資源簡介

人教B版必修四 11．4.2　平面與平面垂直 導學案
（原卷+答案）
課程標準
1.借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面的垂直的關系，歸納出以下性質定理，并加以證明．
◆如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.
2．從上述定義和基本事實出發，借助長方體，通過直觀感知，了解空間中平面與平面垂直的關系，歸納出以下判定定理.
◆如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直.
3．能用已獲得的結論證明空間基本圖形位置關系的簡單命題．
4．重點提升直觀想象、邏輯推理、數學運算和數學抽象素養．
新知初探·自主學習——突出基礎性
教 材 要 點
知識點一　二面角
1．二面角的定義
從一條直線出發的____________所組成的圖形叫做二面角，這條直線稱為二面角的棱，這兩個半平面稱為二面角的面．
2．圖示與記法
圖示 記法
二面角α-l-β或 二面角P-AB-Q或 二面角P-l-Q
3.二面角的平面角
定義 圖示
在二面角α-l-β的棱上任取一點O，以O為垂足，分別在半平面α和β內作垂直于棱的射線OA和OB，則射線OA和OB所成的角稱為二面角的平面角
4.平面與平面垂直
(1)兩個平面垂直的定義
如果兩個平面α與β______________________，則稱這兩個平面互相垂直，記作α⊥β.
(2)畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直．如圖所示．
知識點二　判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
如果一個平面經過另一個平面的一條________，則這兩個平面互相垂直 ________ α⊥β
知識點三　平面與平面垂直的性質定理
文字語言 如果兩個平面互相垂直，那么在____________垂直于它們交線的直線________于另一個平面
符號語言 α⊥β
圖形語言
基 礎 自 測
1．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，CC1＝，二面角C1-BD-C的大小為________．
2．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)
A．平面ABC⊥平面ADC
B．平面ABC⊥平面ADB
C．平面ABC⊥平面DBC
D．平面ADC⊥平面DBC
3．下列四個命題中，正確的序號有________．
①α∥β，β⊥γ，則α⊥γ；②α∥β，β∥γ，則α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，則α⊥γ；④α⊥β，γ⊥β，則α∥γ.
4．平面α⊥平面β，α＝l，n β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關系是________．
課堂探究·素養提升——強化創新性
題型1　平面與平面垂直的判定
例1　如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上異于A、B的任意一點，求證：平面PAC⊥平面PBC.
方法歸納
證明面面垂直的方法
(1)判定定理法：在其中一個平面內尋找一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為“線面垂直”；
(2)性質法：兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面．
跟蹤訓練1　如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．
求證：平面AEC⊥平面PDB.
題型2　面面垂直性質定理的應用
例2　如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是邊長為a的菱形且∠DAB＝60°，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)若G為AD的中點，求證：BG⊥平面PAD；
(2)求證：AD⊥PB.
方法歸納
(1)面面垂直的性質定理，為線面垂直的判定提供了依據和方法．所以當已知兩個平面垂直的時候，經常找交線的垂線，這樣就可利用面面垂直證明線面垂直．
(2)兩平面垂直的性質定理告訴我們要將面面垂直轉化為線面垂直，方法是在其中一個面內作(找)與交線垂直的直線．
跟蹤訓練2　如圖所示，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求證：平面VBC⊥平面VAC.
題型3　垂直關系的綜合應用
【思考探究】　試總結線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化關系．
[提示]　垂直問題轉化關系如下所示：
例3　(1)如圖，在四棱錐P-ABCD中，側面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點．求證：
①EN∥平面PDC；
②BC⊥平面PEB；
③平面PBC⊥平面ADMN.
(2)如圖，在多邊形PABCD中，AD∥BC，AB⊥AD, PA＝AB＝AD＝2BC，∠PAD＝60°，M是線段PD上的一點，且DM＝2MP，若將△PAD沿AD折起，得到幾何體P-ABCD.
①證明：PB∥平面AMC；
②若BC＝1，且平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P-ACM的體積．
方法歸納
垂直關系的相互轉化
1．在關于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉向另一垂直，最終達到目的，其轉化關系如下：
2．解決折疊問題的策略
(1)抓住折疊前后的變量與不變量，一般情況下，在折線同側的量，折疊前后不變，“跨過”折線的量，折疊前后可能會發生變化，這是解決這類問題的關鍵．
(2)在解題時仔細審視從平面圖形到立體圖形的幾何特征的變化情況，注意相應的點、直線、平面間的位置關系，線段的長度，角度的變化情況．
跟蹤訓練3　(1)如圖，在三棱錐P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．
①求證：PA⊥BD；
②求證：平面BDE⊥平面PAC.
(2)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，AD⊥AB，∠BCD＝45°，將△ABD沿對角線BD折起．設折起后點A的位置為A′，并且平面A′BD⊥平面BCD.給出下面四個結論：
①A′D⊥BC；②三棱錐A′BCD的體積為；③CD⊥平面A′BD；④平面A′BC⊥平面A′DC.其中正確的序號是________.
題型4　二面角的概念及大小的計算(數學運算、直觀想象)
例4　如圖所示，四邊形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為.求側面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小．
方法歸納
1．求二面角大小的步驟
簡稱為“一作二證三求”．
2．作二面角的平面角的方法
方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線．
如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．
方法二：(垂線法)過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角．
如圖所示，∠AFE為二面角A-BC-D的平面角．
方法三：(垂面法)過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．
如圖所示，∠AOB為二面角α-l-β的平面角．
提醒：二面角的平面角的大小與頂點在棱上的位置無關，通常可根據需要選擇特殊點作平面角的頂點．
跟蹤訓練4　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1B1的正切值．
教材反思
1．本節課的重點是掌握兩個平面互相垂直的定義和畫法，理解并掌握兩個平面垂直的判定定理與性質定理，并能解決有關面面垂直的問題．難點是綜合利用線面、面面垂直的判定定理與性質定理解決關于垂直的問題．
2．本節課要重點掌握的規律方法
(1)利用線面垂直的性質證明平行問題．
(2)應用面面垂直的判定與性質證明垂直問題．
(3)掌握垂直關系的轉化．
3．本節課的易錯點是垂直關系轉化中易出現轉化混亂錯誤．溫馨提示：請完成課時作業(十九)
參考答案
新知初探·自主學習
[教材要點]
知識點一
1．兩個半平面
4．所成角的大小為90°
知識點二
垂線　
知識點三
一個平面內　垂直　a α
[基礎自測]
1．解析：如圖，連接AC交BD于點O，連接C1O.
因為C1D＝C1B，O為BD中點，
所以C1O⊥BD.
因為AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1 - BD - C的平面角，
在Rt△C1CO中，C1C＝，可以計算出C1O＝2，
所以sin ∠C1OC＝＝.
所以∠C1OC＝30°.
答案：30°
2．解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
答案：D
3．解析：③④不正確，如圖所示，
α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．
答案：①②
4．解析：因為α⊥β，α＝l，n β，n⊥l，
所以n⊥α.又m⊥α，所以m∥n.
答案：平行
課堂探究·素養提升
例1　【證明】　連接AC，BC，
則BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC 平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
跟蹤訓練1　證明：∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD＝D，
∴AC⊥平面PDB.又∵AC 平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
例2　【證明】　(1)如圖，在菱形ABCD中，連接BD，由已知∠DAB＝60°，
∴△ABD為正三角形，∵G是AD的中點，∴BG⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)如圖，連接PG.
∵△PAD是正三角形，G是AD的中點，
∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG＝G.
∴AD⊥平面PBG.
而PB 平面PBG，∴AD⊥PB.
跟蹤訓練2　證明：∵平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.
∴BC⊥平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB＝B，
∴VA⊥平面VBC，∵VA 平面VAC.
∴平面VBC⊥平面VAC.
例3　【解析】　(1)證明：①∵AD∥BC，BC 平面PBC，AD 平面PBC，∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中點，∴點M為PC的中點．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E為AD的中點，∴MN∥DE，且MN＝DE.
∴四邊形DENM為平行四邊形．
∴EN∥DM，且EN 平面PDC，DM 平面PDC.
∴EN∥平面PDC.
②∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，
且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵側面PAD是正三角形，且E為AD中點，
∴PE⊥AD，BE＝E，∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
③由②知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N為PB的中點，∴AN⊥PB.
且AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
(2)①連接BD，交AC于點O，連接MO.
因為AD∥BC，所以△BCO∽△DAO，
因為AD＝2BC ，所以DO＝2BO，因為DM＝2MP ，
所以PB∥MO，
因為PB 平面AMC，MO 平面AMC，
所以PB∥ 平面AMC.
②因為平面 PAD⊥平面ABCD，
平面PAD平面 ABCD＝AD ，
AB 平面ABCD, AB⊥AD ，
所以BA⊥平面PAD.因為BC∥AD ，
BC 平面PAD, AD 平面PAD，
所以BC∥平面PAD，則三棱錐 C - PAM 的高等于點B到平面PAD的距離，即BA＝2 ，
因為S△PAM＝S△PAD＝×AP×AD×sin 60°＝，所以VP - ACM＝VC - PAM＝S△PAM·BA＝.
跟蹤訓練3　解析：(1)證明：①因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB＝B，所以PA⊥平面ABC.
又因為BD 平面ABC，所以PA⊥BD.
②因為AB＝BC，D為AC的中點，
所以BD⊥AC.
由(1)知，PA⊥BD，又AC＝A，
所以BD⊥平面PAC.
因為BD 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC.
(2)因為AD∥BC，AD＝AB＝1，
AD⊥AB，所以∠ADB＝∠ABD＝45°，
又因為∠BCD＝45°，
所以CD⊥BD，又因為平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥A′D，若A′D⊥BC，
則A′D⊥平面BCD，顯然不成立，故①錯誤，③正確．
因為AD＝AB＝1，所以BD＝，CD＝BD＝，
所以VA′ - BCD＝VC - A′BD＝×S△A′BD×CD＝×1×1×＝，故②錯誤．
因為CD⊥平面A′BD，
所以CD⊥A′B，又A′B⊥A′D，A′D＝D，
所以A′B⊥平面CDA′，又A′B 平面A′BC，
所以平面A′BC⊥平面A′DC，故④正確．
答案：(1)見解析　(2)③④
例4　【解析】　取AD中點M，連接MO，PM，
因為四邊形ABCD是正方形，
所以OA＝OD，所以OM⊥AD，
因為PO⊥底面ABCD，
所以∠POA＝∠POD＝90°，
所以△POA≌△POD，
所以PA＝PD，所以PM⊥AD，
所以∠PMO是側面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角，因為PO⊥底面ABCD，
所以∠PAO是側棱PA與底面ABCD所成的角，
所以tan ∠PAO＝，
設正方形ABCD的邊長為a，則AO＝a，
所以PO＝AO·tan ∠PAO＝a×＝a，
所以tan ∠PMO＝＝，所以∠PMO＝60°.
故側面PAD與底面ABCD所成的二面角是60°.
跟蹤訓練4　解析：取A1C1的中點O，連接B1O，BO.
由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C1的中點，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B - A1C1 - B1的平面角．
因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
設正方體的棱長為a，則OB1＝a，
在Rt△BB1O中tan ∠BOB1＝＝＝.
所以二面角B - A1C1 - B1的正切值為.

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