資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題09 三角函數(shù)（任意角和弧度制，三角函數(shù)的概念，誘導(dǎo)公式，圖象與性質(zhì)）（考點(diǎn)清單）
目錄
TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc1706" 一、思維導(dǎo)圖 3
HYPERLINK \l "_Toc7646" 二、知識回歸 4
HYPERLINK \l "_Toc12730" 三、典型例題講與練 6
HYPERLINK \l "_Toc19563" 考點(diǎn)清單01終邊相同的角 7
HYPERLINK \l "_Toc4472" 【考試題型1】終邊相同的角 7
HYPERLINK \l "_Toc31522" 【考試題型2】終邊在某條直線上的角的集合 8
HYPERLINK \l "_Toc27430" 【考試題型3】區(qū)域角的表示 9
HYPERLINK \l "_Toc19906" 考點(diǎn)清單02確定及的終邊所在的象限 11
HYPERLINK \l "_Toc8423" 【考試題型1】確定及的終邊所在的象限 11
HYPERLINK \l "_Toc15806" 考點(diǎn)清單03弧度制 13
HYPERLINK \l "_Toc20179" 【考試題型1】扇形弧長與面積的計算 13
HYPERLINK \l "_Toc9594" 【考試題型2】扇形面積最值問題 14
HYPERLINK \l "_Toc450" 考點(diǎn)清單04三角函數(shù)的定義 15
HYPERLINK \l "_Toc4709" 【考試題型1】利用定義求三角函數(shù)值 15
HYPERLINK \l "_Toc23927" 【考試題型2】根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù) 16
HYPERLINK \l "_Toc32003" 考點(diǎn)清單05同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 17
HYPERLINK \l "_Toc29963" 【考試題型1】已知,求關(guān)于和的齊次式的值 17
HYPERLINK \l "_Toc15903" 【考試題型2】利用,與之間的關(guān)系求值 18
HYPERLINK \l "_Toc28618" 考點(diǎn)清單06正（余）弦函數(shù)的圖象 20
HYPERLINK \l "_Toc4802" 【考試題型1】五點(diǎn)法作圖 20
HYPERLINK \l "_Toc9698" 【考試題型2】利用圖象求方程的解或函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題 22
HYPERLINK \l "_Toc19613" 考點(diǎn)清單07正（余）弦函數(shù)的周期性 26
HYPERLINK \l "_Toc31629" 【考試題型1】正（余）弦函數(shù)的周期性 26
HYPERLINK \l "_Toc31495" 考點(diǎn)清單08正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性 27
HYPERLINK \l "_Toc13991" 【考試題型1】正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性 27
HYPERLINK \l "_Toc30921" 考點(diǎn)清單09正余弦函數(shù)對稱性 29
HYPERLINK \l "_Toc10699" 【考試題型1】正余弦函數(shù)對稱性 29
HYPERLINK \l "_Toc27968" 考點(diǎn)清單10正余弦函數(shù)的值域或最值 32
HYPERLINK \l "_Toc10595" 【考試題型1】正余弦函數(shù)的值域或最值 32
HYPERLINK \l "_Toc930" 考點(diǎn)清單11正切函數(shù)的定義域 34
HYPERLINK \l "_Toc8799" 【考試題型1】正切函數(shù)的定義域 34
HYPERLINK \l "_Toc29037" 考點(diǎn)清單12正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性 36
HYPERLINK \l "_Toc10084" 【考試題型1】正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性 36
HYPERLINK \l "_Toc27975" 考點(diǎn)清單13正切函數(shù)的值域或最值 37
HYPERLINK \l "_Toc12470" 【考試題型1】正切函數(shù)的值域或最值 37
一、思維導(dǎo)圖
二、知識回歸
知識點(diǎn)01：終邊相同的角的集合
所有與角終邊相同的角為
知識點(diǎn)02：角度與弧度的換算
弧度與角度互換公式：
，
知識點(diǎn)03：扇形中的弧長公式和面積公式
弧長公式：(是圓心角的弧度數(shù))，
扇形面積公式：.
知識點(diǎn)04：任意角的三角函數(shù)定義
1、單位圓定義法：
如圖,設(shè)是一個任意角,,它的終邊與單位圓相交于點(diǎn)
①正弦函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做的正弦函數(shù),記作,即
②余弦函數(shù)：把點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做的余弦函數(shù),記作,即　　　　
③正切函數(shù)：把點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值叫做的正切,記作,即()
我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)
2、終邊上任意一點(diǎn)定義法：
在角終邊上任取一點(diǎn)，設(shè)原點(diǎn)到點(diǎn)的距離為
①正弦函數(shù)：
②余弦函數(shù)：　　　　
③正切函數(shù)：()
知識點(diǎn)05：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
1、平方關(guān)系：
2、商數(shù)關(guān)系:（，）
知識點(diǎn)06：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
圖象定義域
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù)
單調(diào)性 在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間(上都單調(diào)遞減 在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞增;在每一個閉區(qū)間()上都單調(diào)遞減
最值 當(dāng)()時，;當(dāng)()時，; 當(dāng)()時，;當(dāng)()時，;
圖象的對稱性 對稱中心為(),對稱軸為直線() 對稱中心為(),對稱軸為直線()
知識點(diǎn)07：正切（型）函數(shù)的性質(zhì)
正切函數(shù) 正切型函數(shù)
定義域 由
值域
周期性
奇偶性 奇函數(shù) 當(dāng)時是奇函數(shù)
單調(diào)性 在，上單調(diào)遞增 當(dāng),時，由，解出單調(diào)增區(qū)間
對稱性 對稱中心：；無對稱軸 令：，對稱中心為：，無對稱軸
三、典型例題講與練
01終邊相同的角
【考試題型1】終邊相同的角
【解題方法】定義
【典例1】（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）在中，與角終邊相同的角有 ．（用弧度表示）
【考試題型2】終邊在某條直線上的角的集合
【解題方法】終邊相同的角的集合
【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊在直線上，則角α的取值集合是
【典例2】（2023·全國·高一課堂例題）寫出終邊在下圖所示的直線上的角的集合．

【專訓(xùn)1-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）分別寫出終邊在y軸正半軸、y軸負(fù)半軸和y軸上的角的集合．
【考試題型3】區(qū)域角的表示
【解題方法】終邊相同的角
【典例1】（2023下·山西朔州·高一懷仁市第一中學(xué)校校聯(lián)考期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2022·高一課時練習(xí)）寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)的角的集合．
(1)
(2)
【專訓(xùn)1-1】（2023下·江西上饒·高一上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為 ．

02確定及的終邊所在的象限
【考試題型1】確定及的終邊所在的象限
【解題方法】畫圖法
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：
(1)； (2)； (3)； (4)．
【典例2】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知為第二象限角，那么是（ ）
A．第一或第二象限角 B．第一或第四象限角
C．第二或第四象限角 D．第一、二或第四象限角
【專訓(xùn)1-1】（2023上·天津河?xùn)|·高三校考階段練習(xí)）若是第二象限角，則是 象限
03弧度制
【考試題型1】扇形弧長與面積的計算
【解題方法】公式法
【典例1】（2023上·安徽合肥·高三校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角弧度為2，所對弦長為6，則該扇形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海靜安·高三校考階段練習(xí)）已知扇形面積為半徑是1，則扇形的周長是 .
【專訓(xùn)1-1】（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考階段練習(xí)）若一扇形弧長為2，圓心角為90°，則該扇形的面積為 ．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·上海松江·高三校考期中）若一扇形的圓心角為，半徑為2，則扇形的弧長為 .
【考試題型2】扇形面積最值問題
【解題方法】轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求最值
【典例1】（2022上·安徽合肥·高一校考階段練習(xí)）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為
(1)若，，求扇形的弧長
(2)若扇形的周長為，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大并求出最大面積．
【專訓(xùn)1-1】（2023下·遼寧沈陽·高一校聯(lián)考期中）已知扇形的圓心角為，所在圓的半徑為r．
(1)若，求扇形的弧長．
(2)若扇形的周長為24，當(dāng)為多少弧度時，該扇形面積最大？求出最大面積．
04三角函數(shù)的定義
【考試題型1】利用定義求三角函數(shù)值
【解題方法】單位圓法+終邊任意點(diǎn)法
【典例1】（2023上·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023上·上海·高三上海市大同中學(xué)校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，若角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與以點(diǎn)O為圓心的單位圓交于點(diǎn)，則的值為 ．
【考試題型2】根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)
【解題方法】單位圓法+終邊任意點(diǎn)法
【典例1】（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）若角終點(diǎn)上一點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C．4 D．
【典例2】（2023·四川資陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）已知角的終邊上一點(diǎn)，且，則 .
05同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
【考試題型1】已知,求關(guān)于和的齊次式的值
【解題方法】商數(shù)關(guān)系:（，）
【典例1】（2023上·寧夏吳忠·高一青銅峽市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知.
(1)求的值；
(2)求的值.
【專訓(xùn)1-1】（2023上·北京順義·高一牛欄山一中校考期中）已知角是第三象限角，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【考試題型2】利用,與之間的關(guān)系求值
【解題方法】平方關(guān)系
【典例1】（多選）（2023上·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考階段練習(xí)）已知，且 ，則( )
A． B． C．
D．
【典例2】（2023上·全國·高一專題練習(xí)）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知，則 ，若，則 .
06正（余）弦函數(shù)的圖象
【考試題型1】五點(diǎn)法作圖
【解題方法】五點(diǎn)法
【典例1】（2023下·新疆烏魯木齊·高一新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）已知函數(shù)

(1)請用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個周期上的圖象（先在所給的表格中填上所需的數(shù)字，再畫圖）；
0
0
(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值及相應(yīng)的值.
【專訓(xùn)1-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)在上的大致圖像.

【考試題型2】利用圖象求方程的解或函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·廣東深圳·高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的最大值為.
(1)求函數(shù)的最小正周期，并求使成立時自變量的集合；
(2)若曲線與直線的圖象有個公共點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.
【典例2】（2023上·湖北·高一湖北省天門中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).
(1)請用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在上的圖象；（先列表，后畫圖）
(2)設(shè)，當(dāng)時，試討論函數(shù)零點(diǎn)情況.
【專訓(xùn)1-1】（2023上·安徽·高三合肥一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別為函數(shù)圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，為奇函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)時，關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．
07正（余）弦函數(shù)的周期性
【考試題型1】正（余）弦函數(shù)的周期性
【解題方法】公式法
【典例1】2．（多選）（2023下·四川達(dá)州·高一四川省萬源中學(xué)校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是最小正周期為的函數(shù)有（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 .
【專訓(xùn)1-1】（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 ．
08正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性
【考試題型1】正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
(1)；
(2)．
【典例2】（多選）（2023上·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級中學(xué)校考期中）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）在區(qū)間中求出：
(1)使與都是單調(diào)遞減的區(qū)間；
(2)使是單調(diào)遞增的而是單調(diào)遞減的區(qū)間．
09正余弦函數(shù)對稱性
【考試題型1】正余弦函數(shù)對稱性
【解題方法】圖象法
【典例1】（多選）（2023上·江西贛州·高三江西省大余中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，則（ ）
A．的最小正周期為
B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．的圖象關(guān)于中心對稱
D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
【典例2】（多選）（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再將各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．為函數(shù)的一條對稱軸
B．為函數(shù)的一條對稱軸
C．為函數(shù)的一個對稱中心
D．為函數(shù)的一個對稱中心
【專訓(xùn)1-1】（多選）（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）已知函數(shù)為的兩個極值點(diǎn)，且的最小值為，直線為圖象的一條對稱軸，將的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則（ ）
A．
B．
C．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
【專訓(xùn)1-2】（多選）（2023下·廣東佛山·高一校考期中）已知函數(shù)，則說法正確的是（ ）
A．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱
C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)
10正余弦函數(shù)的值域或最值
【考試題型1】正余弦函數(shù)的值域或最值
【解題方法】圖象法+可化為一元二次函數(shù)型
【典例1】（2022·甘肅臨夏·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的值域：
(1)；
(2)．
【專訓(xùn)1-1】（2023上·廣東廣州·高三廣東廣雅中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，且，則的值域為（ ）
A． B． C． D．
【專訓(xùn)1-2】（2023上·甘肅天水·高一校聯(lián)考期末）函數(shù)，的值域為 ．
11正切函數(shù)的定義域
【考試題型1】正切函數(shù)的定義域
【解題方法】定義法
【典例1】（2023·全國·高一課堂例題）函數(shù)的定義域為 ．
【專訓(xùn)1-1】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域：
(1)；
(2).
(3) ；
12正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性
【考試題型1】正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性
【解題方法】圖象法
【典例1】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C．1 D．4
【典例2】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）求函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間．
【典例3】（多選）（2022下·遼寧大連·高一大連八中校考期中）下列坐標(biāo)所表示的點(diǎn)中，是函數(shù)圖像的對稱中心的是（ ）
A． B． C． D．
13正切函數(shù)的值域或最值
【考試題型1】正切函數(shù)的值域或最值
【典例1】（2022·高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域為 .
【典例2】（2023上·北京·高一北京市十一學(xué)校校考期末）函數(shù)，的值域為 .
【專訓(xùn)1-1】（2022下·上海長寧·高一校考期中）函數(shù)，的值域為 ．
參考答案：
【考試題型1】終邊相同的角
【典例1】
【答案】B
【詳解】因為，終邊落在第四象限，且與角終邊相同，
故與的終邊相同的角的集合
即選項B正確；
選項AC書寫不規(guī)范，選項D表示角終邊在第三象限.
故選：B.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】，
【詳解】因為終邊與角相同的角為，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以在中與角終邊相同的角有與.
故答案為：，.
【考試題型2】終邊在某條直線上的角的集合
【典例1】
【答案】
【詳解】直線的傾斜角是，所以終邊落在直線上的角的取值集合為
故答案為：
【典例2】
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）由題圖易知，在范圍內(nèi)，終邊在直線上的角有兩個，即和，
因此，終邊在直線上的角的集合為
；
（2）同理可得終邊在直線上的角的集合為
，
終邊在直線上的角的集合為
，
所以終邊在直線上和在直線上的角的集合為
.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】終邊在軸正半軸上的角的集合為；終邊在軸負(fù)半軸上的角的集合為；終邊在軸軸上的角的集合為
【詳解】終邊在軸正半軸上的最小正角為，
則終邊在軸正半軸上的角的集合為．
終邊在軸負(fù)半軸上的最小正角為，
則終邊在軸負(fù)半軸上的角的集合為．
故終邊在軸軸上的角的集合為．
【考試題型3】區(qū)域角的表示
【典例1】
【答案】C
【詳解】當(dāng)時，，
當(dāng)時，,所以選項C滿足題意.
故選：C.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）在范圍內(nèi)，圖中終邊在第二象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，終邊在第四象限的區(qū)域邊界線所對應(yīng)的角為，
因此，陰影部分區(qū)域所表示的集合為；
（2）圖中從第四象限到第一象限陰影部分區(qū)域表示的角的集合為，
圖中從第二象限到第三象限陰影部分區(qū)域所表示的角的集合為
，
因此，陰影部分區(qū)域所表示角的集合為
.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】．
【詳解】由圖，陰影部分下側(cè)終邊相同的角為，上側(cè)終邊相同的角為且，
所以陰影部分（包括邊界）的角的集合為.
故答案為：
【考試題型1】確定及的終邊所在的象限
【典例1】
【答案】(1)的終邊在第二或第四象限
(2)的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上
(3)的終邊在第二 第三或第四象限
(4)的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上
【詳解】（1）由于為第四象限角，所以，
所以，
當(dāng)時，，終邊在第二象限，
當(dāng)時，，終邊在第四象限，
所以的終邊在第二或第四象限；
（2）由（1）得，
所以的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.
（3）由（1）得，
當(dāng)時，，終邊在第二象限，
當(dāng)時，，終邊在第三象限，
當(dāng)時，，終邊在第四象限，
所以的終邊在第二 第三或第四象限；
（4）由（1）得，即，
所以的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.
【典例2】
【答案】D
【詳解】∵為第二象限角，
∴，
∴,
當(dāng)時，，屬于第一象限，
當(dāng)時，，屬于第二象限，
當(dāng)時，,屬于第四象限，
∴是第一、二或第四象限角．
故選：D
【專訓(xùn)1-1】
【答案】第一或第三
【詳解】由題可知，第二象限角，
所以，
所以，
當(dāng)為偶數(shù)時，在第一象限；
當(dāng)為奇數(shù)時，在第三象限.
故答案為：第一或第三
【考試題型1】扇形弧長與面積的計算
【典例1】
【答案】D
【詳解】因為扇形的圓心角弧度為2，所對弦長為，為圓心，如下圖，
取的中點(diǎn)，連接，則，則，
則扇形的半徑，所以扇形的弧長，
.

故選：D.
【典例2】
【答案】
【詳解】不妨設(shè)扇形的圓心角、半徑、弧長、面積、周長分別為，
則由題意有，
解得，
由弧長公式有，
所以扇形的周長為.
故答案為：.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】設(shè)扇形半徑為r，而圓心角為，弧長.
因此，則扇形面積為.
故答案為：
【專訓(xùn)1-2】
【答案】/
【詳解】，，
故答案為：.
【考試題型2】扇形面積最值問題
【典例1】
【答案】(1)
(2)當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是．
【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為．，即，.
（2）由題設(shè)條件知，,
因此扇形的面積
當(dāng)時，有最大值，此時,
當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是．
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）設(shè)扇形的弧長為l．
因為，即，
所以．
（2）由題設(shè)條件，知，則，
所以扇形的面積．
當(dāng)時，S有最大值36，
此時，
所以當(dāng)時，扇形的面積最大，最大面積是36．
【考試題型1】利用定義求三角函數(shù)值
【典例1】
【答案】A
【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，
.
故選：A
【典例2】
【答案】/
【詳解】由三角函數(shù)的定義可知.
故答案為：
【考試題型2】根據(jù)三角函數(shù)值求參數(shù)
【典例1】
【答案】C
【詳解】由題意得：點(diǎn)在角的終邊上，且，
所以：，解得：，（舍），故C項正確.
故選：C.
【典例2】
【答案】C
【詳解】依題意有且
故，
故選：C
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】由角的終邊上一點(diǎn)，且，
可得，解之得或（舍）
故答案為：
【考試題型1】已知,求關(guān)于和的齊次式的值
【典例1】
【答案】(1)；
(2).
【詳解】（1）因為，
所以.
（2）因為，
.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意，又在第三象限，，故解得；
（2）
【考試題型2】利用,與之間的關(guān)系求值
【典例1】
【答案】ABD
【詳解】由，
則，
即，故B正確；
又，
所以，，
故為第二象限角，
則，
，
則，故D正確,C錯誤；
又，
即有，，
又，故，故A正確.
故選：ABD.
【典例2】
【答案】B
【詳解】由題意可得，得，
則，
由可知，所以.
故選：B
【專訓(xùn)1-1】
【答案】 /
【詳解】由題意：，得：，
所以：，
所以：，
因為：，所以：，
又因為：，得：，
所以：，得：
又因為：，所以：，，
所以：.
故答案為：；.
【考試題型1】五點(diǎn)法作圖
【典例1】
【答案】(1)答案見解析；
(2)時，取最小值0；時，取最大值1.
【詳解】（1）分別令，可得：
x
0
0 1 0 0
畫出函數(shù)在一個周期的圖像如圖所示：

（2）因為，所以，
所以當(dāng)，即時，取最小值0；
當(dāng)，即時，取最大值1.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】答案見解析
【詳解】列表：
0
1 2 0 0 1
描點(diǎn)，連線，畫出在上的大致圖像如圖：
【考試題型2】利用圖象求方程的解或函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)問題
【典例1】
【答案】(1)最小正周期為，使得成立時自變量的集合為
(2)
【詳解】（1）解：因為
，
所以，函數(shù)的最小正周期為，
當(dāng)時，，則，
所以，，解得.
所以，，由可得，
所以，，解得，
所以，使得成立時自變量的集合為.
（2）解：令，
則直線與函數(shù)在時的圖象有兩個交點(diǎn)，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)時，直線與函數(shù)在時的圖象有兩個交點(diǎn).
因此，實數(shù)的取值范圍是.
【典例2】
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）列表如下：
0
0
0 2 0 -2
（2）令，則，由，則，
結(jié)合的圖象研究與公共點(diǎn)個數(shù).
（i），即，有4個公共點(diǎn)；
（ii），即，有5個公共點(diǎn)；
（iii），即，有4個公共點(diǎn)；
（iv），有2個公共點(diǎn)；
（v），無公共點(diǎn).
綜上，①或，有4個零點(diǎn)；
②，有5個零點(diǎn)；
③，有2個零點(diǎn)；
④，無零點(diǎn).
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）由題意得，，
即，又，則，，
所以，
則，
因為為奇函數(shù)，所以，所以，
因為，所以，所以．
（2）令，因為，所以，則，
而有兩個不同的實數(shù)解，即有兩個不同的實數(shù)解，
故問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，
又，，
作出函數(shù)與的大致圖象，如圖，
結(jié)合圖象可知或，
所以實數(shù)的取值范圍是．
【考試題型1】正（余）弦函數(shù)的周期性
【典例1】
【答案】AD
【詳解】對于選項A：為奇函數(shù)，最小正周期，故A正確；
對于選項B：為偶函數(shù)，最小正周期，故B錯誤；
對于選項C：為奇函數(shù)，最小正周期，故C錯誤；
對于選項D：為奇函數(shù)，最小正周期，故D正確；
故選：AD.
【典例2】
【答案】/
【詳解】由誘導(dǎo)公式可知，，
當(dāng)時，與不恒相等，故的最小正周期為，
故答案為：
【專訓(xùn)1-1】（2023上·廣東·高三廣州市第一中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）函數(shù)的最小正周期為 ．
【答案】/
【詳解】因為的最小正周期為，
所以的最小正周期為．
故答案為：.
【考試題型1】正（余）弦函數(shù)的單調(diào)性
【典例1】
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
【詳解】（1）對于函數(shù)，
令，，得，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
令，，得，，
所以的的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
（2）對于，
令，，得，，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，；
令，，得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
【典例2】
【答案】ACD
【詳解】A選項，因為，在上單調(diào)遞減，
故，A正確；
B選項，因為的最小正周期為，故，
因為，在上單調(diào)遞增，
故，，B錯誤；
C選項，，
因為在上單調(diào)遞增，所以，
故，所以，C正確；
D選項，，
因為在上單調(diào)遞減，，
所以，即，D正確.
故選：ACD
【專訓(xùn)1-1】
【答案】B
【詳解】因為，，所以，
要使得在上單調(diào)遞增，則，解得，
又由題意可知，所以，
故選：B
【專訓(xùn)1-2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1）同一坐標(biāo)系作出與在區(qū)間的圖象如下，觀察圖象可知：

使與都是單調(diào)遞減的區(qū)間是.
（2）使是單調(diào)遞增的而是單調(diào)遞減的區(qū)間是.
【考試題型1】正余弦函數(shù)對稱性
【典例1】
【答案】ACD
【詳解】因為，
所以的最小正周期，故A正確；
因為，
所以不是的對稱軸，是的對稱中心，故B錯誤，C正確；
因為，所以，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.
故選：ACD.
【典例2】
【答案】BD
【詳解】的圖像向右平移個單位，
得到，
故，
A選項，，故不是的一條對稱軸，A錯誤；
B選項，，故為函數(shù)的一條對稱軸，B正確；
C選項，，故為函數(shù)的一條對稱軸，C錯誤；
D選項，，故為函數(shù)的一個對稱中心，D正確.
故選：BD
【專訓(xùn)1-1】
【答案】BD
【詳解】A選項，的最小值為，故函數(shù)的最小正周期為，
故，A錯誤；
B選項，因為為圖象的一條對稱軸，所以，
故，解得，
因為，所以只有當(dāng)時，滿足要求，B正確；
C選項，，則，
故為的對稱軸，C錯誤；
D選項，，
則，
故的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，D正確.
故選：BD
【專訓(xùn)1-2】
【答案】AC
【詳解】對于A選項，因為，
所以，
的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以A選項正確.
對于B選項，由，
知的圖象不關(guān)于直線對稱，所以B選項錯誤.
對于C選項，由，
知為奇函數(shù)，所以C選項正確.
對于D選項，因為，
，
，所以不為偶函數(shù)，所以D選項錯誤.
故選:AC.
【考試題型1】正余弦函數(shù)的值域或最值
【典例1】
【答案】C
【詳解】,
,對稱軸為,應(yīng)用二次函數(shù)的對稱性可知，
當(dāng)時,
則的最大值為.
故選：C.
【典例2】
【答案】(1)
(2)
【詳解】（1），
，，
，
故的值域為.
（2），
，，
，，，
，
故的值域為.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】D
【詳解】，
因為，所以，所以，
所以.
故選：D.
【專訓(xùn)1-2】
【答案】
【詳解】令，則，
當(dāng)時，則函數(shù)取得最小值為，
當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為，
故函數(shù)的值域為.
故答案為：
【考試題型1】正切函數(shù)的定義域
【典例1】
【答案】
【詳解】 由，得，且．

由圖可得，即．
所以函數(shù)的定義域為．
故答案為：.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】(1)
(2)
(3)
【詳解】（1）令 ， ，得 ， ，
故函數(shù) 的定義域為 .
（2）由題意， 解得 ， ，
故函數(shù) 的定義域為.
（3）由題意， ，則 ，
故函數(shù) 的定義域為.
【考試題型1】正切函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，對稱性
【典例1】
【答案】A
【詳解】設(shè)，定義域為，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
則，故是奇函數(shù)，
從而，即，
即.
故選：A
【典例2】
【答案】；遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間.
【詳解】函數(shù)中，，解得，
所以函數(shù)的定義域是；
由，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，無遞減區(qū)間.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】ABD
【詳解】令，解得，
A選項，當(dāng)時，，故對稱中心為，A正確；
B選項，當(dāng)時，，故對稱中心為，B正確；
C選項，令，解得，不合要求，舍去，C錯誤；
D選項，當(dāng)時，，故對稱中心為，D正確；
故選：ABD
【考試題型1】正切函數(shù)的值域或最值
【典例1】
【答案】
【詳解】設(shè)，因為，可得，
因為正切函數(shù)在上的值域為，
即函數(shù)在的值域為.
故答案為：.
【典例2】
【答案】
【詳解】令，，
因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，
又因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，
所以，函數(shù)，的值域為.
故答案為：.
【專訓(xùn)1-1】
【答案】
【詳解】解：因為，所以，
，
則當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以函數(shù)的值域為.
故答案為：.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑