資源簡介

【第一練】5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象＋5.4.2正弦函數、余弦函數的性質
【試題來源】來自人教A，人教B，蘇教版，北師大版的課本試題，進行整理和組合；
【試題難度】本次訓練試題基礎，適合學完新知識后的訓練，起到鞏固和理解新知識的目的.
【目標分析】
1.會用五點法作圖，培養直觀想象，如第1題.
2.會利用正弦函數，余弦函數的圖象性質解題，鍛煉數形結合能力，運算求解能力，如第2，10，11題.
1．函數，的簡圖是（ ）
A． B．
C． D．
2．函數，則命題正確的（ ）
A．是周期為1的奇函數 B．是周期為2的偶函數
C．是周期為1的非奇非偶函數 D．是周期為2的非奇非偶函數
3．正弦函數y＝sin x，x∈R的圖象的一條對稱軸是（ ）
A．y軸 B．x軸
C．直線x＝ D．直線x＝π
4．y＝cos在[0，π]上的單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式cos x<0，x∈[0，2π]的解集為 ．
6．函數的最小正周期為 ．
7．函數，的圖象與直線的交點有 個．
8．求使下列函數取得最大值、最小值時自變量的集合，并寫出最大值、最小值：
(1)，；
(2)，．
9．判斷下列函數的奇偶性：
(1)；
(2)．
10．利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
11．求下列函數的單調區間：
(1)；
(2)．
【易錯題目】第11題
【復盤要點】
1.已知三角函數解析式求單調區間
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω＞0)的單調區間時，要視“ωx＋φ”為一個整體，通過解不等式求解.但如果ω＜0，可借助誘導公式將ω化為正數，防止把單調性弄錯.
2.已知三角函數的單調區間求參數.先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解.
【復盤訓練】
（2023·全國·高一隨堂練習）
12．函數，當時，（　　）
A．在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
B．在區間上單調遞增，在區間上單調遞減
C．在區間上單調遞增，在區間、上單調遞減
D．在區間、上單調遞增，在區間上單調遞減
（2023上·高一課時練習）
13．函數的一個單調減區間是（ ）
A． B． C． D．
（2023上·高一校考課時練習）
14．若函數在區間單調遞增，在區間上單調遞減，則＝（ ）
A．3 B．2 C． D．
（2023下·高一課時練習）
15．函數的單調遞增區間是（　　）
A． B．
C． D．
16．函數的單調遞減區間為 .
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．D
【分析】根據給定函數探求時圖象上對應點的位置及時函數圖象位置即可判斷作答.
【詳解】函數，，因時，，即原函數圖象過原點，排除選項A，C；
又當時，，則，即函數，的圖象在x軸下方，排除選項B，選項D符合要求.
故選：D
2．B
【詳解】由題得函數的周期為T= =2，又f(x)=sin(πx ) 1= cosπx 1，從而得出函數f(x)為偶函數．
故本題正確答案為B．
3．C
【分析】根據正弦函數圖像性質即可作答.
【詳解】根據正弦函數圖像性質可知，當x＝時，y取最大值，則x＝是一條對稱軸．
故選：C.
4．D
【分析】先通過的單減區間求出整體的范圍，再結合已知解出的范圍即可.
【詳解】由的單調遞減區間為，可得，解得，
又，時， .
故選：D.
5．
【分析】如圖，畫出函數y＝cos x的圖像，由圖像可求得結果
【詳解】由函數y＝cos x的圖像可知，不等式cos x<0的解集為.
故答案為：
【點睛】此題考查了三角函數不等式，利用了三角函數的圖像，考查了數形結合的思想，屬于基礎題.
6．4
【分析】利用來求得的最小正周期.
【詳解】的最小正周期為.
故答案為：
7．2
【分析】再平面直角坐標系下畫出函數圖象，數形結合即可判斷；
【詳解】解：
解：作，的圖象及直線如下所示，知兩函數圖象有兩個交點．
故答案為：2
8．(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【分析】（1）根據正弦函數的圖像性質即可求解；
（2）根據余弦型函數的圖像性質即可求解.
【詳解】（1）當時，函數取得最小值，
此時自變量的集合為，；
當，函數取得最大值，
此時自變量的集合為，；
（2）當時，函數取得最小值，
此時，故自變量的集合為，；
當時，函數取得最大值，
此時，故自變量的集合為，.
9．(1)偶函數
(2)奇函數
【分析】（1）結合函數的奇偶性確定正確答案.
（2）結合函數的奇偶性確定正確答案.
【詳解】（1）的定義域為，，
所以為偶函數.
（2）的定義域為，，
所以是奇函數.
10．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根據正弦函數的單調性求得正確答案.
（2）根據余弦函數的單調性求得正確答案.
（3）根據正弦函數的單調性求得正確答案.
（4）根據余弦函數的單調性求得正確答案.
【詳解】（1）在區間上遞增，所以.
（2）在區間上遞增，所以.
（3），，
在區間上遞增，所以.
（4）在區間上遞減，所以.
11．(1)的單增區間為；單減區間為.
(2)的單增區間為；單減區間為.
【分析】（1）根據的單調性，列不等式，即可求出的單增區間；
（2）根據的單調性，列不等式，即可求出的單增區間.
【詳解】（1）要求的單增區間，只需，解得：；
要求的單減區間，只需，解得：；
所以的單增區間為；單減區間為.
（2）要求的單增區間，只需，解得：；
要求的單減區間，只需，解得：；
所以的單增區間為；單減區間為.
12．D
【分析】利用余弦函數的單調性直接判斷得解.
【詳解】函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，D正確；
對于A，由，得在上單調遞減，A錯誤；
對于B，函數在上不單調，B錯誤；
對于C，函數在上單調遞減，C錯誤.
故選：D
13．C
【分析】畫出的圖象，數形結合得到答案.
【詳解】畫出的圖象，如下，

可以看出的一個單調減區間為，其他選項不合要求.
故選：C
14．C
【分析】先根據求出，，再根據函數在區間單調遞增，得到，求出，從而得到.
【詳解】由題意得，故，，
解得，，
又因為函數在區間單調遞增，所以，解得，
因為，所以，
故，解得，
故，解得，
又，故，所以
故選：C
15．A
【分析】根據正弦函數的性質、復合函數的單調性以及整體代換技巧進行求解.
【詳解】函數，
由，有，
所以函數的單調遞增區間是.
故選：A.
16． (k∈Z)
【分析】化簡函數解析式，由，即可得結果.
【詳解】由y＝cos＝cos，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函數的單調遞減區間為 (k∈Z).
【點睛】函數（）的單調區間的求法：把看作是一個整體，由可求得函數的減區間，由可求得增區間.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁【第一課】5.4.1正弦函數、余弦函數的圖象＋5.4.2正弦函數、余弦函數的性質
【課標要求】
1.能利用三角函數的定義，畫y＝sin x，y＝cos x的圖象.
2.掌握“五點法”畫y＝sin x，y＝cos x的圖象的步驟和方法，能利用“五點法”作出簡單的正弦、余弦曲線.
3.掌握函數y＝sin x與y＝cos x的圖象性質.
4.會利用函數y＝sin x，y＝cos x的圖象性質求解相關問題.
【明確任務】
1.會畫函數y＝sin x，y＝cos x的圖象.【直觀想象】
2.會利用函數y＝sin x，y＝cos x的圖象性質求解相關問題.【直觀想象，數學運算，邏輯推理】
三角函數的定義
設α是一個任意角，α的終邊上任意一點P的坐標是（x，y），它與原點的距離是r（r＝>0），那么：比值叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝；比值叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝；
核心知識點1: 正弦函數的圖象
12等分圓周畫圖法：
第一步，如圖，在直角坐標系的軸上取一點，以為圓心，單位長為半徑作圓，從與軸的交點起，把分成12等份．過上各分點作軸的垂線，得到對應于0，，，，…，的角的正弦值．第二步，把軸上從0到這一段分成12等份，描出上述對應于的13個點．第三步，把這些點用光滑的曲線連接起來，就得到函數，的簡圖．
將函數，的圖象向左或向右每次平移個單位長度，即得到在上的圖象，如圖所示．
理論依據：，．
五點（畫圖）法：
對于函數，，當，，，，時，對應其圖象上的五個點是關鍵點．
按照列表、描點、連線三步得到函數圖象的簡圖．列表如下：
0
0 1 0 0
描出這五個點后，函數，的圖象形狀就基本確定了．在精確度要求不高時，我們可以先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線順次將它們連接起來，就得到函數，的圖象，如圖． 強調 示例
解讀：
（1）作正弦函數圖象時，函數自變量要用弧度制，以保證自變量與函數值都為實數．
（2）在精確度要求不高的情形下，“五點法”是一種實用、高效的作圖方法，需要注意這五點用平滑的曲線連接，而不能用線段連接，常用"五點法"畫出函數的簡圖．
例1. 用“五點法”作出下列函數的簡圖：，
【解析】列表如下：
0
0 1 0 0
0
描點、連線，如圖．
歸納總結:
用“五點法”畫函數y＝Asinx＋b（A≠0）上的簡圖的步驟：
（1）列表：
x 0 π π 2π
sinx 0 1 0 －1 0
y y1 y2 y3 y4 y5
（2）描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：（0，y1），（，y2），（π，y3），（，y4），（2π，y5）．
（3）連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來．
【舉一反三】
1．用“五點法”作出下列函數，的簡圖：
核心知識點2：余弦函數的圖象
圖象變換法：根據誘導公式，可知的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到（如圖所示）．
函數，的圖象也可用五點（畫圖）法來畫出簡圖．五個關鍵點，，，，． 理解 拓展
解讀：
正弦函數和余弦函數的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線．正弦曲線、余弦曲線均為“波浪線”，兩曲線形狀相同，只是位置不同．
物理中簡諧運動的圖象是“正弦曲線”或“余弦曲線”的形狀．
物理中，漏斗在平衡位置時，速率最大，此時加速度為0；漏斗離平衡位置最遠時，速率最小，此時加速度最大．
例2.用“五點法”作出下列函數y＝2＋cosx，x∈[0，2π]的簡圖
【解析】列表：
x 0 π π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
2＋cosx 3 2 1 2 3
描點連線，如圖
歸納總結
用“五點法”畫函數y＝Acosx＋b（A≠0）在[0，2π]上的簡圖的步驟：
（1）列表：
x 0 π π 2π
cosx 1 0 －1 0 1
y y1 y2 y3 y4 y5
（2）描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：（0，y1），（，y2），（π，y3），（，y4），（2π，y5）．
（3）連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來．
【舉一反三】
2．用“五點法”作出函數的簡圖．
核心知識點3: 正弦函數、余弦函數的周期性
周期函數的定義
一般地，設函數的定義域為，如果存在一個非零常數，使得對每一個，都有，且，那么函數就叫做周期函數．非零常數叫做這個函數的周期．
周期函數的周期不止一個，如，，，…以及，，，…都是正弦函數的周期．事實上，且，常數都是正弦函數的周期．
如果在周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做的最小正周期．
求甚解
1 周期函數的定義是對定義域內每一個來說的，只有個別的的值滿足時，不能說是的周期，例如，對有，但不是函數的周期．
2 從等式來看，對自變量本身加的非零常數才是周期，如恒成立時，并不是函數的周期．
3 設函數的定義域為，則由周期函數的定義可得，若，則，所以周期函數的定義域一定是無限集． 注意 示例
解讀：
（1）并非所有的周期函數都有最小正周期．如常數函數，所有非零實數都是它的周期，但最小正數不存在，所以常數函數沒有最小正周期．
（2）一般不做特殊說明時，周期就是指最小正周期．
（3）對于周期函數，把握了函數在一個周期內的性質，整個定義域內的性質也就清楚了．
（4）若是周期為的周期函數，則的圖象每隔個單位重復出現，這是周期函數的圖象特征．
例3.已知函數的周期為1.5，且，則的值是______．
【解析】∵的周期為1.5，
∴．
【答案】20
4 如果是函數的一個周期，那么（即的非零整數倍）也是函數的一個周期．
歸納總結:
正弦函數、余弦函數都是周期函數，它們的周期都是（且），最小正周期都是．
【舉一反三】
3．下列函數，最小正周期為的是（ ）
A． B．
C． D．
【舉一反三】
4．若函數的最小正周期是2，則的值為（　　）
A． B．
C． D．
核心知識點4: 正弦函數、余弦函數的奇偶性
觀察正弦曲線和余弦曲線，可以看到正弦曲線關于原點對稱，余弦曲線關于軸對稱；也可由誘導公式：，得到．所以正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數． 注意
解讀：
判斷函數的奇偶性時，一定要判斷函數的定義域是否關于原點對稱．當定義域不關于原點對稱時，函數不具有奇偶性．
例4.（2023上·高一課時練習）函數是（　　）
A．周期為π的奇函數 B．周期為π的偶函數
C．周期為2π的奇函數 D．周期為2π的偶函數
【答案】D
【分析】化簡后根據余弦函數的性質判斷
因為
所以該函數是周期為2π的偶函數．
故選：D
歸納總結:
判斷函數奇偶性的兩個關鍵點
（1）看函數的定義域是否關于原點對稱；
（2）看f（－x）與f（x）的關系.
對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷.
【舉一反三】
5．已知函數，為奇函數，則 .
核心知識點5: 正弦函數、余弦函數的單調性
先在正弦函數的一個周期區上觀察圖象（如圖所示），可得在上單調遞增，的值從增大到1；在上單調遞減，的值從1減小到．
… 0 … … …
↗ 0 ↗ 1 ↘ 0 ↘
根據正弦函數的周期性可知，正弦函數在每一個閉區間上都單調遞增；在每一個閉區間上都單調遞減．
類似地，余弦函數在每一個閉區間上都單調遞增；在每一個閉區間上都單調遞減． 強調
解讀：
（1）兩個函數都有無數個單調遞增區間，也有無數個單調遞減區間．
（2）正弦函數和余弦函數都不是定義域內的單調函數．
例5.（2023上·高一課時練習）函數在區間上（ ）
A．單調遞增 B．單調遞減
C．先減后增 D．先增后減
【答案】C
【分析】由余弦函數的單調性分析判斷
因為在區間上先增后減，
所以區間上先減后增，
故選：C
歸納總結:
用整體替換法求函數y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的單調區間時，如果式子中x的系數為負數，先利用誘導公式將x的系數變為正數再求其單調區間.求單調區間時，需將最終結果寫成區間形式.
【舉一反三】
6．函數的單調增區間是 ．
核心知識點6:正弦函數、余弦函數的最值
由正弦函數、余弦函數的單調性的結論，可得到，
正弦函數當且僅當時取得最大值1，當且僅當時取得最小值；
余弦函數當且僅當時取得最大值1，當且僅當時取得最小值．
解讀：
正弦函數與余弦函數都有無數個最大值點與最小值點．
例6.（2023下·高一課時練習）若函數，則函數的最小值為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據余弦函數的性質求解即可.
，即
∴函數的最小值為
故選：A
歸納總結:
形如y＝sin（ωx＋φ）的三角函數，令t＝ωx＋φ，根據題中x的取值范圍，求出t的取值范圍，再利用三角函數的單調性、有界性求出y＝sin t的最值（值域）.
【舉一反三】
7．函數在區間上的最小值是
A． B． C． D．0
核心知識點6:正弦函數、余弦函數的對稱性
對正弦函數和余弦函數來說，對稱中心就是函數圖象與軸的交點，其橫坐標是函數的零點；對稱軸是過圖象的最高點或最低點且與軸垂直的直線．
曲線名稱 對稱中心 對稱軸
正弦曲線 ， ，
余弦曲線 ， ，
注意
解讀：
（1）兩函數圖象都有無數個對稱中心，也有無數條對稱軸．
（2）一個周期內，正弦函數和余弦函數都在圖象對稱軸與其交點處取得最值．
（3）若定義域不是，則正弦曲線和余弦曲線不一定有對稱軸和對稱中心．
例6.（2023·高一課時練習）函數圖象的一個對稱中心可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦函數的對稱性逐一驗證即可.
對于A，由，得，，
則不是函數圖象的一個對稱中心，故A錯誤；
對于B，由，得，
則不是函數圖象的一個對稱中心，故B錯誤；
對于C，由，得，
則不是函數圖象的一個對稱中心，故C錯誤；
對于D，，得，，
則是函數圖象的一個對稱中心，故D正確.
故選：D.
歸納總結:
求y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）函數的對稱軸或對稱中心時，應把ωx＋φ作為整體，代入相應的公式中，解出x的值，最后寫出結果．
【舉一反三】
（2023·四川省成都市期末）若函數的一個零點和與之相鄰的對稱軸之間的距離為，且當時，取得最小值．
（1）由函數的一個零點和與之相鄰的對稱軸之間的距離為可得的周期T＝π，即，解得ω＝2．又當時，取得最小值，所以，
所以，解得．
因為所以．所以．
令解得
所以的單調遞減區間為．
（2）由可得所以當時，取得最小值，為－1，
當時，取得最大值，為，所以函數的值域是．
（2024上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江市第二高級中學校考期末）
8．函數的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高一隨堂練習）
9．函數和都單調遞增的區間是（　　）．
A． B．
C． D．
10．函數y＝是（　　）
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數
（2023·江蘇南京調研）
11．設，則（　　）
A．是偶函數
B．的最小正周期是
C．的圖象關于直線對稱
D．的圖象關于點對稱
12．函數在區間上的最小值為 ．
（2024上·寧夏銀川·高一寧夏育才中學校考期末）
13．已知.
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)若，求函數的值域.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．作圖見解析
【分析】根據題意，結合三角函數的五點作圖法，列表、描點、連線，即可求解.
【詳解】解：列表
0
0 1 0 0
0
描點，連線，如圖所示：
2．見解析
【解析】令x0，，π，，2π，得到相應的y的值，再描點即可；
【詳解】（1）列表：
0
1 0 0 1
1 1
（2）描點，連線可得函數在上的圖象，將函數圖象向左、向右平移（每次個單位長度），就可以得到函數的圖象，如圖所示．
【點睛】本題考查五點法作圖象的步驟，著重考查余弦函數的圖像及性質，屬于基礎題．
3．C
【分析】根據三角函數的性質即可確定最小正周期.
【詳解】函數的最小正周期為，故A不符合；
函數，其最小正周期為，故B不符合；
因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故C符合；
因為函數的最小正周期為，所以函數的最小正周期為，故D不符合.
故選：C.
4．B
【分析】根據周期公式即可得到答案.
【詳解】依題意．所以ω的值為，
故選：B.
5．或
【分析】根據題意得到，解出再對賦值即可.
【詳解】由題意知，
即.
∵，
∴當時，；
當時，.
故答案為：或.
6．
【分析】利用整體代入法求得函數的單調增區間.
【詳解】由，解得，
所以的遞增區間是 .
故答案為：
【點睛】本小題主要考查三角函數單調區間的求法，屬于基礎題.
7．B
【詳解】因為，所以，所以由正弦函數的圖象可知，函數在區間上的最小值是，故選B.
【考點定位】本小題主要考查三角函數的值域的求解，考查三角函數的圖象，考查分析問題以及解決問題的能力.
8．B
【分析】根據余弦型函數的最小正周期，進而即得.
【詳解】由題可知最小正周期.
故選：B.
9．A
【分析】利用正弦函數與余弦函數的單調遞增區間即可求解.
【詳解】函數的單調遞增的區間是，
函數的單調遞增的區間是，
由，可得函數和都單調遞增的區間是.
故選：A.
10．A
【分析】先求函數的定義域，然后根據奇偶性定義判斷函數奇偶性.
【詳解】定義域為R，，則是奇函數．
故選：A.
11．AD
【分析】根據余弦型函數的性質一一分析即可.
【詳解】，
根據余弦函數的奇偶性知為偶函數，最小正周期，A正確，B錯誤；
，故的圖象不關于直線對稱，C錯誤；
，故的圖象關于點對稱，D正確.
故選：AD.
12．
【分析】利用的范圍推出的范圍，結合正弦函數的性質計算可得.
【詳解】因為，，，所以，
當即時取得最小值為.
故答案為：
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據正弦函數的單調區間，采用整體代換方法，即可求得答案；
（2）根據，確定，由正弦函數的性質求得答案.
【詳解】（1）令，則，函數u在R上為增函數，
函數在上為增函數；
即，解得，
所以函數的單調遞增區間.
（2）當時，，則，
故在時的值域為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑