
【分析】根據兩角和與差的正弦、余弦公式，結合特殊角的三角函數，準確運算，即可求解.
【詳解】（1）解：由.
（2）解：由.
（3）解：由.
7．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】利用兩角和與差的三角函數公式求解.
【詳解】（1）解：，
，
（2），
，
，
（3），
，
，
（4），
，
，
.
8．
【解析】逆用兩角差的正弦公式以及誘導公式得出，根據平方關系得出，結合兩角和的正弦公式求解即可.
【詳解】∵，∴，
∴，又是第三象限角，∴.
因此.
【點睛】本題主要考查了兩角和與差的正弦公式以及平方關系，屬于中檔題.
9．B
【分析】利用兩角差的余弦公式及誘導公式計算可得.
【詳解】因為，
所以.
故選：B
10．B
【分析】根據已知，化簡可得，即可得出答案.
【詳解】.
故選：B.
11．C
【分析】先求得，，而，從而利用和角余弦公式即可求解.
【詳解】在中，因為，所以，
因為，所以.
因為，
所以.
當時，，
即；
當時，，
即.
綜上可知，的值為或.
故選：C
12．D
【分析】根據，判斷，從而求得，利用拆角的方法結合兩角和的余弦公式，即可求得答案.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以
,
故選：D
13．
【分析】運用同角三角函數平方關系及兩角差的余弦公式計算即可.
【詳解】由已知得：，，
所以，
故答案為：.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第一課】5.5.1課時1 兩角和與差的正弦、余弦公式
【課標要求】
1.通過探究，了解兩角差的余弦公式的推導過程.
2.掌握由兩角差的余弦公式推導出兩角和的余弦公式及兩角差（和）的正弦公式.
3.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數的求值、化簡.
【明確任務】
會用兩角和與差的正弦、余弦公式進行簡單的三角函數的求值、化簡.【數學運算】
1.平方關系：sin2α＋cos2α＝1．
2.三角函數值再各個象限的符號
一全正，二正弦，三正切，四余弦
核心知識點1: 兩角和與差的余弦公式
：．
：．
（1）公式的結構特征：
（2）記憶要訣：兩角差（和）的余弦值等于兩角的余弦值乘積加上（減去）兩角的正弦值乘積． 總結
（3）使用范圍：，為任意角，可以是一個角，也可以是角的組合． 示例
（4）若或是的形式，則直接利用誘導公式進行化簡計算．
解讀：（1）兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”．“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦值乘余弦值，正弦值乘正弦值；“符號相反”表示展開后的兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反．
（2）與誘導公式配合使用可求出一些非特殊角的余弦值，如，．
例1.求和的值．
【解析】．
．
歸納總結: 兩角和與差的正弦公式的記憶技巧：“正余余正，符號相同”.
①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；
②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“＋”，兩角差時用“－”.
【舉一反三】
1．計算sin43°cos13°-cos43°sin13°的結果等于
A． B． C． D．
核心知識點2：兩角和與差的正弦公式
：
： 拓展
拓展 和（差）角公式可以看成是誘導公式的推廣，誘導公式可以看成是和（差）角公式的特例．例如：．
求甚解
1.可以利用誘導公式推導；
2. 可以利用誘導公式或用代替中的推導．
（1）公式的結構特征：
（2）記憶要識：記憶時要與兩角和與差的余弦公式區別開來，兩角和與差的正弦公式右端的兩部分為異名三角函數之積，連接符號與左端的連接符號相同． 總結
（3）使用范圍：，為任意角，可以是一個角，也可以是角的組合． 示例
（4）若或是的形式，則直接利用誘導公式進行化簡計算．
（5）公式拓展：．
推導：
．
解讀：（1）兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦值乘余弦值，余弦值乘正弦值；“符號相同”表示展開后的兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同．
（2）根據公式，可知，我們只要知道，，，的值，就可以求出的正弦值和余法值．
（3）與誘導公式配合使用可求出一些非特殊角的正弦值．
例2.求和的值．
【解析】．
．
歸納總結
兩角和與差的余弦公式的記憶技巧：“余余正正，符號相異”.①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦，正弦乘正弦，②“符號相異”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相異.
【舉一反三】
2．已知，，，是第四象限角，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【舉一反三】
（2023下·高一課時練習）
3．化簡的結果為 .
4．的值是（ ）
A． B．
C． D．
5．設,若,則等于
A． B． C． D．
6．的值是（ ）
A． B．
C． D．
（2023下·高一課時練習）
7．計算： .
（2023下·高一課時練習）
8．計算： .
（2023下·高一課時練習）
9．若點在角的終邊上，點在角的終邊上，則的值為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【詳解】sin43°cos13°-cos43°sin13°
=sin(43°-13°)
=sin30°
=.
2．C
【分析】運用同角三角函數平方關系及差角的余弦公式計算即可.
【詳解】由已知得，，
則.
故選：C.
3．##
【分析】利用兩角和的余弦公式計算可得.
【詳解】
.
故答案為：
4．D
【分析】利用誘導公式和和差公式求解可得.
【詳解】
.
故選：D
5．B
【分析】首先利用同角三角函數的基本關系式求得的值，然后利用兩角和的余弦公式求出正確選項.
【詳解】由于為銳角，所以，所以，故選B.
【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式，考查兩角和的余弦公式，屬于基礎題.
6．B
【分析】根據誘導公式及兩角和的余弦公式直接化簡求值.
【詳解】原式
，
故選：B.
7．##.
【分析】利用三角函數的誘導公式和兩角差的余弦公式，即可求解.
【詳解】由三角函數的誘導公式和兩角差的余弦，
可得.
故答案為：.
8．
【分析】根據誘導公式及兩角差的正弦公式求解即可.
【詳解】原式
.
故答案為:.
9．##
【分析】根據三角函數的定義，結合和角的余弦公式即可求解.
【詳解】因為點在角的終邊上，所以，
所以，
因為點在角的終邊上，所以，
所以，.
所以.
故答案為：
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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